文档内容
专题 07 轴对称（5 个知识点 6 种题型 1 个易错点 2 种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.轴对称图形（重点）
知识点2.轴对称（难点）
知识点3.线段的垂直平分线（重点）
知识点4.轴对称和轴对称图形的性质（难点）
知识点5.对称轴的画法（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.轴对称的性质的应用
题型2.动手操作与轴对称
题型3.轴对称的尺规作图
题型4.线段垂直平分线的性质的应用
题型5.线段垂直平分线的判定（一题多解）
题型6.轴对称中的探究题
【方法三】差异对比法
易错点.对称轴的条数数不全
【方法四】 仿真实战法
考法1.轴对称图形的识别
考法2.线段垂直平分线的性质
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 了解轴对称图形、两个图形成轴对称的意义会识别轴对称图形及轴对称。
2. 通过自己动手操作、测量、计算和推理证明，探究轴对称线段垂直平分线的性质，并掌握线段垂直平分线的判定和性质，会用集合的观点解释线段的垂直平分线。
3. 能用尺规准确地作出线段的垂直平分线，并会作轴对称图形及成轴对称的两个图形的对称轴。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.轴对称图形（重点）
轴对称图形的定义
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它
的对称轴.
要点：
轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一
定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
【例1】下列图形属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念判断．【详解】解：A、是轴对称图形，故符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的识别，掌握识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后
可重合是解题的关键．
【变式】（2022秋·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）下列标志中，可以看作是轴对称
图形的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义依次判断即可．
【详解】解：A选项图形不能找到一条直线，使它沿着该直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，故不是
轴对称图形，不符合题意；
B选项图形不能找到一条直线，使它沿着该直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，
不符合题意；
C选项图形不能找到一条直线，使它沿着该直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，
不符合题意；
D选项图形能找到一条直线，使它沿着该直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合
题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，解题关键是掌握如果一个图形能沿着一条直线折叠，直线两旁的
部分能够互相重合，那么这个图形是轴对称图形．
知识点2.轴对称（难点）
两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
要点：
若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，
若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
【例2】（2023秋·全国·八年级课堂例题）下列每幅图形中的两个图案成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可．
【详解】A．两个图形不成轴对称，不符合题意；
B．两个图形不成轴对称，不符合题意；
C．两个图形不成轴对称，不符合题意；
D．两个图形成轴对称，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线
折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折
叠后重合的点是对应点，叫作对称点．
【变式】（2023春·河北邢台·八年级统考开学考试）如图，小手盖住的是两个三角形中的一个，若这两个
三角形轴对称，则小手盖住的三角形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的定义依次分析各项即可判断.
【详解】解：根据轴对称的性质，可得小手盖住的三角形是
故选：A．
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：如果把一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.
知识点3.线段的垂直平分线（重点）
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂
线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：
①垂直平分线垂直且平分其所在线段．
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
求做线段AB的垂直平分线
作法：
1
2
（1）分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD，CD即为所求直线．
要点诠释：
1
2
作弧时的半径必须大于 AB的长，否则就不能得到交点了．
【例3】（2022秋•太仓市期末）如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，AB的垂直平分线分别交AB，
BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，则∠EAG＝ ．
【分析】由条件可求得∠EAB＝∠EBA，∠GAC＝∠GCA，且可求得∠BAC＝110°，则可求得∠EAB+∠GAC＝
70°，再利用角的和差可求得∠EAG．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠EBA＝50°，
同理∠GAC＝∠GCA＝20°，
∴∠GAC+∠EAB＝20°+50°＝70°，
∵∠B＝50°，∠C＝20°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣20°＝110°，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠GAC+∠EAB）＝110°﹣70°＝40°
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等是解题
的关键．
【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为
35cm，则BC的长为( )
A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm
解析：∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝
35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15cm.故选C.
