文档内容
专题 11 从算式到方程（4 个知识点 5 种题型 4 个易错点 2 个中考考
点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.一元一次方程的概念（重点）
知识点2..解方程与方程的解（重点）
知识点3..根据实际问题列一元一次方程（重点）
知识点4..等式的性质（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.确定一元一次方程中字母的值
题型2.方程的解的应用
题型3.列一元一次方程解决实际问题
题型4.利用方程的思想方法探究数表的规律
题型5.等式性质的应用
【方法三】差异对比法
易错点1.对关键词语理解错误导致列错方程
易错点2.对一元一次方程的概念理解不透彻
易错点3.用等式的性质变形时忘记等式两边同除以某数时忽略该数不为0
易错点4.解方程时因两边未同时变形而出错
【方法四】 仿真实战法
考法1.方程的解
考法2.列一元一次方程
【方法五】 成果评定法【学习目标】
1. 了解方程和等式的概念；理解方程的解和解方程的意义，并会体验方程的解。
2. 了解一元一次方程的概念；掌握等式的性质，并能利用性质探究一元一次方程的解法。
3. 通过对实际他中数量关系的分析，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，逐步形成数学的应
用意识。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.一元一次方程的概念（重点）
1．方程：含有未知数的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
细节剖析：
判断是否为一元一次方程，应看是否满足：
①只含有一个未知数，未知数的次数为 1 ；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．
4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．【例1】．（22·23下·鹤壁·期中）若 是方程 的解，则代数式 的值为（ ）
A．4 B．7 C．9 D．12
【答案】D
【分析】把 代入方程 可得 ，整体代入即可求出 的值．
【详解】解：把 代入方程 得：
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了方程的解及整体代入求代数式的值，熟练掌握相关知识是解题关键．
【变式1】．以下方程属于一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的定义求解即可．
【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意；
B、未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故该选项不符合题意；
C、不是整式方程，不是一元一次方程，故该选项不符合题意；
D、是一元一次方程，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方
程仅含有一个未知数，一次指未知数的最高次数为1，且未知数的系数不为0．
【变式2】．下列说法：① 为任意有理数， 总是正数；②方程 是一元一次方程；③代数式
、 、 都是整式；④若 ，则 ．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】根据非负数的性质，一元一次方程，整式，偶次方的性质依次进行判断即可得．
【详解】解：① 为任意有理数， ，即 总是正数，故正确；②方程 不是一元一次方程，故错误；
③代数式 、 是整式， 是分式，故错误；
④若 ，则 ，故错误；
综上，①正确，正确的个数有1个，
故选：D．
【点睛】本题考查了非负数的性质，一元一次方程，整式，偶次方的性质，解题的关键是掌握这些知识点．
知识点2..解方程与方程的解（重点）
【例2】．（23·24上·福州·期中）观察下表，写出关于x的方程 的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的
值．观察表格可得，当 时， ，即可求解．
【详解】解：观察表格可得，当 时， ，
∴ 的解是 ，
故答案为： ．
【变式1】．．（23·24上·厦门·期中）已知 是方程 的解，则a的值为 ．
【答案】3
【详解】把 代入方程可得到关于 的方程，解出即可．
【分析】解： 关于 的方程 的解是 ，
，
解得： ．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未
知数的值是方程的解是解题的关键．【变式2】．（23·24上·珠海·期中）若方程 是关于x的一元一次方程，则a的值为
；
【答案】1
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，据此可得出
关于a的方程，进而可求出a的值．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
知识点 3..根据实际问题列一元一次方程（重点）
【例3】．．（23·24上·江苏·专题练习）已知关于x的方程 是一元一次方程，则m的值为
（ ）
A． B．1 C． 或1 D．0
【答案】A
【分析】含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1，这样的整式方程是一元一次方程，根据定
义分析作答即可．
【详解】解：根据题意可得： ，
解得： ．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
【变式1】．（22·23下·厦门·阶段练习）下列给出的方程中，是一元一次方程的是（ ）
① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ；
A．②③ B．②③④ C．②④ D．②⑤
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的最高次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．
【详解】解：① 不是整式方程，所以不是一元一次方程；
② 是一元一次方程；
③ 含有两个未知数，不是一元一次方程；
④ 是一元一次方程；
⑤ 未知数的最高次数是2，不是一元一次方程；
∴是一元一次方程的有②④．
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程的概念，解题的关键是正确理解一元一次方程，本题属于基础题型．
【变式2】（23·24上·滨海新·期中）已知：
