文档内容
第 02 讲 与三角形有关的角 （3 个知识点+5 种题型+分层练
习）
知识导图
知识清单
知识点1．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且
每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．
在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的
关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐
角．
知识点2．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
知识点3．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的
性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜
边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质 5：在直角三角
形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于
30°．
题型强化
题型一．三角形内角和定理
1．（2023秋•林芝市期末）如图， 中， 为 的角平分线， 为 的高，
， ，那么 是
A． B． C． D．
2．（2023秋•金东区期末）如图，在 中， ， 、 分别是 的高
线和角平分线，若 与 构成的角为 ， ，则 度．3．（2024春•太康县期末）在 中， 平分 交 于点 ， 是 边
上的高，且 ， ，求：
（1） 的度数．
（2） 的度数．
题型二．三角形的外角性质
4．（2023秋•湛江期末）如图所示， 的外角等于 ， 等于 ，则 的度
数是 ．5．（2024•驿城区模拟）如图，把一个含 角的直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边
上，如果 ，那么 的度数为
A． B． C． D．
6．（2023秋•甘州区校级期末）如图， 是 的外角， 平分 ， 平
分 ，且 、 交于点 ， ．
（1）求证： ；
（2）猜想：若 ，求 的度数．
题型三．直角三角形的性质
7．（2024春•港北区期中） 中， ， ，则
A． B． C． D．8．（2023 秋•陵城区期末）如图，把一张 纸片沿 折叠，若 ，
，则 的度数为 ．
9．（2024 春•沭阳县期中）如图， 中， ， ， ，
，求 ．
题型四、三角形内角和定理的证明
10．（22-23八年级上·广西百色·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．任何命题都有逆命题 B．“三角形的内角和等于 ”是真命题
C．命题的逆命题不一定是正确的 D．每个定理都有逆定理
11．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在
一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．
12．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知 ，求证：
．（过点 作 ，请按照此思路继续完成证明过程）题型五、三角形的外角的定义及性质
13．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，CE平分 ， ， ，
那么 等于（ ）
A． B． C． D．
14．（23-24八年级上·山西运城·期末）如图，在 中，已知 是角平分线，
， ，则 ， ．
15．（23-24八年级上·全国·单元测试） 的三条角平分线相交于点 ，延
长 交 于点 ．作 ，交 延长线于点 ．
(1)若 ，则 ；(2)判断 与 的数量关系，并说明理由；
(3)求证 ．
分层练习
一、单选题
1．（22-23八年级上·陕西渭南·期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于 ，则另一
个锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23八年级上·四川泸州·期中）如图，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（22-23八年级上·贵州黔西·期末）如图，在 中， ， ，
则 是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
4．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ，
则 的度数为（ ）A． B． C． D．
5．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）如图， ， ， 则 、 的关
系为（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ，点D在 上，
将 沿 折叠，使A点落在 边上的E点，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23八年级上·河南安阳·期中）如图，将纸片 沿 折叠，使点 落在四边形
的外部点 的位置，如果 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．无法确定
8．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，铅笔放置在 的边AB上，笔尖方向为点
A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转 ， ， 的度数后，笔
尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（ ）A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的
C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角
的
9．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）具备下列条件的 中，不是直角三角形的
是（ ）
A． B．
C． D．
10．（22-23八年级上·甘肃平凉·期中）如图，在 中， ， 和
的平分线交于一点O， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（20-21八年级上·浙江台州·期中）有两个角 的三角形是直角三角形．
12．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在 中， ， ，
，则 的度数为 ．
13．（22-23八年级上·湖北十堰·期中）如图， ， ， ，则
．14．（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，AD， 分别是 的角平分线和高
线，且 ， ，则 ．
15．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图， ， 分别是 的边
， 上的两点， ，把 沿 折叠，当点 落在四边形 内部时，
则 ．
16．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图， 的外角平分线 ， 相交于点 ，
若 ，则 ．
17．（22-23八年级上·河南安阳·期中）如图， 中， ， ， 分别平分
， ，则 ．18．（22-23八年级上·广西柳州·期中）如图，将 纸片沿 折叠，使点 落在点
处，且 平分 ， 平分 ，若 ，则 的度数为
．
三、解答题
19．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交 于点C，
垂足为E， 求 的大小．
20．（22-23八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，点C为 的边 延长线上的一
点，点D为边 上一点， 交 于点F，已知 ， ，求 的度数．
21．（23-24八年级上·山西运城·期末）如图，在 中， 平分 ，P为线段上的一点，过点P作 交 的延长线于点E．若 ， ，求
的度数．
22．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在 中， 是 边上的高，E是 边
上一点， 交 于点M，且 ．求证： 是直角三角形．
23．（23-24八年级上·河北唐山·期中）夕夕同学要证明“任意一个三角形的内角和一定等于 ”是正确的，她的想法是利用平行线的性质与平角的定义来证明．下面夕夕已经写
出了已知和求证，请你按夕夕的想法完成证明．
如图，已知： ．
求证： ．
24．（22-23八年级上·广西桂林·期中）如图， 中， ， ， 平分
， 于D， ，交 于F，求：
(1) 的度数；
(2)当 平分 时， ，若 ， ， ，请用含m，n，a的代
数式表示 的长．
25．（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，在 中， ，点 ， 在边上，将边 沿 翻折，使点 落在 上的点 处，再将边 沿 翻折，使点
落在 的延长线上的点 处，
(1)求 的度数；
(2)若 ， ，求 的面积．
26．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在 中， ，点 为 上一
点，过点 作 于点 ．
(1)当BD平分 ，且 时，求 的度数；
(2)当点是中点，，且的面积为，求的长.
