文档内容
第 17 讲 分式的运算 （7 个知识点+7 种题型+分层
练习）
知识导图
知识清单
知识点1．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数
字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n
＜10
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点
前的0）
知识点2．分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，
即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约
分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，
切不可打乱这个运算顺序．
知识点3．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异
分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把
分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；
通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形
式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
知识点4．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，
有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活
运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分
式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法
的运算律运算，会简化运算过程．
知识点5．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果
要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，
代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．
当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
知识点6．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝ （a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的
错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
知识点7．列代数式（分式）
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．
⑤正确进行代换．
注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．
题型强化
题型一．科学记数法—表示较小的数
1．（2024•玉泉区二模）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度是约0.000326毫米，用科学记数法表
示为
A． 毫米 B． 毫米C． 毫米 D． 毫米
2．（2024•松原二模）某品种的牡丹花粉的直径约为0.0000354米，数据0.0000354用科学记数法表示为
．
3．已知 的氢气重约为 ，请用科学记数法表示下列计算结果．
（1）求一个容积为 的氢气球所充氢气的质量；
（2）一块橡皮重 ，这块橡皮的质量是 的氢气质量的多少倍？
题型二．分式的乘除法
4．（2023秋•巴东县期末）若 计算的结果为整式，则“□”中的式子可能是
A． B． C． D．
5．（2024秋•故城县月考）若 的运算结果是整式，写出一个“ ”内可能的式子：
．
6．（2024秋•丰城市校级月考）计算：
（1） ；
（2） ．题型三．分式的加减法
7．（2024秋•故城县月考）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是
A． B． C． D．1
8．（2023秋•淮南期末）计算： ．
9．（2023秋•长葛市期末）对于实数 ，规定： ．例如： ， ，
．
（1）求值： ； ．
（2）猜想： ，并证明你的结论．
（3）求： 的值．题型四．分式的混合运算
10．（2024•祁县模拟）化简 的结果是
A． B． C． D．
11．（2024春•普陀区期末）关于 的方程 的解是 ．
12．（2024秋•襄都区月考）如果一个式子由两个或两个以上的分式用“ ”连接而成，且任意两个分式
的分母位置互换后对式子的值没有影响，则称这类式子为“均衡分式串”，例 中交换 ，
的位置可得 ，两个式子值相同，则 是“均衡分式串”．
概念理解：（1）下列3个式子中是“均衡分式串”的是 ．（填序号）① ；② ；③ ．
深入探究：（2）“均衡分式串” 是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，
请说明理由．
拓展应用：（3）若 ，求“均衡分式串” 的值．
题型五．分式的化简求值
13．（2024秋•新华区校级月考）若 ，则代数式 的值为
A． B． C．2 D．
14．（2024•龙岩模拟）已知 ，化简求值： ．
15．（2024•邵东市三模）先化简代数式 ，再从2， ，1， 四个数中选择一个你
喜欢的数代入求值．题型六．负整数指数幂
16．（2024春•莱阳市期末）若 ，则它们的大小关系是
A． B． C． D．
17．（2024春•南阳期末）计算： ．
18．（2023秋•隆阳区期末） ．
题型七．列代数式（分式）
19．（2024秋•邢台月考）春节游河南，探寻千年古韵，品味地道年味！有游客 人，到龙门石窟游玩，
需要住宿，如每 个人住一间房，结果还有一个人无房住，则客房的间数是
A． B． C． D．
20．（2023秋•德惠市校级期末）在一块 公顷的稻田上插秧．如果10个人插秧．要用 天完成；如果一
台插秧机工作．要比10个人插秧提前3天完成．一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的 倍．
21．（2023秋•淄川区期末）某人沿一条河流顺流游泳 米，然后逆流回到出发点，设此人在静水中的游
速为 ，水流速度为 ．（1）求他来回一趟所需的时间为 ；
（2）用 ， ， 的代数式表示 ．
分层练习
一、单选题
1．﹣2﹣3＝（ ）
A． B． C．8 D．﹣8
2．目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有 ，将 用科学记数法表示为
（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）．
A． B．2a•3b=5ab C．3a2÷a2=3 D．
4．计算 的结果是( )
A． B． C．y D．x
5．滴水的质量约0.000 051 2kg，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．0.512× B．5.12× C．512× D．5.12×
6．成人每天维生素 的摄入量约为 克，数据“ ”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
7．下列各式：① ；② ；③ ；④ ．其中计算结果相等的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
8．自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科
学记数法表示为( )
A． B． C． D．
9．计算 的结果是( )
A． B． C． D．
10．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m米 的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池
后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为 米的正方形，两块试验田的小麦都收获了n千
克．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为P千克/米 和Q千克/米 ．下列说法：
① ；② ；③ ；④P是Q的 倍．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．计算： ．
12．近似数－1.25× 有效数字的个数有 个．
13．在第二届柔性电子国际学术大会（ICFE2019）上，中国柔性电子与智能技术全球研究中心研发团发布
了两款厚度小于25微米（即0.000025米）的柔性芯片，极大促进了人—机—物三元融合，是融合实体、数字和生物世界的变革性力量．将0.000025用科学记数法表示应为 ．
14． ．
15．化简：
16． 的结果为 ．
17．已知是 ，则 的值等于 ．
18．据悉，世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质
量只有 克，此数据用科学记数法表示为 克．
三、解答题
19．已知： ， ，求证： ．
20．先化简，再求值： ，其中x从不等式组 的解集中选取一个合适的
数．
21．小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商
品的价格是 元/件，第二次采购时该商品的价格是3x元/件．
(1)求小王两次共采购了多少件该商品；(2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？
22．（1）先化简，再求值： ，其中 是不等式组 的整数解．
（2）甲车队有15辆汽车，乙车队有28辆汽车，现调来10辆汽车分给两个车队，使甲车队车数比乙车队
车数的一半多2辆，应分配到甲、乙两车队各多少辆车？
23．（1）先化简，再求值： ，其中 ．
（2）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，团结社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾
桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需
要860元．
①求两种型号垃圾桶的单价；
②若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？24．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
25．如图，“丰收1号”小麦试验田是一块边长为a米 的正方形上修建两条宽为2米的甬道后剩余
的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为a米 的正方形去掉一个边长为2米的正方形蓄水池后余
下的部分，两块试验田的小麦都收获了n千克．
(1)“丰收1号”试验田的面积为______平方米；“丰收2号”试验田的面积为______平方米；
(2)高的单位面积产量比低的单位面积产量多多少？26．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水
进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，
请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用
一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称
重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，
拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ，在多次实验后，通过对收集的数据进
行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后
的衣服上都存留约1斤的污水．
数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较．
方案一：采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______；
方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同.如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣
服中存有的污物是原来的______；
方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的
______．实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案______的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）．
推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂
洗（方案二中第一次用水量为x斤），证明上面实验中得到的结论.
