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专题 9.2 平面直角坐标系中的面积问题【八大题型】
【人教版2024】
【题型1 与两坐标轴围成的图形面积】..................................................................................................................1
【题型2 一边在坐标轴上的图形面积】..................................................................................................................3
【题型3 平行于坐标轴的图形的面积】..................................................................................................................6
【题型4 各边都不在坐标轴上的图形的面积】.....................................................................................................9
【题型5 由面积之间的关系求坐标】....................................................................................................................13
【题型6 直线分面积求值】....................................................................................................................................16
【题型7 新定义问题中的面积】............................................................................................................................20
【题型8 面积中的规律问题】................................................................................................................................25
【题型1 与两坐标轴围成的图形面积】
【例1】（24-25七年级·吉林长春·期中）已知A（a，0）和B点（0，10）两点，且AB与坐标轴围成的三
角形的面积等于20，则a的值为（ ）
A．2 B．4 C．0或4 D．4或﹣4
【答案】D
【分析】根据点A、B的坐标可找出OA、OB的长度，再根据三角形的面积公式即可得出关于a的含绝对
值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】∵A（a，0），B（0，10），
∴OA=|a|，OB=10，
1 1
∴S = OA•OB= •10|a|=20，
△AOB 2 2
解得：a=±4．
故选D．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，根据三角形的面积公式列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程
是解题的关键．
【变式1-1】（24-25七年级广东清远·七年级统考期末）已知A(0，4)，点B在x轴上，AB与坐标轴围成的
三角形面积为2，则点B的坐标为( )
1
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学科网（北京）股份有限公司A．(1，0) B．(1，0)或(－1，0) C．(－1，0) D．(0，－1)或(0，1)
【答案】B
1
【详解】∵三角形的面积= ×4×|OB|=2，
2
∴|OB|=1，
∴B（1，0）或（-1，0）．
故选：B.
【点睛】此题主要考查了平面图形与坐标的关系，利用三角形的面积求出OB的长是关键，特别是要明确
注意：在x轴上到原点的距离为一个定值的点有两个.
【变式1-2】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）平面直角坐标系中，我们把点P(x,y)的横坐标与纵坐标的
绝对值之和叫做点P(x,y)的勾股值，记为：「 P」，即「 P」=|x)+|y).
（1）求点A(−1,3)的勾股值「 A」；
（2）若点B在第一象限且满足「 B」=3，求满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形的面积.
9
【答案】（1）4；（2）
2
【分析】（1）由勾股值的定义即可求解；
（2）设B点的坐标为（x，y），由「B」=3，得到方程|x|+|y|=3，得到y=−x+3，于是得到所有点B围成
的图形是边长为3的三角形，则面积可求．
【详解】解：（1）「 A」=|−1|+|3|=4；
（2）设B(x,y)，由「 B」=3知，|x|+|y|=3，
又B在第一象限，x>0，y>0，得x+ y=3，
即y=−x+3 (x>0,y>0)，
故所有点B组成的图形与坐标轴交点坐标分别为：(3,0)，(0,3)，
1 9
故其面积为： ×3×3= .
2 2
