文档内容
专题 15.6 分式运算的八大题型（60 题）
【人教版】
【题型1 分式的乘法运算】......................................................................................................................................1
【题型2 分式的除法运算】......................................................................................................................................3
【题型3 分式的乘除混合运算】..............................................................................................................................6
【题型4 含乘方的分式的乘除混合运算】...........................................................................................................10
【题型5 同分母分式的加减法】............................................................................................................................17
【题型6 异分母分式的加减法】............................................................................................................................20
【题型7 整式与分式相加减】................................................................................................................................24
【题型8 分式加减乘除混合运算】........................................................................................................................28
【题型1 分式的乘法运算】
( a2 ) 3 ( c ) 2
1．（23-24八年级·全国·课后作业）计算： ⋅ ．
3b ab
a4c2
【答案】
27b5
【详解】解析：分式乘法和乘方混合运算时，先乘方，再算乘法．
a6 c2 a4c2
答案：解：原式= ⋅ = ．
27b3 a2b2 27b5
a2 2c 2ac
易错：解：原式= ⋅ = ．
b3 ab b4
错因：把乘方当作乘法计算．
易错警示：一个式子里含有分式的乘方、乘法运算时，注意区分乘法和乘方，不能把乘方当作乘法计算．
(x+ y) 2 xy−y2 y
2．（23-24八年级·全国·单元测试）化简： ⋅ ⋅
xy−y2 xy+ y2 x−y
x+ y
【答案】
x−y【分析】本题考查了分式的乘法运算，先对分式的分子分母因式分解，约分后再相乘即可求解，掌握分式
的运算法则是解题的关键．
(x+ y) 2 y(x−y) y
【详解】解：原式= · ⋅
y(x−y) y(x+ y) x−y
x+ y
= ．
x−y
3．（2024八年级·浙江·专题练习）计算：
(−2x) 3 y2
(1) ⋅ ；
y 4x
2a2 a2−4a+4
(2) ⋅ ．
a2−2a a2−4
2x2
【答案】(1)−
y
2a
(2)
a+2
【分析】本题考查了分式的乘除混合运算．
（1 ）先乘方，再计算乘除．
（2 ）先把分子分母因式分解，然后约分即可．
(−2x) 3 y2
【详解】（1）解： ⋅
y 4x
−8x3 y2
= ⋅
y3 4x
2x2
=− ；
y
2a2 a2−4a+4
（2）解： ⋅
a2−2a a2−4
2a2 (a−2) 2
= ⋅
a(a−2) (a+2)(a−2)
2a
= ．
a+2a2−1 2ab
4．（2024八年级·全国·专题练习）计算： ⋅ ．
ab a2+2a+1
2a−2
【答案】
a+1
【分析】本题考查了分式的乘法运算，熟练进行因式分解是解题的关键；
先分解因式，再分子，分母进行约分即可；
a2−1 2ab
【详解】解： ⋅
ab a2+2a+1
(a+1)(a−1) 2ab
= ⋅
ab (a+1) 2
2a−2
= .
a+1
5．（2024八年级·全国·专题练习）计算：
ab2 4cd
(1) ⋅ ；
2c2 −3a2b2
3a−3b 25a2b3
(2) ⋅ ．
10ab a2−b2
2d
【答案】(1)−
3ac
15ab2
(2)
2(a+b)
【分析】（1）利用分式的乘除法运算法则约分化简即可得到答案；
（2）利用分式的乘除法运算法则和平方差公式即可得到答案
2d
【详解】（1）解：原式=− ；
3ac
3(a−b) 25a2b3
（2）解：原式= ⋅ •
10ab (a+b)(a−b)
15ab2
= ．
2(a+b)
【点睛】本题考查了分式的乘除法，正确找公因式约分是解题关键．
6．（23-24八年级·浙江宁波·期中）计算．b2
（1）a2b⋅ ．
a
x2−x x2−1
（2） ⋅ ．
x+1 x2−2x+1
【答案】（1）ab3，（2）x．
【分析】（1）直接运用分式乘法运算法则计算即可；
（2）先对能够因式分解的部分因式分解，然后再运用分式乘法运算法则计算即可．
b2
【详解】解：（1）a2b⋅ =ab3；
a
x2−x x2−1
（2） ⋅
x+1 x2−2x+1
x(x−1) (x+1)(x−1)
= ⋅
x+1 (x−1) 2
=x．
【点睛】本题主要考查了分式乘法，掌握分式乘法运算法则以及因式分解是解答本题的关键．
【题型2 分式的除法运算】
7．（2024八年级·全国·专题练习）计算：
8x2 6x
(1) ÷
x2+2x+1 x+1
2−m m2−4m+4
(2) ÷ ．
m+2 m2−4
4x
【答案】(1)
3x+3
(2)−1
【分析】（1）先将分式的除法转化成乘法，再利用分式的乘法运算法则即可计算结果；
（2）先将分式的除法转化成乘法，再利用分式的乘法运算法则，结合完全平方公式，平方差公式即可计
算结果．
8x2 x+1
【详解】（1）解：原式= ⋅
x2+2x+1 6x8x2 ⋅(x+1)
=
(x2+2x+1)⋅6x
4x⋅(x+1)
=
3(x+1) 2
4x
=
3(x+1)
4x
= ；
3x+3
2−m (m−2)(m+2)
（2）解：原式= ⋅
m+2 (m−2) 2
m−2 (m−2)(m+2)
＝− ⋅
m+2 (m−2) 2
＝﹣1；
