文档内容
第 18 讲 分式方程（7 个知识点+7 种题型+分层练
习）
知识导图
知识清单
知识点1．分式方程的定义
分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
知识点2．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生
增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
知识点3．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
知识点4．换元法解分式方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对
象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而
简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．
知识点5．分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或
是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许
未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整
式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好
是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为 0，如果
为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
知识点6．由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和
追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
知识点7．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位
等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作
时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
题型强化
题型一．分式方程的定义1．（2023秋•高唐县校级月考）下列关于 的方程中（1） ；（2） ；（3）
；（4） ；（5） ，其中是分式方程的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022秋•同心县校级期末）分母中含有未知数的方程叫做 ．
3．（2021秋•岱岳区校级月考）判一判：下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ．
题型二．分式方程的解4．（2023秋•蒙阴县期末）若关于 的分式方程 解为非负数，则 的取值范围是
A． B． 且 C． 且 D．
5．（2024秋•渝中区校级月考）如果关于 的不等式组 的解集为 ，且关于 的分式方
程 有负整数解，那么符合条件的所有整数 的和是 ．
6．（2023秋•环翠区期末）已知关于 的分式方程 ．
（1）若这个方程无解，求 的值；
（2）若这个方程的解是非负数，求 的值．
题型三．解分式方程
7．（2024•广东）方程 的解是
A． B． C． D．
8．（2023秋•乳山市期末）定义新运算： ．则方程 的解为 ．
9．（2024秋•永兴县校级月考）阅读下列材料
学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于 的分式方程 的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于 的方程，
得到方程的解为 ，由题目可得 ，所以 ，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还
必须 才行．
（1）请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ．
完成下列问题：
（2）已知关于 的方程 的解为非负数，求 的取值范围；
（3）若关于 的方程 无解，求 的值．
题型四．换元法解分式方程
10．（2023•上海）在分式方程 中，设 ，可得到关于 的整式方程为
A． B． C． D．
11．（2023秋•淅川县校级月考）用换元法解方程 时，可设 ，则原方程化为关
于 的整式方程为 ．
12．（2022春•泰和县期末）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程： ．
解：设 ，则原方程化为： ，方程两边同时乘 得： ，
解得： ，
经检验： 都是方程 的解， 当 时， ，解得： ，
当 时， ，解得： ，经检验： 或 都是原分式方程的解，
原分式方程的解为 或 ．上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
（1）若在方程 中，设 ，则原方程可化为： ；
（2）若在方程 中，设 ，则原方程可化为： ；
（3）模仿上述换元法解方程： ．
题型五．分式方程的增根
13．（2023秋•乳山市期末）关于 的分式方程 有增根，则 的值是
A．1 B． C．3 D．
14．（2024春•丰泽区期末）若关于 的分式方程 有增根，则 的值为 ．
15．（2024春•新华区期末）已知关于 的方程 ．
（1）当 取何值时，此方程的解为 ；
（2）当 取何值时，此方程会产生增根；
（3）当此方程的解是正数时，求 的取值范围．题型六．由实际问题抽象出分式方程
16．（2024•秀屿区校级一模）已知一艘轮船顺水航行50千米和逆水航行30千米共用的时间，正好等于船
在静水中航行80千米所用的时间，并且水流的速度是3千米 小时，设轮船在静水中的速度为 千米 小
时，则下列方程正确的是
A． B．
C． D．
17．（2024春•英德市期末）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知
第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均
捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为 人，那么 满足的方程是 ．
18．（2023秋•上饶期末）某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙
型机器人每小时多搬运 产品，甲型机器人搬运 产品所用时间与乙型机器人搬运 产品所用
时间相等．
根据以上信息，解答下列问题．
（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运 产品，可列方程为 ．小惠同学设甲型机器人搬运
产品所用时间为 小时，可列方程为 ．（2）求乙型机器人每小时搬运多少千克产品．
题型七．分式方程的应用
19．（2023秋•新华区期中）一批货物要运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可用，已知甲、乙、丙每次运
货量不变，且甲、乙两车单独运完这批货物所用次数之比为 ．若甲、丙两车各运相同次数运完这批
货时，甲共运了180吨；若乙、丙两车各运相同次数运完这批货时，乙车共运了270吨．则这批货共有
A．360吨 B．450吨 C．540吨 D．630吨
20．（2024春•永寿县期末）某人骑自行车比步行每小时多走 8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车
行36千米所用时间相等，那么他的
步行速度为 千米 小时．
21．（2024春•盐湖区期末）洋葱是百合科，葱属多年生草本植物，味辛、甘，性温，归肺经，富含钾、
维生素 、叶酸、锌、硒等纤维质等营养素，具有保护心脑血管、美容养颜的功效．由于临近初二中考，