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，正确理解勾股值的定义是解题的关键．
2
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学科网（北京）股份有限公司【变式1-3】（24-25七年级·江苏南通·阶段练习）已知点A(a，0)和点B(0，5)，且直线AB与两坐标轴
围成的三角形的面积等于10，则a的值是（ ）
A．4 B．4或−4 C．−4 D．2
【答案】B
【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质，需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个．
根据三角形的面积公式和已知条件求解，注意a取正负数都符合题意．
【详解】解：直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，A(a，0)，B(0，5)
那么5×|OA|÷2=10，
解得：OA=4，
所以a=4或a=−4．
故选：B．
【题型2 一边在坐标轴上的图形面积】
【例2】（24-25七年级·江西南昌·期中）如图是一块不规则的四边形地皮ABCO，各顶点坐标分别为
A(−2,6)，B(−5,4)，C(−7,0)，O(0,0)（图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（ ）
m2．
A．25 B．250 C．2500 D．2200
【答案】C
【分析】根据S =S +S +S ，即可求解．
四边形ABCO △BCD 梯形ABDE △AEO
【详解】解：如图所示，A(−2,6)，B(−5,4)，C(−7,0)，O(0,0)
3
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学科网（北京）股份有限公司S =S +S +S
四边形ABCO △BCD 梯形ABDE △AEO
1 1 1
= ×2×4+ (4+6)×3+ ×6×2
2 2 2
=4+15+6
=25
∵图上一个单位长度表示10米，
∴25×10×10=2500m2，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．
【变式2-1】（24-25七年级·安徽亳州·阶段练习）如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系
中，其中C(−4,4)．则三角形ABC的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】底AB=4，高是点C到x轴的距离，根据三角形面积公式求得即可．
【详解】解：由图象可知，A（0，0），B（4，0），
∴AB＝4
∵C（﹣4，4），
点C到x轴的距离是4，△ABC的高就是4，
1
∴S ABC＝ ×4×4＝8，
△ 2
4
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学科网（北京）股份有限公司故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题
型．
【变式2-2】（24-25七年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知：A(4,3)，B(6,0)，E(5,2)，求
△AOE的面积（ ）
A．3.5 B．2.5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】根据点的坐标，求得OC,AC,OD,DE,CD，根据S =S +S −S 进行计算即
△AOE △AOC 梯形ACDE △DOE
可求解．
【详解】解：∵ A(4,3)，B(6,0)，E(5,2)，
∴OC=4，AC=3,OD=5,DE=2，
∴CD=1
则S =S +S −S
△AOE △AOC 梯形ACDE △DOE
1 1 1
= ×4×3 + (2+3)×1 − ×5×2
2 2 2
=3.5
故选A
5
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．
【变式2-3】（24-25七年级·安徽亳州·阶段练习）已知点A(1,0)，B(0,2)，点P在x轴上，且三角形PAB的
面积是3，则点P的坐标是（ ）
A．(0，−4) B．(−2，0) C．(0，−4)或(0,8) D．(4，0)或(−2，0)
【答案】D
【分析】根据三角形的面积求出AP的长，再分点P在点A的左边与右边两种情况讨论求解．
【详解】解：∵点B(0,2)，
1
∴S = AP×2=3，
△PAB 2
解得AP=3，
若点P在点A的左边，则OP=AP−OA=3−1=2，
此时，点P的坐标为(−2,0)，
若点P在点A的右边，则OP=AP+OA=3+1=4，
此时，点P的坐标为(4,0)，
综上所述，点P的坐标为(4,0)或(−2,0)，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
【题型3 平行于坐标轴的图形的面积】
【例3】（24-25七年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的四个顶点
A，B，C，D是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形ABCD的面积是（ ）个平方单位．
6
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学科网（北京）股份有限公司15