(1)求 的值(结果用化简后含 a、b的式子表示)；
(2)在(1) 的条件下， 若 是方程 的解，求a的值；
(3)若 的值与a的取值无关， 求b的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先化简 ，再把 ， ，代入计算即可；
（2）把（1）的计算结果代入 得 ，再把 代入计算即可；
（3）由（1）得 ，再根据 的值与a的取值无关，得 ，求解
即可．
【详解】（1）解：
，∵ ， ，
∴原式
；
（2）解：∵
∴
∴
把 代入 ，得
∴ ；
（3）解：由（1）得 ，
∵ 的值与a的取值无关，
∴
∴ ．
【点睛】本题考查整式的加减混合运算，方程的解，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键．
【变式3】．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）已知 是关于y的一元一次方程．
(1)求a，b的值；
(2)若 是方程 的解，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元一次方程的定义可知 、 ， 从而求出 、 的值；
（2）将 的值代入所给方程 中求出 的值， 再将 、 、 的值代入待求式求
解．【详解】（1）解：由题意得： 0 ，
解得 ．
（2）将 代入 ， 得
解得 ，
所以 ．
【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键．
知识点4..等式的性质（重点）
【例4】．（23·24上·铁岭·期中）若 是关于 的方程 的解，则 的值为 ．
【答案】
【分析】把 代入方程，即可得到一个关于m的方程，求解即可．
【详解】解：把 代入方程得： ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，把 代入方程是解题关键．
【变式1】．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）关于 的方程 是一元一次方程，则
．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义列出关于 的关系式，求出 的取值范围即可．
【详解】解： 关于 的方程 是一元一次方程，
且 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是 ，这样
的方程叫一元一次方程是解答此题的关键．
【变式2】．（23·24上·惠州·阶段练习）若 是方程 的解，则代数式 的值为
．【答案】
【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到 ，再把 变形为 ，然
后利用整体代入的方法计算．
【详解】解： 是方程 的解，
，
即 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求代数式的值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是
一元二次方程的解，整体思想的运用是解题的关键．
【方法二】实例探索法
题型1.确定一元一次方程中字母的值
1．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）关于x的方程 是一元一次方程，则有理数a的值为
．
【答案】2或 / 或2
【分析】一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．
【详解】解：由题意得：
解得： 2或
经检验，当 2或 时，原方程均为一元一次方程
故答案为；2或
【点睛】本题考查一元一次方程的定义．熟记相关结论即可．
2．（23·24上·长沙·开学考试）已知 是关于 的方程 的解，则式子 的值为
．【答案】
【分析】将 代入 得出 ，代入代数式，即可求解．
【详解】解：将 代入 得
即
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，得出 是解题的关键．
题型2.方程的解的应用
3．（23·24上·房山·期中）已知 是关于 的方程 的解，求代数式 的值．
【答案】
【分析】根据方程的解代入求出 ，将所求多项式整理 ，将 代入求出数值，正确
理解方程的解的定义及整式的加减法是解题的关键
【详解】解：∵ 是方程 的解，
∴ ，得
∵
∴当 时，
题型3.列一元一次方程解决实际问题
4．（23·24上·全国·课堂例题）在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多 ，乙班植树的棵数比甲
班的一半多10棵．设乙班植树 棵．
(1)列两个不同的含 的式子来表示甲班植树的棵数；
(2)根据题意列出含未知数 的方程；
(3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵．
【答案】(1)甲班植树的棵数为 棵、 棵
(2)
(3)见解析【分析】（1）根据多 、一半的含义列出式子即可；
（2）直接列出等式即可；
（3）利用代入法进行检验即可．
【详解】（1）根据甲班植树的棵数比乙班多 ，
得甲班植树的棵数为 棵；根据乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵，
得甲班植树的棵数为 棵．
（2） ．
（3）把 分别代入（2）中方程的左边和右边，
得左边 ，
右边 ．
因为左边 右边，
所以 是方程 的解，
即乙班植树的棵数是25棵．
由上面的检验过程可得甲班植树的棵数是30棵，而不是35棵
【点睛】本题考查了列方程解实际问题的能力，考查了学生应用数学解决实际问题的能力．
5．（23·24上·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【答案】(1)不是方程，见解析
(2)是方程
(3)不是方程，见解析
(4)不是方程，见解析(5)是方程
(6)不是方程，见解析
【分析】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得．
【详解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知数．
（2）解：是方程．
（3）解：不是方程，理由是：不是等式．
（4）解：不是方程，理由是：不是等式．
（5）解：是方程．
（6）解：不是方程，理由是：不含未知数．
【点睛】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键．
题型4.利用方程的思想方法探究数表的规律
6．（1）已知代数式 ， .若 的值与 的取值无关，求 的值.
