文档内容
第 11 讲 等边三角形（4 个知识点+4 种题型+分层
练习）
知识导图
知识清单
知识点1．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶
角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线
是对称轴．
知识点2．等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三
个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
知识点3．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性
质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性
质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有 30°角的直
角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一
般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个
60°的角判定．
知识点4．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常
用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三
角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
题型强化
题型一．等边三角形的性质
1．（2023秋•齐齐哈尔期末）如图，已知 是等边三角形，点 、 ， 、 在同一直线上，且
， ，则
A． B． C． D．
2．（2023秋•樊城区期末）如图，在等边三角形 中 ， 是 边上的高，延长 至点 ，
使 ，则 的长为 ．3．（2024春•兰州期末）已知：如图， 是边长 的等边三角形，动点 、 同时从 、 两点
出发，分别沿 、 方向匀速移动，它们的速度都是 ，当点 到达点 时， 、 两点停止
运动，设点 的运动时间为 ．
（1）当动点 、 同时运动 时，则 ， ．
（2）当动点 、 同时运动 时，分别用含有 的式子表示； ， ．
（3）当 为何值时， 是直角三角形？题型二．等边三角形的判定
4．（2024春•金水区校级期末）若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为 ，则这个三角形一定是
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能
5．（2023秋•永吉县期末）如图， ， ，动点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速
度沿射线 运动，设点 运动的时间为 秒，则当 秒时， 是等边三角形．
6．（2024春•莲湖区期中）如图， ， ， ，求证： 是等边三角形．
题型三．等边三角形的判定与性质
7．（2024•望城区一模）已知：如图所示，边长为6的等边 ，以 边所在直线为 轴，过 点且
垂直于 的直线为 轴，建立平面直角坐标系，则 点坐标为 ．8．（2024•松原模拟）如图，在 中，以点 为圆心， 的长为半径作弧，与 交于点 ，分别
以点 和点 为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ，作射线 交 于点 ．若
， ，则 的度数为
A． B． C． D．
9．（2023秋•洛南县校级期末）如图， 是等边三角形， ， ，垂足分别为 、 ，
、 相交于点 ，连接 ．
（1）判断 的形状，并说明理由．
（2）若 ，求 的长．题型四．含30度角的直角三角形
10．（2023秋•江门期末）如图，在 中，已知， ， ， 边的垂直平分线交
于 ，交 于 ，且 ，则 的长是
A． B． C． D．
11．（2023秋•绥阳县期末）如图，在 △ 中， ， ， ，点 ， ， 分
别在边 ， ， 上，连接 ， ， ，若 ，且△ 是等边三角形，则 ．
12．（2023秋•文峰区期末）如图，在 中， ， ， ，点 从点 出发以
的速度向点 运动，同时点 从点 出发以 的速度向点 运动，运动的时间为 秒，解决以
下问题：
（1）当 为何值时， 为等边三角形；
（2）当 为何值时， 为直角三角形．分层练习
一、单选题
1．如图，已知 中， ，斜边长 ，那么 （ ）
A．2 B． C．4+2 D．
2．如图，将等边三角形 剪去一个角后，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 中， ， ， 是斜边 上的高，若 ，则边 的长
为（ ）A． B． C． D．
4．如图， ，等边 的顶点B在直线b上， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系 中，已知点 的坐标是(0,2)，以 为边在右侧作等边三角形 ，过
点 作 轴的垂线，垂足为点 ，以 为边在右侧作等边三角形 ，再过点 作 轴的垂线，垂足
为点 ，以 为边在右侧作等边三角形 ，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形
，则点 的纵坐标为( )
A． B． C． D．
6．如图，ΔABC的三个内角比为1：1：2，且 ，则∠CBD是（ ）A．5° B．10° C．15° D．45°
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º，CD是斜边AB上的高，若AD=3cm，则斜边AB的长为（
）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
8．如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东30°的方向行驶30公里到达B地游玩，之后打算去距离A
地正东30公里处的C地，则他们行驶的方向是（ ）
A．南偏东60° B．南偏东30° C．南偏西60° D．南偏西30°
9．如图，在菱形ABCD中， ，点E、F分别为边AB、BC上的点，且 ，连接CE、AF交
于点H，连接DH交AC于点O．下列结论：① ；② ；③ ；④
．其中结论正确的是（ ）A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④
