文档内容
第 15 章 分式 章节测试练习卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1．下列各式中，属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的判断
【分析】由题意根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有未知数的式子叫分式．
【详解】解：A、 没有分母，所以它是整式，故本选项错误；
B、 的分母中不含有字母，因此它们是整式，而不是分式，故本选项错误；
C、 的分母中不含有字母，因此它们是整式，而不是分式，故本选项错误；
D、 的分母中含有字母，因此它们是分式，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式
子即为分式．
2．下列分式中属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简分式【分析】一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
【详解】解：A．该分式的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故该选项符合题意；
B．该分式的分子、分母中含有公因式（x-1），不是最简分式，故该选项不符合题意；
C．该分式的分子、分母中含有公因式2，不是最简分式，故该选项不符合题意；
D．该分式的分子、分母中含有公因式（x+3），不是最简分式，故该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查最简分式，解题的关键是正确理解最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式
时，叫最简分式．
3．如果 , ,那么 三数的大小为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】零指数幂、负整数指数幂
【分析】分别计算出a、b、c的值，然后比较有理数的大小即可．
【详解】因为 ，
所以a>c>b．
故选B．
【点睛】考查了负整数指数幂及零指数幂的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握负整数指数幂的运
算法则．
4．下列方程不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题主要考查分式方程的定义，理解并掌握分式方程的定义是解题关键．分母里含有字母的方程
叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可．
【详解】解：A.是分式方程，不符合题意；
B. 不是分式方程，符合题意；
C. 是分式方程，不符合题意；
D. 是分式方程，不符合题意．故选：B．
5．分式方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解分式方程
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，准确计算，注意最
后要对方程的解进行检验．先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检
验即可．
【详解】解： ，
去分母得： ，
解得： ，
检验：把 代入 得： ，
∴ 是原方程的解，
故选：A．
6．若分式 在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有意义的条件
【分析】根据分母不等于0列式求解即可．
【详解】解：由题意得
，
∴
故选C．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：①分式无意义 分母为零；
②分式有意义 分母不为零；③分式值为零 分子为零且分母不为零． ⇔
7．下列计算正⇔确的是（ ） ⇔A．a2 a3=a6
B．a4+a5=a9
C．a4÷a3=a
D．a3+a3=2a6
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法运算
【分析】直接利用同底数幂的乘除法与合并同类项的知识求解即可求得答案
【详解】A. a2 a3=a5，故本选项错误；
B. a4+a5≠a9，故本选项错误；
C. a4÷a3=a，故本选项正确；
D. a3+a3=2a3，故本选项错误
故选C.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，同底数的幂的除法等知识点，能正确求出每个式子的
值是解此题的关键．
8．下列方程中，有解的一个方程是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先解分式方程，再进行判断即可.
【详解】A.两边同乘x2－1，得x=x+1，解得0=1，所以原分式方程无解；
B.两边同乘x2－1，得x=x－1，解得0=－1，所以原分式方程无解.
C.两边同乘(x+1)(x－1)，得x(x－1)=x(x+1)，解得x=0，经检验，x=0是原分式方程的解；
D.两边同乘(x+1)(x－1)，得x－1=x+1，解得0=2，所以原分式方程无解.
故选C.
【点睛】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键.
9．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】负整数指数幂、同底数幂的除法运算、积的乘方运算、同底数幂相乘【分析】根据运算法则逐一计算判断即可本题考查了同底数幂的乘法和除法，积的乘方，负整数指数幂，
熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
故A不合题意．
∵ ，
∴B不合题意．
∵ ，
∴C合题意．
∵ ，
∴D不合题意．
故选：C．
10．有一种球状细菌，直径约为0.0000000018m，那么0.0000000018用科学记数法表示为（ ）
A．18×10﹣10 B．1.8×10﹣9 C．1.8×10﹣8 D．0.18×10﹣8
【答案】B
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【详解】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．所以
0.0000000018= 1.8×10﹣9，故选B.
第Ⅱ卷
二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分）
11．在函数 中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【分析】分式有意义的条件是：分母不为零．
【详解】解：要使分式有意义
则应满足：
解得：
故答案为：【点睛】本题考查分式有意义的条件．掌握相关结论是解题的关键．
12．若 有意义，则 的值不能为 .
