文档内容
七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》
专题 阅读理解填理由题
（基础题＆提升题＆压轴题）
基 础 题
1．（2022秋•东方期末）如图，∠DAE＝∠E，∠B＝∠D．直线AD与BE平行吗？直线AB与DC平行
吗？说明理由（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）
解：直线AD与BE平行，直线AB与CD平行．理由如下：
∵∠DAE＝∠E，（已知）
∴ AD ∥BE，（ 内错角相等，两条直线平行 ）
∴∠D＝∠DCE，（ 两条直线平行，内错角相等 ）
又∵∠B＝∠D，（已知）
∴∠B＝ ∠ DCE ，（等量代换）
∴ AB ∥DC，（ 同位角相等，两条直线平行 ）．
【分析】因为∠DAE＝∠E，所以根据内错角相等，两条直线平行，可以证明AD∥BE；根据平行线的性
质，可得∠D＝∠DCE，结合已知条件，运用等量代换，可得∠B＝∠DCE，可证明AB∥DC．
【解答】解：直线AD与BE平行，直线AB与DC平行．
理由如下：
∵∠DAE＝∠E，（已知）
∴AD∥BE，（内错角相等，两条直线平行）
∴∠D＝∠DCE． （两条直线平行，内错角相等）
∵∠B＝∠D，（已知）
∴∠B＝∠DCE，（等量代换）
∴AB∥DC．（同位角相等，两条直线平行）故答案为：AD；内错角相等，两条直线平行；两条直线平行，内错角相等；∠DCE；AB；同位角相等，
两条直线平行．
【点评】此题综合运用了平行线的性质和判定，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
2．在下列括号中填写推理理由：如图，∠1＝∠2，DE⊥BC，AB⊥BC，
求证：∠A＝∠3．
证明：∵DE⊥BC，AB⊥BC（已知）
∴∠DEC＝∠ABC＝90°（ 垂直定义 ）
∴DE∥AB（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠2＝ ∠ 3 （ 两直线平行，内错角相等 ）
∠1＝ ∠ A （ 两直线平行，同位角相等 ）
又∠1＝∠2（已知），
∴∠A＝∠3（等量代换）
【分析】根据垂直的定义得到∠DEC＝∠ABC＝90°，根据同位角相等两直线平行得到 DE∥AB，根据平
行线的性质得到∠2＝∠3，∠1＝∠A，等量代换即可得到结论．
【解答】证明：∵DE⊥BC，AB⊥BC（已知）
∴∠DEC＝∠ABC＝90°（垂直定义）
∴DE∥AB（同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）
∠1＝∠A（两直线平行，同位角相等）
又∠1＝∠2（已知），
∴∠A＝∠3（等量代换），
故答案为：垂直定义，∠3，同位角相等，两直线平行，∠A，两直线平行，同位角相等．
【点评】此题主要考查了平行的判定和性质，关键是掌握内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位
角相等．3．（2022春•太和县期末）如图，已知：AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1．求证：AD平分
∠BAC．
下面是部分推理过程，请你将其补充完整：
∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知）
∴∠ADC＝∠EGC＝90°
∴AD∥EG （ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠1＝∠2 （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∠ E ＝∠3（两直线平行，同位角相等）
又∵∠E＝∠1（已知）
∴∠2＝∠3 （ 等量代换 ）．
∴AD平分∠BAC （ 角平分线的定义 ）．
【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G （已知）
∴∠ADC＝∠EGC＝90°
∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）．
∴∠1＝∠2，（两直线平行，内错角相等）．
∠E＝∠3（两直线平行，同位角相等）
又∵∠E＝∠1（已知）
∴∠2＝∠3，（等量代换）．
∴AD平分∠BAC．（角平分线的定义）
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠E；等量代换；角平分线的定义．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行；两直线平
行，内错角相等，同位角相等．
4．（2021春•吉安期中）如图，直线AD∥BC，E，F分别在线段AB，CD上，∠ADE＝∠FBC，判断直
线DE与BF的位置关系，以下是解答过程，请补充完整，其中括号里填依据．
解：DE∥BF．理由如下：延长DE交CB延长线于H
因为AD∥BC（ 已知 ）
所以∠ADE＝∠H（ 两直线平行，内错角相等 ）．
又因为∠ADE＝∠FBC（已知），
所以 ∠ H ＝ ∠ FBC （ 等量代换 ）．
所以DE∥BF（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据平行线的判定解答即可．
【解答】解：DE∥BF．
理由如下：延长DE交CB延长线于H
因为AD∥BC（已知）
所以∠ADE＝∠H（两直线平行，内错角相等）．
又因为∠ADE＝∠FBC（已知），
所以∠H＝∠FBC（等量代换）．
所以DE∥BF（同位角相等，两直线平行）
故答案为：已知；两直线平行，内错角相等；∠H；∠FBC；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行．
5．（2022秋•晋江市期末）在下列解答中，填上适当的数式或理由：
如图，AB∥CD∥EF，BC平分∠ABE，试说明：∠E＝2∠C．
解：∵AB∥CD（ 已知 ），
∴∠ABC＝∠ C （ 两直线平行，内错角相等 ），
∵BC平分∠ABE（已知），
1
∴∠ABC= ∠ ABE （ 角平分线的定义 ），
2
∵AB∥EF（已知），
∴∠ABE＝∠ E （ 两直线平行，内错角相等 ）．
1
∴∠C= ∠ E （等量代换）
2即∠E＝2∠C．
【分析】利用平行线的性质，角平分线的定义即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵BC平分∠ABE（已知），
1
∴∠ABC= ∠ABE（角平分线的定义），
2
∵AB∥EF（已知），
∴∠ABE＝∠E（两直线平行，内错角相等）．
1
∴∠C= ∠E（等量代换）
2
即∠E＝2∠C．
故答案为：已知；C；两直线平行，内错角相等；ABE；角平分线的定义；E；两直线平行，内错角相
等；E．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
6．（2022秋•海口期末）如图，AD∥BC，∠1＝∠B．
（1）AB与DE平行吗？请说明理由；
（2）若∠A＝120°，CD⊥AD，求∠EDC的度数．
请在下面的解答过程的空格内填空或在横线上填写理由．
解：（1）AB∥DE，理由如下：
∵AD∥BC，（已知）
∴∠1＝∠ DEC . 两直线平行，内错角相等，
又∵∠1＝∠B，（已知）
∴∠B＝∠ DEC . 等量代换，
∴ AB ∥ DE ． 同位角相等，两直线平行，
（2）∵AD∥BC，（已知）
∴∠A+∠ B ＝180°， 两直线平行，同旁内角互补∴∠B＝180°﹣∠A＝ 6 0 °．（等式的性质）
又∵∠1＝∠B，（已知）
∴∠1＝ 6 0 °．（等量代换）
∵CD⊥AD，（已知）
∴∠ADC＝ 9 0 °．（垂直的定义）
∴∠EDC＝∠ ADC ﹣∠ 1 ＝ 9 0 °﹣ 6 0 °＝ 3 0 °．
【分析】（1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再有已知角相等，等量代
换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；
（2）由AD与BC平行，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，根据∠A的度数求出∠B的度
数，根据∠1＝∠B，确定出∠1度数，即可求出∠EDC的度数．
【解答】解：（1）AB∥DE，理由如下：
∵AD∥BC（已知），
∴∠1＝∠DEC（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1＝∠B（已知），
∴∠B＝∠DEC（等量代换），
∴AB∥DE，（同位角相等，两直线平行），
（2）∵AD∥BC（已知），
∴∠A+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠B＝180°﹣∠A＝60°（等式的性质），
又∵∠1＝∠B（已知），
∴∠1＝60°（等量代换），
∵CD⊥AD（已知），
∴∠ADC＝90°（垂直的定义），
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠1＝90°﹣60°＝30°．
故答案为：（1）DEC；两直线平行，内错角相等；DEC；等量代换；AB；DE；同位角相等，两直线平
