文档内容
拔高点突破 04 多元函数最值与双重变量最值问题
目录
01方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：消元法....................................................................................................................................2
题型二：判别式法................................................................................................................................4
题型三：基本不等式法........................................................................................................................5
题型四：辅助角公式法........................................................................................................................6
题型五：柯西不等式法........................................................................................................................8
题型六：权方和不等式法....................................................................................................................9
题型七：拉格朗日乘数法..................................................................................................................11
题型八：三角换元法..........................................................................................................................12
题型九：构造齐次式..........................................................................................................................13
题型十：数形结合法..........................................................................................................................15
题型十一：向量法..............................................................................................................................18
题型十二：琴生不等式法..................................................................................................................21
题型题型十三：双重变量最值问题..................................................................................................23
03 过关测试........................................................................................................................................26解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、
齐次式等解题技能．
题型一：消元法
【典例1-1】已知正实数x，y满足 ，则 的最大值为______.
【答案】 /
【解析】由 得 ，所以 ，则 ，
因为 ， ， ，所以 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以由 ，即 ，得 ，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 的最大值为 ．
故答案为： ．
【典例1-2】已知实数 满足： ，则 的最大值为___________.【答案】
【解析】由已知得， ，
令 ，则 ，
在 上单调递增，
又因为 ，
所以
，
，
令
所以 ，
则当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
所以 .
故答案为： .
【变式1-1】对任给实数 ,不等式 恒成立,则实数 的最大值为__________.
【答案】
【解析】因为对任给实数 ,不等式 恒成立，
所以 ，
令 ，则 ，
，
当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减，
所以当 时， 取得最小值， ，所以实数 的最大值为
故答案为：
题型二：判别式法
【典例2-1】（2024·广东茂名·二模）已知实数a，b满足 ，则 的最小值是 .
【答案】
【解析】因为实数a，b满足 ，
所以 ，且 .
令 ，则 ，所以 ，
代入 ，则有 ，
所以关于b的一元二次方程 有正根，
只需 ，解得： .
此时，关于b的一元二次方程 的两根 ，所以两根同号，只需 ，
解得 .
综上所述： .
即 的最小值是 （此时 ，解得： ）.
故答案为： .
【典例2-2】已知 ，且 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为 ，所以 .
又因为 ，
所以 ，解得 .
故答案为： .
【变式2-1】（2024·浙江·二模）设 ， ，若 ，且 的最大值是 ，则
.
【答案】4【解析】令 =d，由 消去a得： ，即 ，
而 ， ，则 ， ， ，
依题意 ，解得 .
故答案为：4
【变式2-2】设非零实数a，b满足 ，若函数 存在最大值M和最小值m，则
.
【答案】2
【解析】化简得到 ，根据 和 得到 ，解得答案. ，
则 ，则 ，
即 ， ，故 ，
，即 ，即 ，
.
故答案为：2.
题型三：基本不等式法
【典例3-1】已知 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】 ， ，
，当且仅当 时等号成立.
， 的最小值为 .
故答案为：
【典例3-2】已知正实数 ， ， 满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】10【解析】解析：易知恒等式 ，而
，
当且仅当 ， 时，等号成立．
故答案为：10.
【变式3-1】已知 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】 ，当且仅当 时取到等号．
故答案为： .
【变式3-2】（2024·河南郑州·模拟预测）已知 ， ， ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】因为 ，
所以
，
当且仅当 即 时等号成立，
所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
题型四：辅助角公式法
【典例4-1】设 是一个三角形的三个内角，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】
，令 ，
所以 ，
要想 有最小值，显然 为钝角，即 ，
于是有 ，
设 ，
因为 ，
所以
令 ，即 ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
因此当 时，函数 有最大值 ，
所以 的最小值为 ，
此时 ， ，
即存在 ，显然存在 ，使得 ，
即 的最小值为 ，
故答案为：
【典例4-2】曲线 上的点到坐标原点的距离的最小值等于 ．
【答案】
【解析】由已知，设 ， ，则 ，
,
∴ ，∴ .故答案为： .