A． B．15 C．10 D．无法计算
2
【答案】B
【分析】根据平行四边形在坐标系中的位置得到AD∥x轴，AD=4−(−1)=5，高为1−(−2)=3，利用
面积公式直接计算可得．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A(−1,2),B(0,1),C(5,1),D(4,−2)，
∴AD∥x轴，AD=4−(−1)=5，高为1−(−2)=3，
∴平行四边形ABCD的面积=5×3=15，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，正确理解平行四边形的性质是解题的关键．
【变式3-1】（24-25七年级·北京顺义·阶段练习）由坐标平面内的三点A(1,1),B(3,1),C(1,−3)构成的
△ABC的面积是 ．
【答案】4
【分析】根据A(1,1),B(3,1),C(1,−3)得AB=2,AB∥x轴，AC=4,AC∥y轴，继而得到直角三角形
CAB，计算面积即可，本题考查了点的坐标特征与坐标轴的关系，熟练掌握判定坐标与坐标轴的关系是解
题的关键．
【详解】∵A(1,1),B(3,1),C(1,−3)
∴AB=2,AB∥x轴，AC=4,AC∥y轴，
∴△CAB是直角三角形，
1 1
∴ AB·AC= ×2×4=4，
2 2
故答案为：4．
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学科网（北京）股份有限公司【变式3-2】（24-25七年级·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，由点
A(a，2)，B(a-2，2)，C(b，-2)组成的三角形ABC的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】根据A和B两点的纵坐标相等，可得线段AB的长，再根据点C的纵坐标，可得以AB为底的
△ABC的高，从而△ABC的面积可求．
【详解】解析：由点A(a，2)，B(a-2，2)，得AB=2，
点C在直线y=−2上，AB与直线y=−2平行，且平行线间的距离为4，
1
∴S= ×2×4=4．
2
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的面积计算，明确平面直角坐标系中的点的坐标特点及如何求相应线段的长，
是解题的关键．
【变式3-3】（24-25七年级·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,n+2)，
B(k,n+2)，C(4,n+4)，D(2,n+k)．则四边形ABCD的面积= （用含有k的式子表示）
【答案】2k−4/−4+2k
【分析】本题主要考查了坐标与图形，延长BA交y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，延长AD交CF
于点H，过点C作CG⊥AG于点G，根据A(2,n+2)，B(k,n+2)，C(4,n+4)，D(2,n+k)，得出
CH=4−2=2，AH=n+4−(n+2)=2，DH=n+4−(n+k)=4−k，BG=4−k，利用割补法求出四边
8
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学科网（北京）股份有限公司形的面积即可．
【详解】解：延长BA交y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，延长AD交CF于点H，过点C作
CG⊥AG于点G，
∵A(2,n+2)，B(k,n+2)，C(4,n+4)，D(2,n+k)，
∴AD∥y轴，AB∥x轴，
∴AH∥CG，CH∥EG，
∴CH=4−2=2，AH=n+4−(n+2)=2，
DH=n+4−(n+k)=4−k，
BG=4−k，
∴四边形ABCD的面积为：
1 1
2×2− ×2×(4−k)− ×2×(4−k)
2 2
=4−4+k−4+k
=2k−4．
故答案为：2k−4．
【题型4 各边都不在坐标轴上的图形的面积】
【例4】（24-25七年级·上海静安·周测）如图，三角形ABC的面积等于（ ）
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学科网（北京）股份有限公司1 1
A．12 B．12 C．13 D．13
2 2
【答案】D
【分析】过点A作AD⊥x轴于D，利用S =S −S −S ，求出S ，S 和S
ΔABC 梯 形BODAΔBOC ΔACD 梯 形BODAΔBOC ΔACD
进而进行求解即可．
【详解】过点A作AD⊥x轴于D，如图所示：
由题意可得，BO=3，OC=3，
AD=6，CD=3，
∴OD=6，
∴S =S −S −S ，
ΔABC 梯 形BODAΔBOC ΔACD
1 1 1
= (BO+AD)⋅OD− ⋅BO⋅OC− ⋅CD⋅AD
2 2 2
1 1 1
= (3+6)×6− ×3×3− ×3×6
2 2 2
10
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学科网（北京）股份有限公司54 9 18
= − −
2 2 2
27
= ，
2
27
即S = ，
ΔABC 2
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用和差法转化求三角形的面积，正确读懂题意是解题的关键．
【变式4-1】（24-25七年级·重庆长寿·期末）已知点A(2,2)，B(1,0)，点C在坐标轴上，且三角形ABC的
面积为2，请写出所有满足条件的点C的坐标 ．