行；（2）B；两直线平行，同旁内角互补；60；60；90；ADC；1；90；60；30【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
7．（2021秋•海口期末）如图，∠1＝85°，∠2＝134°，∠ACD＝95°．
（1）直线AB与CD平行吗？请说明理由；
（2）求∠ECD的度数．
请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由．
解：（1）∵∠CAE＝∠1＝85°， （对顶角相等）
∴∠CAE+∠ACD＝ 18 0 °，
∴AB∥CD． （同旁内角互补，两直线平行）
（2）∵∠2＝134°，
∴∠AEC＝180°﹣∠2＝ 4 6 °
∵AB∥CD，（已知）
∴∠ECD＝∠AEC＝46°． （两直线平行，内错角相等） ．
【分析】（1）求出∠CAE，求出∠CAE+∠ACD＝180°，根据平行线的判定推出即可；
（2）求出∠AEC的度数，根据平行线的性质得出∠ECD＝∠AEC，代入求出即可．
【解答】解：（1）∵∠CAE＝∠1＝85°，（ 对顶角相等 ），
∴∠CAE+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD．（ 同旁内角互补，两直线平行 ），
故答案为：（ 对顶角相等 ），180，（ 同旁内角互补，两直线平行 ）；
（2）∵∠2＝134°，
∴∠AEC＝180°﹣∠2＝46°，
∵AB∥CD，（ 已知 ）
∴∠ECD＝∠AEC＝46°．（ 两直线平行，内错角相等 ），
故答案为：46，（两直线平行，内错角相等）．
【点评】本题考查了对平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的判定是：①同位角相等，两直线平
行②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．反之亦然．8．（2022秋•宛城区校级期末）如图，点 E、F分别在 AB、CD上，AF⊥CE于点 O，∠1＝∠B，
∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．
请填空．证明：∵AF⊥CE（已知）
∴∠AOE＝90°（ 垂直的定义 ）
又，∵∠1＝∠B（已知）
∴ CE ∥ BF （同位角相等，两直线平行）
∴∠AFB＝∠AOE（ 两直线平行，同位角相等 ）
∴∠AFB＝90°（ 等量代换 ）
又，∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）
∴∠AFC+∠2＝（ 9 0 ）°
又∵∠A+∠2＝90°（已知）
∴∠A＝∠AFC（ 同角的余角相等 ）
∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）
【分析】先证 CE∥BF 得∠AOE＝∠AFB，由 AF⊥CE 得∠AOE＝∠AFB＝90°，利用平角定义得出
∠AFC+∠2＝90°，结合∠A+∠2＝90°可以得出∠AFC＝∠A，从而得证．
【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（垂直的定义）．
又∵∠1＝∠B（已知），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等），
∴∠AFB＝90°（等量代换）．
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义），
∴∠AFC+∠2＝90°．
又∵∠A+∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；CE∥BF；已知；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；同角的余角相等．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，并灵活运用．
9．（2021春•宜春期末）完成下面推理过程：
如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD．理由如下：
∵∠1＝∠2（ 已知 ），且∠1＝∠CGD（ 对顶角相等 ），
∴∠2＝∠CGD（等量代换），
∴CE∥BF（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠BFD＝∠C（两直线平行，同位角相等），
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠ BFD ＝∠B（ 等量代换 ），
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据平行线的性质和判定，结合图形，完成推理过程，明确推理依据．
【解答】解：∵∠1＝∠2（ 已知），且∠1＝∠CGD（对顶角相等），
∴∠2＝∠CGD（等量代换），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠BFD＝∠C（两直线平行，同位角相等），
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠BFD＝∠B（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知，对顶角相等，同位角相等两直线平行，BFD，等量代换，两直线平行内错角相等．
【点评】考查平行线的性质和判定，掌握“以角定线”“以线定角”的方法是解决问题的关键，正确识
别同位角、内错角、同旁内角是前提，
10．（2021秋•南关区期末）如图，已知AB∥DC，AC⊥BC，AC平分∠DAB，∠B＝50°，求∠D的大小．
阅读下面的解答过程，并填括号里的空白（理由或数学式）．
解：∵AB∥DC（ 已知 ），
∴∠B+∠DCB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵∠B＝ 50 ° （已知），
∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝ 90 ° （垂直的定义）．
∴∠2＝ 40 ° ．
∵AB∥DC（已知），
∴∠1＝ 40 ° （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAB＝2∠1＝ 80 ° （角平分线的定义）．
∵AB∥DC（已知），
∴ ∠ ADC +∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝ 100 ° ．
【分析】根据平行线的性质两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等解答即可．
【解答】解：∵AB∥DC（ 已知），
∴∠B+∠DCB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠B＝50°（已知），
∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝90°（垂直的定义）．
∴∠2＝40°．
∵AB∥DC（已知），
∴∠1＝40°（ 两直线平行，内错角相等）．
∵AC平分∠DAB（已知），∴∠DAB＝2∠1＝80°（角平分线的定义）．
∵AB∥DC（已知），
∴∠ADC+∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝100°．
故答案为：已知；两直线平行，同旁内角互补；50°；90°；40°；40°；两直线平行，内错角相等；80°；
∠ADC；100°．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等解
答．
11．（2021春•宜春期末）完成下面推理过程：
如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD．理由如下：
∵∠1＝∠2（ 已知 ），且∠1＝∠CGD（ 对顶角相等 ），
∴∠2＝∠CGD（等量代换），
∴CE∥BF（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠BFD＝∠C（两直线平行，同位角相等），
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠ BFD ＝∠B（ 等量代换 ），
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据平行线的性质和判定，结合图形，完成推理过程，明确推理依据．
【解答】解：∵∠1＝∠2（ 已知），且∠1＝∠CGD（对顶角相等），
∴∠2＝∠CGD（等量代换），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠BFD＝∠C（两直线平行，同位角相等），
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠BFD＝∠B（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知，对顶角相等，同位角相等两直线平行，BFD，等量代换，两直线平行内错角相等．【点评】考查平行线的性质和判定，掌握“以角定线”“以线定角”的方法是解决问题的关键，正确识
别同位角、内错角、同旁内角是前提.