方法总结：利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
知识点4.轴对称和轴对称图形的性质（难点）
在轴对称图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
要点：
轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【例4】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝
9，BC＝12，则△DBE的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12【解答】解：∵点A与点E关于直线CD对称，
∴AD＝DE，AC＝CE＝9，
∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，
∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10．
故选：B．
【变式】（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图， 是 内的一点， 分别是点 关于
的对称点， 交于点 于点 ，交 于点 ，若 ，则 的周长是
．
【答案】5
【分析】根据轴对称的性质进行等量代换，便可知 与 的周长是相等的，即可求解．
【详解】解：∵ 分别是点P关于 的对称点，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为5cm.
故答案为：5．
【点睛】本题考查轴对称的性质，难度一般，关键是熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用．
知识点5.对称轴的画法（重点）【例5】下图中的两个图形是轴对称图形，如何画出它们的对称轴呢？
【答案与解析】
(1)联结 、 (2)取 的中点E ， 的中点F，（3）联结EF，则直线EF为所求的对称轴．
【方法二】实例探索法
题型1.轴对称的性质的应用
1.将一个正方形纸片依次按图a，b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，成图d样式，将纸展开铺平，
所得到的图形是图中的 （ ）
【思路点拨】根据轴对称的性质将最后一个图形一步一步的还原，做出他关于某条对称轴的对称图形，即
可得到最后的答案.
【答案】D；
【解析】【总结升华】只需要根据对称轴补全图形就能找到答案，或者就真正的实际动手操作一下，这里推荐利用
我们所学过的轴对称的知识解决问题．
2.如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，记 的延长线为 ，则由折叠的性质可得 ，得到 ，再根据
平行线的性质即可得出答案.
【详解】解：如图，记 的延长线为 ，
则由折叠的性质可得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选：C.
【点睛】本题考查了折叠的性质和平行线的性质，正确添加辅助线，得出 是解题的关键.
3.将长方形纸片按如图方式折叠， 为折痕，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】根据折叠的性质得到 ， ，然后根据平角为求解即可．
【详解】∵将长方形纸片按如图方式折叠， 为折痕，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应相等相等．也考查了平角的
定义．
4.如图，在 中， ， 在 上，将 沿 折叠，点 落在 边上的点 处，若
，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】根据题意，可得 是直角三角形， 的度数，根据折叠可知， ，再根据
是 的外角，由外角的性质即可求解．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ 是直角三角形，且 ，
根据折叠， ，
∵ 是 的外角，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查直角三角形，三角形的外角知识的综合，掌握直角三角形的性质，折叠的性质，三
角形外角的性质的知识是解题的关键．
题型2.动手操作与轴对称
5.以直线l为对称轴画出图的另一半．【答案】做圆弧的对称图形时以原来圆弧的圆点为圆点，原半径为半径作出圆弧的对称图形．对于矩形的
对称图形和外框图形的对称图形首先作出各顶点关于l的对称点，连接对称点即为原图形的对称图形．
6．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中
的一个空白正方形涂黑，使涂黑部分图形是一个轴对称图形（最少三种不同方法）．
【分析】根据轴对称图形的定义，结合题意，补充图形即可
【详解】如图：有5种方法：
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
题型3.轴对称的尺规作图
7.如图所示，牧马人从A地出发，到一条直的河流l边的C处饮马，然后到达B地．牧马人到河边的什么
地点饮马，可以使所走的路程最短？请用尺规作图，在图中找出路程最短的饮马点C，并用轴对称的性质
说明理由．
【答案】牧马人到河边的点C处饮马，可以使所走的路程最短，见解析【分析】过点B作直线l的对称点 ，连接 ，与直线l的交点即为点C，此时所走的路程最短，取直线
l上另一点 ，根据三角形三边关系证明得到牧马人到河边的点C处饮马，可以使所走的路程最短．
【详解】解：如图，过点B作直线l的对称点 ，连接 ，与直线l的交点即为点C，此时所走的路程最
短，即 ，
取直线l上另一点 ，
根据轴对称得到 ，
∴牧马人到河边的点C处饮马，可以使所走的路程最短．
．
