文档内容
专题 09 等腰三角形（5 个知识点 6 种题型 3 个易错点 5 种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.等腰三角形的性质（重点）
知识点2.等腰三角形的判定（重点）
知识点3.等边三角形及其性质（重点）
知识点4.等边三角形的判定（重点）
知识点5.含30°角的直角三角形的性质（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.等腰三角形中的分类讨论问题
题型2.等腰三角形的判定及性质的综合应用
题型3.等腰三角形的实际应用
题型4.含30°角直角三角形的性质的应用
题型5.等边三角形的性质和判定的综合应用
题型6.有关等边三角形的探究性问题
【方法三】差异对比法
易错点1.利用等腰三角形的性质解题时考虑问题不全面
易错点2.忽略分类讨论致错
易错点3.误用等腰三角形“三线合一”的性质
【方法四】 仿真实战法
考法1.等腰三角形的性质
考法2.等腰三角形与线段垂直平分线的综合
考法3.含30°角的直角三角形的性质
考法4.等腰三角形的判定
考法5.等边三角形性质【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念。
2. 掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理和判定定理。
3. 掌握有一个角是30°的直角三角形的性质。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.等腰三角形的性质（重点）
1.等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角
叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，
∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于 45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为
钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
2.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
3.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
4.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对
称轴．
【例1】（2022•江口县三模）已知一个等腰三角形的两边长分别为3cm、7cm，则该三角形的周长是（
）
A．13cm B．13cm或17cm C．17cm D．16cm
【变式】（2022春•五华县期末）若等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成了 15cm和18cm两部分，则
它的腰长为 cm．
知识点2.等腰三角形的判定（重点）
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为
边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【例2】（2021秋•鼓楼区校级期末）如图在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交
边AC于点D．
求证：△BCD为等腰三角形．知识点3.等边三角形及其性质（重点）
1.等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
2.等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
【例3】（2022•博山区一模）如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，则∠BOC的度数是（ ）
A．135° B．125° C．120° D．110°
知识点4.等边三角形的判定（重点）
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【例4】（2021秋•沐川县期末）如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．
知识点5.含30°角的直角三角形的性质（重点）
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常
用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三
角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
【例5】（2022春•神木市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，
∠DBC＝60°，BC＝4，则AD长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式】（2022•碑林区校级四模）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点
F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为（ ）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【方法二】实例探索法
题型1.等腰三角形中的分类讨论问题
1、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．
2、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．
题型2.等腰三角形的判定及性质的综合应用
3.已知：如图， 中， ，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF并延长交AC于点E，
．
求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．
A
E
F
B D C
4.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E，EH⊥AB，垂足
是H．在AB上取一点M，使BM=2DE，连接ME．求证：ME⊥BC．5.如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．
求证：AC＝BF．
题型3.等腰三角形的实际应用
6．（2022春•本溪期末）如图，一艘船从A处出发向正北航行50海里到达B处，分别从A，B望灯塔C，
测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离是 海里．7．（2022秋·湖南娄底·八年级统考阶段练习）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度
向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得 ， ．
(1)求海岛B到灯塔C的距离；
(2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问小船航行到什么位置时，小船与灯塔C的距离最短？
请作出图示并请说明理由．
题型4.含30°角直角三角形的性质的应用
8．（2023秋·八年级课时练习）如图所示，已知 ，P是射线 上一动点， ．(1)当 是等边三角形时，求 的长；
(2)当 是直角三角形时，求 的长．
9．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，在等边 中，点D、E分别为 、 边上
的点， ．连接 、 相交于点F．
(1)求证：
(2)过A作 于点H，当 ， ， 时，求线段 的长度．
10．（2021秋·陕西渭南·八年级校考期中）如图，在等边 中，点 是 边上的中点，点 在 边
上，且 ，求证： ．11．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，在Rt 中， 平分 交
于点
(1)求证：点 在 的垂直平分线上；
(2)若 ，求 的长．
题型5.等边三角形的性质和判定的综合应用12.等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋
转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.