12．（2022•南京模拟）将下面证明过程补充完整，并在括号内填写理由．
如图，已知∠ADC＝∠ABC，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC且∠1＝∠2．
求证：∠A＝∠C．
证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC（已知）
1 1
∴∠1= ∠ABC，∠3= ∠ADC（ 角平分线的定义 ）
2 2
∵∠ABC＝∠ADC
∴∠1＝∠3 （ 等量代换 ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝∠3 （ 等量代换 ）
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠A+ ∠ ADC ＝180°，∠C+ ∠ ABC ＝180° （ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∴∠A＝∠C（ 等角的补角相等 ）
【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠ABC＝∠ADC，根据平行线的判定与性质，
依据等角的补角相等即可证得．
【解答】证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC（已知），
1 1
∴∠1= ∠ABC，∠3= ∠ADC（角平分线的定义），
2 2
∵∠ABC＝∠ADC（已知），
∴∠1＝∠3（等量代换），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠A+∠ADC＝180°，∠C+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠A＝∠C（等角的补角相等）．故答案为：角平分线的定义；等量代换；等量代换；内错角相等，两直线平行；∠ADC；∠ABC，两直线
平行，同旁内角互补；等角的补角相等．
【点评】本题考查了角平分线的定义，以及平行线的判定与性质，补角的性质，同角的补角相等．解题
时注意：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
提 升 题
1．（2021春•麻城市校级月考）阅读下面的推理过程，在括号里填写结论或理由．
如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，求证：∠EGF＝90°．
证明：AB∥GH（已知），
∴∠1＝∠3 两直线平行，内错角相等 ，
又∵CD∥GH（已知），
∴ ∠ 4 ＝∠ 2 （两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥CD（已知），
∴∠BEF+ ∠ EFD ＝180°（直线平行，同旁内角互补）．
∵EG平分∠BEF（已知），
1
∴∠1= ∠BEF 角平分线定义 ．
2
又∵FG平分∠EFD 已知 ，
1
∴∠1+∠2= （ ∠ BEF +∠EFD）．
2
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3+∠4＝90° 等量代换 ，即∠EGF＝90°．
【分析】利用平行线的性质可得∠3+∠4＝∠1+∠2，然后再利用两直线平行，同旁内角互补可得∠3+∠4＝90°．
【解答】证明：∵AB∥GH（已知），
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），
又∵CD∥GH（已知），
∴∠4＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD（已知），
∴∠BEF+∠EFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵EG平分∠BEF（已知），
1
∴∠1= ∠BEF（角平分线定义），
2
又∵FG平分∠EFD（已知），
1
∴∠2= ∠EFD（角平分线定义），
2
1
∴∠1+∠2= （∠BEF+∠EFD），
2
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3+∠4＝90°（等量代换），
即∠EGF＝90°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；∠4＝∠2；∠EFD；∠BEF；角平分线定义；∠BEF；等量代换．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互
补．
2．如图，BD⊥AC，垂足为点D，点E在BC上，EF⊥AC，垂足为点G，∠1＝∠2．
注：本题第（1）（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题过
程．
（1）试说明：DB∥FE；
∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知），
∴DB∥FE （ 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 ）．
（2）HF与BC的位置关系如何？为什么？
HF与BC的位置关系是 平行 ．
理由如下：
∵DB∥FE，∴∠1＝∠ F （ 两直线平行，同位角相等 ）．
∵∠1＝∠2 （ 已知 ），
∴∠2＝∠ F （ 等量代换 ）．
∴ HF ∥ BC （ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】（1）根据平行线的判定方法可以解答本题；
（2）先写出HF与BC的位置关系，然后根据图形，写出解答过程，并写出对应的根据即可解答本题；
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，EF⊥AC（ 已知 ），
∴DB∥FE（ 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），
故答案为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
（2）HF与BC的位置关系是：平行，
理由如下：
∵DB∥FE，
∴∠1＝∠F（ 两直线平行，同位角相等 ），
∵∠1＝∠2（ 已知 ），
∴∠2＝∠F（等量代换），
∴HF∥BC（ 内错角相等，两直线平行），
故答案为：平行；F；两直线平行，同位角相等；已知；F；等量代换；HF、BC；内错角相等，两直线平
行．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
3．如图，已知AD⊥DF，EC⊥DF，∠1＝∠3，∠2＝∠4，求证：AE∥DF．（请在下面的解答过程的空
格内填空或在括号内填写理由）
证明：∵AD⊥DF，EC⊥DF，（已知）
∴∠BFD＝∠ADF＝90°．（ 垂直的定义 ）
∴EC∥（ AD ）∴∠EBA＝ ∠ 2 （两直线平行，内错角相等）
∵∠2＝∠4，（已知）
∴∠EBA＝∠4．（等量代换）
∴AB∥ CD ．（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠2+∠ADC＝180°．（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∴∠2+∠ADF+∠3＝180°．
∵∠1＝∠3．（已知）
∴∠2+∠ADF+∠1＝180°．（等量代换）
∴ ∠ EAD +∠ADF＝180°．
∴AE∥DF．（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
【分析】利用能内错角相等两直线平行，得到 EC∥AD，再有两直线平行，内错角相等，得出∠EBA＝
∠2，等量代换得到∠EBA＝∠4，利用同位角相等两直线平行，得到AB∥CD，再有两直线平行，同旁内
角互补得到∠2+∠ADC＝180°，等量代换得到∠EAD+∠ADF＝180°，再根据同旁内角互补，两直线平行
得到AE∥DF．
【解答】证明：∵AD⊥DF，EC⊥DF，（已知）
∴∠BFD＝∠ADF＝90°（垂直的定义），
∴EC∥AD（内错角相等，两直线平行），
∴∠EBA＝∠2（两直线平行，内错角相等）
∵∠2＝∠4，（已知）
∴∠EBA＝∠4．（等量代换）
∴AB∥DC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2+∠ADC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠2+∠ADF+∠3＝180°，
∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2+∠ADF+∠1＝180°（等量代换），
∴∠EAD+∠ADF＝180°，∴AE∥DF（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：垂直的定义，AD，∠2，CD，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补，
∠EAD，同旁内角互补，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的