【点睛】此题考查了最短路径问题，轴对称作图，三角形三边关系的应用，正确理解最短路径问题作图方
法是解题的关键．
8.如图1，点A、B两点在直线 的同侧，点 与A关于直线 对称，连接 交 于点 ，设 ．
(1)求 ；
(2)若点 是直线 上异于点 的任意一点．求证： ；
(3)如图2，在 上求作一点 ，使 最小．作法：
【详解】（1） 点 与A关于直线 对称，，
，
，
；
（2）连接 ，
点 与A关于直线 对称，
， ，
， ，
中 ，
；
（3）作点A关于直线 对称点 ，连接 交直线 于点 ，如下图所示．
题型4.线段垂直平分线的性质的应用
9．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若
AB＝4，则DC的长是 ．
【分析】根据等腰三角形的判定定理求出AD，再根据线段垂直平分线的性质求出DC．【解答】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4，
∴AD＝AB＝4，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DC＝AD＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，掌握线段的垂直平分线上的点到
线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．（2020•牡丹江）在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E．若∠CAB
＝∠B+30°，求∠AEB．
【分析】已知DE垂直平分斜边AB可求得AE＝BE，∠EAB＝∠EBA．易求出∠AEB．
【解答】解：∵DE垂直平分斜边AB，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA．
∵∠CAB＝∠B+30°，
∠CAB＝∠CAE+∠EAB，
∴∠CAE＝30°．
∵∠C＝90°，
∴∠AEC＝60°．
∴∠AEB＝120°
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有
关知识，注意角与角之间的转换．
题型5.线段垂直平分线的判定（一题多解）
11．（2023秋·八年级课时练习）如图， 为 的角平分线， ，请判断线段 所在的直线
是否为线段 的垂直平分线，如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．【分析】方法一 ：定义法：如图，设 与 的交点为O．通过证明 ，得到
， ．进而得出 ．即可得出线段 所在的直线是线段EF的垂直平分线．
方法二：判定定理法：通过证明 ，得出 ．则点D在线段EF的垂直平分线上．
根据 ，得出点A在线段 的垂直平分线上．即可得出线段 所在的直线是线段EF的垂直平分
线．
【详解】线段 所在的直线是线段EF的垂直平分线．
证明如下：
方法一：定义法：
如图，设 与 的交点为O．
∵ 是 的平分线，
∴ ．
在 和 中，
∴ ，
∴ （此处得到 后，也可根据判定定理法证明）， ．
又∵ ，
∴ ，即 ．
∴线段 所在的直线是线段EF的垂直平分线．
方法二：判定定理法：
∵ 是 的平分线，
∴ ．
在 和 中，∴ ，
∴ ．
∴点D在线段 的垂直平分线上．
又∵ ，
∴点A在线段 的垂直平分线上．
∴线段 所在的直线是线段EF的垂直平分线．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形对
应边相等，对应角相等；垂直平分线上的点到两端距离相等．
12．（2023秋·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，已知 ，点P为 的平分线
上一点， ， ，垂足分别为E、F
(1)求证∶
(2)若 ，求证：点P在 的垂直平分线上．
【分析】（1）通过证明 ，即可求证；
（2）连接 、 ，通过证明 ，得到 ，即可求证．
【详解】（1）证明：∵点P为 的平分线上一点
∴
∵ ，
∴
在 和 中∴
∴
（2）证明：连接 、 ，如下图：
由（1）可得：
又∵ ，
∴
∴
∴点P在 的垂直平分线上
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的
判定方法与性质．
题型6.轴对称中的探究题
13．（2020秋·浙江杭州·八年级统考阶段练习）如图，将一张三角形纸片 的一角折叠，使点A落在
外的 处，折痕为 ．如果 则 的关系为 ．
【答案】【分析】根据三角形的外角得： ，代入已知可得结论．
【详解】解：如图，
由折叠得： ，
∵ ，
∵
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，轴对称的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内
角的和是关键．
14．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直
线MN上．若ED＝4cm，FC＝1cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°．
(1)求出BF的长度；
(2)求∠CAD的度数；
(3)连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？
【答案】(1)BF＝3cm
(2)∠CAD＝18°
(3)直线MN垂直平分线段EC
【分析】（1）先根据轴对称的性质得出BC＝ED＝4cm，再根据FC＝1cm，求出BF的长度即可；（2）根据轴对称的性质得出∠EAD＝∠BAC＝76°，再根据∠EAC＝58°求出结果即可；
（3）直接根据轴对称的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED＝4cm，FC＝1cm，
∴BC＝ED＝4cm，