【答案】
【知识点】负整数指数幂、分式有意义的条件、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了负整数指数幂的定义，能熟记负整数指数幂的定义是解此题的关键，注意：式子
为正整数）中 ．根据负整数指数幂的意义得出 ，再求出答案即可．
【详解】解：要使 有意义，必须 ，
解得： ．
故答案为：
13． 用科学记数法表示为 （保留两位有效数字）．
【答案】1.1×10-7
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】根据科学记数法的表示方法，将“ ”取近似数，再将其用科学记数法表示即可得
到答案．
【详解】解： 这个数字用科学记数法并保留两位有效数字表示为1.1×10-7．
故答案为1.1×10-7．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法和有效数字．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，注意保留的数位．
14．若|a|＝20150，则a＝ ．
【答案】±1
【知识点】零指数幂
【详解】试题分析：|a|＝20150=1，a=±1．
考点：零次幂，绝对值的定义
15．已知 ，且 ，则 的值为 ．
【答案】 /【知识点】异分母分式加减法、分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的加减，先化简已知，再整体代入，最后约分得结论，掌握分式的运算法则
和整体代入的思想方法是解决本题的关键．
【详解】解： ，
，即 ．
．
故答案为： ．
16．关于x的方程 的解是负数，则m的取值范围是 ．
【答案】 且
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】由分式方程有意义可知 ，由方程的解是负数可知 ，表示出方程的解代入其满足的条件
即可确定m的取值范围.
【详解】解：
方程两边同乘以 得 ，
解得 ，
由分式方程有意义可知 ，即 ，
可得 ，即 ，
由方程的解是负数可知 ，
可得 ，即 ，
所以m的取值范围是 且 ．
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了分式方程，已知解的情况求参数，灵活的表示出分式方程的解是解题的关键，解题过程中不要忽视分母不等于0这一条件．
17．一艘轮船在静水中的最大航速为 ，它以最大航速沿江顺流航行 所用时间与以最大航速
逆流航行 所用时间相同，则江水的流速为 ．
【答案】20
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】由顺水船速＝静水船速+水速，逆水船速＝静水船速﹣水速，设未知数根据两不同航程时间相同
列出方程即可求出答案．
【详解】解：设江水的流速为 ，根据题意可得：
，
解得： ，
经检验： 是原方程的根，
故答案为20．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
18．若一个四位数的千位与百位之差等于 ，十位与个位之差等于 ，称这个四位数是 差 倍数 ，若四
位数的千位与百位之差等于 ，十位与个位之差等于 ，称这个四位数是“差 倍数”，则最小的“差 倍
数”为 ，若数 ， 分别为“差 倍数”和“差 倍数”，它们的个位数字均为 ， ， 的各数
位数字之和分别记为 和 ， ，若 为整数，此时 的最大值为
．
【答案】
【知识点】用代数式表示式、约分、整式加减的应用
【分析】本题考查新定义运算，数的整除、分式的化简，整式的加减运算等，依据题意，由已知，根据
“差2倍数”和“差3倍数”的定义求解即可．
【详解】解：根据“差2倍数”的定义可得最小的“差2倍数”为2040；
设数 的百位数字分别为 ，
则数 的千位数字分别为 ，数 的十位数字分别为 ， ，
， ，，
∵ 为整数， 都是整数，
∴ 或 ，
∵ ，
，
∴
当 时， 最大，最大值为
故答案为： ； ．
三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分）
19．解分式方程
【答案】
【知识点】解分式方程
【分析】观察方程特点，可将原方程化为 ，即 ，
则有 ，然后去分母，解整式方程即可解答．
【详解】解：原方程可化为 ，
即 ，
移项，得： ，
通分，得： ，
去分母得： ，
去括号，得： ，
移项，合并同类项，得： ，解得： ，
经检验， 是原方程的解．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法步骤，能根据方程特点进行变形并简化计算是解
答的关键，记得要验根．
20．计算： ．
【答案】-1
【知识点】负整数指数幂
【分析】运用立方根、0次幂、负指数幂化简，然后再解答即可．
【详解】解:
=-2-1+2
=-1
【点睛】本题考查了实数的运算,掌握立方根、0次幂、负指数幂的相关知识是解答本题的关键．
21．甲、乙两人分别从距目的地8km和12km的两地同时出发，甲、乙的速度比是4：5，结果甲比乙提前
到达目的地，求甲、乙的速度.