性质是：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，
反之亦然．
4．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，AB⊥AC，点D、E分别在线段AC、BF上，DF、CE分别与AB交
于点M、N，若∠1＝∠2，∠C＝∠F，求证：AB⊥BF．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依
据．
证明：∵∠1＝∠2，（已知）
∵∠2＝∠3，（ 对顶角相等 ）
∴∠1＝∠ 3 ．（ 等量代换 ）
∴DF∥CE．（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠C＝∠ ADM ．（两直线平行，同位角相等）
∵∠C＝∠F，（已知）
∴∠F＝∠ ADM ．（等量代换）
∴AC∥BF．（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠A＝∠B．（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵AB⊥AC，（已知）
∴∠A＝90°．
∴∠B＝90°．
∴AB⊥BF．（ 垂直的定义 ）【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，（已知）
∵∠2＝∠3，（对顶角相等）
∴∠1＝∠3．（等量代换）
∴DF∥CE．（同位角相等，两直线平行）
∴∠C＝∠ADM．（两直线平行，同位角相等）
∵∠C＝∠F，（已知）
∴∠F＝∠ADM．（等量代换）
∴AC∥BF．（内错角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠B．（两直线平行，内错角相等）
∵AB⊥AC，（已知）
∴∠A＝90°．
∴∠B＝90°．
∴AB⊥BF．（垂直的定义），
故答案为：对顶角相等，3，等量代换，同位角相等，两直线平行，ADM，ADM，内错角相等，两直线平
行，两直线平行，内错角相等，垂直的定义．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
5．（2022秋•鼓楼区期末）如图，BC与AF相交于点 E，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：
AD∥BE．
证明：∵AB∥CD，（ 已知 ），
∴∠BAE＝∠4（ 两直线平行，同位角相等 ）．
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAE＝ ∠ 2+ ∠ CAE ，（等式的性质1）
即∠BAE＝∠CAD，∴∠4＝∠CAD，（等量代换）
∵∠3＝∠4，
∴∠CAD＝∠3，（等量代换）
∴AD∥BE．（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】先根据平行线的性质得到∠BAE＝∠4，再证明∠BAE＝CAD，得到∠4＝∠CAD，进而推出
∠CAD＝∠3，由此即可证明AD∥BE．
【解答】证明：∵AB∥CD，（已知），
∴∠BAE＝∠4（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，（等式的性质1）
即∠BAE＝∠CAD，
∴∠4＝∠CAD，（等量代换）
∵∠3＝∠4，
∴∠CAD＝∠3，（等量代换）
∴AD∥BE．（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；两直线平行，同位角相等；∠2+∠CAE；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
6．完成求解过程，并写出括号里的理由：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE∥BC，DE∥AF，BE平分∠ABC，∠FAD＝40°，求∠BEC的度
数．
解：（将下面的解答过程补充完整）
∵DE∥BC，DE∥AF（已知），
∴BC∥AF（ 平行于同一直线的两直线平行 ）．
∴∠ABC＝∠FAD（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠FAD＝40°，
∴∠ABC＝40°．∵BE平分∠ABC（已知），
1
∴∠CBE= ∠ ABC （ 角平分线的定义 ）＝ 2 0 °．
2
在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°（已知），
∴∠BEC＝90°﹣∠CBE（直角三角形的两个锐角互余）＝ 7 0 °．
【分析】根据平行线的判定定理、性质定理、角平分线的定义以及直角三角形的两锐角互余解答即可．
【解答】解：∵DE∥BC，DE∥AF（已知），
∴BC∥AF（平行于同一直线的两直线平行）．
∴∠ABC＝∠FAD（两直线平行，内错角相等），
∵∠FAD＝40°，
∴∠ABC＝40°．
∵BE平分∠ABC（已知），
1
∴∠CBE= ∠ABC（角平分线的定义）＝20°．
2
在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°（已知），
∴∠BEC＝90°﹣∠CBE（直角三角形的两个锐角互余）＝70°．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；ABC；角平分线的定义；20；70．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义，掌握直角三角形的
两锐角互余是解题的关键．
7．（2021秋•仁寿县期末）阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由．
已知∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，F是BC延长线上一点，且∠DBC＝∠F．
求证：∠CED+∠EDF＝180°．
证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知）1 1
∴∠DBC= ∠ABC，∠BCE= ∠ACB（ 角平分线的定义 ）
2 2
∵∠ABC＝∠ACB（已知）
∴∠DBC＝ ∠ BCE （等式的性质）
∵∠DBC＝∠F（已知）
∴∠F＝ ∠ BCE （等量代换）
∴EC∥DF（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠CED+∠EDF＝180°（ 两直线平行，同旁内角相等 ）
【分析】利用角平分线的定义和已知先说明∠F与∠BCE的关系，再利用平行线的判定说明CE与DF的
关系，最后利用平行线的性质得结论．
【解答】已知∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，F是BC延长线上一点，且∠DBC＝
∠F．
求证：∠CED+∠EDF＝180°．
证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知），
1 1
∴∠DBC= ∠ABC，∠BCE= ∠ACB（角平分线的定义）．
2 2
∵∠ABC＝∠ACB（已知），
∴∠DBC＝∠BCE（等式的性质）．
∵∠DBC＝∠F（已知），
∴∠F＝∠BCE（等量代换）．
∴EC∥DF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠CED+∠EDF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：角平分线的定义；∠BCE；∠BCE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【点评】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质和判定，掌握角平分线的定义及“同位角相
等，两直线平行”、“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键．
8．（2022秋•封丘县校级期末）如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求证：
EF∥AD．
证明：∵AD∥BC（ 已知 ），
∴∠DAC+ ∠ ACB ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵∠DAC＝120°（ 已知 ），
∴∠ACB＝180°﹣ 120 ° ＝60°（等式的性质）．
又∵∠ACF＝20°（ 已知 ），
∴∠BCF＝ ∠ ACB ﹣∠ACF＝40°．
∵∠EFC+∠BCF＝140°+40°＝180°，
∴EF∥BC（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
∵AD∥BC（ 已知 ），
∴EF∥AD（ 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ）．
【分析】利用平行线的性质和平行线的判定解答即可．
【解答】证明：∵AD//BC（ 已知 ），
∴∠DAC+∠ACB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵∠DAC＝120° （已知），
