文档内容
第 12 讲 同底数幂的乘法与幂的乘方和积的乘方（2 个知识点
+5 种题型+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2
与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指
数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓
住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
知识点2．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，
这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
题型强化
题型一．同底数幂的乘法
1．（2023秋•掇刀区校级期末）已知 ， ，则 的值为
A．9 B．18 C．3 D．2
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解： ， ，
，
符合题意， 不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键．
2．（2024春•杏花岭区校级期中）已知 ， ，求 的值为 2 8 ．
【分析】逆用同底数幂的乘法法则计算即可求解．
【解答】解： ， ，
，
故答案为：28．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟知同底数幂的乘法法则是解题的关键．
3．（2024春•工业园区校级期中）规定 ，求：
（1）求 ；
（2）若 ，求 的值．
【分析】（1）根据所规定的运算进行作答即可；
（2）根据所规定的运算进行作答即可．【解答】解：（1） ，
；
（2） ，
，
则 ，
解得： ．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，明确所规定的
运算法则．
题型二．幂的乘方与积的乘方
4．（2024春•临湘市期中）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
【分析】化成底数为3的幂，比较指数的大小即可判定．
【解答】解：因为 ，
，
，
因为 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查了幂的乘方，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．
5．（2024春•白银区校级期末）已知 ， ，则 的值是 1 5 ．
【分析】根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解： ， ，．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．同底数幂
相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
6．（2024春•苍梧县期中）在幂的运算中规定：若 且 ， ， 是正整数），则 ．
利用上面的结论解答下列问题：
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【分析】（1）利用幂的乘方的法则变形，得到 ，再进行运算即可；
（2）利用同底数幂的乘法法则变形，得到 ，再进行运算即可．
【解答】解：（1） ，
，
，
解得 ；
（2） ，
．
，
，
解得 ．
【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是掌握运算法则．
题型三、同底数幂的相乘
7．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算的 结果是 ；
【答案】【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算
【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，熟知同底数幂的乘法法则是同底数幂相乘，底数不变，指数相加
是解答此题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
8．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列各式中，计算结果等于 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法，整式加减，熟练掌握同底数幂乘除法，整式加减运算法则进行
求解是解决本题的关键．应用整式加减法则进行求解即可得出A和B、D选项的答案；再应用同底数幂的
乘法进行求解即可判断C选项．
【详解】解：A．因为 与 不是同类项，所以不能合并，故A选项不符合题意；
B．因为 与a不是同类项，所以不能合并，，故B选项不符合题意；
C． ，计算结果等于 ，故C选项符合题意；
D．因为 与 不是同类项，所以不能合并，故D选项不符合题意．
故选：C．
9．（2024八年级上·全国·专题练习）为了求 的值，可令
，然后两边同乘2变成 ，再让两式相减，
因此有 ，所以 ，即 ．
仿照上面的计算 的值．
【答案】
【知识点】数字类规律探索、同底数幂相乘【分析】本题是数字类的规律题，也是同底数幂的乘法，根据扩大倍数，利用错位相减法，消掉相关值，
是解题的关键．设 ，求出 ，用 ，求出 的值，进而求出S的值．
【详解】解：设 ，
则 ，
，
，
，
即 ．
题型四、幂的乘方运算
10．（23-24八年级上·全国·单元测试）若 ，则 的值为 （ ）
A．16 B．−16 C．8 D．4
【答案】A
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂相乘、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算
【分析】本题考查同底数幂的除法运算与乘法运算、幂的乘方，同底数幂的除法法则为：底数不变，指数
相减．掌握同底数幂的除法运算与乘法运算、幂的乘方是解本题的关键．
根据同底数幂的除法运算与乘法运算、幂的乘方将 整理为 ，再将 代
入即可求解．
【详解】解：
．
，
原式 ．
故选A．
11．（23-24八年级上·福建厦门·期中）直接写出计算结果：（1） ；（2） ．
【答案】
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算
【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据同底数幂相乘的乘法法则计算即可得出答案；
（2）根据幂的乘方的运算法则计算即可得出答案．
【详解】解：（1） ，
故答案为： ；
（2） ，
故答案为： ．
12．（23-24八年级上·全国·单元测试）（1）若 ， ，求 的值．
（2）已知 ， ，求 的值．
【答案】（ ） ；（ ） ．
【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算、加减消元法
【分析】（ ）直接利用同底数幂的乘法逆运算以及幂的乘方运算法则将原式变形，再代入计算得出答案；
（ ）直接利用幂的乘方运算法则将原式变形为同底数的幂，得出关于 的方程组，解方程得出 的
值即可求解；
此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】（ ）∵ ，
