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2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优题典【人教版】
专题9.3一元一次不等式组专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
{x+1＞2
1．（2022•海珠区二模）不等式组 的解集是（ ）
3x−4≥2
A．x≥2 B．1＜x＜2 C．1＜x≤2 D．x≤2
【分析】分别求出每个不等式的解集，继而可得答案．
【解答】解：由x+1＞2，得：x＞1，
由3x﹣4≥2，得：x≥2，
则不等式组的解集为x≥2，
故选：A．
2．（2022•九龙坡区校级开学）已知在平面直角坐标系中，点A（m+4，2m+3）位于第四象限，则m的取
值范围是（ ）
3 3 3
A．m＞− B．m＜﹣4 C．﹣4＜m＜ D．﹣4＜m＜−
2 2 2
【分析】根据第四象限点的横坐标大于0，纵坐标小于0列出不等式组求解即可．
【解答】解：∵点A（m+4，2m+3）在第四象限，
{m+4＞0
∴ ，
2m+3＜0
3
解得﹣4＜m＜− ．
2
故选：D．
{x≥−2
3．（2022•河东区校级开学）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
x≤1
A． B．
C． D．
【分析】直接根据两个不等式的解集，在数轴上表示出来即可．{x≥−2
【解答】解：∵ ，
x≤1
∴不等式组的解集为：﹣2≤x≤1，
在数轴上表示为：
故选：A．
{2(x+1)＞4
4．（2022春•相城区期末）若关于x的不等式组 的解集是x＞1，则a的取值范围是（ ）
x＞a
A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1
【分析】求出不等式的解集，根据已知得出关于a的不等式，求出即可．
{2(x+1)＞4①
【解答】解：
x＞a②
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＞a，
{2(x+1)＞4
∵关于x的不等式组 的解集是x＞1，
x＞a
∴a≤1，
∴a的取值范围是a≤1，
故选：B．
5．（2022春•滦南县期末）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲
说：“至少25元”乙说：“至多22元，”丙说：“至多20元，”小明说：“你们三个人都说错了”．
则这本书的价格x（元）所在的范围为（ ）
A．20＜x＜22 B．22＜x＜25 C．20＜x＜25 D．21＜x＜24
【分析】根据甲、乙、丙三人都说错了，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
{x＜25
【解答】解：依题意得： x＞22，
x＞20
∴22＜x＜25．
故选：B．
{x−a≤1
6．（2022春•长沙期末）已知关于x的不等式组 的解集为﹣1＜x≤2，则a的值为（ ）
x+3＞2
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再结合已知
不等式组的解集得出关于a的值．
【解答】解：解不等式x﹣a≤1，得：x≤a+1，
解不等式x+3＞2，得：x＞﹣1，
所以不等式组的解集为﹣1＜x≤a+1，
∵不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
∴a+1＝2，
解得a＝1，
故选：A．
{2x+ y=k+1
7．（2022秋•宁海县校级期中）方程组 的解满足0＜x+y＜1，则K的取值范围是（ ）
x+2y=3
A．k＜﹣1 B．﹣1＜k＜0 C．﹣4＜k＜﹣1 D．k＞﹣4
【分析】①+②求出x+y＝k﹣1，根据已知得出不等式0＜k﹣1≤1，求出即可．
{2x+ y=k+1①
【解答】解： ，
x+2y=3②
∵①+②得：3x+3y＝k+4，