∴∠ACB＝180°﹣120°＝60° （等式的性质）．
又∵∠ACF＝20° （已知），∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝40°．
∵∠EFC+∠BCF＝140°+40°＝180°，
∴EF//BC （同旁内角互补，两直线平行）．
∵AD∥BC （已知），
∴EF//AD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
故答案为：已知；∠ACB；两直线平行，同旁内角互补；已知；120°；已知；∠ACB；同旁内角互补，两
直线平行；已知；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
9．（2022秋•卧龙区校级期末）如图，AD∥BC，BD⊥CD，EF⊥CD，垂足分别是D，F，∠1＝47°，求
∠2的度数．
完成下列推理过程：
解：因为AD∥BC（已知），
所以∠1＝ ∠ 3 （ 两直线平行，内错角相等 ）．
因为∠1＝47°，
所以 ∠ 3 ＝47°（ 等量代换 ）．
因为BD⊥CD，EF⊥CD，
所以∠BDC＝∠EFC＝90°，
所以BD∥EF（ 同位角相等，两直线平行 ），
所以∠2＝∠3（ 两直线平行，同位角相等 ），
所以∠2＝47°（ 等量代换 ）．
【分析】根据平行线的判定和性质证明．
【解答】解：因为AD∥BC（已知），
所以∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）．
因为∠1＝47°，
所以∠3＝47°（等量代换）．
因为BD⊥CD，EF⊥CD，所以∠BDC＝∠EFC＝90°，
所以BD∥EF（同位角相等，两直线平行），
所以∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
所以∠2＝47°（等量代换）．
故答案为：∠3，两直线平行，内错角相等，∠3，等量代换，同位角相等，两直线平行，两直线平行，
同位角相等，等量代换．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
10．（2022•宛城区校级开学）阅读下列推理过程，在括号中填写理由．
已知：如图，点D、E分别在线段AB、BC上，AC∥DE，DF∥AE交BC于点F，AE平分∠BAC．求证：
DF平分∠BDE．
证明：∵AE平分∠BAC（已知）
∴∠1＝∠2（ 角平分线的定义 ）
∵AC∥DE（已知）
∴∠1＝∠3（ 两直线平行，内错角相等 ）
故∠2＝∠3（ 等量代换 ）
∵DF∥AE（已知）
∴∠2＝∠5，（ 两直线平行，同位角相等 ）
∠3＝∠4（ 两直线平行，内错角相等 ）
∴∠4＝∠5（ 等量代换 ）
∴DF平分∠BDE（ 角平分线的定义 ）
（2）若AE⊥BC，请直接写出图中所有与∠1互余的角．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，根据平行线的性质得到∠1＝∠3，等量代换得到∠2
＝∠3，根据平行线的性质得到∠2＝∠5，等量代换即可得到结论；
（2）利用余角的概念进行判断即可．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC（已知）∴∠1＝∠2（角平分线的定义）
∵AC∥DE（已知）
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）
故∠2＝∠3（等量代换）
∵DF∥AE（已知）
∴∠2＝∠5，（两直线平行，同位角相等）
∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）
∴∠4＝∠5（等量代换）
∴DF平分∠BDE（角平分线的定义）．
故答案为：角平分线的定义，两直线平行，内错角相等，等量代换，两直线平行，同位角相等，等量代
换，角平分线的定义．
（2）解：∵AE⊥BC，
∴∠1+∠C＝90°，
∠3+∠DEB＝90°，
∠2+∠B＝90°，
∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠1的余角为：∠C、∠B、∠DEB．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
11．（2022秋•沙坪坝区校级期末）完成下面推理填空：
如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．
（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由；
（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数．
解：（1）DE与AB的位置关系为① 平行 ．
理由如下：∵AB∥CF（已知）
∴∠ACF＝∠BAC＝② 8 0 °，（③ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠CAD＝20°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝④ 6 0 °，
∵∠ADE＝120°，∴∠BAD+∠ADE＝⑤ 18 0 °，
∴DE∥AB（⑥ 同旁内角互补，两直线平行 ）
（2）∵AB∥CF，DE∥AB
∴DE∥CF，（⑦ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ）∴∠CED+∠ECF＝180°
∵∠CED＝71°，∴∠ECF＝180°﹣∠CED＝109°，
∵∠ACF＝80°，∴∠ACB＝∠ECF﹣∠ACF，
∴∠ACB＝⑧ 2 9 °．
【分析】平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角
的数量关系，根据已知分析填空即可．
【解答】解：（1）DE与AB的位置关系为：平行．
理由如下：∵AB∥CF（已知），
∴∠ACF＝∠BAC＝80°（两直线平行，内错角相等），
∵∠CAD＝20°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝60°，
∵∠ADE＝120°，
∴∠BAD+∠ADE＝180°，
∴DE∥AB（同旁内角互补，两直线平行）；
故答案为：平行，80，两直线平行，内错角相等，60，180，同旁内角互补，两直线平行；
（2）∵AB∥CF，DE∥AB，
∴DE∥CF，（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠CED+∠ECF＝180°，
∵∠CED＝71°，
∴∠ECF＝180°﹣∠CED＝109°，
∵∠ACF＝80°，
∴∠ACB＝∠ECF﹣∠ACF，
∴∠ACB＝29°．
故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，29．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性
质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定
是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行
线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
12．（2022秋•秀英区校级期末）如图．AD∥BC，∠1＝∠B，∠2＝∠3．
（1）试说明：EB∥DC；
（2）AC与ED的位置关系如何？为什么？
（3）∠BED与∠ACD相等吗？请说明理由．
注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题过
程．
解：
（1）∵AD∥BC，（已知）
∴∠B＝∠ EAD （ 两直线平行，同位角相等 ）
又∵∠1＝∠B，（已知）
∴∠1＝∠ EAD （等量代换）
∴ EB ∥ DC （ 内错角相等，两直线平行 ）
（2）AC与ED的位置关系是： AC ∥ ED 理由如下：
∵AD∥BC，（已知）
∴∠3＝∠ CAD （ 两直线平行，内错角相等 ）
又∵∠2＝∠3，（已知）
∴∠ 2 ＝∠ CAD （等量代换）
∴ AC ∥ ED ．（ 内错角相等，两直线平行 ）
【分析】（1）根据平行线的性质及判定定理推理论证即可；
（2）根据平行线的性质及判定定理推理论证即可；
（3）根据平行线的性质得到∠BED+∠CDE＝180°，∠ACD+∠CDE＝180°，即可得到结论∠BED＝∠ACD．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，（已知）
∴∠B＝∠EAD（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1＝∠B，（已知）
∴∠1＝∠EAD（等量代换）
∴EB∥DC（内错角相等，两直线平行）
故答案为：EAD；两直线平行，同位角相等；EAD；EB、DC；内错角相等，两直线平行；
（2）AC与ED的位置关系是：AC∥ED，理由如下：
∵AD∥BC，（已知）
∴∠3＝∠CAD（两直线平行，内错角相等）
又∵∠2＝∠3，（已知）
∴∠2＝∠CAD（等量代换）
∴AC∥ED．（内错角相等，两直线平行）