∴ ，
∴ ，
（ ）∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，解得： ，
∴ ．
题型五、积的乘方运算
13．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、 ，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算错误，不符合题意；
D、 ，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
14．（22-23八年级上·四川宜宾·开学考试）计算 的结果是 ．
【答案】
【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算
【分析】根据幂的乘方与积的乘方计算可得．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则．
【详解】解：（ ，
故答案为： ．
15．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算．(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算
【分析】本题考查整式混合运算，熟练掌握幂的运算法则解题的关键．
（1）先根据积的乘方与幂的乘方法则计算，再根据同底数幂相乘法则计算，最后合并同类项即可；
（2）先根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂相乘法则计算，最后合并同类项即可；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
分层练习
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘、合并同类项
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方和幂的乘方法则逐项判断即可．
【详解】解：A. ，原式错误，不符合题意；
B. ，原式错误，不符合题意；
C. ，正确，符合题意；D. ，原式错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关
键．
2．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂相乘
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可得出答案．
【详解】解： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．（a2）3＝a6
C．（2x2）3＝6x6 D．（﹣ab）2＝﹣a2b2
【答案】B
【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则逐一判断即可．
【详解】解：A、a3•a2＝a5，故A错误；
B、（a2）3＝a6，故B正确；
C、（2x2）3＝8x6，故C错误；
D、（﹣ab）2＝a2b2，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查同底数相乘、幂的乘方和积的乘方运算，解决本题的关键是要熟练掌握幂的运算法
则．
4．计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【知识点】积的乘方运算
【分析】本题考查了积的乘方，括号内每个字母和数字都要乘方，据此进行计算，即可作答．
【详解】解： ，
故选：A．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．（a3）5＝a8 C． D．a7÷a3 ＝a4
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项
【分析】由同类项的概念判断A，
由幂的乘方判断B，
由积的乘方判断C，
由同底数幂的除法判断D．
【详解】解： 不是同类项，不能合并，所以A错误，
所以B错误，
所以C错误，
所以D正确，
故选D．
【点睛】本题考查的是合并同类项，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法，掌握以上知识点是解题的关
键．
6．已知 ， ，若 ，则x的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用
【分析】先逆用同底数幂乘法法则求出 ，继而再逆用幂的乘方法则进行求解即可．
【详解】解： ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方的逆用．熟练掌握同底数幂的乘法公式和幂的乘方法则，是
解题的关键．
7．计算（ ） ×5 的结果就（ ）
A． B．5 C．1 D．5
【答案】C
【详解】（ ） ×5 =( ×5) =1.
所以选C.
8．已知 ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了逆用幂的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方以及同底数幂的乘法的运算法
则是解题的关键．
9．一个正方体的棱长为 ，则它的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【知识点】积的乘方运算
【分析】根据正方体的体积公式列式，再根据积的乘方法则计算即可得解．
【详解】解：它的体积为： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了积的乘方的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】分析：根据同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法法则计算，即可得出结论．
详解：A． ，故A正确；
B． ，故B错误；
C． ，故C错误；
D． ，故D错误．
故选A．
点睛：本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是
解题的关键．
二、填空题
【答案】9
【详解】试题分析： · = =9
考点：积的乘方
12．化简 所得的结果是 ．
【答案】﹣a7
【知识点】同底数幂相乘【详解】（﹣a2）•a5=﹣a7.
故答案为﹣a7.
【点睛】此题考查同底数幂的乘法，关键是根据同底数幂的乘法的法则解答．
13．计算： ＝ .
【答案】
【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算
【分析】按照幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可.
【详解】 = = ，
所以答案为 .
【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键.
【答案】 ．
【知识点】用科学记数法表示数的乘法
【详解】试题分析：
考点：同底数幂的乘法．
15．计算： .
【答案】
【知识点】积的乘方运算
【分析】根据积的乘方运算法则计算即可.
【详解】 = =
故答案为
【点睛】此题考查了积的乘方的运算法则，掌握法则是解答此题的关键.
16．若 ， ，则 .