∴BF＝BC﹣FC＝3cm．
（2）解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°，
∴∠EAD＝∠BAC＝76°，
∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC＝76°﹣58°＝18°．
（3）解：直线MN垂直平分线段EC．理由如下：如图，
∵E，C关于直线MN对称，
∴直线MN垂直平分线段EC．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【方法三】差异对比法
易错点.对称轴的条数数不全
15.如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，使得 3个涂黑的正方形成轴对称
图形，则选择的方法有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【解答】解：如图，将图中剩余的编号为1至7的小正方形中任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情况
可使所得图案是一个轴对称图形，
故选：C．
16.如图都是3×3的正方形网格，点A、B、C均在格点上．在给定的网格中，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一条线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M、N为格点．
（2）在图②中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D、E、F为格点，并写出符合条
件的三角形共有 个．
【解答】解：（1）如图①所示，线段MN即为所求（答案不唯一）；
（2）如图②所示，△DEF即为所求（答案不唯一），符合条件的三角形共有4个，
故答案为：4．
【方法四】 仿真实战法
考法1.轴对称图形的识别
1．（2023•益阳）如图所示正方体的展开图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义分别判断可得出结果．
【解答】解：由轴对称图形定义可知D选项中的图形是轴对称图形，
故选：D．
【点评】此题主要是考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那
么这样的图形就叫做轴对称图形．
2．（2023•衡阳）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对
称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
考法2.线段垂直平分线的性质
3．（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是
．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BD＝CD，即可求解．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线．
∴BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝AD+BD，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC＝5+8＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
4．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若
AB＝4，则DC的长是 ．
【分析】根据等腰三角形的判定定理求出AD，再根据线段垂直平分线的性质求出DC．
【解答】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4，
∴AD＝AB＝4，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DC＝AD＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，掌握线段的垂直平分线上的点到
线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于
点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定
理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考开学考试）如图，在 中， 的垂直平分线分别交 、
于点 、 ，连接 ．若 4， 的周长为24，则 的周长为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【分析】根据垂直平分线的性质可得 ，根据已知条件得出 ，进而即可求解．
【详解】解：∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ 的周长为24，则
∴
∴ 的周长为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
2．（2023春·河北沧州·八年级校考阶段练习）两名同学用棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋落子，黑棋
落子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，棋子的位置用数对表示，如点 在 ．则下
列落子方法不正确的是（ ）A．黑 ；白 B．黑 ；白
C．黑 ；白 D．黑 ；白
【答案】D
【分析】分别根据选项所说的黑、白棋子放入图形，再由轴对称的定义进行判断即可得出答案．