k+4
∴x+y= ，
3
{2x+ y=k+1
∵方程组 的解满足0＜x+y＜1，
x+2y=3
k+4
∴0＜ ＜1，
3
∴k的取值范围为：﹣4＜k＜﹣1．
故选：C．
{x−(4a−2)≤2
8．（2022秋•九龙坡区校级期中）若关于x的不等式组 的解集为x≤4a，且关于y、z的
3x−1 x+2
＜
2 3
{y+2z=4a+5
二元一次方程组 的解满足y+z≥﹣1，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
2y+z=2a+4
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．3
1
【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组的解集为 x≤4a，从而可得4a＜1，进而可得a＜
4，然后再把两个二元一次方程相加可得y+z＝2a+3，再结合已知可得
1
2a+3≥﹣1，从而可得a≥﹣2，进而可得﹣2≤a＜ ，最后进行计算即可解答．
4
{x−(4a−2)≤2①
【解答】解： ，
3x−1 x+2
＜ ②
2 3
解不等式①得：x≤4a，
解不等式②得：x＜1，
∵不等式组的解集为x≤4a，
∴4a＜1，
1
∴a＜ ，
4
{y+2z=4a+5①
，
2y+z=2a+4②
①+②得：
3y+3z＝6a+9，
∴y+z＝2a+3，
∵y+z≥﹣1，
∴2a+3≥﹣1，
解得：a≥﹣2，
1
∴﹣2≤a＜ ，
4
∴满足条件的所有整数a的和＝﹣2+（﹣1）+0＝﹣3，
故选：A．
{−2x+3m
9．（2022秋•巴南区校级期中）若关于x的一元次不等式组 ≥2x 有解，且最多有3个整数解，
4
2x+7≤4(x+1)
2m−3(8−y)
且关于y的方程3y﹣2= 的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
2
A．23 B．26 C．29 D．39
3m
【分析】先解一元一次不等式组，根据题意可得 2≤ ＜5，再解一元一次方程，根据题意可得
102m−20 2m−20 50 2m−20
≥0且 为整数，从而可得10≤m＜ 且 为整数，然后进行计算即可解答．
3 3 3 3
{−2x+3m
【解答】解： ≥2x①，
4
2x+7≤4(x+1)②
3m
解不等式①得：x≤ ，
10
3
解不等式②得：x≥ ，
2
∵不等式组有解且至多有3个整数解，
3m
∴2≤ ＜5，
10
20 50
∴ ≤m＜ ，
3 3
2m−3(8−y)
3y﹣2= ，
2
2m−20
解得：y= ，
3
∵方程的解为非负整数，
2m−20 2m−20
∴ ≥0且 为整数，
3 3
2m−20
∴m≥10且 为整数，
3
50 2m−20
综上所述：10≤m＜ 且 为整数，
3 3
∴m＝13，16，
∴满足条件的所有整数m的和＝13+16＝29，
故选：C．
10．（2022秋•坪山区校级期中）高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．
例如：[2.3]＝2，[﹣1.5]＝﹣2．则下列结论：
①[﹣2.1]+[﹣1]＝﹣3：②[x]+[﹣x]＝0；③若[x﹣1]＝1，则x的取值范围是2＜x＜3；④当﹣1＜x＜1
时，[x+1]+[﹣x+1]的值为0，1，2．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答．【解答】解：①[﹣2.1]+[﹣1]＝﹣3+（﹣1）＝﹣4，故①错误；
②[x]+[﹣x]＝0，错误，例如：[2.5]＝2，[﹣2.5]＝﹣3，2+（﹣3）≠0；
③若[x﹣1]＝1，则x的取值范围是2≤x＜3，正确；
④当﹣1＜x＜1时，0＜x+1＜2，0＜﹣x+1＜2，
∴[x+1]＝1，[﹣x+1]＝0或1，
所以[x+1]+[﹣x+1]的值为1、2，故错误．
所以正确的有③，共1．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