【点睛】本题考查了分式的乘除法运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
x2−1 2x2−2
8．（23-24八年级·上海·期中）化简： ÷ ÷(x−1) 2
x2+2x+1 4x2+8x+4
2
【答案】
(x−1) 2
【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是掌握分式的除法运算法则．先将分式的分子和分母分
别因式分解，再根据分式的除法运算法则计算即可．
x2−1 2x2−2
【详解】解： ÷ ÷(x−1) 2
x2+2x+1 4x2+8x+4
x2−1 2(x2−1)
= ÷ ÷(x−1) 2
(x+1) 2 4(x+1) 2
x2−1 4(x+1) 2 1
= · ·
(x+1) 2 2(x2−1) (x−1) 2
2
=
(x−1) 2x2+2x+1 x+1
9．（2024·广东惠州·一模）计算： ÷ ．
x2−1 x3−x2
【答案】x2
【分析】本题考查分式的除法运算．把原式中的除法转化为乘法，将分子分母经过分解因式、约分把结果
化为最简即可．
(x+1) 2 x+1
【详解】解：原式= ÷
(x+1)(x−1) x2(x−1)
(x+1) 2 x2(x−1)
= ⋅
(x+1)(x−1) x+1
=x2．
a2 a
10．（23-24八年级·陕西安康·期末）化简： ÷ ．
a2−b2 a+b
a
【答案】
a−b
【分析】先将被除式的分母进行因式分解，同时将除式的分子分母颠倒位置与被除式相乘，再将分子相乘
的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，注意要约分将结果化为最简即可．
a2 a
【详解】解： ÷
a2−b2 a+b
a2 a+b
= ⋅
(a+b)(a−b) a
a
= ．
a−b
【点睛】本题考查了分式的乘除法法则，解题的关键是熟练掌握分式乘除法的法则以及分式的约分．
11．（23-24八年级·辽宁锦州·期中）计算：
4n3 2n
(1) ÷ ；
m m2
x2−4 y2 x−2y
(2) ÷ ．
x2+2xy+ y2 x+ y
【答案】(1)2mn2x+2y
(2)
x+ y
【分析】（1）将除法换为乘法，再约分即可；
（2）将各部分因式分解，再约分即可．
4n3 m2
【详解】（1）解：原式= ⋅
m 2n
=2mn2；
(x+2y)(x−2y) x−2y
（2）解：原式= ÷
(x+ y) 2 x+ y
(x+2y)(x−2y) x+ y
= ⋅
(x+ y) 2 x−2y
x+2y
= ．
x+ y
【点睛】本题主要考查分式的除法，掌握分式除法的相关运算法则是正确化简的关键．
x2+3xy−4 y2 x2+3x−3 y−y2
12．（23-24八年级·上海浦东新·期末）计算： ÷ ．
x2+8xy+16 y2 x2−16 y2
x−4 y
【答案】
x+ y+3
【分析】先分别对所有分子、分母因式分解，然后再化除为乘，最后约分计算即可．
(x−y)(x+4 y) (x−y)(x+ y+3)
【详解】解：原式 = ÷
(x+4 y) 2 (x−4 y)(x+4 y)
(x−y)(x+4 y) (x−4 y)(x+4 y)
= ×(
(x+4 y) 2 (x−y)(x+ y+3)
x−4 y
= ．
x+ y+3
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，正确的对分式中的分子、分母进行因式分解成为解答本题的关
键．
【题型3 分式的乘除混合运算】
13．（23-24八年级·山东聊城·阶段练习）计算：
x 1 x+ y
(1) ÷ ⋅
x2−y2 2x−2y xx2−4 y2 x−2y
(2) ÷
x2+2xy+ y2 x+ y
x2−1 2x2−2
(3) ÷ ÷(x−1) 2
x2+2x+1 4x2+8x+4
a+2 a2−4a+4 a2−4
(4) ⋅ ÷
a2−2a+1 a+1 a2−1
【答案】(1)2
x+2y
(2)
x+ y
2
(3)
(x−1) 2
a−2
(4)
a−1
【分析】此题了考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
（1）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可；
（2）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可；
（3）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可；
（4）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可．
x 1 x+ y
【详解】（1）解： ÷ ⋅
x2−y2 2x−2y x
x 1 x+ y
= ÷ ⋅
(x+ y)(x−y) 2(x−y) x
x x+ y
= ⋅2(x−y)⋅
(x+ y)(x−y) x
=2；
x2−4 y2 x−2y
（2）解： ÷
x2+2xy+ y2 x+ y
(x+2y)(x−2y) x+ y
= ⋅
(x+ y) 2 x−2y
x+2y
= ；
x+ yx2−1 2x2−2
（3）解： ÷ ÷(x−1) 2
x2+2x+1 4x2+8x+4
(x+1)(x−1) 2(x+1)(x−1) 1
= ÷ ×
(x+1) 2 4(x+1) 2 (x−1) 2
(x+1)(x−1) 4(x+1) 2 1
= × ×
(x+1) 2 2(x+1)(x−1) (x−1) 2
2
=
；
(x−1) 2
a+2 a2−4a+4 a2−4
（4）解： ⋅ ÷
a2−2a+1 a+1 a2−1
a+2 (a−2) 2 (a+1)(a−1)
= × ×
(a−1) 2 a+1 (a+2)(a−2)
a−2
= ．
a−1
14．（23-24八年级·江西宜春·阶段练习）计算：
a+2 a2−4a+4 a2−4
(1) ⋅ ÷ ；
a2−2a+1 a+1 a2−1
x2−1 2x2−2
(2) ÷ ÷(x−1) 2 ．
x2+2x+1 4x2+8x+4
a−2
【答案】(1) ；
a−1
2
(2) ．
(x−1) 2
【分析】（1）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可；
（2）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可；
此题了考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
a+2 a2−4a+4 a2−4
【详解】（1）解： ⋅ ÷
a2−2a+1 a+1 a2−1a+2 (a−2) 2 (a+1)(a−1)
= × ×
(a−1) 2 a+1 (a+2)(a−2)
a−2
= ；
a−1
x2−1 2x2−2
（2）解： ÷ ÷(x−1) 2
x2+2x+1 4x2+8x+4
(x+1)(x−1) 4(x+1) 2 1
= × ×
(x+1) 2 2(x+1)(x−1) (x−1) 2
(x+1)(x−1) 4(x+1) 2 1