ABC DCE
13．已知：如图，B、C、E三点共线， ， 都是等边三角形，连结AE、BD分别交CD、AC于
N、
M，连结MN.
求证：AE＝BD，MN∥BE.
题型6.有关等边三角形的探究性问题14.如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．
15．（2023春·广东佛山·八年级佛山六中校考阶段练习）（1）问题发现：如图1， 和 均为
等边三角形，点 ， ， 在同一直线上，连接 ．
填空：
① 的度数为__________；
②线段 ， 之间的数量关系为__________．
（2）拓展探究：如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，点 ， ， 在
同一直线上， 为 中 边上的高，连接 ，请判断 的度数并证明： ．
16．（2023秋·河南周口·八年级校考期末）如图1，已知 是边长为5的等边三角形，以 为底边作
一个顶角为 的等腰三角形 ．点M，N分别是 边与 边上的点，并且满足 ．(1)尝试探究：要想证明 为 的平分线，小诚做了如下思考，如图2，延长 至点F，使 ，
连接 ，通过证明 ______，得到 ，进而证得 ______，得证 为 的
平分线；
(2)类比延伸：在（1）的思路下求 的周长；
(3)拓展迁移：当点D在 内部时，其他条件不变，直接写出 的周长．
17．（2022秋·湖南怀化·八年级统考期末）问题发现：
如图①，△ABC与△ADE是等边三角形，且点B、D，E在同一直线上，连接CE，求 的度数，并确
定线段BD与CE的数量关系．拓展探究：
如图②，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形， ，且点B，D，E在同一直线上，
于F，连接CE，求 的度数，并确定线段AF，BF，CE之间的数量关系．
18．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）（1）【问题发现】 如图1， 和 都是等边三角形，
点D在边 上，连接 ． 则 的度数为______；
（2）【拓展探究】如图2， 和 都是等腰直角三角形， ，点D在边 上，
连接 ．则 的度数为______；（3）【迁移运用】如图3，在四边形 中， ， ， ， ，求
的值．
【方法三】差异对比法
易错点1.利用等腰三角形的性质解题时考虑问题不全面
19、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不
写做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎
样的数量关系时才能完成以上作图？（1）如图①△ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°；猜想：
（2）如图②△ABC中，∠C＝84°，∠A＝24°；猜想：
20.直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC
上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，
探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，
并画出符合条件的折叠后的图形．
易错点2.忽略分类讨论致错
21、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
22.已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．易错点3.误用等腰三角形“三线合一”的性质
23.在等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数最多有（重合的算一条）（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
24．（2023秋·八年级课时练习）如图，在 中， ， ，点D是底边 的中点，
，求 的度数．
【方法四】 仿真实战法
考法1.等腰三角形的性质
1．（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．70° B．45° C．35° D．50°
2．（2023•内蒙古）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝
CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（ ）A．32° B．58° C．74° D．75°
3．（2023•河北）在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝
n°，则∠C′＝（ ）
A．30° B．n°
C．n°或180°﹣n° D．30°或150°
考法2.等腰三角形与线段垂直平分线的综合
4．（2021•广州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于
点D、E，连接BD．若CD＝1，则AD的长为 ．
考法3.含30°角的直角三角形的性质
5．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有
许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为 120°，腰长为12m，则底
边上的高是（ ）
A．4m B．6m C．10m D．12m
考法4.等腰三角形的判定
6．（2023•菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2+ +|c﹣3 |＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
7．（2021•淄博）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．考法5.等边三角形性质
8．（2023•滨州）已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP
为边的三角形中，最小内角的大小为（ ）
A．14° B．16° C．24° D．26°