10．如图，在边长为6cm的等边 ABC中，点D从A出发沿A→B的方向以1cm/s的速度运动，点E从B出
发沿B→C的方向以2cm/s的速度△运动，D，E两点同时出发，当点E到达点C时，D，E两点停止运动，以
DE为边作等边 DEF（D，E，F按逆时针顺序排列），点N为线段AB上一动点，点M为线段BC的中点，
连MF，NF，当△MF+NF取得最小值时，线段BN的长度为（ ）
A．5cm B．4.5cm C．4cm D．3cm
二、填空题
11．如图，正六边形DEFGHI的顶点都在边长为6cm的正三角形ABC的边上，则这个正六边形的边长是
cm．
12．为了打造城市“绿洲”，某市计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境，已知
这种草皮每平方米售价为 元，则购买这种草皮需 元．
13．如图，在Rt△ABC中， ， ，△ACD为等边三角形，连接BD，则△BCD的面
积为 ．
14．如图，在 中， ， ， 和 都是直角且点 ， ， 三点共线，
，则阴影部分的面积是 ．15．如图，在 中， ， ， 的垂直平分线与 交于点 ，与 交于点 ，
连结 若 ，则 的长为 ．
16．如图，在 中， ， ， ，P是边 上的动点，连接 ．
（1） 的最小值为 ；
（2）当 度时， 是等腰三角形．
17．如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上一点，OC=10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，
动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=
s时， POQ是等腰三角形．
△
18．如图①，是一块光学直角棱镜，其截面为图②所示的 ，AB所在的面为不透光的磨砂面，
， .现有一束单色光从CB边的点E处垂直射入，到达AB边的点D，恰有 ，
经过反射后（即 ）从AC边的点F处射出.若光线在棱镜内部经过的路径 ，
则这块棱镜的高度AC为 cm.三、解答题
19．（1）图①是折叠凳撑开时的侧面示意图，其中凳腿 和 的长度相等，O是 和 的中点，为
了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开时的凳面宽度 设计为 ，求撑开时的凳腿间距 ；
（2）在（1）题条件下，为了节省空间，凳子不用时可折叠起来摆放，图②是折叠后的侧面示意图，若折
叠前凳面与凳腿的夹角 为60度，求折叠后凳腿的高度 ．
20．周末，小丽和小红相约到C地参加青春励志报告会，C地在小丽家A的北偏东 的方向，也在小红
家的北偏西 的方向上． 千米，二人骑车同时从各自家出发，小丽的速度为每分钟 千米，小红的速度为每分钟 千米，那么二人能否同时到达C地？
21．已知点C在线段BE上，且△ABC和△DCE都是等边三角形，连接BD、AE交AC、DC于点M、N点，
求证：
（1）△AEC≌△BDC；
（2）△CMN是等边三角形．
22．如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西 方向上，轮
船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西 方向上．当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，
又航了多少海里？23．数学与生活．
如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东 的方向上．
半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东 的方向上．
(1)求轮船在B处时与灯塔M的距离；
(2)轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，则此时轮船与灯塔M的距离是 ，灯塔M在
轮船的 方向上．
24．在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，且α+β=120°，连
接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）（1）小聪先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴
对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问
题．
请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是 三角形；∠ADB的度数
为 ．
（2）在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；
（3）在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC=7，AD=2．请直接写出线段
BE的长为 ．
25．已知等边 ，点 为 上一点，连接 ．
（1）若点 是 上一点，且 ，连接 ， 与 的交点为点 ，在图（1）中根据题意补全图形，求出 的大小；
（2）将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 交 于点 ，在图（2）中根据题意补全图形，
用等式表示线段 和 的数量关系，并证明．（记得充分利用（1）的解题思路和结论）
26．专注基本图形：某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形如图1，在 中， ，
，直线 经过点 ，作 直线 ， 直线 ，垂足分别为点 ， ．并进一步证明
方法如下：
∵ ，
∴ ，
∵ 直线 ， 直线 ，
∴ ，
∴
在 和 中，
∴
∴ ， ，
∴
探究问题解决：
(1)组员小明想，如果三个相等的角不是直角，那么上述结论是否会成立呢？如图，将上述条件改为：在
中， ， ， ， 三点都在直线 上，且 ．请判断 是
否成立，并说明理由．
(2)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决新问题．如图，，是直线l上的两动
点（，，三点均在直线上且互不重合），点为的角平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，，．
若，请说明.