（2）已知关于 的方程 的解是关于 的方程 的解的三分之一.求 的值.
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）把 与 代入 中，去括号合并，将化简的结果变形，根据 的值与 的取值无
关，确定出 的值即可；
（2）先用 分别表示出两方程的解集，再根据题意可列出关于 的方程，求出 的值即可．
【详解】解：（1） ， ，
；，代数式的值与 的取值无关，
，
；
（2）解方程 得， ，
解方程 得， ，
关于 的方程 的解是关于 的方程 的解的三分之一，
，
解得 ．
【点睛】此题考查了整式的加减，一元一次方程的解，熟知使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫
做一元一次方程的解是解答此题的关键．
7．已知代数式A＝3ax5+bx3﹣2cx+4，B＝ax4+2bx2﹣c，E＝3ax3+4bx2﹣cx+3，其中a，b，c为常数，当x＝1
时，A＝5，x＝﹣1时，B＝4．
（1）求3a+b﹣2c的值；
（2）关于y的方程2（a﹣c）y＝（k﹣4b）y+20的解为2，求k的值．
（3）当x＝﹣1时，求式子 的值．
【答案】（1）1；（2）-2；（3）3．
【分析】（1）将 时， 代入代数式 即可求得；
（2）将 ，代入方程得到 ①，将 时， 代入代数式 得到：
②，②代入①即可求得 ；
（3）分别求得 的值，再代入代数式中求解即可．
【详解】（1）将 时， 代入代数式 ，得：
，
解得 ；
（2）由题意， 时，即 ①
将 时， 代入代数式 ，得：
即 ②
将②代入①得：
解得
（3）将 代入代数式 ，得：
，
由（1）可知 ①
代入 ，得：
又由（2）可知
即
两边乘以3，得： ②
②-①得： ③
将③代入代数式 ，得：
当 时， ，即 ，
时，
由题意，当 时，
将 代入 ，得：
【点睛】本题考查了整式的加减，等式的性质，一元一次方程的解，整体代入是解题的关键．
题型5.等式性质的应用
8.已知2a＝3b，则（ ）A．2a+2＝3b+3 B．a＝ b C． D．2a2＝3b2
【答案】C
【分析】根据两内项之积等于两外项之积及等式的性质对每个选项进行判断即可得解．
【解析】解：A、由2a＝3b，则2a+2＝3b+2，故本选项错误；
B、由2a＝3b，则 ，故本选项错误；
C、由2a＝3b，则 ，故C正确；
D、违背了等式的基本性质．
故选：C．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质进行解题．
9. 如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等，图①②所示的两个天平处于平衡状态，要使第3个
天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置 个球．
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：设球的质量是 ，小正方形的质量是 ，小正三角形的质量是 ．
根据题意得： ，
解得： ；
图③中左边是： ，
因而需在它的右盘中放置7个球．
故选： ．【方法三】差异对比法
易错点1.对关键词语理解错误导致列错方程
10．已知： ，
(1)求
(2)若无论 取任何数值， 的值都是一个定值，求 的值
(3)若关于 的方程 无解， 有无数解，求 的值
【答案】(1)
(2)b=2
(3)1
【分析】（1）把相应式子代入，先去括号、合并同类项化简即可；
（2）根据当a取任何数值，A-2B的值是一个定值得出a的系数为0，列出方程即可；
（3）根据方程解得情况求出a、b的值，代入 计算即可．
【详解】（1）
；
（2） =a（b-2）+1，
∵无论 取任何数值，它的值是一个定值，
∴b-2=0，
即b=2．
（3）∵关于 的方程 无解， 有无数解
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查整式的加减混合运算、代数式求值、一元一次方程的解，解题的关键是掌握去括号
法则、合并同类项法在等知识，属于中考常考题型．易错点2.对一元一次方程的概念理解不透彻
11．知识背景：已知a，b为有理数，规定 ， ，例如： ，
．
知识应用：
(1)若 ，求 的值；
(2)求 的最值；
知识迁移：
(3)若有理数a，b，c满足 ，且关于x的方程 有无数解，
，求 的值．
【答案】(1)21；
(2) 有最小值5；
(3)﹣5；
【分析】（1）根据题意列出等式，由绝对值的非负性求出a，b的值，再求代数式的值；
（2）由题意列出代数式，根据数轴上两点间的距离公式及绝对值的意义求出最小值；
（3）由关于x的方程 有无数解，整理方程，得出a＋c=0；从而由 ，
得到b≥3；再由 求出b≠3；进而化简绝对值求代数式的值；
【详解】（1）解：若 ，则|a－2|＋|b＋3|=0，
∴a=2，b=﹣3，
∴3a－5b=3×2－5×（﹣3）=21；