= × ×
(x+1) 2 2(x+1)(x−1) (x−1) 2
2
=
．
(x−1) 2
2x−6 3−x x−2
15．（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）计算： ÷ ⋅ ．
x2−4x+4 4x2−16 x+3
8x+16
【答案】−
x+3
【分析】此题考查了分式的乘除混合运算，利用分式的除法和乘法法则计算即可．
2x−6 3−x x−2
【详解】解： ÷ ⋅
x2−4x+4 4x2−16 x+3
2(x−3) 4(x+2)(x−2) x−2
= ⋅ ⋅
(x−2) 2 −(x−3) x+3
8(x+2)
=−
x+3
8x+16
=−
x+3
16．（23-24八年级·全国·课堂例题）计算：
3ab2 ( 8xy ) 3x
(1) ⋅ − ÷ ；
2x3y 9a2b −4b
2x+6 x2−2x
(2) ÷(x+3)⋅ ；
x2+2x 2−xx2−1 x+1 1−x
(3) ÷ ⋅ ．
x2−2x+1 x−1 1+x
16b2
【答案】(1)
9ax3
2
(2)−
x+2
1−x
(3)
x+1
【分析】本题考查了分式的乘除混合运算．
（1）先把除法运算化为乘法运算，再进行计算，约分，即可求解；
（2）先把除法运算化为乘法运算，再进行约分即可求解；
（3）先把除法运算化为乘法运算，再进行约分即可求解．
3ab2 ( 8xy ) 3x 3ab2 ( 8xy ) −4b 96ab3xy 16b2
【详解】（1）解： ⋅ − ÷ = ⋅ − ⋅ = = ；
2x3y 9a2b −4b 2x3y 9a2b 3x 54a2bx4 y 9ax3
2x+6 x2−2x 2(x+3) 1 x(x−2) 2
（2）解： ÷(x+3)⋅ = ⋅ ⋅ =− ；
x2+2x 2−x x(x+2) x+3 −(x−2) x+2
x2−1 x+1 1−x (x+1)(x−1) x−1 1−x 1−x
（3）解： ÷ ⋅ = ⋅ ⋅ = ．
x2−2x+1 x−1 1+x (x−1) 2 x+1 x+1 x+1
17．（23-24八年级·全国·课后作业）计算：
8xy 2x 3ab2
(1) ÷ ⋅ ；
9a2b 3b 2x3 y
3x−12 x2−1
(2) ÷(x+1)⋅ ．
1−2x+x2 4−x
2b2
【答案】(1)
ax3
3
(2)−
x−1
【分析】（1）先把除法转化为乘法，再根据分式的乘法法则计算即可；
（2）先把除法转化为乘法，再根据分式的乘法法则计算即可．8xy 2x 3ab2
【详解】（1） ÷ ⋅
9a2b 3b 2x3y
8xy 3b 3ab2
= ⋅ ⋅
9a2b 2x 2x3y
2b2
= ．
ax3
3x−12 x2−1
（2） ÷(x+1)⋅
1−2x+x2 4−x
3x−12 1 x2−1
= ⋅ ⋅
1−2x+x2 x+1 −(x−4)
3(x−4)(x+1)(x−1)
=−
(x−1) 2 (x+1)(x−4)
3
=−
x−1
【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（23-24八年级·全国·课后作业）计算：
(1)8x2y4 ⋅ ( − 3x ) ÷ ( − x2y) ．
4 y3 2
x2−1 x+1 1−x
(2) ÷ ⋅ ．
x2−2x+1 x−1 x+1
2x−6 3−x x−2
(3) ÷ ⋅ ．
x2−4x+4 4x2−16 x+3
【答案】(1)12x
x−1
(2)−
x+1
8(x+2)
(3)−
x+3
3x 2
【详解】（1）解：原式=8x2y4
⋅ ⋅
4 y3 x2y=12x
(x+1)(x−1) x−1 1−x
（2）解：原式= ⋅ ⋅
(x−1) 2 x+1 x+1
x−1
=−
x+1
2(x−3) 4(x+2)(x−2) x−2
（3）解：原式= ⋅ ⋅
(x−2) 2 3−x x+3
8(x+2)
=−
x+3
【点睛】本题考查分式乘除法混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
【题型4 含乘方的分式的乘除混合运算】
19．（23-24八年级·北京·阶段练习）计算：
( b ) 2 ( a ) ( b) 3
(1) ⋅ − ÷ − ；
2a b2 a
x2−1 x−2
(2) ÷(x−1)⋅ ．
x2−4x+4 x2+x
a2
【答案】(1)
4b3
1
(2)
x(x−2)
【分析】本题考查了分式运算，涉及到因式分解，熟记运算法则是关键．
（1）根据分式的乘除混合运算运算即可；
（2）运用完全平方式、平方差公式、提取公因式因式分解，再约分化简即可．
b2 ( a ) ( b3 )
【详解】（1）解：原式= ⋅ − ÷ −
4a2 b2 a3
b2 a a3
= ⋅ ⋅
4a2 b2 b3
a2
=
4b3(x+1)(x−1) 1 x−2
（2）解：原式= ⋅ ⋅
(x−2) 2 x−1 x(x+1)
1
=
．
x(x−2)
(
c2
)
2
(
ab2
)
3 (a3b2
)
3
20．（23-24八年级·山东济南·期中）计算： − ÷ − ⋅ ．
a2b c c2
a2c
【答案】−
b2
【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合计算，先计算乘方，再计算分式乘除法即可．
(
c2
)
2
(
ab2
)
3 (a3b2
)
3
【详解】解： − ÷ − ⋅
a2b c c2
c4
(
a3b6
)
a9b6
= ÷ − ⋅
a4b2 c3 c6
c4
(
c3
)
a9b6
= ⋅ − ⋅
a4b2 a3b6 c6
a2c
=− ．
b2
21．（23-24八年级·全国·课后作业）计算：
(1)4a2b÷ ( − a ) 2 ⋅ ( − b )
2b 8a
(a2b) 3 ( c2 ) 2 (bc) 4
(2) ⋅ ÷
−c −ab a
(x2−y2 ) 2 ( x ) 3
(3) ÷(x+ y)
xy x−y
2b4
【答案】(1)− ；
a
a8
(2)− ；
b3c3x2+xy
(3) ．
x y2−y3
【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则，运算顺序是解题的关键．
（1）先把除法变成乘法，再利用分式的乘法法则计算；
（2）先算乘方，再算分式的乘法即可；
（3）先因式分解，把除法变乘法，再利用分式的乘法法则计算．
【详解】（1）解：原式=4a2b÷ a2 ⋅ ( − b )
4b2 8a
=4a2b× 4b2 × ( − b )
a2 8a
2b4
=− ．
a
a6b3 c4 a4
（2）解：原式= × ×
−c3 a2b2 b4c4
a8
=− ．
b3c3
(x+ y) 2 (x−y) 2 1 x3
（3）解：原式= × ×
x2y2 x+ y (x−y) 3
x(x+ y)
=
y2(x−y)
x2+xy
=
x y2−y3
( b ) 2 ( b3 ) (3a) 3
22．（23-24八年级·吉林·阶段练习）计算： ÷ − ⋅ ．
3a2 6a b
18
【答案】−
b4