【答案】甲的速度为 ，乙的速度为
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；由题意可设甲的速度为 ，乙的
速度为 ，则有 ，然后进行求解即可．
【详解】解：设甲的速度为 ，乙的速度为 ，由题意得：
，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，
∴ ，
答：甲的速度为 ，乙的速度为 ．
22．已知不相等的两个实数 ， ， 且 ．(1)若 ， 求 的值．
(2)若 ， ， 证明∶
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】异分母分式加减法、分式的求值、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，分式的加减运算；
（1）将 代入代数式，即可求解；
（2）根据完全平方公式可得 ，进而根据分式的加减计算即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
（2）∵
∴
∴
即
23．为迎接“2010年上海世博会”，甲、乙两个施工队共同完成“阳光”小区绿化改造工程，乙队先单独
做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程比甲队单独完成此项工程少
用5天，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？
【答案】甲队单独完成此项工程需25天，乙队单独完成此项工程需20天
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题考查了分式方程在工程问题中的应用，设甲队单独完成此项工程需 天，则乙队单独完成此
项工程需 天，根据甲完成的工作量加上乙完成的工作量等于单位“1”列方程，解方程求得x即可得
解，明确工程问题的基本数量关系是解题的关键．
【详解】设甲队单独完成此项工程需 天，则乙队单独完成此项工程需 天，
由题意，得： ，化简得： ，
解得： ， ，
经检验： ， 都是方程的根；但 不符合题意，舍去，
， ．
答：甲队单独完成此项工程需25天，乙队单独完成此项工程需20天．
24．某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000
元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮
球多花30元．
(1)问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？
(2)该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共60个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球
售价不变，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不
超过3500元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
【答案】(1)购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元
(2)该校此次最多可购买22个B品牌篮球
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的实际应用
【分析】本题考查分式方程的应用与一元一次不等式的应用．
（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需 元，由题意：购买A品牌篮球
花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，
列出分式方程，解方程即可；
（2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球 个，根据购买A、B两种品牌篮球的
总费用不超过3500元，列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需 元，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
则 ．
答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元．（2）解：设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球 个，
由题意得： ，
解得： ，
∵ 是整数，
所以，该校此次最多可购买22个B品牌篮球．
25．“阅百十风华，致生涯广大”——我校将迎来办学 周年庆活动，文创产品深受校友们的喜爱．某
工厂计划生产文创产品“烟雨伞” 把，安排甲、乙两车间完成任务，乙车间主产烟雨伞的数量比甲
车间生产烟雨伞的数量的 倍少 把．
(1)求甲、乙两车间各生产多少把烟雨伞？
(2)在生产过程中，乙车间每天生产烟雨伞的数量是甲车间每天生产烟雨伞数量的 倍，两个车间同时生
产，结果甲车间比乙车间提前 天完成任务，求甲车间每天生产多少把烟雨伞？
【答案】(1)甲车间生产 把烟雨伞，乙车间生产 把烟雨伞
(2)甲车间每天生产 把烟雨伞．
【知识点】分式方程的实际应用、其他问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（ ）设甲车间生产 把烟雨伞，乙车间生产 把烟雨伞，根据题意，列出二元一次方程组即可求
解；
（ ）设甲车间每天生产 把烟雨伞，则乙车间每天生产 把烟雨伞，根据题意，列出分式方程即可求
解；
本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和分式方程是解题的
关键．
【详解】（1）解：设甲车间生产 把烟雨伞，乙车间生产 把烟雨伞，
由题意可得， ，
解得 ，
答：甲车间生产 把烟雨伞，乙车间生产 把烟雨伞；
（2）解：设甲车间每天生产 把烟雨伞，则乙车间每天生产 把烟雨伞，
由题意可得， ，即 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
答：甲车间每天生产 把烟雨伞．
26．在 中， ， ，直线 上有一点 ，连接 ， 分别为A 关于直
线 的对称线段．
(1)如图 ，当点 在线段 上时，求 和 的度数；
(2)如图 ，当点 在线段 的延长线上时，
①依题意补全图 ；
②探究是否存在点 ，使得 ，若存在，直接写出满足条件时 的长度；若不存在，说明理由．
【答案】(1) ，
(2)①见解析；② 或
【知识点】角度问题(轴对称综合题)、等腰三角形的性质和判定、分式方程的实际应用
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出 ，根据轴对称的性质可得
∠NAC=∠CAP，∠PAB=∠MAB，∠ABP=∠ABM，结合图形求解即可；
（2）①依据轴对称图形的特点补全图形即可；
②根据轴对称的性质可得PB=BM，PC=CN，设 ，则 或 ， ，利
用 和线段的和差列出方程求解即可．
【详解】（1） ， ，
，
， 分别为点 关于直线 ， 的对称点，
， ， ，，
．
（2） 图形如图所示．
存在．
设 ，则 或 ， ，
，
或 ，
或 ．
经检验 或 为方程的解，
或 ．
【点睛】题目主要考查轴对称图形的特点，角度的计算，分式方程的应用等，理解题意，熟练掌握运用轴
对称图形的性质是解题关键．