【变式4-1】已知 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】设 ， ，则 ，而 ，显然 ，
因此
，其中锐角 由 确定，
函数 ，当 时， ，当 时， ，
因此 ，即有 ，
所以 的最小值为 .
故答案为：
题型五：柯西不等式法
【典例5-1】实数x、y满足 ，则 的最大值是
【答案】42
【解析】注意 ， ， ，这三者相加即得 .
当 ， 时等号成立，所以 的最大值是42.
也可以直接用柯西（Cauchy）不等式 ，得到最大值
为42.
故答案为42
【典例5-2】函数 的最大值与最小值之积为 ．
【答案】
【解析】函数 的定义域为 ，
一方面， ，
等号当 时取得；另一方面， ，
当且仅当 时等号成立，
于是最大值为 ，最小值为 ，所求乘积为 ．
故答案为： .
【变式5-1】已知 则 的最大值为
【答案】
【解析】由柯西不等式，
则 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
【变式5-2】已知 ， ， ，则 的最大值是 .
【答案】2
【解析】由柯西不等式得
所以 ，当 , 即 时等号成立.
所以 ，即 的最大值是2
题型六：权方和不等式法
【典例6-1】已知 为锐角，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】
当且仅当 即 ， 时取“ ”.
故答案为：
【典例6-2】求 的最大值为【答案】
【解析】
当且仅当 ，即 或 时取等号
故答案为： .
【变式6-1】已知 ，求 的最小值为
【答案】
【解析】
当且仅当 时取等号
故答案为：60
【变式6-2】（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初
命名的．其具体内容为：设 ，则
，当且仅当 时，等号成立．根
据权方和不等式，若 ，当 取得最小值时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得， ，
则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 ．
故选：C．题型七：拉格朗日乘数法
【典例7-1】 ， ， ，求 的最小值．
【解析】令
， ， ，
联立解得 ， ， ，故 最小为12．
【典例7-2】设 为实数，若 ，则 的最大值是 ．
【答案】
【解析】令 ，
由 ，解得 ，
所以 的最大值是 ．
【变式7-1】已知 为非负数, ,求 的最值.
【解析】设 ,
当 时, 取最值且 .
又 为非负数,且
故 或 为 可能取最值处，则 .
综上可知 .题型八：三角换元法
【典例8-1】函数 的值域为 .
【答案】
【解析】令 ，由 得 ，
则 ， ，
所以 .
故答案为： .
【典例8-2】函数 的值域是 ．
【答案】
【解析】 ，
令 ，则 ，
由此， ，当 时两边分别取得等号．
故答案为： .
【变式8-1】函数 的值域是区间 ．
【答案】
【解析】显然函数定义域为 ，在此区间内 ，
由于 ，即 ，
故有角 使得 ， ．
于是 ，
因为 ，则 ．在此范围内 ，则有 ．
因此 ．（当 时， ；当 时， ）
故答案为
【变式8-2】若 ，且 ，则二元函数 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】配方得
令 ， ，则 ，
从而， ，其中，
由此易知 的值域为 .选A.
题型九：构造齐次式
【典例9-1】已知 ， ，则 的最大值是______.
【答案】
【解析】由题意，
，设 ，则 ，当且仅当 ，即 取等号，
又由 在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，即 ，
所以 ，
所以 的最大值是 .
故答案为： .
【典例9-2】已知实数 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A．12 B． C． D．8
【答案】A
【解析】由 ， ， ，
所以
，
当且仅当 时，取等号，
所以 的最小值为：12，
故选：A.
【变式9-1】（2024·天津南开·高三统考期中）已知正实数a，b，c满足 ，则 的最大
值为____________．
【答案】 /0.25【解析】由 ，得 ，
∵正实数a，b，c
∴则
则 ，
当且仅当 ，且a，b>0，即a=3b时，等号成立
则
所以， 的最大值为 .