{2x＞x+1，
11．（2022•襄阳）不等式组 的解集是 x ＞ 2 ．
4x−1＞7
【分析】分别解出每个不等式，再求公共解集即可．
{2x＞x+1①
【解答】解： ，
4x−1＞7②
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＞2，
∴不等式组的解集为x＞2，
故答案为：x＞2．
12．（2022春•钦北区期末）一个关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集
﹣ 3 ＜ x ≤ 2 ．
【分析】根据数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可．
【解答】解：由数轴可知，这个不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
故答案为：﹣3＜x≤2．
{2x+4≥0
13．（2022•青海）不等式组 的所有整数解的和为 0 ．
6−x＞3
【分析】先解不等式组，求出x的范围，再求出满足条件的整数，相加即可得答案．
{2x+4≥0①
【解答】解： ，
6−x＞3②
由①得：x≥﹣2，
由②得x＜3，∴﹣2≤x＜3，
x可取的整数有：﹣2，﹣1，0，1，2；
∴所有整数解的和为﹣2﹣1+0+1+2＝0，
故答案为：0．
14．（2022春•凤泉区校级期末）对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]＝1，[﹣2.5]＝
﹣3，若[x﹣2]＝﹣1，则x的取值范围为 1 ≤ x ＜ 2 ．
【分析】根据定义列不等式直接求解即可．
【解答】解：由已知可得，﹣1≤x﹣2＜0，
解得，1≤x＜2．
故答案为：1≤x＜2．
{x+3 y=4−a
15．（2022春•庐江县期末）已知关于x、y的方程组 其中﹣3≤a≤1．
x−y=3a
①当a＝ ﹣ 2 时，x、y的值互为相反数；
②若x≤1，则y的取值范围是 1 ≤ y ≤ 4 ．
【分析】（1）将两方程相加可得x+y＝a+2，再结合x+y＝0可得关于a的方程，解之即可；
{3−2y≤1
{x+a=4−3 y {x=3−2y
（2）由题意知 ，据此得 ，再根据﹣3≤a≤1，x≤1知 1−y≥−3，解之即可
x−3a= y a=1−y
1−y≤1
得出答案．
{x+3 y=4−a①
【解答】解：（1） ，
x−y=3a②
①+②得：2x+2y＝2a+4，
∴x+y＝a+2，
∵x，y的值互为相反数，
∴x+y＝0，
∴a+2＝0，
∴a＝﹣2；
{x+a=4−3 y
（2）由题意得 ，
x−3a= y
{x=3−2y
解得： ，
a=1−y
∵﹣3≤a≤1，x≤1，{3−2y≤1
∴ 1−y≥−3，
1−y≤1
解得1≤y≤4．
{3x−6＞0
16．（2022•绥化）不等式组 的解集为x＞2，则m的取值范围为 m ≤ 2 ．
x＞m
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集可得答案．
【解答】解：由3x﹣6＞0，得：x＞2，
∵不等式组的解集为x＞2，
∴m≤2，
故答案为：m≤2．
{ 2x−1＞a
17．（2022•福州开学）若不等式组 无解，则a的取值范围是 a ≥ 3 ．
1−2x≥x−5
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了确定关于a的不等式，解之可得．
a+1
【解答】解：解不等式2x﹣1＞a，得：x＞ ，
2
解不等式1﹣2x≥x﹣5，得：x≤2，
∵不等式组无解，
a+1
∴ ≥2，
2
解得a≥3．
故答案为：a≥3．
18．（2022春•平潭县期末）把一些书分给几名同学，如果每人分 4本，那么余9本；如果前面的每名同
学分6本，那么最后一人就分得不超过2本，则这些书有 3 7 本 ．
【分析】设共有x名同学分书，则这批书共有（4x+9）本，根据“如果前面的每名同学分6本，那么最