【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合计算，先计算分式的乘方，再把除法变成乘法，最后根据
分式的乘法计算法则求解即可．b2
(
b3
)
27a3
【详解】解：原式= ÷ − ⋅
9a4 6a b3
b2 ( 6a) 27a3
= ⋅ − ⋅
9a4 b3 b3
18
=−
．
b4
23．（23-24八年级·全国·课后作业）计算：
(2ab3 ) 2 6a4 (−3c) 2
(1) ÷ ⋅ ；
−c2d b3 b2
2x−6 3−x (x−2) 2
(2) ÷ ⋅ ．
x2−4x+4 4x2−16 x+2
6b5
【答案】(1)
a2c2d2
8x−16
(2)−
x+2
【分析】（1）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可；
（2）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可．
(2ab3 ) 2 6a4 (−3c) 2
【详解】（1） ÷ ⋅
−c2d b3 b2
4a2b6 b3 9c2
= ⋅ ⋅
c4d2 6a4 b4
6b5
= ；
a2c2d2
2x−6 3−x (x−2) 2
（2） ÷ ⋅
x2−4x+4 4x2−16 x+2
2(x−3) 4(x+2)(x−2) (x−2) 2
= ⋅ ⋅
(x−2) 2 −(x−3) (x+2) 28(x−2)
=− ．
x+2
8x−16
=−
x+2
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．
24．（2024八年级·浙江·专题练习）计算：
x+ y 1
(1) ⋅
x−y (x+ y) 2
a−b ab−a2
(2) ÷
a2+ab a2b2−a4
x2+7x−8 x2−4
(3) ⋅
4x−x3 3x+24
x2+2xy+ y2 xy+ y2
(4) ÷
xy−y2 x2−2xy+ y2
1
(5)x÷ ⋅x
x
x3+x2 1
(6) ÷x⋅
1−x2 x
3a
(7)9a2b÷ ⋅4ab2
4b
a−4 a2+5a+6 a+3
(8) ⋅ ÷
a2+4a+4 a2−a−2 a−2
x2+xy x2−xy
(9) ÷(x−y)⋅
x2−xy xy
( a2 ) 2 (b) 3 ( 1 ) 4
(10) − ⋅ ⋅
b a ab
[(x−y) 2 ) 3 ( x2 ) 3
(11) ⋅
x+ y y2−x2( x−1 ) 2 x2−2x+1 ( 1 ) 2
(12) ÷ ÷ ．
x2−x−2 2−x x2+x
1
【答案】(1)
x2−y2
(2)a−b
1−x
(3)
3x
x2−y2
(4)
y2
(5)x3
1
(6)
1−x
(7)48a2b3
a−4
(8)
a2+3a+2
x+ y
(9)
xy−y2
1
(10)
a3b3
x2(y−x) 3
(11)
(x+ y) 6
x2
(12)
2−x
【分析】（1）直接根据分式的乘法法则进行计算即可；
（2）（4）直接根据分式的除法法则进行计算即可；
（3）根据分式的乘法法则进行计算即可；
（5）、（6）、（7）根据分式的乘法及除法法则进行计算即可；
（8）、（9）、（10）、（11）、（12）根据分式混合运算的法则进行计算即可．
x+ y 1
【详解】（1）解： ⋅
x−y (x+ y) 2
1 1
= ⋅
x−y x+ y1
=
x2−y2
a−b ab−a2
（2）解： ÷
a2+ab a2b2−a4
a−b a(b−a)
= ÷
a(a+b) a2(a+b)(b−a)
a−b a2(a+b)(b−a)
= ⋅
a(a+b) a(b−a)
=a−b；
x2+7x−8 x2−4
（3）解： ⋅
4x−x3 3x+24
(x−1)(x+8) x2−4
= ⋅
x(4−x2) 3(x+8)
1−x
= ；
3x
x2+2xy+ y2 xy+ y2
（4）解： ÷
xy−y2 x2−2xy+ y2
(x+ y) 2 y(x+ y)
= ÷
y(x−y) (x−y) 2
(x+ y) 2 (x−y) 2
= ⋅
y(x−y) y(x+ y)
x2−y2
= ；
y2
1
（5）解：x÷ ⋅x
x
=x⋅x⋅x
=x3；x3+x2 1
（6）解： ÷x⋅
1−x2 x
x2(x+1) 1 1
= ⋅ ⋅
(x+1)(1−x) x x
1
=
1−x
3a
（7）解：9a2b÷ ⋅4ab2
4b
4b
=9a2b⋅ ⋅4ab2
3a
=48a2b4
a−4 a2+5a+6 a+3
（8）解： ⋅ ÷
a2+4a+4 a2−a−2 a−2
a−4 (a+2)(a+3) a−2
= ⋅ ⋅
(a+2) 2 (a+1)(a−2) a+3
a−4
=
(a+2)(a+1)
a−4
=
；
a2+3a+2
x2+xy x2−xy
（9）解： ÷(x−y)⋅
x2−xy xy
x(x+ y) 1 x(x−y)
= ⋅ ⋅
x(x−y) x−y xy
x+ y
=
y(x−y)
x+ y
=
；
xy−y2
( a2 ) 2 (b) 3 ( 1 ) 4
（10）解： − ⋅ ⋅
b a ab
a4 b3 1
= ⋅ ⋅
b2 a3 a4b41
=
；
a3b3
[(x−y) 2 ) 3 ( x2 ) 3
（11）解： ⋅
x+ y y2−x2
[(x−y) 2 x2 ) 3
= ⋅
x+ y y2−x2
[(x−y) 2 x2 ) 3
= ⋅
x+ y (y+x)(y−x)
[x2(y−x)) 3
=
(x+ y) 2
x2(y−x) 3
=
(x+ y) 6
( x−1 ) 2 x2−2x+1 ( 1 ) 2
（12）解： ÷ ÷
x2−x−2 2−x x2+x
2 2
[ x−1 ) 2−x [ 1 )
= ⋅ ÷
(x+1)(x−2) (x−1) 2 x(x+1)
(x−1) 2 2−x 1
= ⋅ ÷
(x+1) 2 (x−2) 2 (x−1) 2 x2(x+1) 2
(x−1) 2 2−x
= ⋅ ⋅ [x2(x+1) 2)
(x+1) 2 (x−2) 2 (x−1) 2
x2
= ．
2−x
【点睛】本题考查的是分式的乘除法计算，分式的乘除法混合计算，熟知分式的乘法及除法法则是解答此
题的关键．
25．（23-24八年级·全国·课后作业）计算：
x2−2xy+ y2 x−y
（1）(xy−x2)÷
⋅ ；
xy x2(x2−y2 ) 2 ( x ) 3
（2） ÷(x+ y)⋅ ．
xy x−y
x2+xy
【答案】（1）−y；（2） ．
x y2−y3
【分析】（1）根据分式的乘除混合运算法则计算即可；
（2）根据分式的乘除混合运算法则计算即可．
xy x−y
【详解】解：（1）原式 =−x(x−y)⋅ ⋅ =−y；
(x−y) 2 x2
(x+ y) 2 (x−y) 2 1 x3
（2）原式= ⋅ ⋅
x2y2 x+ y (x−y) 3
x(x+ y) x2+xy
= = ．
y2 (x−y) x y2−y3
【点睛】本题考查了分式的乘除运算法则，熟练运用约分以及因式分解是解本题的关键．
x3y 2 yz 4 z2 2
26．（23-24八年级·北京·阶段练习）化简：( ) ÷( ) ⋅( ) .