故答案为： .
题型十：数形结合法
【典例10-1】 的最小值为（ ）
A．5 B． C．6 D．
【答案】C
【解析】设 ，则 ，则曲线 为抛物线 的右半部分．抛物线 的焦
点为 ，设点 到准线l： 的距离为d，点P为抛物线 的右半部分上一点，设P到
准线l： 的距离为 ，
则
．
故选：C
【典例10-2】（2024·高三·山西太原·期末）已知函数 的最大值为 ，最小值为 ，则
的值为A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 解得 为函数的定义域.令 ，消去 得
，图像为椭圆的一部分，如下图所示. ，即直线 ，由图可知，截
距 在点 处取得最小值，在与椭圆相切的点 处取得最大值.而 ，故最小值为
.联立 ，消去 得 ，其判别式为零，即
，解得 （负根舍去），即 ，故 .
【变式10-1】（2024·湖北·模拟预测）设 ，其中 ，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】令 ， ，则点 在函数 图象上， 在函数 的图象上，
容易知道 图象是抛物线 图象的上半部分，
记抛物线焦点为 ，过 作抛物线的准线 的垂线，垂足为 ，如图所示：
则 ，
当且仅当 在线段 上时，取最小值.
设这时 点坐标为 ，又 ，
所以有 ，解得 ，即该点为 ，
所以 ，因此 .
故选：A.
【变式10-2】已知点 在直线 ，点 在直线 上，且 ，
的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】D
【解析】由已知 表示点 到点 的距离，
表示点 到点 的距离，
所以 ，
过点 作 ，垂足为 ，
因为直线 的方程为 ， ，
所以 ，又直线 与直线 平行， ，
所以 ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
所以 ，
又 ，当且仅当 三点共线时等号成立，
所以当点 为线段 与直线 的交点时，
取最小值，最小值为 ，
因为过点 与直线 垂直的直线的方程为 ，
联立 ，可得 ，
所以点 的坐标为 ，所以 ，
所以 的最小值为 ，
故选：D.
题型十一：向量法
【典例11-1】（2024·上海金山·二模）已知平面向量 、 、 满足： ， ，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】因 ，由 可得 ，
即 在 方向上的投影数量等于 在 方向上的投影数量，且等于 ，
又由 可得 ，不妨设 ，
则 ， ，于是 ，因 ，则 ，因 ，当且仅当 时，等号成立，
即当 时， 取得最小值 .
故答案为： .
【典例11-2】如图，圆 是 的外接圆， ， ， ，若 ，则
的最大值是 ．
【答案】
【解析】如图，分别取 的中点 ，连接 ，
则 ，
故 ，
，
又 ，
，
所以 ，解得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最大值是 .故答案为： .
【变式11-1】（2024·浙江杭州·二模）已知 都是单位向量，且 ，则 的最小
值为 ；最大值为
【答案】
【解析】因为 都是单位向量，且 ，
设 ，
则
取当取 时，
即 ，
则有
， ，
此时有： ，
同理当 时，有， ，
此时有：
故 的最小值为 ；最大值为
故答案为： ；
【变式11-2】（2024·四川成都·二模）已知向量 ，向量 ，则 的最大值是
．
【答案】4
【解析】因为向量 ，向量 ，
所以 ，
则
，
所以当 时，即 时， 取最大值 ，
故答案为： .
题型十二：琴生不等式法
【典例12-1】在 内，求 的最大值 ．
【答案】 /
【解析】在 中， ，
设函数 ，则 在 上为凸函数，
由琴生不等式可得 ，
当且仅当 时取等号，所以 的最大值为 .
故答案为： .
【典例12-2】已知函数 ，则 的最小值是 .
【答案】
【解析】 定义域为R，
，
故 为奇函数，
又 ，
故 是周期函数，周期 ，
先考虑 ，函数 ， 在 上恒成立，
故 在 上是上凸函数，
由琴生不等式得
.
当且仅当 时， .