故答案为：AC∥ED；CAD；两直线平行，内错角相等；2；CAD；AC；ED；内错角相等，两直线平行；
（3）∠BED＝∠ACD，理由如下：
∵EB∥DC，
∴∠BED+∠CDE＝180°，
∵AC∥ED，
∴∠ACD+∠CDE＝180°，
∴∠BED＝∠ACD．
【点评】此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理及性质定理并进行推理论证是解
题的关键．
压 轴 题
1．（2022秋•卧龙区校级期末）（1）【感知】如图1，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、CE，试说明∠AEC＝∠A+∠DCE．下面给出了这道题的解题过程，请将解题过程中的解题依据补充完
整．
证明：如图2，过点E作EF∥AB，
∴∠A＝∠1，（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵AB∥CD（已知），EF∥AB（辅助线作法），
∴EF∥CD，（ 平行于同一直线的两条直线平行 ）
∴∠2＝∠DCE，（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠DCE；（ 等量代换 ）
（2）【探究】当点E在如图2的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°；
（3）【应用】如图，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，求∠MEC的度数
（请直接写出答案）．
【分析】（1）过点E作EF∥AB，由平行线的性质得出∠A＝∠1，证出CD∥EF，由平行线的性质得出
∠2＝∠DCE，即可得出结论；
（2）过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由平行线的性质得出∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，即可
得出结论；
（3）同（2）得∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，得出∠AEC＝110°，即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图1，过点E作EF∥AB，
∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD（已知），
∵EF∥AB（辅助线作法），
∴CD∥EF（平行于同一直线的两条直线平行），
∴∠2＝∠DCE（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠DCE（等量代换），
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；
（2）证明：过点E作EF∥AB，如图2所示：
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠A+∠AEC+∠C＝∠A+∠AEF+∠C+∠CEF＝180°+180°＝360°；
（3）解：同（2）得：∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴∠AEC＝360°﹣∠A﹣∠DCE＝360°﹣130°﹣120°＝110°，
∴∠MEC＝180°﹣∠AEC＝180°﹣110°＝70°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质；正确作出辅助线是解题的关键．
2．如图（1），AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说明理由．（提示：三角形的内角和等于
180°）
①填空或填写理由：
解：猜想∠BPD+∠B+∠D＝360°．
理由：过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴ EF ∥ CD ，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴∠EPD+ ∠ CDP ＝180°，
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°，
∴∠B+∠BPD+∠D＝360°．
②仿照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明
理由．
③观察图（3）和（4），已知AB∥CD，直接写出图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不说明理由．图（3）： ∠ BPD ＝∠ D ﹣∠ B ， ；
图（4）： ∠ BPD ＝∠ B ﹣∠ D ．
【分析】①过点P作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补，证出结论；
②与①的方法类似，过点P作EP∥AB，根据两直线平行，内错角相等，证出结论；
③过点P作EP∥AB，可以看出图中的∠BPD与∠B、∠D的关系．
【解答】解：①猜想∠BPD+∠B+∠D＝360°，
理由：过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴CD∥EF，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠EPD+∠CDP＝180°，
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°，
∴∠B+∠BPD+∠D＝360°，
故答案为：两直线平行，同旁内角互补．EF∥CD，∠CDP；
②猜想∠BPD＝∠B+∠D
理由：过点P作EP∥AB，
∴∠B＝∠BPE（两直线平行，同位角相等）
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴CD∥EF，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴∠EPD＝∠D
∴∠BPD＝∠B+∠D
③如图（3），∠BPD＝∠D﹣∠B．理由：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠D，
∵∠1＝∠B+∠BPD，
∴∠D＝∠B+∠BPD，
即∠BPD＝∠D﹣∠B；
如图（4），∠BPD＝∠B﹣∠D．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠B，
∵∠1＝∠D+∠BPD，
∴∠BPD＝∠B﹣∠D．
故答案为：∠BPD＝∠D﹣∠B，∠BPD＝∠B﹣∠D．
【点评】本题考查的是平行线的性质，作出正确的辅助线是解题的关键，解答本题时，注意类比思想的运
用．
3．（2022秋•二道区校级期末）（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，连结BE，CE，可以发现
∠BEC＝∠B+∠C．请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF（ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵AB∥DC（已知），EF∥AB，
∴EF∥DC（ 平行于同一直线的两直线平行 ）．
∴∠C＝∠CEF．
∵（ ∠ B + ∠ C ）＝∠BEF+∠CEF，
∴∠BEC＝∠B+∠C．（等量代换）．
（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：∠B+∠C＝360°﹣∠BEC．
（3）解决问题：如图③，AB∥DC，E、F、G是AB与CD之间的点，直接写出∠1，∠2，∠3，∠4，
∠5之间的数量关系．
【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（2）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（3）过点F作FM∥AB，根据（1）求解即可．
【解答】（1）证明：过点E作EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥DC（已知），EF∥AB，
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行）．
∴∠C＝∠CEF．
∵（∠B+∠C）＝∠BEF+∠CEF，
∴∠BEC＝∠B+∠C．（等量代换），
故答案为：两直线平行，内错角相等，平行于同一直线的两直线平行，∠B+∠C；
（2）解：如图②，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠C+∠CEF＝180°，∠B+∠BEF＝180°，
∴∠B+∠C+∠AEC＝360°，
∴∠B+∠C＝360°﹣（∠BEF+∠CEF），
即∠B+∠C＝360°﹣∠BEC；
（3）解：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4，理由如下：
如图，过点F作FM∥AB，则AB∥FM∥CD，
由（1）得，∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4．