【答案】(−1,0)或(3,0)或(0,2)或(0,−6)
【分析】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，根据点C位于不同的数轴分类讨论是解题的关键．
分点C在x轴上和点C在y轴正半轴上和点C在y轴负半轴上上三种情况，利用三角形的面积公式求出BC或
OC的长度，即可求解．
1
【详解】解：若点C在x轴上，则S = ×BC×2=2，
△ABC 2
解得BC=2，
所以，点C的坐标为(1+2,0)或(1−2,0)，即(3,0)或(−1,0)，
1 1 1
若点C在y轴正半轴上，则S = ×(OC+2)×2− ×OC×1− ×(2−1)×2=2，
△CAB 2 2 2
解得OC=2，
所以，点C的坐标为(0,2)，
1 1 1
若点C在y轴负半轴上，则S = ×(OC+2+OC)×1+ ×OC×1− ×(2+OC)×2=2，
△CAB 2 2 2
解得OC=6，
所以，点C的坐标为(0,−6)，
综上所述，点C的坐标为(−1,0)或(3,0)或(0,2)或(0,−6)，
故答案为：(−1,0)或(3,0)或(0,2)或(0,−6)．
【变式4-2】（24-25七年级·湖北鄂州·期中）如图，直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在网格点上，其
中点C的坐标为(1,1)．
11
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学科网（北京）股份有限公司(1)写出点A，B的坐标A（______），B（______）；
(2)将三角形ABC先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到三角形A′B′C′，则点A′，B′
，C′的坐标分别是A′（______），B′（______），C′（______）；
(3)计算三角形ABC的面积．
【答案】(1)(2,−2)，(4,2)
(2)(0,−3)，(2,1)，(−1,0)
(3)5
【分析】本题考查了坐标与图形、平移等知识点，掌握相关结论即可．
（1）根据直角坐标系中A,B,C三点的位置即可求解；
（2）根据平移方向和距离即可求解；
（3）利用“割补法”即可求解；
【详解】（1）解：根据直角坐标系中A,B,C三点的位置可得：A(2,−2)，B(4,2)，
故答案为：(2,−2)，(4,2)；
（2）解：∵将三角形ABC先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，
∴A′(2−2,−2−1)，B′(4−2,2−1)，C′(1−2,1−1)，
即：A′(0,−3)，B′(2,1)，C′(−1,0)，
故答案为：(0,−3)，(2,1)，(−1,0)；
1 1 1
（3）解：三角形ABC的面积=3×4− ×1×3− ×1×3− ×2×4=5．
2 2 2
【变式4-3】（24-25七年级·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(−3,−2)，点
C(4,−3)，则三角形ABC的面积是（ ）
12
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学科网（北京）股份有限公司A．19 B．20 C．21 D．21.5
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质．过点A作DE∥x轴，过点B作EF∥y轴，过点
C作CD∥y轴，过点C作CF∥x轴，根据题意可得AD=2,CD=6,AE=5,BE=5,BF=1,CF=7，即
可求解．
【详解】解：如图，过点A作DE∥x轴，过点B作EF∥y轴，过点C作CD∥y轴，过点C作CF∥x
轴，
∵点A(2,3)，点B(−3,−2)，点C(4,−3)，
∴AD=2,CD=6,AE=5,BE=5,BF=1,CF=7，
1 1 1 25 7
∴三角形ABC的面积是：6×7− ×2×6− ×5×5− ×17=42−6− − =20．
2 2 2 2 2
故选：B
【题型5 由面积之间的关系求坐标】
【例5】（24-25七年级·北京西城·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知三角形的三个顶点坐标分别是
A(0,1)，B(1,0)， C(1,2)，点P在y轴上，设三角形ABP和三角形ABC的面积相等，那么点P坐标是
．
【答案】(0,−1)或(0,3)
【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握点坐标的性质是解题关键．设点P坐标是(0,a)，先分别求出三
角形ABP和三角形ABC的面积，再根据三角形ABP和三角形ABC的面积相等建立方程，解方程即可得答
案．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：如图，由题意，设点P坐标是(0,a)，
∵A(0,1)，B(1,0)， C(1,2)，
∴BC=2，AP=|a−1)，三角形ABC的BC边上的高为1，
1 1 |a−1)
∴三角形ABC的面积为 ×2×1=1，三角形ABP的面积为 ×1⋅|a−1)= ，
2 2 2
∵三角形ABP和三角形ABC的面积相等，
|a−1)
∴ =1，
2
解得a=−1或a=3，
则点P坐标是(0,−1)或(0,3)，
故答案为：(0,−1)或(0,3)．
【变式5-1】（24-25七年级·江西南昌·期中）已知点A(3,0)，B(0,4)，点C在x轴上，且△BOC的面积是
△ABC的面积的3倍，那么点C的坐标可以为 ．
(9 ) (9 )