（2）解： =|a－1－2|＋|a－1＋3|=|a－3|＋|a＋2|，∵|a－3|＋|a＋2|，在数轴上表示点a到3和﹣2的距离之和，
∴|a－3|＋|a＋2|≥5，
∴ 有最小值5；
（3）解：整理 得（a＋c）x=2（a＋c），
∵方程有无数解，则a＋c=0，
∵|a－b＋c＋3|=a＋b＋c－3，
即|﹣b＋3|=b－3，
∴b≥3，
∵f（2b－4）≠0，
∴|2b－4－2|≠0，
∴b≠3，
∴b＞3，
∴
=|2b＋5|－|b＋7|－|﹣3－b|
=2b＋5－（b＋7）－（b＋3）
=﹣5；
【点睛】本题考查代数式的理解，绝对值的定义和性质，一元一次方程的解，根据题意求出a，b，c，满
足的关系化简绝对值是解题的关键．
易错点3.用等式的性质变形时忘记等式两边同除以某数时忽略该数不为0
12．（22·23上·苏州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美
好方程”．例如：方程 和 为“美好方程”．
(1)请判断方程 与方程 是否互为“美好方程”；
(2)若关于x的方程 与方程 是“美好方程”，求m的值；
(3)若关于x的一元一次方程 和 是“美好方程”，求关于y的一次方程
的解．
【答案】(1)是
(2)(3)
【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可；
（2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可；
（3）求得方程 的解，利用“美好方程”的定义得到方程 的解，将关于y的
方程 变形，利用同解方程的定义即可得到 的值，从而求得方程的解．
【详解】（1）方程 与方程 是互为“美好方程”，理由：
解方程 得：
，
方程 的解为：
．
∵ ，
∴方程 与方程 是互为“美好方程”；
（2）关于x的方程 的解为： ，
方程 的解为： ，
∵关于x的方程 与方程 是“美好方程”，
∴ ，
∴ ；
（3）方程 的解为： ，
∵关于x的方程 与 是“美好方程”，
∴关于x的方程 的解为： ．
∵关于y的方程 就是： ,∴ ，
∴ ．
∴关于y的方程 的解为： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，
本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键．
易错点4.解方程时因两边未同时变形而出错
13．（23·24上·全国·课堂例题）由下表可知方程 的解是 ．
的值 1 2 3 4
的
1 3 5 7
值
的值 3 4 5 6
【答案】
【分析】根据一元一次方程的解的定义即可得到答案．
【详解】解：观察表格，可知当 与 的值相等时， 的值即为方程的解，
方程的解为 ，
∴故填： ．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义：使方程两边的因式相等的 的
值是一元一次方程的解是解题的关键．
14．（23·24上·福州·开学考试）若 是关于x的方程 的解，则代数式 的值是 ．
【答案】
【分析】把 代入 得 ，则 ，即可解答．
【详解】解：把 代入 得： ，
∴ ，
∴
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．
【方法四】 仿真实战法
考法1.方程的解
15. 如果方程 是关于 的一元一次方程，那么 ．
【答案】1
【分析】根据一元一次方程的定义知 且未知数系数 ，据此可以求得k的值．
【详解】解：∵方程 是关于x的一元一次方程，
∴ ，且 ，
解得， ；
故答案是：1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念和绝对值方程．一元一次方程的未知数的指数为1，且未知数的
系数不为零．
16．若 是关于 的方程 的解，则 的值是
．
【答案】1
【分析】先将 代入原方程，可得出 ，再将其代入 中，即可求出结论．
【详解】解：将 代入原方程得： ，
，
．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关
键．考法2.列一元一次方程
17．（22·23下·泉州·期中）若 是关于 的方程 的解，则 的值等于（ ）
A．20 B．15 C．4 D．3
【答案】B
【分析】把 代入解关于a的方程解题即可．
【详解】解:把 代入方程得： ，
解得： ，
故选B．
【点睛】本题考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
18．（23·24上·江苏·专题练习）下列方程中，解为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】把 代入每个方程，看看方程两边是否相等即可．
【详解】解：A．把 代入方程 ，左边 ，右边 ，左边 右边，则 不是方程的解，
故此选项不符合题意；
B．把 代入方程 ，左边 ，右边 ，左边 右边，则 不是方