−z x −xy
x8
【答案】
y4z2
【分析】按照分式乘除法法则结合分式乘方的法则进行计算即可．
x6 y2 x4 z4
【详解】原式= × ×
z2 y4z4 x2y2
x10 y2z4
=
x2y6z6
x8
= ．
y4z2
【点睛】熟记“分式乘除法和分式乘方的运算法则”是正确解答本题的关键．
【题型5 同分母分式的加减法】
27．（23-24八年级·全国·单元测试）化简下列各式：
a2 4
(1) − ；
a−2 a−2a2 1
(2) + ．
a−1 1−a
【答案】(1)a+2；
(2)a+1．
【分析】本题主要考查利用平方差公式化简分式，
（1）根据同分母通分，再利用平方差公式进行分解约分即可；
（2）变式后根据同分母通分，再利用平方差公式进行分解约分即可；
a2−4
【详解】（1）解：原式=
a−2
(a+2)(a−2)
=
a−2
=a+2．
a2 1
（2）解：原式= −
a−1 a−1
a2−1
=
a−1
(a+1)(a−1)
=
a−1
=a+1．
28．（23-24八年级·全国·课后作业）计算：
x+3 y x+2y 2x−3 y
(1) − +
x2−y2 x2−y2 x2−y2
a b c
(2) + +
a+b−c a+b−c c−a−b
2m−n m n
+ +
(3)
n−m m−n n−m
2
【答案】(1)
x+ y
(2)1
m
(3)
n−m
【分析】本题考查分式的加减法，解答本题的关键是明确分式的加减法的计算方法，注意最后结果要化为
最简．
（1）根据同分母分式加减法则进行运算即可；（2）将式子整理后，利用同分母分式加减法则进行运算即可；
（3）将式子整理后，利用同分母分式加减法则进行运算即可；
x+3 y x+2y 2x−3 y
【详解】（1）解： − + ，
x2−y2 x2−y2 x2−y2
x+3 y−x−2y+2x−3 y
= ，
x2−y2
2x−2y
=
，
x2−y2
2
= ；
x+ y
a b c
（2）解： + + ，
a+b−c a+b−c c−a−b
a b c
= + − ，
a+b−c a+b−c a+b−c
a+b−c
= ，
a+b−c
=1；
2m−n m n
（3）解： + + ，
n−m m−n n−m
2m−n m n
= − + ，
n−m n−m n−m
m
= ．
n−m
29．（23-24八年级·全国·课后作业）计算：
x2−3 1
(1) − ；
x−2 x−2
x2−xy x2−xy
(2) −
xy xy
【答案】(1)x+2
(2)0
【分析】本题考查同分母分式的加减法，解答本题的关键是明确分式的加减法的计算方法，注意最后结果
要化为最简．
（1）根据同分母分式加减法则进行运算即可；
（2）根据同分母分式加减法则进行运算即可；x2−3 1
【详解】（1）解： − ，
x−2 x−2
x2−4
= ，
x−2
(x+2)(x−2)
= ，
x−2
=x+2；
x2−xy x2−xy
（2）解： − ，
xy xy
=0．
30．（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）计算
a+3 2
(1) −
a2 a2
1 x
(2) +
x+1 2x+2
a+1
【答案】(1)
a2
x+2
(2)
2x+2
【分析】本题考查分式加法运算．熟练掌握同分母与异分母分式加法运算法则是解题的关键．
（1）运用同分母分式加法法则计算即可．
（2）先通分，再运用同分母分式加法法则计算即可．
a+3−2
【详解】（1）解：原式=
a2
a+1
=
．
a2
2 x
（2）解：原式= +
2(x+1) 2(x+1)
2+x
=
2(x+1)
x+2
= ．
2x+2
31．（23-24八年级·全国·课后作业）计算：
x2−3 1
(1) − ；
x−2 x−2m+2n n 2m
(2) + − ．
n−m m−n n−m
【答案】(1)x+2
(2)1
【分析】本题考查分式同分母分式的加减，解题的关键是能够根据运算法则，正确计算．
（1）根据同分母分式加减法法则运算，即可求解；
（2）根据同分母分式加减法法则运算，即可求解．
x2−3 1
【详解】（1）解： −
x−2 x−2
x2−4
=
x−2
(x+2)(x−2)
=
x−2
=x+2；
m+2n n 2m
（2）解： + −
n−m m−n n−m
m+2n n 2m
= − −
n−m n−m n−m
m+2n−n−2m
=
n−m
=1．
5x+3 y 2x
32．（23-24八年级·吉林四平·期末）计算： −
x2−y2 x2−y2
3
【答案】
x−y
【分析】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法法则及因式分解是解题的关键．根据同分母分式的
减法法则计算即可．
5x+3 y−2x 3(x+ y) 3
【详解】解：原式= = =
(x+ y)(x−y) (x+ y)(x−y) x−y
【题型6 异分母分式的加减法】
( x+3 x ) 2x−3
33．（23-24八年级·北京·期中）计算： − + ．
x2−x x2−2x+1 x(2x−3)(x2−2x+2)
【答案】
x(x−1) 2
【分析】本题考查分式加减法，解决本题的关键是能对原分式分母进行因式分解，并进行通分，将异分母
分式化为同分母分式，再按照同分母分式的加法计算即可．
( x+3 x ) 2x−3
【详解】解： − +
x2−x x2−2x+1 x
[ x+3 x ) 2x−3
= − +
x(x−1) (x−1) 2 x
(x+3)(x−1)−x2 2x−3
= +
x(x−1) 2 x
x2+2x−3−x2 2x−3
= +
x(x−1) 2 x
2x−3 2x−3
= +
x(x−1) 2 x
(2x−3) (2x−3)(x−1) 2
= +
x(x−1) 2 x(x−1) 2
(2x−3)(x2−2x+2)
=
x(x−1) 2
a2−4 1 a
34．（23-24八年级·全国·单元测试）化简： − −
a2−4a+4 a−2 a+2
5a+2
【答案】
a2−4
【分析】本题考查了分式加减运算，熟练掌握分式加减运算是解题的关键．先对各分式的分子分母因式分
解，然后进行同分母分式加减计算，再进行异分母分式的加减计算，即可得到答案．
a2−4 1 a
【详解】解： − −
a2−4a+4 a−2 a+2(a−2)(a+2) 1 a
= − −
(a−2) 2 a−2 a+2
a+2 1 a
= − −
a−2 a−2 a+2
a+1 a
= −
a−2 a+2
(a+1)(a+2)−a(a−2)
=
(a−2)(a+2)
5a+2
=
．
a2−4
35．（23-24八年级·重庆南岸·期末）计算
3x x+ y 7 y
(1) + −
x−4 y 4 y−x x−4 y
(a2+b2 a−b) 2ab
(2) − +
a2−b2 a+b (a−b)(a+b)
【答案】(1)2
4ab
(2)
(a+b)(a−b)
【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）利用同分母分式的加减法则计算即可；
（2）利用异分母分式的加减法，先同分，然后把分子想加减计算即可．
3x x+ y 7 y
【详解】（1）原式= − −
x−4 y x−4 y x−4 y