【答案】 ,0 或 ,0
2 4
【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是理解题意；设点C(x,0)，则有AC=|x−3)，OB=4，
然后根据△BOC与△ABC的面积关系可进行求解．
【详解】解：设点C(x,0)，则有AC=|x−3)，OB=4，OC=|x)
∵△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，
1 1
∴ ×4×|x)=3× ×4×|x−3)
2 2
9 9
解得：x= 或 ，
2 4
(9 ) (9 )
∴点C ,0 或 ,0 ；
2 4
14
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学科网（北京）股份有限公司(9 ) (9 )
故答案为 ,0 或 ,0 ．
2 4
【变式5-2】（24-25七年级·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐
标分别为(m−2,n)，(m−2,n+2023)，(5,t+2022)，若△ABO的面积为△ABC面积的2倍，则m的值为
16
【答案】12或
3
【分析】由A,B点的横坐标相等，得出AB∥y轴，AB=2023，点C到AB的距离为|m−7)，根据△ABO
的面积为△ABC面积的2倍，建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵A、B、C的坐标分别为(m−2,n),(m−2,n+2023),(5,t+2022)，
∴AB∥y轴，AB=n+2023−n=2023，
点C到AB的距离为|m−2−5)=|m−7)
∵若△ABO的面积为△ABC面积的2倍，
1 1
∴ ×2023×|m−2)=2× ×2023×|m−7)
2 2
即|m−2)=2×|m−7)
16
解得m=12或m=
3
16
故答案为：m=12或m= ．
3
【点睛】本题考查了坐标与图形，两点之间的距离，点到直线的距离，正确建立方程是解题的关键．
【变式5-3】（24-25七年级·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x
轴正半轴上，OA=2，OB=1，点C是第一象限内一点且AC∥x轴，将线段AB经过一定的平移得到线段
CD，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接AD，S =6，点P为y轴上一动点，当
△ACD
1
S = S 时，点P的坐标为 ．（注：S 表示△ACD的面积）
△PAB 4 △AOD △ACD
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【答案】 0,− 或 0, ．
2 2
【分析】根据三角形的面积求出AC=6，然后利用平移的性质可求点D坐标，由三角形的面积公式可求
解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，在y轴取点P，连接PB，
∵AC∥x轴，将线段AB经过一定的平移得到线段CD，OA=2，
∴DE=OA=2，
∵S =6，
△ACD
1
∴ AC·DE=6，
2
∴AC=6，
∴点C(6,2)，
∵将线段AB进行适当的平移得到线段CD，OB=1，
∴CE=OB=1，
∴点D(5,4)，
1
∵S = S ，
△PAB 4 △AOD
1 1 1
∴ AP×1= × ×2×5，
2 4 2
5
∴AP= ，
2
∵点A(0,2)，
( 1) ( 9)
∴P 0,− 或P 0, ．
2 2
( 1) ( 9)
故答案为： 0,− 或 0, ．
2 2
【点睛】本题考查了作图-平移变换，平面直角坐标系，三角形面积公式，坐标的平移等知识，掌握平移的
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【题型6 直线分面积求值】
【例6】（24-25七年级·湖北十堰·期中）如图，A(−2,0)、B(0,3)、C(2,4)、D(3,0)，点P在x轴上，直
线CP将四边形ABCD的面积分成1:2两部分，则OP的长为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，作CE⊥x轴，CP与x轴交于点P，用分割法求出四边形
的面积，分类讨论求出△PDC的面积，再求出PD的值，进而可得OP的值，根据坐标与图形的性质，用
分割法求出不规则图形的面积，再进行计算是解本题的关键．
【详解】解：如图，作CE⊥x轴，CP与x轴交于点P，
1 1
由题意可得，S = OA·OB= ×2×3=3
△ABO 2 2
1 1
S = (OB+CE)·OE= ×(3+4)×2=7，
梯形OECB 2 2
1 1
S = ED·CE= ×1×4=2，
△EDC 2 2
∴S =S +S +S =3+7+2=12，
四边形ABCD △ABO 梯形OECB △EDC
1 1
∵S = PD·CE= PD×4=2PD，
△PCD 2 2
∴S ∶S =2PD∶12=PD∶6，
△PCD 四边形ABCD
①当S ∶S =1∶3时，即PD∶6=1∶3，
△PCD 四边形ABCD
解得PD=2，
∴点P的坐标为(1,0)，
∴OP=1；
17
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学科网（北京）股份有限公司②当S ∶S =2∶3时，即PD∶6=2∶3，
△PCD 四边形ABCD
解得PD=4，
∴点P的坐标为(−1,0)，
∴OP=1；
综上所述，OP=1，
故答案为：1．