程的解，故此选项不符合题意；
C．把 代入方程 ，左边 ，右边 ，左边 右边，则 不是方程的解，故此选项不符合
题意；
D．把 代入方程 ，左边 ，右边 ，左边 右边，则 是方程的解，故此选项
符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值叫方程
的解）是解题的关键．【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（23·24上·沙坪坝·开学考试）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由一元一次方程的概念可知：①含有一个未知数，②未知数的次数为1，③整式方程，据此进行
判断即可．
【详解】解：A、. ，不含未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
B、 ，方程中含有2个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
C、 ，是一元一次方程，符合题意；
D、 方程中未知数的最高次为2次，不是一元一次方程，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的判断，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
2．（23·24上·和田·期末）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、只含有一个未知数，且未知数的次数是1，是一元一次方程，符合题意；
B、只含有一个未知数，但未知数的次数是2，不是一元一次方程，不符合题意；
C、只含有一个未知数，但未知数的次数是2，不是一元一次方程，不符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数，且未知数的次数是1，这样的方程
叫一元一次方程是解题的关键．
3．（23·24上·岳阳·开学考试）下面说法正确的有（ ）个
①一条射线长8厘米．
② 既是等式，又是方程．
③5的倍数一定是合数．④圆柱有无数条高，圆锥只有一条高．
⑤公园植树101棵，成活100棵，成活率 ．
⑥求“长方体、正方体、圆柱”这几个立体图形的体积时，都可以用“底面积 高”来计算．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】①根据射线的含义：有一个端点，射线无限长，进行判断；②根据等式，方程的定义进行判断；
③根据合数的意义，一个数除了含有1和它本身两个约数外还含有其它约数的，就是合数，即合数是含有
3个或3个以上约数的数，5的倍数最小的是5，5只含有1和它本身2个约数，不是合数，据此判断；④
根据圆柱的特征：圆柱的上、下底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面，侧面沿高展开是一个长方形，
这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，圆柱有无数条高；圆锥的特征是：圆锥的底面是
一个圆，侧面是一个曲面，从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高，圆锥只有1条高；⑤成活率是
指成活的棵数占总棵数的百分比，计算方法是： ，代入数据求出成活率，再与 比较判
断；⑥根据长方体、正方体和圆柱的体积计算公式即可判断．
【详解】解：①因为射线有一个端点，无限长，所以一条射线长8厘米，说法错误；
②含有未知数的等式叫方程； 符合等式，以及方程的定义，说法正确；
③5的倍数最小的是5，5只含有1和它本身2个约数，5不是合数，所以5的倍数一定是合数，说法错误；
④圆柱的上、下底面之间的距离叫做圆柱的高，圆柱的高有无数条，从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做
圆锥的高，圆锥只有1条高，说法正确；
⑤ ； ；原题计算错误；
⑥长方体、正方体、圆柱的体积可以用“底面积 高”计算，所以原说法正确．
说法正确的有选项②、④和⑥，共3个．
故选：B．
【点睛】此题应根据射线的含义，等式、方程的定义，合数的意义，圆锥、圆柱的特征，理解圆锥和圆柱
的高的意义以及长方体、正方体、圆柱的体积计算它们之间的关系．
4．（22·23下·长春·期中）下列方程中，是一元一次方程的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义：一个未知数，含未知数的项的次数为1的整式方程，逐一进行判断．【详解】A、该方程是分式方程，不符合题意；
B、该方程是一元一次方程，符合题意；
C、该方程是一元二次方程，不符合题意；
D、该方程是二元一次方程，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