3x−x−y−7 y
=
x−4 y
2(x−4 y)
=
x−4 y
=2；
2ab 2ab
（2）原式= +
(a+b)(a−b) (a+b)(a−b)
4ab
= ．
(a+b)(a−b)
36．（23-24八年级·江苏连云港·阶段练习）计算：4 a+8
(1) −
a 2a
1 x2−3x
(2) +
x−1 x2−1
1
【答案】(1)−
2
x−1
(2)
x+1
【分析】本题考查分式的运算．
（1）根据题意先通分再计算即可；
（2）先通分再因式分解计算即可．
4 a+8
【详解】（1）解： − ，
a 2a
8 a+8
= − ，
2a 2a
−a
= ，
2a
1
=− ；
2
1 x2−3x
（2）解： + ，
x−1 x2−1
x+1 x2−3x
= + ，
x2−1 x2−1
x+1+x2−3x
= ，
x2−1
1+x2−2x
= ，
x2−1
(x−1) 2
= ，
(x+1)(x−1)
x−1
= ．
x+137．（23-24八年级·江苏盐城·期中）计算：
1 x2−3x
+
(1)
x−1 x2−1
( 1 1 ) a−2
(2) + ÷
a+3 a2−9 2a+6
x−1
【答案】(1)
x+1
2
(2)
a−3
【分析】本题考查了异分母分式的运算和分式的混合运算，正确进行分式运算是解题的关键．
（1）先利用平方差公式通分，再利用完全平方公式进行化简即可；
（2）先利用平方差公式通分、计算括号内的，再按照分式乘除法则运算化简即可．
1 x2−3x
【详解】（1）解： +
x−1 x2−1
x+1 x2−3x
= +
(x−1)(x+1) (x−1)(x+1)
x2−2x+1
=
(x−1)(x+1)
(x−1) 2
=
(x−1)(x+1)
x−1
= ；
x+1
( 1 1 ) a−2
（2）解： + ÷
a+3 a2−9 2a+6
[ a−3 1 ) a−2
= + ÷
(a+3)(a−3) (a+3)(a−3) 2(a+3)
a−2 2(a+3)
= ×
(a+3)(a−3) a−2
2
= ．
a−31 1 2 4 8
38．（23-24八年级·全国·课堂例题）计算： − − − − ．
x−1 x+1 x2+1 x4+1 x8+1
16
【答案】
x16−1
【分析】本题考查了异分母的分式加减运算，异分母分式相加减，先通分，再进行加减，据此进行计算即
可求解．
1 1 2 4 8
【详解】解： − − − −
x−1 x+1 x2+1 x4+1 x8+1
(x+1)−(x−1) 2 4 8
= − − −
(x+1)(x−1) x2+1 x4+1 x8+1
2 2 4 8
= − − −
x2−1 x2+1 x4+1 x8+1
2(x2+1)−2(x2−1)
4 8
= − −
(x2+1)(x2−1) x4+1 x8+1
4 4 8
= − −
x4−1 x4+1 x8+1
4(x4+1)−4(x4−1)
8
= −
(x4+1)(x4−1) x8+1
8 8
= −
x8−1 x8+1
16
=
．
x16−1
【题型7 整式与分式相加减】
39．（23-24八年级·河北唐山·期末）计算：
x2
(1) −x−2；
x−2
( 12x ) x2+6x+9
(2) +x−3 ÷ ．
x−3 3x2−9x
4
【答案】(1)
x−2
(2)3x
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
（1）先利用分式的性质把分母化为同分母，再进行同分母的减法运算，即可求解；（2）先算括号里面加减法，再把除法统一成乘法，即可求解．
x2 (x+2)(x−2)
【详解】（1）解：原式= −
x−2 x−2
x2 x2−4
= −
x−2 x−2
x2−x2+4
=
x−2
4
= ；
x−2
[ 12x (x−3) 2 ) 3x(x−3)
（2）解：原式= + ⋅
x−3 x−3 (x+3) 2
12x+x2−6x+9 3x(x−3)
= ⋅
x−3 (x+3) 2
(x+3) 2 3x(x−3)
= ⋅
x−3 (x+3) 2
=3x．
40．（23-24八年级·江苏宿迁·期中）计算：
( 1 ) x2−1
（1） 1+ ⋅
x−1 x
a−1 ( 1)
（2） ÷ a−
a a
1
【答案】（1）x+1；（2） ．
a+1
【分析】（1）先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法即可；
（2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可．
(x−1 1 ) (x+1)(x−1)
【详解】（1）原式= + ⋅
x−1 x−1 x
x (x+1)(x−1)
= ⋅
x−1 x
=x+1；
a−1 (a2 1)
（2）原式= ÷ −
a a aa−1 a2−1
= ÷
a a
a−1 (a+1)(a−1)
= ÷
a a
a−1 a
= ⋅
a (a+1)(a−1)
1
= ．
a+1
【点睛】本题考查了分式的加减乘除法运算，熟记分式的运算法则是解题关键．
a2
41．（23-24八年级·上海金山·期中）计算： −a+1
a−1
2a−1
【答案】
a−1
【分析】先通分，再加减运算即可.
a2 a(a−1) a−1
【详解】解：原式= − +
a−1 a−1 a−1
a2−a(a−1)+a−1
=
a−1
a2−a2+a+a−1
=
a−1
2a−1
= .
a−1
【点睛】本题考查分式的加减，熟练运用通分是解题关键.
42．（23-24八年级·全国·课后作业）计算：
3 1 2x
（1） ＋ ＋ ；
x+2 2−x x2−4
2x2
（2） －x－1.
x−1
4 x2+1
【答案】（1） ；（2） .
x+2 x−1
【分析】（1）先对原分式进行通分，将异分母分式化为同分母分式，然后按照同分母分式的加法计算即
可；
（2）把−x−1化为−(x+1)，再将x+1看成一个整体，进行通分，将异分母分式化为同分母分式，然后
按照同分母分式的减法计算即可；3 1 2x
【详解】解：（1）原式= － ＋
x+2 x−2 (x+2)(x−2)
3(x−2) x+2 2x
= － ＋
(x+2)(x−2) (x+2)(x−2) (x+2)(x−2)
3(x−2)−(x+2)+2x
=
(x+2)(x−2)
3x−6−x−2+2x
=
(x+2)(x−2)
4x−8
=
(x+2)(x−2)
4
= ；
x+2
2x2 x+1
（2）原式= −
x−1 1
2x2 (x+1)(x−1)
= −
x−1 x−1
2x2−(x+1)(x−1)
=
x−1
2x2−(x2−1)
=
x−1
2x2−x2+1
=
x−1
x2+1
= .
x−1
【点睛】本题考查异分母分式的加减，需注意的是整式可以看成一个整体，把它的分母作为1进行通分，
计算后的结果，如果分子或者分母能因式分解，且因式分解后可进行约分，可先进行因式分解，再进行约
分.
3
43．（23-24八年级·北京·阶段练习）化简： −1−a.
a−1
4−a2
【答案】 .
a−1
【详解】分析：
按照分式的加减法法则进行计算即可.
详解：3 (a+1)(a−1)
原式= −
a−1 a−1
4−a2
= .
a−1
(a+1)(a−1)
点睛：解答本题时，把式子中的“−1−a”部分化为“− ”是解答本题的关键.