考生物实验，生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用18元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了 ，生物老师花了30
元，但只比上周多买了2斤洋葱．
（1）求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？
（2）经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，本校参加生物实验的同学共1392人
如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本校参加生物实验的同学所用？
分层练习
一、单选题
1．分式方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
2．下列四个方程中，有一个根是 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知关于 的方程 的解是正数，那么 的取值范围是（ ）
A． 且 B． C． 且 D．
4．若分式 与1互为相反数,则x的值为
A．-2 B．1
C．-1 D．2
5．若方程 有增根，则它的增根是（ ）A．0 B．1 C． D．1和
6．若分式方程 有增根，则增根可能是（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
7．若分式方程 （其中k为常数）产生增根，则增根是 （ ）
A．x=6 B．x=5 C．x=k D．无法确定
8．若实数 为非负数，且关于 的分式方程 有正数解，则符合条件的整数 的和是
（ ）
A． B． C． D．0
9．下列方程中，有实数解的方程是（）
A． B．
C． D．
10．某厂准备生产8000个口罩，在生产了1000个口罩后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2
倍，结果共用10天完成了任务，设该厂原来每天生产x个口罩，则由题意可列出方程（ ）
A． ＝10 B． ＝10
C． ＝10 D． ＝10
二、填空题
11．要使 的值和 的值互为相反数，则 的值是 ．
12．3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，
植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有 人．
13．方程 的解是 ．
14．为提高学生身体素质，增强班级凝聚力，某学校计划举办足球和篮球比赛．该校现用1600元购进一
批足球，又用5400元购进一批篮球，已知篮球的数量是足球的3倍，且单价比足球贵10元，设足球的单
价为 元，根据题意可列方程为 ．
15．某道路需要铺设一条长1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，施工时，工作效率比原计划提高了 ，结果提前了6天完成任务，设原计划每天铺设管道x米，根据题意列出方程为
．
16．A，B两地相距120km．甲、乙两辆汽车同时从A地出发去B地，已知甲车的速度是乙车速度的1.2倍，
结果甲车比乙车提前20分钟到达，则甲车的速度是 km/h．
17．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样
紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：
12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、
12、10这三个数的倒数发现： ．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调
和数：x，5，3（x＞5），则x的值是 ．
18．2019年重庆旅游近几年来非常火热，重庆作为国内最引人注目的“网红城市”，在国庆节期间接待游
客数量高达3859万人数，远远抛离了第二名武汉，超越其1000多万游客，国庆期间某外地旅行团来重庆
的网红景点打卡游览结束后旅行社对该旅行团做了一次“我最喜爱的巴渝景点”问卷调查（每名游客都填
了调查表，且只选了一个景点），统计后发现洪崖洞、长江索道、李子坝轻轨站、磁器口榜上有名．其中
选李子坝轻轨站的人数比进磁器口的少8人；选洪崖洞的人数不仅比磁器口的多，且为整数倍；选磁器口
与洪崖洞的人数之和是选李子坝轻轨站与长江索道的人数之和的5倍；选长江索道与洪崖洞的人数之和比
选李子坝轻轨站与磁器口的人数之和多24人．则该旅行团共有 人．
三、解答题
19．若关于x的方程
(1)若 ，解这个分式方程；
(2)若原分式方程无解，求m的值．
20．某街道因路面经常严重积水，需改建排水系统，市政公司准备安排甲乙两个工程队承接这项工程，据
评估，如果甲乙两队合作施工，那么12天可完成；如果甲队先做10天，剩下的工程由乙队单独承担，还
需15天完工．求甲乙两队单独完成此项工程各需要多少天？21．习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极
响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的
倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进
价是多少万元？
22．（1）化简 ．
（2）化简 ．
（3）解方程 ．
（4）解方程 ．23．为顺利通过“河北省文明城市”验收，我县政府拟对城区部分排水管道公用设施全面更新改造，根据
市政建设的需要，需在一个月内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工
程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需 天
完成．
(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
(2)若甲工程队每天的工程费用是 万元，乙工程队每天的工程费用是 万元，请你设计一种方案，既能
按时完工，又能使工程费用最少．
24．水果超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于试销状况良好，超市又调拨11000元资金购
进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了0.2元，购进苹果数量是试销的2倍．
（1）试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？
（2）如果超市将该品种苹果按每千克5元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七
折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？25．对于实数x，规定： ．
例如： ， ， ．
(1)求值： ___________； ___________．
(2)猜想： ___________，并证明你的结论；
(3)求： 的值；
(4)解方程： ．26．列方程解应用题：
老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂．”（摘自
《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少．
小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树．他先让爸爸开车驶过这段公
路，发现速度为 千米／小时，走了约3分钟，由此估算这段路长约_______千米．
然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达 米．小宇计划从路的起点开始，
每a米种一棵树，绘制示意图如下：
考虑到投入资金的限制，他设计了另一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少 棵树，
请你求出a的值．