5．（22·23下·长春·期末）下列方程中，解为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用一元一次方程的解的意义分别判断得出答案．
【详解】解： 、当 时， ，故此选项不合题意；
、当 时， ，故此选项不合题意；
、当 时， ，故此选项不合题意；
、当 时， ，故此选项符合题意．
故选： ．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，正确掌握一元一次方程解的意义是解题关键，方程的解即为
使方程两边相等的未知数的值．
6．（23·24上·和田·期末）下列方程中，解为 的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，把 代入各个方程进行进行检验，看能
否使方程的左右两边相等．
【详解】解：分别将 代入四个方程：
A、 ，故本选项错误；
B、 ，故本选项错误；
C、 ，故本选项错误；
D、 ，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题的关键是正确理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
7．（23·24上·全国·专题练习）下列各式中，属于方程的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，即可进行解答．
【详解】解：A、 不含未知数，不是方程，不符合题意；
B、 不是等式，故不是方程，不符合题意；
C、 不是等式，故不是方程，不符合题意；
D、 是含有未知数的等式，是方程，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方程的定义，解题的关键是掌握方程的定义：含有未知数的等式是方程．
8．（23·24上·济宁·期末）下列方程中为一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：A、 是一元一次方程，符合题意；
B、 含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
C、 未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不符合题意；
D、 不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟知一元一次方程的定义是解题的关键：只含有一个未知
数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程．
9．（23·24上·临沂·期末）下列结论正确的是（ ）
A． 是方程 的解 B．单项式 的系数是
C． 和 不是同类项 D． 是三次三项式
【答案】D【分析】根据一元一次方程的解、单项式、多项式、同类项的相关定义解答即可．
【详解】解：A. 当 时， ，故 不是方程 的解，故错误，不合题意；
B. 单项式 的系数是 ，故错误，不合题意；
C. 和 是同类项，故错误，不合题意；
D. 是三次三项式，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解、单项式、多项式、同类项．解题的关键是熟练掌握一元一次方程
的解、单项式、多项式、同类项的相关定义．
填空题
10．（22·23上·佛山·阶段练习）已知关于x的方程 的解为 ，则代数式 的值为
．
【答案】16
【分析】根据方程的解满足方程，可得关于a的方程，根据解一元一次方程，可得a的值，再根据代数式
求值，可得答案．
【详解】解：将 代入 ，
得 ，
解得 ，
当 时， ．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于a的方程是解题关键．
11．（22·23下·浦东新·期中）如果方程 是一元一次方程，则 ．
【答案】1
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形
式是 （a，b是常数且 ）．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ．故答案为：1．
【点睛】本题考查一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，
这是这类题目考查的重点．
12．（23·24上·茂名·期末）若 是方程 的解，则 ．
【答案】1
【分析】直接把 代入方程 中求出a的值即可．
【详解】解：∵ 是方程 的解，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，熟知一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值
是解题的关键．
13．（23·24上·楚雄·期末）若方程 是关于 的一元一次方程，则 .