又因为 是奇函数，所以 .
故答案为：
【变式12-1】半径为 的球的内接三棱锥的体积 的最大值为 .
【答案】
【解析】设三棱锥为 ， 的外接圆半径为 ，则 ，
当且仅当 时，上式等号成立，
若球心 到平面 的距离为 ，则
，
当且仅当三棱锥 为正四面体时，上式等号成立.【变式12-2】半径为 的圆的内接三角形的面积的最大值是 ．
【答案】
【解析】设 的内接三角形为 ．
显然当 是锐角或直角三角形时，面积可以取最大值（因为若 是钝角三角形，可将钝角（不妨
设为 ）所对边以圆心为对称中心作中心对称成为 ）．
因此， ．
下面设 ， ， ， ．
则 ．
由讨论知可设 、 、 ，而 在 上是上凸函数．
则由琴生不等式知 ．
所以， ．
当且仅当 是正三角形时，上式等号成立．
故答案为
题型题型十三：双重变量最值问题
【典例13-1】规定 表示取 、 中的较大者，例如 ， ，则函数
的最小值为 .
【答案】
【解析】在同一直角坐标系中分别画出 与 的图象如图，
两个函数的图象有四个交点A，B，C，D．由图可知，B为函数 图象的最低点，联立方程组 ，解得 或 （舍去），
所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
【典例13-2】（2024·广东韶关·二模）定义 ，对于任意实数
，则 的值是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ，
得 ，
设 ，则 ，
令 ， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，即 ，
得 ，
所以 ，
得 ，即 .
故选：A
【变式13-1】设 ，则 .
【答案】 .
【解析】设 ，则 ，所以 .
设给定的正实数 ， ，
令 ，解得 ， ，所以 .
则 ，
当且仅当 ， 时等号均成立，
故 的最大值为 ,
故答案为： .
【变式13-2】（2024·全国·模拟预测）设 为实数 中最大的数．若， ，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】设 ，
则 ， ， ，
因为 ，当 时，只需考虑 ， ，
又因为 ， ，
两式相乘得 ，可得 ，当且仅当 时取等号，
当 时， ，只需考虑 ， ，
两式相乘得 ，
则 ，当且仅当 时取等号，
因为 ，故 ，综上所述， 的最小值为 ．
故答案为： .1．已知直线 与抛物线 相交于 ， 两点，若 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C．8 D．16
【答案】B
【解析】由题意可知，直线 的斜率不可能为0，设直线 的方程为 ，
由 ，消去 ，得
设 ，则 ，
所以 .
因为 ，
所以 ，解得 ，
当且仅当 即 时， 取的最小值为 ,
所以 的最小值为 .
故选：B.
2．函数 的值域为 .
【答案】
【解析】解法一： .
设 ，则 .
由 ，得 .
所以f(x)的值域为 .
解法二： .因为 时，f'(x)>0； 时，f'(x)<0.
所以f(x)在区间 上为增函数，在区间 上为减函数.
所以f(x)的值域为 .
故答案为： ．
3．函数 的值域为 ．
【答案】
【解析】因为 的定义域为 ，所以， ．
令 ，
则
．
因为 ，
所以， ．
4．已知正数 ， ， 满足 ，则 的最小值为
【答案】
【解析】因为正数 ， 满足 ，
所以 ，
当且仅当 即 时取等号.
故答案为： .
5．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知x，y，z均为正实数，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】因为x，y，z均为正实数，所以
，当且仅当 时，等号成立.
所以 的最大值为 .
故答案为： .
6．已知实数 ， ， 满足 ，则 的最大值为
【答案】
【解析】设 ，因为 ，
所以
，
令 ，解得 或 （舍去），
因此 ，即 ，当 且 时取等号，
故 的最大值为 .
故答案为：
7．（2024·贵州·三模）以 表示数集 中最大（小）的数.设 ，已知
，则 .
【答案】
【解析】由 ，得 ，
设 ，则 ，
由，
当且仅当 时，取等号，
所以 .
