文档内容
专题 15 分式的运算（6 个知识点 6 种题型 3 个易错点 5 个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.分式的乘除（重点）
知识点2分式的乘方（重点）
知识点3.分式的加减（重点）
知识点4.分式的混合运算（难点）
知识点5.整数指数幂
知识点6.科学记数法（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.分式运算的规律技巧
题型2.分式的化简求值
题型3.求分式为整数时字母的取值
题型4.分式运算的实际应用
题型5.负整数指数幂的应用
题型6.分式的探究创新题
【方法三】差异对比法
易错点1.忽视分数线的括号作用
易错点2.忽视运算的顺序
易错点3.最后结果不是最简形式
【方法四】 仿真实战法
考法1.分式的乘除
考法2.异分母分式的加减
考法3.分式的混合运算
考法4.科学记数法
考法5.零指数幂与负整数指数幂【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 掌握分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则，并能进行分式的混合运算。
2. 掌握负整数指数幂的意义，会进行简单的整数范围内的幂运算。
3. 通过分式的学习，能将分式的各种运算与分数的相应运算进行类比，体会“类比”的数学思想。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.分式的乘除（重点）
a c ac
（1）乘法运算 b d bd ，其中a、b、c、d 是整式，bd 0.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
a c a d ad
（2）除法运算 b d b c bc ，其中a、b、c、d 是整式，bcd 0.
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.【例1】（2023上·山东济宁·八年级统考期中）计算下列各题：
(1) ；
(2) ．
知识点2分式的乘方（重点）
乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方。
【例2】（2023上·河北邢台·八年级统考期中）计算 ．
知识点3.分式的加减（重点）
a b ab
加减运算 c c c ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
【例3】（2023上·山东泰安·八年级统考期中）如果 ，那么代数式 的值是
（ ）
A． B．2 C． D．
知识点4.分式的混合运算（难点）
分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.【例4】（2023上·山东淄博·八年级统考期中）（1）化简： ；
（2）先化简： ，再从 ，0，1中取一个你喜欢的数代入求值．
知识点5.整数指数幂
整数指数幂的概念
（1）正整数指数幂 ；
（2）负整数指数幂 ；
（3）零指数幂
【例5】（2023上·山东淄博·八年级统考期中）计算： ．
知识点6.科学记数法（难点）
小于 1 的正数可用科学计数法表示为 a 的形式，其中 n 为原数左起第一个不为 0 的数
字前面所有 0 的个数（包括小数点前的那个 0）， .
【例6】（2023上·八年级课时练习）将下列用科学记数法表示的数还原．
(1) ； (2) ．
【方法二】实例探索法
题型1.分式运算的规律技巧
1.（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：(1)计算：若n为正整数，猜想 ___________
(2)计算：
(3)利用上述方法，解决以下问题：如图，将形状大小完全相同的“〇”按照一定的规律（如图所示）摆放，
其中图①的“〇”的个数为a，图②中的“〇”的个数为a，图③中的“〇”的个数为a，…以此类推，
1 2 3
则 的值是 ___________（n为正整数）．
题型2.分式的化简求值
2.（2023上·广西北海·八年级统考期中）先化简，再求值： ，其中 ．
题型3.求分式为整数时字母的取值
3．（2018上·四川南充·八年级统考期末）当分式 的值为正整数时，自然数x的取值可能有（ ）．
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
题型4.分式运算的实际应用
4．（2023上·河北承德·八年级统考期中）数学来源于生活，生活离不开数学，开水中加入适量的糖冲泡成甜糖水很受一些人的喜爱，人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度．
(1)若在a克糖水里面含糖b克 ，则该糖水的甜度为______；
(2)现向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．请用所学的数学知识解释这一
现象．（提示：我们在判断两个数的大小时，常常会用到作差法，如 所以 ，同样如果
，就说明 ）
题型5.负整数指数幂的应用
5．在学习了负整数指数幂的知识后，小明和小军两同学做了一个数学游戏，小明出了题目：将
的结果化为只含有正整数指数幂的形式，其结果为 ，则“*”处的数是多少？聪明
的你替小军填上“*”处的数是 ．
题型6.分式的探究创新题
6．阅读理解：
类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；
类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似
地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式.
拓展定义：
对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式，
如： ；
.
理解定义：
（1）下列分式中，属于真分式的是：____属于假分式的是：_____（填序号）
① ；② ；③ ；④ .
拓展应用：（2）将分式 化成整式与真分式的和的形式；
（3）将假分式 化成整式与真分式的和的形式．
【方法三】差异对比法
易错点1.忽视分数线的括号作用
1．计算： ．
易错点2.忽视运算的顺序
2．（2023上·广西来宾·八年级校考阶段练习）计算 ．
易错点3.最后结果不是最简形式
3.（2023·全国·八年级专题练习）计算： = ．【方法四】 仿真实战法
考法1.分式的乘除
1．化简： .
考法2.异分母分式的加减
2．（2023·福建·统考中考真题）已知 ，且 ，则 的值为 ．
考法3.分式的混合运算
3．（2023·四川甘孜·统考中考真题）化简： ．
考法4.科学记数法
4．（2023上·湖南怀化·八年级统考期中）计算：
(1)
(2)【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023上·河北唐山·八年级统考期中）有如下计算过程：
第（1）步
第（2）步
第（3）步
其中出现错误的步骤是（ ）
A．第（1）步 B．第（2）步 C．第（3）步 D．没有错误
2．（2023上·山东滨州·八年级统考期中）下列计算中，正确的个数是（ ）
①
②
③
④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023上·湖南怀化·八年级统考期中）某新型冠状病毒的直径约为 ， ，则
该病毒的直径用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）人的眼睛可以看见的红光的波长为 ，将数据
0.000077 精确到0.00001，并用科学记数法表示为（ ）A． B． C． D．
5．（2023上·广西来宾·八年级校考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023下·七年级课时练习）下面运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·湖南怀化·八年级统考期中）小马虎在下面的计算中只作对了一道题，他做对的题目是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023上·广西北海·八年级统考期中）细菌、病毒、支原体感染都会引起呼吸系统感染，支原体是比细
菌小比病毒大的微生物，直径在 ， 用科学记数法表示为（ ）（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·九年级专题练习）已知b>a>0,下列选项正确的是( )
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2023上·福建厦门·八年级福建省厦门集美中学校考期中）计算：（1） ； （2）
．
12．（2023上·北京西城·八年级北京师大附中校考期中）计算： ．13．（2023上·福建龙岩·八年级龙岩二中校考期中） ．
14．（2023上·山东济南·八年级校考期中）已知关于x的分式方程 其中A、B为
实数，则实数 ，
15．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）已知 ，则 的值是 ．
16．（2023上·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）已知 则a的值为 ．
17．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）下列各式变形正确的有 ．
① ；② ；③ ；④
18．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）已知： ， ， ， ，…，
，那么 的值为 ．（用含 的代数式表示）
三、解答题
19．（2023上·安徽宿州·八年级校考期中）计算
(1) ；
(2) ．20．（2023上·湖南娄底·八年级统考期中）计算
(1) ；
(2) ．
21．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）计算：
(1)
(2)
23．（2023上·河南驻马店·八年级统考期中）（1）计算： ．
（2）因式分解： ．23.（2023·安徽合肥·校考三模）观察以下等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第 个等式：__________．
(2)写出你猜想的第 个等式：__________（用含 的等式表示），并证明．
24．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）计算：
(1)
(2)25.（2023上·山东泰安·八年级统考期中）先化简，再求值： ，其中 ， ．
26．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）计算
(1) ；
(2) ．