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义列式计算即可得解．
【详解】解：方程 是关于x的一元一次方程，
则有： 且 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程叫做一元一
次方程，一般形式是 ．特别要注意 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
14．（23·24上·昆明·期末）若关于 的方程 的解为 ，则 ．
【答案】 /1.5/
【分析】将 代入 可得： ，从而得到 ．
【详解】解：关于 的方程 的解为 ，将 代入 可得： ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查方程的解与代数式求值，理解方程的解的定义是解题的关键．
15．（22·23上·泰州·阶段练习）若 是关于 的方程 的解，则 的值为 ．
【答案】8
【分析】将 代入 ，即得出 ，再将 变形为 ，最后整体代入求值即可．
【详解】解：将 代入 ，得： ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：8．
【点睛】本题考查一元一次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值和
利用整体代入的思想是解题关键．
16．（22·23上·广州·期中）根据“x的3倍与5的和比x的 多2”可列出方程来 ．
【答案】
【分析】根据x的3倍与5的和比x的 多2表示 减去 等于2，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
17．（22·23上·绵阳·期中）已知方程 是关于x的一元一次方程，则 ．
【答案】 或 ，
【分析】根据一元一次方程定义代入求值即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，解得 或 ，
故答案为 或 ，．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义，解题关键是知道一元一次方程未知数系数不为0且指数为1．
18．一列方程及方程的解如下排列：
的解是x＝2
的解是x＝3
的解是x＝4……
根据观察所得到的规律，请你写出一个解是x＝2022的方程 ．
【答案】
【分析】根据一列方程的形式可知：方程的解是等式左边两个式子分母的商，所以方程第一个分数的分母
为解的2倍且分子就是x，第二个分数的分母就是2，而分子是x减去解的数值与1的差，根据此规律可知，
当解是x=n时，方程应该是 ，据此就可得出答案．
【详解】解：根据题意可知：当解是x=n时，方程应该是 ，
当n=2022时，方程为 ，化简整理得 .
故答案是： ．
【点睛】本题考查的是探究规律、分析总结规律的能力，能够根据题意找出式子的规律是解答本题的关键．
19．（22·23上·全国·课前预习）使方程左、右两边的值 的未知数的值，叫做方程的解．
【答案】相等
【分析】根据方程解的定义直接写出答案即可．
【详解】解：方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．
故答案为：相等．
【点睛】本题主要考查了方程的解的定义，方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．
20．（22·23上·全国·课前预习）只含有 个未知数，且方程中的代数式都是 ，未知数的指数都是，这样的方程叫做一元一次方程．
【答案】 一 整式 1
【分析】根据一元一次方程的定义直接写出答案即可
【详解】解：只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是1，这样的方程叫做一
元一次方程．
故答案是：一，整式，1
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数
的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
解答题
21．已知关于 的方程 是一元一次方程.求：
（1） 的值及方程的解.
（2） 的值.
【答案】（1）x=3;（2）25
【分析】（1）根据未知数的指数为1，系数不为0进行求解．
（2）将（1）求得的m的值代入即可．
【详解】解：（1）因为方程是一元一次方程，
所以 解得 .
所以方程为 ，解得 .
（2）当 时，
.
【点睛】此题考查一元一次方程的定义，代数式求值，解题关键在于先求出m的值.
22．已知A＝2x2+mx﹣m，B＝3x2﹣mx+m．
（1）求A﹣B；
（2）如果3A﹣2B+C＝0，那么C的表达式是什么？
（3）在（2）的条件下，若x＝4是方程C＝20x+5m的解，求m的值．【答案】(1)﹣x2+2mx﹣2m；(2)﹣5mx+5m；(3)m＝﹣4．
【分析】（1）根据整式减法法则，进行计算；（2）根据C＝﹣3A+2B，代入已知式子可得；（3）根据题
意可得：﹣20m+5m＝80+5m，解关于m的方程.