【详解】解：A. 黑 ；白 ，如图所示，能构成轴对称图形，故该选项正确，不符合题意；
B. 黑 ；白 ，如图所示，能构成轴对称图形，故该选项正确，不符合题意；C. 黑 ；白 ，如图所示，能构成轴对称图形，故该选项正确，不符合题意；
D. 黑 ；白
如图所示，不能构成轴对称图形，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了轴对称图形的定义，属于基础题，注意将选项各棋子的位置放入，检验是否为轴对称
图形，有一定难度，注意细心判断．
3．（2023秋·八年级课时练习）如图，将长方形 沿 翻折，使点D落在 边上的点F处，
，那么 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由由翻折可知， ，推出 ， ．据此求解即可．
【详解】解：方法一 ∵四边形 是长方形，
∴ ．
由翻折可知， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ；
方法二 ∵四边形 是长方形，
∴ ， ，
∴ ．
由翻折可知， ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），解题关键在于利用折叠的性质进行解答．
4．（2023秋·浙江宁波·八年级校考阶段练习）如图， 中， ， 的垂直平分线交 于
点 ，交 于点 ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 若以 ， ， 为边的三角形的
面积为 ，则 的面积可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接 、 ，根据线段垂直平分线的性质得到 ， ，根据三角形的三边关系得
到 ，根据三角形的面积公式判断即可．
【详解】解：如图所示，连接 、 ，
∵ 是 的垂直平分线， 是 的垂直平分线，
， ，
∵以 ， ， 为边的三角形的面积为 ，
∴ 的面积为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的面积计算，掌握线段的垂直平分线上的点到线段
的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）如图， 是边 上一点，把 沿 折叠，点 恰好落在
边 所在的直线上，下列关于线段 的说法正确的是（ ）A． 的一条角平分线 B． 的一条中线
C． 的一条高 D．既是 的中线又是角平分线
【答案】A
【分析】由折叠的性质可得 ，即可说明线段 是 的角平分线．
【详解】解：由折叠的性质可得， ，
∴线段 是 的角平分线．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质和角平分线的定义，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
6．（2023春·贵州贵阳·八年级校考期中）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳
子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三
角形的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．
三边的垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】根据到线段两端的距离的点在线段的垂直平分线上，即可求解．
【详解】解：根据题意得：凳子的位置到3名同学的距离相等，
∴凳子应放置的最适当的位置是在 的三边垂直平分线的交点，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握到线段两端的距离的点在线段的垂直平分线上
是解题的关键．
7．（2023秋·八年级课时练习）如图A．B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定三个小区之间修建一
个超市，使它到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A． 、 的两条高线的交点处 B． ． 两内角平分线的交点处
C． 、 两边中线的交点处 D． 、 两条边垂直平分线的交点处
【答案】D
【分析】连接 、 、 ，根据 得出O在 的垂直平分线上，根据 ，得出O在
的垂直平分线上，即可得出选项．
【详解】解：如图， 、 两条边垂直平分线的交点O，则点O为超市的位置，连接 、 、 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴超市到三个小区的距离相等.
故选：D．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，注意线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
8．（2023秋·浙江·八年级专题练习）下列作图属于尺规作图的是（ ）
A．用量角器画出 ，使
B．借助没有刻度的直尺和圆规作 ，使
C．用三角尺画
D．用三角尺过点P作 的垂线
【答案】B
【分析】根据尺规作图的有关操作步骤求解．
【详解】解：尺规作图是指：只利用没有刻度的直尺和圆规进行作图，
故选：B
【点睛】本题考查了尺规作图的有关操作步骤，理解尺规作图的有关操作步骤是解题的关键．
9．（2023秋·四川达州·八年级校考开学考试）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，根据轴对称图形
的定义进行解答即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
10．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）如图，将四边形纸片 沿 折叠，