【答案】50
【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用【分析】根据同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用即可得．
【详解】解： ， ，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的
逆用法则是解题关键．
17．若 ， ，则用含 的式子表示 ．
【答案】
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，根据同底数幂的逆运算法则即可求解，熟练掌握其运算法
则是解题的关键．
【详解】解： ，
，
，
故答案为： ．
18．如果 、 、 、 ，那么 、 、 、 的大小关系为 ．（用“ ”连
接）
【答案】
【知识点】幂的乘方的逆用
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，通过幂的乘方的逆运算法则推出 、 、 、
是解题的关键．
【详解】解：∵ 、 、 、 ，
∴ 、 、 、 ，∴ 、 、 、 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题
19．已知 ，且 ，求 的值．
【答案】
【知识点】加减消元法、同底数幂相乘、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
已知等式利用同底数幂的乘法法则变形，列出关于 与 的方程组，求出方程组的解得到 与 的值，代入
原式计算即可得到结果．
【详解】解：已知等式整理得： ，且 ，
，
解得：
．
20．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)(3)
(4)
【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘、合并同类项
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则计算，再合并即可；
（3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可；
（4）根据幂的乘方法则计算即可．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方．掌握各运算法则是解题关键．
21．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、积的乘方的逆用
【分析】本题主要考查了积的乘方的逆用、立方根和算术平方根、绝对值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）首先根据乘方运算法则、立方根和算术平方根的性质、绝对值的性质进行运算，然后相加减即可；
（2）首先根据积的乘方的逆运算将原式整理为 ，然后进行乘法运算和乘方运
算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
22．光年一般被用于衡量天体之间的距离， 光年是指光在宇宙真空中沿直线一年所经过的距离，如果光
的速度为每秒 千米，一年约为 秒，那么 光年约为多少千米？
【答案】 千米
【知识点】同底数幂相乘、有理数乘法的实际应用
【分析】本题考查同底数幂的乘法的应用，解题的关键是根据题意得出算式，然后根据有理数的乘法及同
底数幂的乘法进行计算即可．
【详解】解：
（千米）．
答： 光年约为 千米．
23．土星可以近似的看做是球体，它的半径约为 ，试求土星的体积．（ 取 ）【答案】土星的体积约为 立方千米
【知识点】有理数乘法的实际应用、用科学记数法表示绝对值大于1的数、积的乘方运算
【分析】本题考查了球的体积公式，积的乘方，有理数的乘法的应用，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
根据球的体积公式计算即可．
【详解】解：
答：土星的体积约为 立方千米．
24．规定两数a，b之间的一种运算，记作 ，如果 ，那么(a,b)=c，例如：因为23=8，所以
(2,8)=3．
（1）根据上述规定，填空：
_____， _____；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象， ，小明给出了如下的证明：
设 ，则 ，即 ，
∴ ，即 ，
∴
请你尝试用这种方法证明下面这个等式：
【答案】（1）3,0；（2）证明见解析.
【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘
【分析】（1）根据材料给出的信息，分别计算，即可得出答案；
（2）设 ， ，根据同底数幂的乘法法则即可得出答案.
【详解】（1）∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；（2）设 ， ，
则 ， ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了乘方的运算、幂的乘方以及同底数幂的乘法运算，解题的关键是理解题目中定义的运
算法则.
25．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”，
“幂的乘方”，“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为 ， ，
；（m，n为正整数）．
请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：
(1)已知 ， ， ，请把a，b，c用“<”连接起来：______；
(2)若 ， ，求 的值；
(3)计算： ．
【答案】(1)
(2)72
(3)
【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则，掌握法则的逆用是解题的关键．
（1）根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再比较大小；
（2）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方即可求解；
（3）根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再计算即可求解；
【详解】（1）解： ，
，，
又 ，
，
故答案为： ；
（2）解： ，
，
原式 ；
（3）解：
．
26．规定两数a，b之间的一种运算，记作 ，如果 ，那么 ．例如∶因为 ，所以
．
(1)根据上述规定，填空∶ ______； ______； ______；
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征； ，并作出了如下的证明∶
∵设 ，则 ，
∴ ，即 ，∴
∴
试参照小明的证明过程，解决下列问题∶
①计算 ；
②请你尝试运用这种方法，写出 之间的等量关系．并给予证明．
【答案】(1)
(2)①0；②
【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘
【分析】（1）由新定义计算得出结果即可；
（2）①由推理过程可得 ，再相减结果得0即可；
②设 ， ，则 ，从而得到
【详解】（1）
故答案为：
（2）① ；
② ．
证明：设 ， ，则 ，所以 ， ， ，所以【点睛】本题主要考查幂的运算与新定义结合的题型，理解透题目的意思是解题的关键点．