【点评】此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
4．（2022秋•小店区校级期末）（1）问题背景：如图1，已知AB∥CD，点P的位置如图所示，连结
PA，PC，试探究∠APC与∠A、∠C之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔
细阅读，并完成填空（理由或数学式）：
解：过点P作PE∥AB
∵AB∥CD（已知），
∴PE∥CD（ 平行于同一直线的两直线平行 ），
∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（ 两直线平行，内错角相等 ），∴∠A+∠C＝ ∠ APE + ∠ CPE （等式的性质）．
即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是 ∠ APC ＝∠ A + ∠ C ．
（2）类比探究：如图2，已知AB∥CD，线段AD与BC相交于点E，点B在点A右侧．若∠ABC＝41°，
∠ADC＝78°，则∠AEC＝ 119 ° ．
（3）拓展延伸：如图3，若∠ABC与∠ADC的角平分线相交于点F，请直接写出∠BFD与∠AEC之间的
数量关系 2 ∠ BFD ＝∠ AEC ．
【分析】（1）利用题干中的思路，依据两条直线平行的判定，平行线的性质和等式的性质解答即可；
（2）利用类比的方法，依据（1）的思路与方法解答即可；
（3）利用类比的方法，依据（1）的思路与方法分别计算∠BFD与∠AEC，观察结论即可得出结论．
【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD（已知），
∴PE∥CD（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（两直线平行，内错角相等），
∴∠A+∠C＝∠APE+∠CPE（等式的性质）．
即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是：∠APC＝∠A+∠C．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠APE；∠CPE；∠APC＝
∠A+∠C；
（2）过点E作EP∥AB，如图，
∵AB∥CD（已知），
∴∠ADC＝∠BAD＝78°，
∴PE∥CD，
∴∠BAD＝∠AEP＝78°，∠ABC＝∠PEC＝41°，
∴∠AEC＝∠AEP+∠PEC＝78°+41°＝119°，
故答案为：119°；
（3）由（2）知：∠AEC＝∠ABC+∠ADC，
∵DF，BF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠ABC＝2∠ABF，∠ADC＝2∠FDC，∴∠AEC＝2（∠ABF+∠FDC）．
过点F作FP∥AB，如图，
则∠ABF＝∠BFP，
∵AB∥CD，
∴FP∥CD，
∴∠PFD＝∠FDC，
∴∠BFD＝∠BFP+∠PFD＝∠ABF+∠FDC，
∴2∠BFD＝∠AEC，
故答案为：2∠BFD＝∠AEC．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，利用类比的方法解答是解题的关键．
5．（1）阅读下列证明过程，并在括号内填写理由；
如图①，AB∥CD，E 为平行线内任意一点，连接 AE，CE，得到∠AEC，说明为什么∠AEC＝
∠A+∠C．
小亮是这样做的：
过点 E作EF∥AB，
则有∠AEF＝∠A（ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵AB∥CD，
所以EF∥CD（ 平行于同一直线的两条直线平行 ），
所以∠FEC＝∠C（ 两直线平行，内错角相等 ）．
所以∠AEF+∠FEC＝∠A+∠C（等式的性质）．
即∠AEC＝∠A+∠C．
（2）如图②，画出∠BEF和∠EFD的平分线，两线交于点G，猜想∠G的度数，并说明理由．
（3）如图③，EG 和EG 为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线段，分别与∠EFD的平分线交于点G 和
1 2 1
G ，请说明∠FG E+∠FG E＝180°的理由．
2 1 2【分析】（1）根据平行线的性质定理与判定定理求解即可；
（2）由（1）得∠G＝∠BEG+∠GFD，再根据角平分线的定义与平行线的性质即可得解；
（3）由（1）得∠FG E＝∠1+∠G FD，∠EG F＝∠BEG +∠G FD，再根据角平分线的定义、角的和差
1 1 2 2 2
与平行线的性质即可得解．
【解答】解：（1）过点 E作EF∥AB，
则有∠AEF＝∠A （ 两直线平行，内错角相等 ），
∵AB∥CD，
所以EF∥CD （平行于同一直线的两条直线平行），
所以∠FEC＝∠C （两直线平行，内错角相等 ），
所以∠AEF+∠FEC＝∠A+∠C（等式的性质），
即∠AEC＝∠A+∠C．
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等．
（2）如图②，∠G＝90°，
由（1）结论得∠G＝∠BEG+∠GFD，
∵EG，FG分别平分∠BEF和∠EFD，
∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，∴2∠BEG+2∠GFD＝180°，
∴∠BEG+∠GFD＝90°．
∴∠G＝90°．
（3）如图③，由（1）结论可得∠FG E＝∠1+∠G FD，∠EG F＝∠BEG +∠G FD，
1 1 2 2 2
∵FG 平分∠EFD，
1
∴∠EF G ＝∠G FD，
1 1
∵∠1＝∠2，∠FG E＝∠2+∠EFG ，
1 1
∴∠FG E+∠FG E＝∠2+∠EFG +∠BEG +∠G FD＝（∠2+∠BEG ）+（∠EFG ++∠G FD）＝
1 2 1 2 1 2 1 1
∠BEF+∠EFD，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
即∠FG E+∠FG E＝180°．
1 2
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
6．（2022秋•朝阳区校级期末）已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点．
（1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成图中的填空部分）证明：过点G作直线
MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴ MN ∥CD
∵MN∥AB，
∴∠ A ＝∠MGA．
∵MN∥CD，
∴∠D＝ DGM （ 两直线平行，内错角相等 ）
∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．
（2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）【应用拓展】如图3，AH平分∠GAE，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDF，∠HDF＝22°，∠H
＝32°，直接写出∠DGA的度数为°．
【分析】（1）由 MN∥AB，可得∠A＝∠AGM，由 MN∥CD，可得∠D＝∠DGM，则∠AGD＝
∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D；
（2）如图所示，过点G作直线MN∥AB，同理可得∠A＝∠AGM，∠D＝∠DGM，则∠AGD＝∠AGM﹣
∠DGM＝∠A﹣∠D；
（3）如图所示，过点 G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，得到∠BAG＝∠AGM，∠BAH＝
∠AHP，由MN∥CD，PQ∥CD，得到∠CDG＝∠DGM，∠CDH＝∠DHP，再由∠GDH＝2∠HDC，
∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，可得∠GDH＝44°，∠DHP＝22°，则∠CDG＝66°，∠AHP＝54°，∠DGM
＝66°，∠BAH＝54°，再由AH平分∠GAE，即可得到∠AGM＝108°，则∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝
42°．
【解答】解：（1）过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM（两直线平行，内错角相等），
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM（两直线平行，内错角相等），
∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．
故答案为：MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等．
（2）如图所示，过点G作直线MN∥AB，又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM，