后一人就分得不超过2本”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结
合x为正整数即可得出结论．
【解答】解：设共有x名同学分书，则这批书共有（4x+9）本，
依题意，得：{ 4x+9＞6(x−1) ，
4x+9≤6(x−1)+2
13 15
解得： ≤x＜ ，
2 2
又∵x为正整数，∴x＝7，
∴4x+9＝37．
∴这些书有37本．
故答案为：37本．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
{3(x−1)−x≤−1
19．（2022秋•思明区校级期中）解不等式组： ，并把不等式组的解集表示在数轴上．
x x+1
＜
3 2
【分析】解出每个不等式的解集，再取公共部分即可．
{3(x−1)−x≤−1①
【解答】解： ，
x x+1
＜ ②
3 2
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞﹣3，
解集表示在数轴上如下：
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1．
{2(x−1)≥−4
20．（2022•淮安）解不等式组： 并写出它的正整数解．
3x−6
＜x−1
2
【分析】解不等式组求出它的解集，再取正整数解即可．
【解答】解：解不等式2（x﹣1）≥﹣4得x≥﹣1．
3x−6
解不等式 ＜x﹣1得x＜4，
2
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜4．
∴不等式组的正整数解为：1，2，3．
21．（2022春•南阳月考）北京2022官方特许商品旗舰店在北京冬奥会召开期间，购进一批A、B不同型号的盲盒，购进3个A型号的盲盒和4个B型号的盲盒需要566元；购进2个A型号的盲盒和1个B型
号的盲盒需要264元．
（1）A、B不同型号的盲盒单价各是多少元？
（2）该旗舰店计划购进A、B不同型号的盲盒共100件，其中B型号的盲盒的个数不大于A型号的盲盒
个数，并且计划费用不超过8450元，请问共有几种购买方案？
【分析】（1）设A种型号的盲盒的单价为x元，B种型号的盲盒的单价为y元，根据题意，列出二元一
次方程组可得出结论；
（2）设购进A种型号盲盒m件，则购进B种型号盲盒（100﹣m）件，根据题意列出一元一次不等式，
解之可得出结论．
【解答】解：（1）设A种型号的盲盒的单价为x元，B种型号的盲盒的单价为y元，
{3x+4 y=566
根据题意，得， ，
2x+ y=264
{x=98
解得 ，
y=68
∴A种型号的盲盒的单价为98元，B种型号的盲盒的单价为68元；
（2）设购进A种型号盲盒m件，则购进B种型号盲盒（100﹣m）件，
{ 100−m≤m
根据题意，得 ，
98m+68(100−m)≤8450
解得50≤m≤55，且m为正整数，
∴m可取50，51，52，53，54，55，共6种方案．
{x+2y=3m+1
22．（2022春•博罗县期末）已知关于x、y的方程组满足 ，且它的解x为负数，y为正数．
x−y=m−2
（1）试用含m的式子表示方程组的解；
（2）求实数m的取值范围；
（3）化简|m+2|+|m﹣1|．
【分析】（1）根据加减消元法，可以解答此方程组；
（2）根据（1）中的结果和x为负数，y为正数，可以列出相应的不等式组，然后求解即可；
（3）根据（2）中的结果，可以将绝对值符号去掉，然后化简即可．
{x+2y=3m+1 ①
【解答】解：（1） ，
x−y=m−2 ②
①﹣②，得：3y＝2m+3，
2m+3
解得y= ，
32m+3 5m−3
将y= 代入②，得：x= ，
3 3
5m−3
{x=
∴方程组的解是 3 ；
2m+3
y=
3
5m−3
{x=
（2）∵x为负数，y为正数， 3 ，
2m+3
y=
3
5m−3
{ ＜0
∴ 3 ，
2m+3
＞0
3
3 3
解得− ＜m＜ ，
2 5
3 3
即实数m的取值范围是− ＜m＜ ；