【变式6-1】（24-25七年级·辽宁葫芦岛·期中）如图，平面直角坐标系中的图案是由六个边长为1的正方
形组成的，B(3,3)，A(a,0)是x轴上的动点，当AB将图案分成面积相等的两部分时，a等于（ ）
4 3 5
A．1 B． C． D．
3 2 3
【答案】A
1 1 1
【分析】根据三角形面积公式，结合题意列出方程S = AC⋅BC= (3−a)×3= ×6×12 并求解即
△ABC 2 2 2
可．
【详解】解：如下图，当AB将图案分成面积相等的两部分时，
1 1
则有S = AC⋅BC= ×6×12 ，
△ABC 2 2
1
即 (3−a)×3=3，解得a=1．
2
故选：A．
18
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意列出方程是解题关键．
【变式6-2】（24-25七年级·四川凉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，
CB∥OA，且OA=12，OC=BC=4．
(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2)若动点P从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当直线PC把四边形OABC分成面积
相等的两部分时，求点P的运动时间；
(3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点Q，连接PQ，使△CPQ的面积与四边形OABC的面积相等？
若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A(12，0)，B(4，4)，C(0，4)；
(2)4
(3)Q (0，20)，Q (0,−12)
1 2
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了线段长的求法，点的坐标的确定，三角形四边形面积的计算，
解本题的关键是△OPC面积的计算．
（1）根据线段的长和线段的特点确定出点的坐标；
1
（2）先求出S =32，从而得到 OP×4=16，求出OP，即可得到答案；
四边形OABC 2
（3）根据四边形OABC的面积求出△CPQ的面积是32，最后求出点Q的坐标．
【详解】（1）解：∵点A、C在x轴上，OA=12．
∴A(12，0)，
∵C在y轴上，OC=4，
∴C(0，4)，
∵CB∥OA，CB=4，
∴B(4，4)；
(4+12)×4
（2）解：∵S = =32，
四 边 形OABC 2
设运动时间t秒，
19
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学科网（北京）股份有限公司∴OP=2t，
1 1
∴ ×2t×4=32× ，
2 2
∴t=4；
（3）解：设Q(0,y)，
∵S =S ，
ΔCPQ 四 边 形OABC
1 1
∴ |y−4)×4= ×(4+12)×4=32
2 2
∴y =20，y =−12，
1 2
∴Q (0，20)，Q (0,−12)．
1 2
【变式6-3】（24-25七年级·北京西城·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知三角形的三个顶点坐标分别
是A(0,1)，B(1,0)， C(1,2)，点P在y轴上，设三角形ABP和三角形ABC的面积相等，那么点P坐标是
．
【答案】(0,−1)或(0,3)
【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握点坐标的性质是解题关键．设点P坐标是(0,a)，先分别求出三
角形ABP和三角形ABC的面积，再根据三角形ABP和三角形ABC的面积相等建立方程，解方程即可得答
案．
【详解】解：如图，由题意，设点P坐标是(0,a)，
∵A(0,1)，B(1,0)， C(1,2)，
∴BC=2，AP=|a−1)，三角形ABC的BC边上的高为1，
1 1 |a−1)
∴三角形ABC的面积为 ×2×1=1，三角形ABP的面积为 ×1⋅|a−1)= ，
2 2 2
∵三角形ABP和三角形ABC的面积相等，
|a−1)
∴ =1，
2
20
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学科网（北京）股份有限公司解得a=−1或a=3，
则点P坐标是(0,−1)或(0,3)，
故答案为：(0,−1)或(0,3)．
【题型7 新定义问题中的面积】
【例7】（24-25七年级·广东河源·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面
积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”ℎ ：任意两点纵坐标差的最
大值，则“矩面积”S=aℎ．例如：三点坐标分别为A(1，2)，B(−3，1)，C(2，−2)，则“水平底”
a=5，“铅垂高”ℎ =4，“矩面积”S=aℎ =20．若D(1，2)、E(−2，1)、F(0，t)三点的“矩面积”为
18，则t的值为( )
A．−3或7 B．−4或6 C．−4或7 D．−3或6
【答案】C
【分析】根据题意可以求得a的值，然后再对t进行讨论，即可求得t的值．
【详解】由题意可得，
“水平底”a=1−(−2)=3，
当t>2时，
ℎ
=t−1，
则3(t−1)=18，
解得，t=7，
故点F的坐标为(0，7)；
当1≤t≤2时，
ℎ
=2−1=1≠6，
故此种情况不符合题意；
当t<1时，
ℎ
=2−t，
则3(2−t)=18，
解得t=−4，