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM，
∴∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝∠A﹣∠D．
（3）如图所示，过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，PQ∥CD
∵MN∥AB，PQ∥AB，
∴∠BAG＝∠AGM，∠BAH＝∠AHP，
∵MN∥CD，PQ∥CD，
∴∠CDG＝∠DGM，∠CDH＝∠DHP，
∵∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，
∴∠GDH＝44°，∠DHP＝22°，
∴∠CDG＝66°，∠AHP＝54°，
∴∠DGM＝66°，∠BAH＝54°，
∵AH平分∠GAE，
∴∠BAG＝2∠BAH＝108°，
∴∠AGM＝108°，
∴∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝42°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．
7．（2022秋•内乡县期末）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解
答，今天老师介绍了一个“美味”的模型﹣﹣﹣“猪蹄模型”．即已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．
求证：∠AEC＝∠A+∠C．
小明笔记上写出的证明过程如下：
证明：过点E作EF∥AB，
∴∠1＝∠A．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD．
∴∠2＝∠C．
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠C．
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
（1）如图2，若AB∥CD，∠E＝60°，则∠B+∠C+∠F＝ 240 ° ．
（2）如图3，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G＝∠H+27°，E、B、H共线，F、C、H共
线，则∠H＝ 51 ° ．
【分析】（1）由EM∥AB，FN∥EM，FN∥CD分别得∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4+∠C＝180°，由角的和
差计算∠B+∠C+∠F的度数为240°；
（2）由角平分线得∴∠ABG＝2∠1，∠DCG＝2∠4，根据直线EF∥AB，EF∥CD得2∠1+∠7＝180°，
2∠4+∠8＝180°，等式的性质得2（∠1+∠4）＝∠BGC+180°；直线MN∥AB，MN∥CD得∠1＝∠5，
∠4＝∠6，等量代换2（∠5+∠6）＝∠BGC+180°，又因∠BGC＝∠BHC+27°求得∠BHC的度数为51°．
【解答】解：（1）过点E、F分别作EM∥AB，FN∥AB，如图2所示：∵EM∥AB，
∴∠1＝∠B，
又∵FN∥AB，
∴FN∥EM，
∴∠2＝∠3，
又∵AB∥CD，
∴FN∥CD，
∴∠4+∠C＝180°，
又∵∠BEF＝∠1+∠2，∠EFC＝∠3+∠4，∠BEF＝60°
∴∠B+∠EFC+∠C＝∠1+∠3+∠4+∠C
＝（∠1+∠2）+（∠4+∠C）
＝60°+180°
＝240°；
（2）过点G、H作EF∥AB，MN∥AB，如图3所示：
∵BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，
∴∠ABG＝2∠1，∠DCG＝2∠4，
又∵EF∥AB，
∴2∠1+∠7＝180°，
又∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴2∠4+∠8＝180°，
∴∠7+∠8＝360°﹣2（∠1+∠4），
又∵∠7+∠8+∠BGC＝180°，
∴2（∠1+∠4）＝∠BGC+180°，
又∵MN∥AB，
∴∠1＝∠5，又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠4＝∠6，
∴2（∠5+∠6）＝∠BGC+180°，
又∵∠5+∠6+∠BHC＝180°，
∴∠BGC+2∠BHC＝180°，
又∠BGC＝∠BHC+27°，
∴3∠BHC+27°＝180°，
∴∠BHC＝51°；
故答案为：240°，51°．
【点评】本题综合考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，角平分线的定义，等量代换等相关知
识，重点掌握平行线的判定与性质，难点作辅助线构建平行线．
8．（2022春•市南区校级期中）【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平
行线进行转化．例如：如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之
间．
（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
证明：如图1，过点A作AD∥MN，
∵MN∥PQ，AD∥MN，
∴AD∥MN∥PQ，
∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，
即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
【类比应用】已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图2，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；说明理由．
（2）如图3，设∠PAB＝ 、∠CDP＝ 、直接写出∠ 、∠ 、∠P之间的数量关系为 ∠ + ∠ ﹣∠ P ＝
α β α β α β180° ．
【联系拓展】如图4，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．AP⊥PD，DN平分∠PDC，若
1
∠PAN+ ∠PAB＝∠P，运用（2）中的结论，求∠N的度数．说明理由．
2
【分析】【类比应用】（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质可得∠APE＝∠A＝50°，∠EPD＝180°
﹣150°＝30°，即可求出∠APD的度数；
（2）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，根据平行线的性质可得∠DPE＝∠CDP＝ ，∠APE+∠PAB＝
180°，即可得出∠CDP+∠PAB﹣∠APD＝180°； β
1
【联系拓展】PD交AN于点O，由AP⊥PD，得出∠APO＝90°，由∠PAN+ ∠PAB＝∠APD得出∠PAN
2
1 1 1
+ ∠PAB＝90°，由∠POA+∠PAN＝90°，得出∠POA= ∠PAB，由对顶角相等得出∠NOD= ∠PAB，由
2 2 2
1 1
角平分线的性质得出∠ODN= ∠PDC，即∠AND＝180°− （∠PAB+∠PDC），由（2）得：
2 2
∠CDP+∠PAB﹣∠APD＝180°，代入计算即可求出∠AND的度数．
【解答】解：【类比应用】（1）如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，PE∥AB，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE＝∠A＝50°，∠DPE+∠D＝180°，
∴∠DPE＝180°﹣150°＝30°，
∴∠APD＝∠APE+∠DPE＝50°+30°＝80°；
（2）如图3，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，PE∥AB，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠DPE＝∠CDP＝ ，∠APE+∠PAB＝180°，
∴∠APE＝180°﹣ ，β
∠DPE＝∠DPA+∠αAPE＝∠DPA+180°﹣ ，
∴ ＝∠DPA+180°﹣ ， α
∴β+ ﹣∠P＝180°，α
故α答案β 为：∠ +∠ ﹣∠P＝180°；
【联系拓展】α β
如图4，PD交AN于点O，
∵AP⊥PD，
∴∠APO＝90°，
1
∵∠PAN+ ∠PAB＝∠APD，
2
1
∴∠PAN+ ∠PAB＝90°，
2
∵∠POA+∠PAN＝90°，
1
∴∠POA= ∠PAB，
2
∵∠POA＝∠NOD，
1
∴∠NOD= ∠PAB，
2
∵DN平分∠PDC，
1
∴∠ODN= ∠PDC，
2
∴∠AND＝180°﹣∠NOD﹣∠ODN
1
＝180°− （∠PAB+∠PDC），
2由（2）得：∠CDP+∠PAB﹣∠APD＝180°，
∴∠CDP+∠PAB＝180°+∠APD，
1
∴∠AND＝180°− （∠PAB+∠PDC）
2
1
＝180°− （180°+∠APD）
2
1
＝180°− （180°+90°）
2
＝45°．
【点评】本题考查了平行线的性质及垂线，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