【详解】解：(1)A﹣B＝(2x2+mx﹣m)﹣(3x2﹣mx+m)
＝2x2+mx﹣m﹣3x2+mx﹣m
＝﹣x2+2mx﹣2m；
(2)∵3A﹣2B+C＝0，
∴C＝﹣3A+2B
＝﹣3(2x2+mx﹣m)+2(3x2﹣mx+m)
＝﹣6x2﹣3mx+3m+6x2﹣2mx+2m
＝﹣5mx+5m；
(3)根据题意知x＝4是方程﹣5mx+5m＝20x+5m的解，
∴﹣20m+5m＝80+5m，
解得：m＝﹣4．
【点睛】掌握整式的加减法则，把问题转化为解一元一次方程.
23．小张去水果市场购买苹果和桔子，他看中了 A 、B 两家的苹果和桔子，这两家的苹果和桔子的品质
都一样，售价也相同，但每千克苹果要比每千克桔子多 12 元，买 2 千克苹果与买 5 千克桔子的费用相
等．
（1）根据题意列出方程；
（2）在 x=6，x=7，x=8 中，哪一个是（1）中所列方程的解；
（3）经洽谈，A 家优惠方案是：每购买 10 千克苹果，送 1 千克桔子；B 家优惠方案是：若购买苹果超
过 5 千克，则购买桔子打八折，设每千克桔子 x 元， 假设小张购买 30 千克苹果和 a 千克桔子（a＞
5）．
①请用含 a 的式子分别表示出小张在 A、B 两家购买苹果和桔子所花的费用；
②若 a=16，你认为在哪家购买比较合算？
【答案】（1）2（x+12）=5x；（2）x=8 是方程的解；（3）①在 A 家购买苹果和桔子所花的费用
（8a+576）（元），在 B 家购买苹果和桔子所花的费用（6.4a+600）（元），②在 B 家购买比较合算．
【分析】（1）根据题意列方程即可；
（2）把x=6，x=7，x=8分别代入2（x+12）=5x，即可得到结论；
（3）①根据题意列代数式即可；②把 a=16代入代数式即可得到结论．
【详解】（1）根据题意得，2（x+12）=5x；（2）把 x=6，x=7，x=8分别代入 2（x+12）=5x，
当x=6 时，2（x+12）=36，5x=30，
∴等号的左右两边不相等，
∴x=6不是方程的解；
当x=7时，2（x+12）=38，5x=35，
∴等号的左右两边不相等，
∴x=7不是方程的解；
当x=8时，2（x+12）=40，5x=40，
∴等号的左右两边相等，
∴x=8是方程的解；
（3）由（2）知，桔子每千克 8 元，苹果每千克20元，
①在A家购买苹果和桔子所花的费用30×20+8（a﹣ ）=（8a+576）（元），
在B家购买苹果和桔子所花的费用30×20+8A×0.8=（6.4a+600）（元），
②∵在A家购买苹果和桔子所花的费用8a+576=8×16+578=704元，
在B家购买苹果和桔子所花的费用6.4a+600=6.4×16+600=702.4元，
704＞702.4，
∴在B家购买比较合算．
【点睛】本题考查了方程的解，列代数式，正确的理解题意是解题的关键．
24．已知关于x的方程 =x+ 与方程 的解互为倒数，求m的值．
【答案】
【详解】试题分析：首先解两个关于x的方程，求得x的值，然后根据两个方程的解互为相反数即可列方
程求解．
试题解析：第一个方程的解x=﹣ m，第二个方程的解y=﹣0.5， 因为x，y互为倒数，所以﹣ m=﹣
2，所以m= ．
25．已知：关于x的方程4x－k=2与2(2+x)=k的解相同，求k的值及相同的解．【答案】k=10，x=3
【详解】试题分析：由已知关于x的方程4x-k=2与3（2+x）=2k的解相同，分别求出用k表示的方程的解，
再根据解相同得关k的方程，解方程即可．
试题解析：4x－k=2，
4x=2+k，
解得x= .
2(2+x)=k，
4+2x=k，
解得x= .
则 = ，
所以k的值为10，
相同的解为x= =3．
点睛：此题考查的知识点是同解方程，本题解决的关键是能够求解关于x的方程，根据同解的定义建立方
程求解．
26．若关于x的方程|2x－2013|+m=0无解，|3x－2014|+n=0只有一个解，|4x－2015|+k=0有两个解．请用
“<”将m、n、k由小到大排列．
【答案】k