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023秋·八年级课时练习）在等腰三角形 中， ，其周长为 ，则 边的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·浙江宁波·八年级校考阶段练习） 中， ， 为 上的高，且 为等腰
三角形，则 等于（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
3．（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）已知等腰三角形的一边长为 ，另一边长为 ，则它的
周长为（ ）
A． B． C． D． 或
4．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， 和 分别
是 和 的平分线，且相交于点P．在图中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为
（ ）A．9个 B．8个 C．7个 D．6个
5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，已知 平分 ，
，若 ，则 等于（ ）
A．3 B．4 C．1.5 D．2
6．（2023秋·八年级课时练习）如图， 是 斜边 上的高， ，将 沿 折
叠，点B恰好落在 的中点E处， ，则 等于（ ）
A．25° B．30° C．45° D．60°
7．（2023秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）等腰三角形的一边为4，一边为3，则此三角形的周长是（
）
A．10 B．11 C．6 或8 D．10 或11
8．（2023秋·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考开学考试）如图， 是边长为2的等边三角形，
点D、E分别在边 、 上，将 沿直线 折叠，使点B落在点 处， 、 分别交边
于点F、G．则阴影部分图形的周长等于（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2023秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，点 在 上，
， 则 等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
10．（2023秋·河南周口·八年级校考期末）如图，在 中， ， 为 上的一点，
，在 的右侧作 ，使得 ， ，连接 ， 交 于点
，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023春·湖南永州·八年级校考期中）在 中， ， ， 垂直平分 ，垂足为
点 ，交 边于点 ， ，则 的长为 cm．12．（2023秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知一个等腰三角形的一边是8，另一边是6，则这个等腰
三角形的周长是 ．
13．（2023秋·河南濮阳·八年级校考期末）如图，在 中， ， 是 的中点， ，
则 度．
14．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）如图， 是四边形 的对角线，
，若 ，则点 到边 的距离为 ．
15．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）如图，在 中， ，
， 平分 ，则 ．
16．（2023秋·八年级课时练习）如图， 是等腰直角三角形， 是其底边 上的高，点E是
上的一点，以 为边向上作等边三角形 ，连接 ，则 的度数为 ．17．（2023秋·江苏·八年级专题练习）等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为12和18两部分，则
腰长为 ．
18．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图， 与 是等边三角形，连接 、 ，有以下结论：
（ ） ；（ ） ；（ ） ；（ ） ；（ ）无论如何改变
的度数， 与 始终全等．其中正确结论的序号为 ．
三、解答题
19．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图， ，E是 上的一点，且 ，
．求证： 是直角三角形．20．（2023春·河南焦作·八年级焦作市实验中学校考期中）如图，在 中， 平分 ， 平分
，过点 作直线 ，交 、 于点 、 ，若 ， ，则 的周长等于
多少？
21．（2023秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知：在 中， ， ，点D边
上运动，以 为边作 且 ， 与 交于点G，连结 ．
(1)当 时，求 的度数；
(2)当 且 时，求 的值．22．（2023秋·福建厦门·八年级校考期末）如图， 是等腰三角形， 是边 上的中线．
(1)尺规作图：在边 上求作点 ，使得 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证： 是等腰三角形．
23．（2023春·江苏南通·八年级校考开学考试）已知：在 中， ， ，点D边
上运动，以 为边作 且 ， 与 交于点G，连结 ．
(1)当 时，求 的度数；
(2)当 且 时，求 的值．24．（2023春·安徽池州·八年级统考开学考试）如图，点 在等边三角形 的边 上，点 在 的
延长线上， ，交 于点 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
25．（2023春·江苏南通·八年级校考开学考试）在 中， ，点D是射线 上的一动点（不与
点B、C重合），以 为一边在 的右侧作 ，使 ， ，连接 ．
(1)如图1，当点D在线段 上，且 时，那么 ______度；
(2)设 ， ．
①如图2，当点D在线段 上， 时，请你探究 与 之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段 的延长线上， 时，请将图3补充完整，并直接写出此时 与 之
间的数量关系．26．（2023秋·八年级课时练习）已知 与 为等腰直角三角形， ，连接
．
(1)如图（1），若 ， ，求 的度数；
(2)如图（2），若A，D，E三点共线， 与 交于点F， 为 中 边上的高．
①求 的度数，并说明线段 之间的数量关系；
②若 ， ，求 的面积．