2 5
3 3
（3）∵− ＜m＜ ，
2 5
∴m+2＞0，m﹣1＜0，
∴|m+2|+|m﹣1|
＝m+2+1﹣m
＝3．
|a b| |a b|
23．（2022春•蜀山区校级期中）阅读理解：我们把 称为二阶行列式，规定它的运算法则为 =
c d c d
|2 3|
ad﹣bc，例如： =2×5﹣3×4＝﹣2．
4 5
|−1 2x−1| 1 | 2 1|
（1）填空：若 =0，则x＝ ， ＞0，则x的取值范围 x ＞ 1 ；
0.5 x 4 3−x x
|1 n|
（2）若对于正整数m，n满足，1＜ ＜3，求m+n的值；
m 4
|x−1 y| |x −y|
（3）若对于两个非负数x，y， = =k，求实数k的取值范围．
2 3 2 −1【分析】（1）根据法则得到﹣x﹣0.5（2x﹣1）＝0、2x﹣（3﹣x）＞0，然后解得即可．
（2）根据法则得到1＜4﹣mn＜3，解不等式求得1＜mn＜3，由m、n是正整数，则可求得m+n＝3；
（3）根据法则得到3（x﹣1）﹣2y＝﹣x+2y＝k，解方程组求得x，y的值，然后根据题意得关于k的不
等式组，解得即可．
【解答】解：（1）由题意可得﹣x﹣0.5（2x﹣1）＝0，
整理可得﹣x﹣x+0.5＝0，
1
解得x= ；
4
由题意可得2x﹣（3﹣x）＞0，
解得x＞1，
1
故答案为 ，x＞1；
4
（2）由题意可得，1＜4﹣mn＜3，
∴1＜mn＜3，
∵m、n是正整数，
∴m＝1，n＝2，或m＝2，n＝1，
∴m+n＝3；
（3）由题意可得3（x﹣1）﹣2y＝﹣x+2y＝k，
{3x−2y=k+3 ①
∴ ，
−x+2y=k ②
①+②得：2x＝2k+3，
2k+3
解得：x= ，
2
2k+3 2k+3
将x= 代入②，得：− +2y＝k，
2 2
4k+3
解得y= ，
4
∵x、均为非负数，
2k+3
{ ≥0
∴ 2 ，
4k+3
≥0
43
解得k≥− ．
4
24．（2022春•济源期末）某校八（3）班同学在社会实践调研活动中发现，某超市销售 A，B两种商品，
进价和售价如表所示：
商品 进价（元/件） 售价（元/件）
A 100 120
B 150 200
已知该超市购进A，B两种商品共花费6000元，销售完成后共获得利润1600元．
（1）填空：超市购进A种商品 3 0 件，B种商品 2 0 件；
（2）若超市再次购进A，B两种商品共50件，其中B商品的数量不多于A商品数量的3倍，且两种商
品的总利润不低于1900元，问共有几种购进方案？请求出利润最大的购进方案，并求出最大利润．
【分析】（1）设超市购进A种商品m件，B种商品n件，根据该超市购进A，B两种商品共花费6000
元，销售完成后共获得利润1600元列二元一次方程组，求解即可；
（2）设服装店购进A种商品x件，购进B种商品（50﹣x）件，获得总利润为w元，表示出w与x的一
次函数，根据B商品的数量不多于A商品数量的3倍，且两种商品总利润不低于1900元，列一元一次
不等式组，求出x取值范围，即可确定购进方案以及取得最大利润时的购进方案．
【解答】解：（1）设超市购进A种商品m件，B种商品n件，
{ 100m+150n=6000
根据题意，得 ，
(120−100)m+(200−150)n=1600
{m=30
解得 ，
n=20
∴超市购进A种商品30件，B种商品20件，
故答案为：30，20；
（2）设服装店购进A种商品x件，购进B种商品（50﹣x）件，获得总利润为w元，
由题意，得w＝（120﹣100）x+（200﹣150）（50﹣x）＝﹣30x+2500，
{ 50−x≤3x
根据题意，得 ，
−30x+2500≥1900
解得12.5≤x≤20，
∵x为整数，
∴x取13，14，15，16，17，18，19，20，
∴共有8种方案，
∵k＝﹣30＜0，∴w随x的增大而减小，
∴当x＝13时，w取得最大值，此时w＝﹣30×13+2500＝2110（元），
50﹣13＝37，
答：共有8种购进方案，利润最大的购进方案是超市购进A种商品13件，购进B种商品37件．最大利
润是2110元．