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题．
【变式7-1】（24-25七年级·北京·期中）中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表
汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结，中国结有着复杂曼妙的曲线，
却可以还原成最单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲线中的双扭线在平面直角坐标系中如图所
示，则下列结论中正确的有（ ）
21
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学科网（北京）股份有限公司①双扭线围成的面积小于6；
②双扭线内部（包含边界）包含11个整数点（横坐标、纵坐标都是整数的点）；
③双扭线上任意一点到原点的距离不超过3；
④假设点P为双扭线上的一个点，A，B为双扭线与x轴的交点，则满足三角形PAB的面积等于3的P点有
4个．
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】C
1 3
【分析】本题考查了坐标与图形，①根据S = ×3×1= 、双扭线围成的面积>4S 即可判断；②
△OPB 2 2 △OPB
由图即可判断；③A,B两点与原点距离最大，即可判断；④设△PAB的高为
ℎ
，可得
ℎ
=1即可判断；
【详解】解：如图所示：
1 3
S = ×3×1= ，
△OPB 2 2
由对称性可知：双扭线围成的面积>4S =6，故①错误；
△OPB
由图可知：双扭线内部包含4个整数点，边界上有7个整数点，共11个，故②正确；
由图可知：A,B两点与原点距离最大，为3，故③正确；
设△PAB的高为
ℎ
，
∵S =3,AB=6
△PAB
∴
ℎ
=1
由图可知：点Q,P,M,N均满足题意，故④正确；
22
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学科网（北京）股份有限公司故选：C
【变式7-2】（24-25七年级·福建厦门·期末）在平面直角标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥
点”，现有以下结论：
①第一象限内有无数个“吉祥点”；
②第三象限内不存在“吉祥点”；
③已知点A(−2,1)，B(−2,−3)，若点P是“吉祥点”且在坐标轴上，则点P到直线AB的距离为8；
④已知点C(−1,−1)，D(3,−1)，若点Q是第一象限内的“吉祥点”三角形QCD的面积记为S，则
2|1−0)，
∴d (A,O)=|2−0)=2；
分解
d (A,O)=|2−0)+|1−0)=2+1=3；
和
故答案为：2；3．
（2）解：∵d (B,O)=3，
分解
∴|x)=3或|4−x)=3，
∵B点在第一象限，
∴x=3或4−x=3，
24
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学科网（北京）股份有限公司∴x=3或x=1，
即点B的坐标为(3,1)或(1,3)；
（3）解：∵d (C,O)=|x)+|y)=3，
和
又∵x≥0，y≥0，
∴x+ y=3，
当x=1时，y=2，即此时C(1,2)，
当x=0时，y=3，即此时C(0,3)，
当x=3时，y=0，即此时C(3,0)，
∵符合条件的点C的横纵坐标符合x+ y=3，即y=−x+3，
∴符合条件的点C在一条直线上，如图所示：
1 9
这条直线与坐标轴围成的面积为S= ×3×3= ．
2 2
【题型8 面积中的规律问题】
【例8】（24-25七年级·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点按照图中箭头所示的方向运
动，第1次从原点运动到点P(1,−1)，第2次运动到点A (2,0)，第3次运动到点A (3,2)，第4次运动到
1 2
点A (4,0)，第5次运动到点A (5,−1)，…，按照这样的规律运动下去，则三角形OPA 的面积是
3 4 2023
．
25
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学科网（北京）股份有限公司【答案】1012
【分析】根据图形可得，当点A的下标为奇数时，该点在x轴上，再依次计算出△OPA ，△OPA ，
1 3
△OPA 的面积，总结出一般规律，即可求解．
5
【详解】解：根据题意可得：
A (2,0)，A (4,0)，A (6,0)，A (8,0)……A (2n+2,0)，
1 3 5 7 2n+1
∵P(1,−1)，
1
∴S = ×2×1=1，
△OPA 1 2
1
S = ×4×1=2，
△OPA 3 2
1
S = ×6×1=3，
△OPA 5 2
1
S = ×8×1=4，
△OPA 7 2
……
1
S = ×(2n+2)×1=n+1，
△OPA 2n+1 2
当2n+1=2023时，解得：n=1011，
∴S =1011+1=1012，
△OPA
2023
故答案为：1012．
【点睛】本题主要主要考查了点的坐标变化规律，解题的关键是根据图形和题意，总结出各个三角形面积
变化的一半规律．
【变式8-1】（24-25七年级·浙江宁波·期末）如图，在一单位长度为1cm的方格纸上，依如所示的规律，
设定点A 、A 、A 、A 、A 、A 、A 、⋯ A ，连接点O、A 、A 组成三角形，记为Δ1，连接O、
1 2 3 4 5 6 7 n 1 2
A 、A 组成三角形，记为Δ2 ⋯，连O、A 、A 组成三角形，记为Δn（n为正整数），请你推断，当n
2 3 n n+1
为50时，Δn的面积=（ ）cm2