使点 落在四边形 外点 的位置，点 落在四边形 内点 的位置，若 ，
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】延长 交 于点E，利用四边形的内角和定理得到： ，利用四边形的
内角和定理，折叠的性质，三角形的内角和定理，等量代换的性质求得 的值，即可求解．
【详解】解：延长 交 于点E，设 交 于点F，如图，
∵四边形的内角和为 ，
∴ ， ，
∴ ．
由折叠的性质可得： ．∵ ，
∴ ．
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握四边形的内角和
为360度和折叠的性质是解题的关键．
二、填空题
11．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，在 中， 的垂直平分线与 的垂直平分线的交点
恰好在 上，且 ，则 的长为【答案】
【分析】根据垂直平分线的性质可得 ，问题随之得解．
【详解】解：∵ 的垂直平分线与 的垂直平分线的交点 恰好在 上，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解答本题的关键．
12．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在 中， 的垂直平分线分
别交 于点 的垂直平分线分别交 于点 ，则 的周长为 ．
【答案】11
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 ，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∵ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ 的周长 ，
故答案为：11．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离
相等．
13．（2023秋·浙江金华·八年级校考开学考试）如图，直线 ， 、 分别为直线 、 上一点，且满足 ， 是射线 上的一个动点（不包括端点 ，将三角形 沿 折叠，使顶
点 落在点 处．若 ，则 的度数为
【答案】 或
【分析】分两种情况：①点 在 与 之间；②点 在 下方，结合折叠性质可得 ，由
平行线的性质可求得 ，结合 ， ，从而可求
解．
【详解】解：①当点 在 与 之间，
由折叠可得： ，
，
，
，
，
， ， ，
，
解得： ；
②当点 在 下方时，如图，
由折叠可得： ，
，
，，
，
， ， ，
，
解得： ；
综上所述： 的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
14．（2023秋·八年级课时练习）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点E，交 于点D，
且 ， 的周长等于 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】由 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，可得 ，又由 的周长等于
，可得 ，继而求得答案．
【详解】解： 是 的垂直平分线，
，
， 的周长等于 ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，注意转化思想的应用．
15．（2023秋·八年级课时练习）如图，点P是 内一点，点Q，R分别是点P关于 ， 的对称
点， 与 交于点M，与 交于点N．若已知 的周长为8cm，则 ．【答案】8cm
【分析】根据轴对称的性质可得 ， ，然后得出 的周长就为 ．
【详解】解： 点 ， 分别是点 关于射线 ， 的对称点，
， ，
的周长 ，
的周长为 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线
段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
16．（2023秋·四川达州·八年级校考开学考试）如图， 中， 的垂直平分线 与 相交于点 ，
若 的周长为 ，则 ．
【答案】
【分析】根据中垂线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,可得 ,继而可确定
的周长．
【详解】∵ 垂直平分 ,
∴ ,
∵ 的周长为 ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点距离相等，是解题的关键．
17．（2023秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ，点D，E分别是 上
一点，将 沿 折叠，使点A落在点F处，已知 ，求 的度数．
【答案】
【分析】由折叠可知： ，由三角形的内角和定理可求 ，即可求得 ，
再利用三角形的内角和定理可求 ，进而可求解．
【详解】解：由折叠可知： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理；根据折叠得到角相等是解题的关键．
18．（2023秋·河南周口·八年级校联考期末）如图所示的长方形 中，依据尺规作图的痕迹，计算
．【答案】 /57度
【分析】根据平行线性质、线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理解决问题即可.
【详解】∵四边形 是长方形,
∴ ,
∴
如图， 由作图可知， 垂直平分线段 ， 平分 ,
∴ , ，
∴ ,
故答案为： .
【点睛】本题考查了作图-基本作图，平行线的性质、线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形
内角和定理等知识，得到 垂直平分线段 ， 平分 是解题的关键.