故答案为： .
8．已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】由 ，
得 ，
即 ，得 ，
， ，
， ， ，
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
此时 ，
的最小值为
故答案为：
9．向量 满足 ， ， ，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】因为 ， ，
所以 ，则 ，
则 ，所以 ，又因为 ，所以 ，
则可设 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
故又可设 的坐标为 ，
所以
，
因此 ，所以 最大值为 .
故答案为： .
10．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量 ，向量 与 不共线，且 ，则 的最大值
为 ．
【答案】2
【解析】法1：设 ， ，则 ，如图所示．
因为 ，所以在△ABC中， ， ，
由正弦定理，得 即 ，得 ，
当 时， ．
法2：设 ， ，则 ，作出△ABC的外接圆，如图所示．
因为 ，所以 ，因为 ，当AC为圆的直径，即 时， ．
故答案为：2
11．已知两个非零向量 满足 ，则 的最大值是 ．
【答案】
【解析】设 ，则 ．则：
.
当且仅当 ，即 时，等号成立．即最大值为 .
故答案为： .
12．设 为正数， ，则 的最大值是
【答案】
【解析】
当且仅当 时取等号
，即 的最大值是
故答案为：
13．函数 的最大值为 .
【答案】3
【解析】由题意，函数当且仅当 取等号，即 ，即 时取等号，
所以函数的最大值为3．
故答案为：3.
14．已知实数 满足： ，则 的最大值是
．
【答案】
【解析】设 ，
由 ，
可得点 在以 为圆心 为半径的圆 上，
，
所以 ，所以 ，
所以 两点重合，故 ，
则 ，
表示，点 到直线 的距离的 倍，
表示，点 到直线 的距离的 倍，
故
表示点 到直线 和 的距离之和的 倍，
设直线 和 的交点为 ，则 ，
设点 到直线 和 的距离分别为 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
当且仅当 时，取等号，
而 ，
所以 ，
此时 ， ，
所以 的最大值是 .故答案为： .
15．已知圆 是 上的两个动点，且 .设 ， ，则
的最大值为 .
【答案】
【解析】由题意得 ，半径为 ，
由垂径定理得 ⊥ ，则 ，解得 ，
故点 的轨迹为以 为圆心，半径为2的圆，
故点 的轨迹方程为
可看作点 到直线 的距离，
同理， 可看作点 到直线 的距离，
设线段 的中点为 ，
故 可看作点 到直线 的距离，
点 的轨迹方程为 ，
故点 到直线 的距离最大值为圆心到 的距离加上半径，
即 ，故 ，
所以 ，故最大值为 ，
故答案为：
16．已知实数x，y满足 ，则 的最大值和最小值分别为 和 ．
【答案】 ；
【解析】由题意，得 表示过点 和圆 上的动点 连线的斜率．当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．
设切线方程为 ，则 ，
故 ，解得 ，
所以 ， ．
故答案为： ； .
17．函数 的最小值为 .（其中 表示 中较大者）
【答案】1
【解析】令 ，
则 ，
所以 ，所以 ；
即函数 的最小值为1.
故答案为：1
18．（2024·湖北·一模）记 ， 分别表示函数 在 上的最大值和最小值．则
．
【答案】2
【解析】由 ，设 为变量，
，
令 ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，
最大值只可能在 或 或 处取得，
所以 的最大值为 ，
所以 ，
当 时，原式的最小值为2．
或者由 在 时的最大值只可能在 或
或 处取得，令 ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，结合图象可得原式的最小值为2．
故答案为：2.
19．记 表示x、y、z中的最小值.若x， ， ，则M的最大值为 .
【答案】
【解析】 ， ，
又 得 ，可得 ，即 ，
当 即 时等号成立
故答案为： .
20．已知将 中最小数记为 ，最大数记为 ，若
，则 ．
【答案】
【解析】设 ，则 ，
依题意 ，所以 ，又 ，
则 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为：