a−1
x2−x ( 1 )
44．（2024·四川泸州·一模）化简： + 1−
x2−1 x+1
2x
【答案】
x+1
【分析】根据分式的加减法则计算，然后根据分式的性质化简
x(x−1) (x+1 1 )
【详解】解：原式= + −
(x+1)(x−1) x+1 x+1
x x
= +
x+1 x+1
2x
=
x+1
【点睛】本题考查了分式的加减运算，掌握分式加减运算法则是解题的关键．
1
45．（23-24八年级·全国·课后作业）化简： +x−1．
1+x
x2
【答案】 ．
x+1
1 1 (x+1)(x−1) 1+x2−1 x2
【详解】 +x−1= + = = ．
1+x x+1 x+1 x+1 x+1
b
46．（23-24八年级·江苏苏州·期中）计算： +1．
a−b
a
【答案】
a−b
【分析】根据分式的加减运算法则计算即可．
b
【详解】解： +1
a−b
b a−b
= +
a−b a−b
b+a−b
=
a−ba
= ．
a−b
【点睛】本题考查了分式的加法运算，解题的关键是正确进行通分．
【题型8 分式加减乘除混合运算】
47．（2024八年级·全国·专题练习）化简：
a+2 ( 2)
(1) ÷ 1+ ；
a2 a
(
a+3) a2−1
(2) a−1+ ÷ ．
a+2 a+2
1
【答案】(1) ；
a
a+1
(2) ．
a−1
【分析】本题主要考查了分式的混合计算：
（1）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案；
（2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．
a+2 a+2
【详解】（1）解：原式= ÷
a2 a
a+2 a
= ⋅
a2 a+2
1
=
∙
a
a2−a+2a−2+a+3 a2−1
（2）解：原式= ÷
a+2 a+2
a2+2a+1 a+2
= ⋅
a+2 (a+1)(a−1)
(a+1) 2 a+2
= ⋅
a+2 (a+1)(a−1)
a+1
= ．
a−1
x2−x
(
x2
)
48．（23-24八年级·陕西西安·期中）化简： ÷ x+1−
x2−2x+1 x−1
【答案】−x
【分析】此题考查了分式的混合运算，先算括号再算除法，注意运用完全平方公式和平方差公式分解因式．x2−x
(
x2
)
【详解】解： ÷ x+1−
x2−2x+1 x−1
x(x−1) (x−1)(x+1)−x2
= ÷
(x−1) 2 x−1
x x2−1−x2
= ÷
x−1 x−1
x −1
= ÷
x−1 x−1
x
=− ⋅(x−1)
x−1
=−x．
x x2+2x+1 x+1
49．（23-24八年级·北京通州·期中）计算： − ÷
x+2 x2+x x−2
4
【答案】
x(x+2)
【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把除法变成乘法后约分化简，再根据分式的减法计算法则求
解即可．
x x2+2x+1 x+1
【详解】解； − ÷
x+2 x2+x x−2
x (x+1) 2 x−2
= − ⋅
x+2 x(x+1) x+1
x x−2
= −
x+2 x
x2−(x2−4)
=
x(x+2)
4
=
．
x(x+2)
(a2+b2 ) a+b
50．（23-24八年级·北京延庆·期中）计算： −2b ⋅ ．
a a2−b2a−b
【答案】 ．
a
【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据异分母分式的加减法法则把括
号内的分式通分计算，再利用平方差公式、完全平方公式及分式乘法法则约分计算即可得答案．
(a2+b2 ) a+b
【详解】解： −2b ⋅
a a2−b2
a2+b2 2ab a+b
=( − )⋅
a a a2−b2
a2+b2−2ab a+b
= ⋅
a (a+b)(a−b)
(a−b) 2 a+b
= ⋅
a (a+b)(a−b)
a−b
= ．
a
(
a2+4) 2a2−4a
51．（23-24八年级·广东云浮·阶段练习）化简： a−2− ÷ ．
a−2 a2−4a+4
【答案】−2
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先利用异分母分式的加减法法则计算括号里，再算括号外，即
可解答．
(a−2) 2−(a2+4) a2−4a+4
【详解】= ⋅
a−2 2a2−4a
a2−4a+4−a2−4 (a−2) 2
= ⋅
a−2 2a(a−2)
−4a (a−2) 2
= ⋅
a−2 2a(a−2)
=−2．
52．（23-24八年级·山东泰安·期中）计算：
25−a2 a−5 a−3
(1) ÷ ⋅ ；
a2−6a+9 2a−6 a+5( 6 ) m2−14m+49
(2) 1− ÷ ．
m−1 m2−m
【答案】(1)−2
m
(2)
m−7
【分析】本题考查了分式乘除混合运算，平方差公式，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关
键．
（1）先把除法化为乘法，再运用分式乘法法则进行计算化简，即可作答．
（2）先通分括号内，再先把除法化为乘法，运用分式乘法法则进行计算化简，即可作答．
25−a2 a−5 a−3
【详解】（1）解： ÷ ⋅
a2−6a+9 2a−6 a+5
(5−a)(5+a) 2(a−3) a−3
= ⋅ ⋅
(a−3) 2 a−5 a+5
=−2；
( 6 ) m2−14m+49
（2）解： 1− ÷
m−1 m2−m
m−1−6 (m−7) 2
= ÷
m−1 m(m−1)
m−7 m(m−1)
= ×
m−1 (m−7) 2
m
= ．
m−7
( 3 ) x2−4x+4
53．（23-24八年级·甘肃兰州·阶段练习）化简 −x+1 ÷ ．
x+1 x+1
2+x
【答案】
2−x
【分析】本题考查的是分式的混合运算，先计算括号内的分式的加减运算，再把除法化为乘法，再约分即
可．
( 3 ) x2−4x+4
【详解】解： −x+1 ÷
x+1 x+1[ 3 (x−1)(x+1)) x+1
= − ⋅
x+1 x+1 (x−2) 2
3−x2+1 x+1
= ⋅
x+1 (x−2) 2
(2+x)(2−x) x+1
= ⋅
x+1 (x−2) 2
2+x
= ．
2−x
54．（23-24八年级·山东菏泽·期中）化简：
a2−b2 a2+b2
(1) ÷(2+ )；
a−b ab
( x x ) 4x
(2) − ÷ ．
x−2 x+2 x−2
ab
【答案】(1)
a+b
1
(2)
x+2
【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）先化简计算括号，再将除法化为乘法，借助于平方差公式和完全平方公式计算；
（2）先进行括号内分式的减法计算，再将除法化为乘法计算即可．
a2−b2 a2+b2
【详解】（1）解： ÷(2+ )
a−b ab
(a+b)(a−b) a2+b2+2ab
= ÷
a−b ab
(a+b)(a−b) ab
= ×
a−b (a+b) 2
ab
= ；
a+b
( x x ) 4x
（2）解： − ÷
x−2 x+2 x−2
x(x+2)−x(x−2) x−2
= ×
(x+2)(x−2) 4xx2+2x−x2+2x x−2
= ×
(x+2)(x−2) 4x
4x x−2
= ×
(x+2)(x−2) 4x
1
= ．
x+2
55．（23-24八年级·全国·期中）化简分式：
( 1 1 ) 2y
(1) − ÷
x−y x+ y x2+2xy+ y2
( 4 ) a−4
(2) a−2− ÷ ．
a−2 a2−4
x+ y
【答案】(1)
x−y
(2)a2+2a
【分析】本题考查了分式的混合运算．
（1）先对括号里面的分式进行通分，计算括号里面的减法运算，利用完全平方公式进行化简，再将除法
要转化为乘法，再计算分是乘法即可；