26
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学科网（北京）股份有限公司A．1275 B．2500 C．1225 D．1250
【答案】A
1 1
【分析】根据图形计算发现：第一个三角形的面积是 ×1×2=1，第二个三角形的面积是 ×2×3=3，
2 2
1 1
第三个图形的面积是 ×3×4=6，即第n个图形的面积是 n(n+1)，即可求得，△n的面积．
2 2
1
【详解】由题意可得规律：第n个图形的面积是 n(n+1)，
2
所以当n为50时，
1
△n的面积= ×50×(50+1)=1275．
2
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点的坐标变化规律，通过计算前面几个具体图形的面积发现规律是解题关键．
【变式8-2】（24-25七年级·湖南邵阳·期中）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原
点O出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1
次移动到点A ，第2次移动到点A ……第n次移动到点A ，则△OA A 的面积是（ ）
1 2 n 2 2026
1011
A．505m² B． m2 C．506m² D．1012m²
2
【答案】C
【分析】确定从A 到A 水平移动的距离即可求解．
2 2026
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由图可知：从A 到A 需要移动的次数为：6−2=4=4×1
2 6
水平移动的距离为：2×1=2（m）
从A 到A 需要移动的次数为：10−2=8=4×2
2 10
水平移动的距离为：2×2=4（m）
…
依此类推：从A 到A 需要移动的次数为：2026−2=2024=4×506
2 2026
水平移动的距离为：2×506=1012（m）
1
∴△OA A 的面积为： ×1×1012=506m2
2 2026 2
故选：C
【点睛】本题考查规律题．根据题意确定一般规律是解题关键．
【变式8-3】（24-25七年级·全国·专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换
成三角形OAB，第二次将三角形OAB 变换成三角形OAB，第三次将三角形OAB 变换成三角形
1 1 1 1 2 2 2 2
OAB，已知A（1，2），A（2，2），A（4，2），A（8，2）；B（2，0），B（4，0），B（8，0），
3 3 1 2 3 1 2
B（16，0）．
3
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化？找出规律，按此规律再将三角形OAB 变换成三角形OAB，
3 3 4 4
则A 的坐标是________，B 的坐标是________；
4 4
（2）若按（1）中找到的规律将三角形OAB进行n次变换，得到三角形OA B ，推测A 的坐标是
n n n
________，B 的坐标是________．
n
（3）求出△OAnBn的面积．
【答案】（1）(16，2)， (32，0)；（2）(2n，2)， (2n+1，0)；（3）2n+1．
【分析】（1）观察图形并结合已知条件，找到A 的横坐标、纵坐标的规律，及B 的横坐标、纵坐标的规
n n
律，即可解题；
（2）根据规律：A 的横坐标是2n，纵坐标都是2，得到A 的坐标是(2n，2)，B 的横坐标是2n＋1，纵坐标
n n n
都是0，得到B 的坐标是(2n＋1，0)；
n
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学科网（北京）股份有限公司（3）分别计算ΔOA B 、ΔOA B 、ΔOA B 的面积，找到面积规律ΔOA B 的面积为:
1 1 2 2 3 3 n n
1
×2n+1×2=2n+1
.
2
【详解】解：（1）∵A（1，2），A（2，2），A（4，2），A（8，2）
1 2 3
∴A的横坐标1=20,A 的横坐标 2=21,A 的横坐标4=22,A 的横坐标8=23，三个点的纵坐标都是2，
1 2 3
∴A 的横坐标是24=16，纵坐标是0，
4
∴A (16,2)，
4
又B（4，0），B（8，0），B（16，0），
1 2 3
∴B 的横坐标4=22,B 的横坐标 8=23,B 的横坐标16=24，三个点的纵坐标都是0，
1 2 3
∴B 的横坐标25=32，纵坐标是2，
4
∴B (32,0)
4
故答案为：(16，2), (32，0)；
（2）由A（2，2），A（4，2），A（8，2）
1 2 3
可以发现它们各点坐标的关系为：横坐标是2n，纵坐标都是2，得到A 的坐标是(2n，2)，
n
由B（4，0），B（8，0），B（16，0）
1 2 3
可以发现，它们各点坐标的关系为：横坐标是2n＋1，纵坐标都是0，得到B 的坐标是(2n＋1，0)，
n
故答案为：(2n，2)，(2n＋1，0)；
1 1
（3）ΔOA B 的面积为 ×22×2=22 ，ΔOA B 的面积为 ×23×2=23 ，ΔOA B 的面积为
1 1 2 2 2 2 3 3
1
×24×2=24
，
2
1
据此规律可得ΔOA B 的面积为: ×2n+1×2=2n+1 .
n n 2
【点睛】本题考查平面直角坐标系与图形规律，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.
29
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