三、解答题
19．（2023春·陕西西安·八年级校考期中）如图，已知 ，请用尺规作图的方法在 上求作一点P，
使得点P到A的距离最短．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析【分析】根据垂线段最短，只须过点A作 于点P，则点P即为所求．
【详解】如图，根据垂线段最短，只须过点A作 于点P，
则点P即为所求．
【点睛】本题考查了垂线段最短，垂线的尺规作图，熟练掌握尺规作图是解题的关键．
20．（2023秋·河南南阳·八年级校考开学考试）如图，把一张长方形纸片 沿 折叠，若
，求 的度数．
【答案】
【分析】先根据平行线的性质得出 ，再由图形翻折变换的性质得出 ，进一
步计算可得出结论．
【详解】解： 四边形纸片 是矩形纸片，
∴ ．
，
又 ，
，
由折叠的性质得， ，
．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，图形翻折变换的性质及矩形的性质，解题的关键是掌握折叠是一种
对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变．
21．（2023春·江西九江·八年级校考期中）如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，
交 于点 ．已知 的周长为10， ，求 与 的长．【答案】 ，
【分析】根据题意可知 ，然后根据 ，可得出 的长度，即可获得答案．
【详解】解：∵ 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，
∴ ，
∵ 的周长为10，即 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质．
22．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在 中，点E是 边上的一点，连接 ， 垂直平
分 ，垂足为F，交 于点D．连接 ．
(1)若 的周长为19， 的周长为7，求 的长．
(2)若 ， ，求∠CDE的度数．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到 ，根据三角形的周长公式计算，得到答
案；
（2）根据三角形内角和定理求出 ，证明 ，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质计算即可．
【详解】（1）解：∵ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∵ 的周长为19， 的周长为7，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定和性质，掌握线段垂直平分线上的点到
线段两端点的距离相等是解题的关键．
23．（2023春·湖南郴州·八年级统考开学考试）如图，在 中， 为 的平分线， 于
点E， 于点F．
(1)求证： 是 的垂直平分线；
(2)若 的面积是 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质得出 ，说明点D在 的垂直平分线上，证明，得出 ，说明点A在 的垂直平分线上，即可证明结论；
（2）根据 ， ，得出 求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵ 为 的平分线， ， ，
∴ ，
∴点D在 的垂直平分线上，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点A在 的垂直平分线上，
∴ 是 的垂直平分线；
（2）解：∵ ，
∴
，
即 ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，三角形全等的判定和性质，三角形面积的
计算，解题的关键是熟练掌握垂线平分线的判定和角平分线上的点到角的两边距离相等．
24．（2023秋·八年级课时练习）如图， 是 的平分线， 的垂直平分线交 于点F，交
于点G，交 的延长线于点E．求证：(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由 的垂直平分线交 的延长线于点E，可得 ，进而可证 ；
（2）由 是 的平分线，可得 ，由 的垂直平分线交 于点F，可得 ，
即 ， ，进而可证 ；
（3）由题意知， ， ，由 ， ，
可得 ．
【详解】（1）证明：∵ 的垂直平分线交 的延长线于点E，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ 的垂直平分线交 于点F，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）证明：由题意知， ， ，
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，角平分线，等边对等角，平行线的判定，三角形外角的性质．解题
的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
25．（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）如图，在 中， 垂直平分 ， 平分 ，
，交 的延长线于点 ．(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ， 与 的周长之差为8cm，且 的面积为 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2) 的面积为
【分析】（1）由角平分线的定义可得 ，由线段垂直平分线的性质可得 ，从而得
到 ，由三角形外角的性质可求出 ，最后由三角形内角和定理进行计算即
可；
（2）由线段垂直平分线的性质可得 ， ，由 与 的周长之差为8cm计算可得
，由角平分线的性质可得 ，由三角形的面积可求得 ，最后由
三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵ 平分 ，
∴ ．
垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： 垂直平分 ，
∴ ， ，
∵ 与 的周长之差为8cm，
∴ ，∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ， 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ，
答： 的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的定义与性质、三角形内
角和定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
26．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ， 分别垂直平分边 和边 ，交边
于 ， 两点， 与 相交于点 ．
(1)若 ，则 的周长为 ______；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到 ， ，再根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据三角形内角和定理求出 ，根据对顶角相等求出 ，根据等腰三角
形的性质即可得到答案.
【详解】（1）∵ ， 分别垂直平分边 和边 ，
∴ ， ，
∴ 的周长 ，
∴ 的周长 ，
故答案为： ；（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】此题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相
等是解题的关键．