（2）先对括号里面的分式进行通分，计算括号里面的减法运算，利用平方差公式进行化简，再将除法要
转化为乘法，再计算分是乘法即可．
[ x+ y x−y ) 2y
【详解】（1）解：原式= − ÷
(x−y)(x+ y) (x−y)(x+ y) x2+2xy+ y2
2y (x+ y) 2
= ⋅
(x−y)(x+ y) 2y
x+ y
= ；
x−y
[(a−2) 2 4 ) a−4
（2）解：原式= − ÷
a−2 a−2 a2−4
a2−4a+4−4 (a−2)(a+2)
= ⋅
a−2 a−4
a(a−4) (a−2)(a+2)
= ⋅
a−2 a−4
=a(a+2)=a2+2a．
56．（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）化简以下分式
x2−4x+4 x+1
(1) ⋅
x2+2x+1 x2−4
1 3−x x+1
(2) − ÷
x+1 x2−6x+9 2x−6
x−2
【答案】(1)
x2+3x+2
3
(2)
x+1
【分析】本题主要考查了分式的混合计算，分式的乘法计算：
（1）利用乘法公式把对应分式的分子、分母分解因式，再约分即可得到答案；
（2）先把对应分式的分子、分母分解因式，再计算分式乘法，进而计算分式加法即可得到答案．
x2−4x+4 x+1
【详解】（1）解： ⋅
x2+2x+1 x2−4
(x−2) 2 x+1
= ⋅
(x+1) 2 (x+2)(x−2)
x−2
=
(x+1)(x+2)
x−2
=
；
x2+3x+2
1 3−x x+1
（2）解： − ÷
x+1 x2−6x+9 2x−6
1 3−x x+1
= − ÷
x+1 (x−3) 2 2(x−3)
1 3−x 2(x−3)
= − ⋅
x+1 (x−3) 2 x+1
1 2
= +
x+1 x+1
3
= ．
x+1
57．（23-24八年级·山东泰安·阶段练习）化简：−3ab 2x2
(1) ⋅
x 9a2b
2b2
(2)−3ab÷
3a
(3)3x y2÷
(
−
6 y2 ) 3
⋅
(12y) 2
x x
( 1 ) x
(4) 1+ ÷
x−1 x2−1
( 1 1 ) a
(5) + ÷
a+b a−b a−b
2x−6 ( 5 )
(6) ÷ −x−2
x−2 x−2
( 1 1 ) x2y
(7) + ÷
x−y x+ y x2−y2
( x+2 x−1 ) x−4
(8) − ÷
x2−2x x2−4x+4 x
2x
【答案】(1)−
3a
9a2
(2)−
2b
2x2
(3)−
y2
(4)x+1
2
(5)
a+b
2
(6)−
x+3
2
(7)
xy
1
(8)
(x−2) 2
【分析】本题主要考查了分式的运算，对于（1），根据分式的乘法，直接约分即可；
对于（2），将除法变为乘法，再计算即可；
对于（3），先算乘方，再按照顺序计算即可；
对于（4），先计算括号内的，再将除法变成乘法计算；
对于（5），先计算括号内的，再将除法变为乘法计算；
对于（6），先计算括号内的，再将除法变为乘法计算；
对于（7）（8），仿照（6）解答．
2x
【详解】（1）原式=− ；
3a
3a 9a2
（2）原式=−3ab× =− ；
2b2 2b
( 216 y6 ) (144 y2 )
（3）原式=3x y2÷ − ⋅
x3 x2
x3 144 y2
=−3x y2 ⋅ ⋅
216 y6 x2
2x2
=− ；
y2
x (x+1)(x−1)
（4）原式= ⋅
x−1 x
=x+1；
2a a−b
（5）原式= ⋅
(a+b)(a−b) a
2
= ；
a+b
2(x−3) 5−(x−2)(x+2)
（6）原式= ÷
x−2 x−2
2(x−3) x−2
= ⋅
x−2 5−x2+4
2(x−3) x−2
= ⋅
x−2 (3+x)(3−x)
2
=− ；
x+32x (x+ y)(x−y)
（7）原式= ⋅
(x+ y)(x−y) x2y
2
= ；
xy
x+2 x−1 x
（8）原式 =[ − ]⋅
x(x−2) (x−2) 2 x−4
(x+2)(x−2)−x(x−1) x
= ⋅
x(x−2) 2 x−4
x−4 x
= ⋅
x(x−2) 2 x−4
1
=
．
(x−2) 2
58．（23-24八年级·山东菏泽·期中）化简：
a2−1 a2−a
(1) ÷ ；
a2+2a+1 a+1
1 1 (x+ y )
(2) − ⋅ −x−y ．
2x x+ y 2x
1
【答案】(1)
a
(2)1
【分析】此题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则．
（1）分子分母先因式分解，将除号变为乘号，再进行分式的约分化简即可；
（2）先运用分配律展开，再进行加减计算．
(a+1)(a−1) a+1 1
【详解】（1）解：原式= ⋅ =
(a+1) 2 a(a−1) a
1 1 x+ y 1
（2）解：原式= − ⋅ + ⋅(x+ y)
2x x+ y 2x x+ y
1 1
= − +1=1．
2x 2x
59．（23-24八年级·山东淄博·阶段练习）分式的计算：
x4−1
(1)
÷(x2+1)；
x2+2x+1( 3 ) x−2
(2) −x−1 ÷ ．
x−1 x2−2x+1
x−1
【答案】(1) ；
x+1
(2)−x2−x+2．
【分析】（1）先进行因式分解，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）先计算括号中的异分母分式减法，同时将除法写成乘法，再计算乘法即可求解；
本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
(x2+1)(x2−1)
1
【详解】（1）解：原式= ·
(x+1) 2 (x2+1)
(x2+1)(x+1)(x−1)
1
= ·
(x+1) 2 (x2+1)
x−1
= ；
x+1
3−(x−1)(x+1) (x−1) 2
（2）解：原式= ·
x−1 x−2
3−(x2−1) (x−1) 2
= ·
x−1 x−2
4−x2 (x−1) 2
= ·
x−1 x−2
(2−x)(2+x) (x−1) 2
= ·
x−1 x−2
=−(2+x)(x−1)
=−x2−x+2．
60．（23-24八年级·山东淄博·阶段练习）计算：
3m m2n
(1)8m2n4 ⋅(− )÷(− )；
4n3 2
x2+xy x2−xy
(2) ÷(x−y)⋅ ；
x2−xy xy
x2
(3) −x+1；
x+1a2+1 a2−1 2a
(4)( − )÷ ．
a2−1 a2−2a+1 a−1
【答案】(1)12m
x+ y
(2)
xy−y2
1
(3)
x+1
1
(4)
a2+a
【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握相关运算法则即可.
（1）利用分式的混合运算法则即可求解；
（2）将分子、分母因式分解后，约分即可求解；
（3）通分后即可求解；
（4）利用分式的混合运算法则即可求解；
3m 2
【详解】（1）解：原式=8m2n4 ⋅(− )⋅(− )
4n3 m2n
= ( 8× 3 ×2 ) m2n4 ⋅ m ⋅ 1
4 n3 m2n
=12m
x(x+ y) 1 x(x−y)
（2）解：原式= × ⋅
x(x−y) (x−y) xy
(x+ y)
=
y(x−y)
x+ y
=
xy−y2
x2
（3）解：原式= −(x−1)
x+1
x2 x2−1
= −
x+1 x+1
1
=
x+1
[ a2+1 (a+1)(a−1)) a−1
（4）解：原式= − ×
(a+1)(a−1) (a−1) 2 2aa2+1 a−1 (a+1)(a−1) a−1
= × − ×
(a+1)(a−1) 2a (a−1) 2 2a
a2+1 (a+1)(a−1)
= −
2a(a+1) 2a(a−1)
a2+1 a2−1
= −
2a(a+1) 2a(a−1)
2
=
2a(a+1)
