文档内容
第 06 讲 角的平分线的性质（2 个知识点+2 种题型
+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线
段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直
角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
知识点2．作图—尺规作图的定义
（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有
限次，来解决不同的平面几何作图题．
（2）基本要求
它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．
直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一
起，不可以在上画刻度．
圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．
题型强化
题型一．角平分线的性质1．（2024•易门县二模）如图，用直尺和圆规作在 内确定射线 ，点 是射线
上一点，过点 分别作 于点 ，作 于点 ，若 ，则 的长
为
A．1.5 B．3 C．4 D．5
2．（2024 春•修水县期末）如图，在 中， 是角平分线， 于 ，
于 ， ， ，则 的面积为 ．
3．（2024春•宝丰县期末）图1是一个平分角的仪器，其中 ， ．
（1）如图2，将仪器放置在 上，使点 与顶点 重合， ， 分别在边 ，
上，沿 画一条射线 ，交 于点 ． 是 的平分线吗？请判断并说明理由．
（2）如图3，在（1）的条件下，过点 作 于点 ，若 ， ，
的面积是60，求 的长．题型二．作图—尺规作图的定义
4．（2022秋•青秀区校级期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，
该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是
A． B． C． D．
5．（2020秋•儋州校级月考）只能使用 和 这两种工具去作几何图形的方法称为
尺规作图．
6．如图，利用尺规，在 的边 上方作 ，在射线 上截取
，连接 ，并证明： （尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）分层练习
一、单选题
1．如图，已知 ，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在
， 上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A． 边的高上 B． 的平分线上 C． 的平分线上 D． 边的中线上
2．如图所示，是用尺规作图作已知角的角平分线的示意图，则说明 是 的角平分
线的依据是（ ）
A． B． C． D．
3．如图， ， ， 的角平分线和 的角平分线相交于点D，
过D点作 于E．若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．44．如图，AD平分 ， 于点 ， 于点 分别是AD、
的中点，连接 ．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知 ，以点B为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线 于 点
M，N，分别以点M，N为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线
上取点H，以点H为圆心，以线段 长为半径作弧交射线 于点D；点E，F分别在射
线 上， ，射线 交于点G， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线 表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离
相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
7．如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公
路的距离相等，则供选择的地址有（ ）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
8．如图，已知点P在射线 上， ，垂足分别为A，C，且 ，
则下列结论错误的是（ ）
A． B．点D在 的平分线上
C． D．
9．如图， 的平分线 与 的平分线 相交于点P，作 ，
垂足为E．若 ，则点P到 的距离与到 的距离之和为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．不能确定
10．已知，如图， 是 内部的一条射线，P是射线 上任意点，
，下列条件中：① ，② ，③ ，④
，能判定 是 的角平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题
11．如图，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交
、 于点 、 ，再分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交
于点 ，作射线 交 于点 ．若 ，则点 到边 的距离为 ．
12．如图， ， ， ，若 ，则 ．
13．如图， 中， ， 平分 ， ， ，则 的面积
为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点 ，
则 与 的数量关系是 ．
15．三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条
公路距离相等，问可供选择的地方有 处．
16．如图， 中 ，点 、 是 与 三等分线的交点，则的度数是 ．
17．如图， 中， ，用尺规作图法作出射线 ， 交 于点 ，
， 为 上一动点，则 的最小值为 ．
18．如图，在 中， ， ，点 ， 是内角 与外角
的三等分线的交点，则 ．
三、解答题
19．如图，铁路 和铁路 交于O处，河道 与铁路分别交于A处和B处，试在河岸
上建一座水厂M，要求M到铁路 ， 的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？
请在图中标出M点的位置．
20．如图，107国道 和320国道在湘潭市相交于点O，在 的内部有一个工厂C和
D，现在要修建一个货站P，使点P到 的距离相等，且使 ，用尺规作出货
站P的位置．21．如图所示，在 中， ， 是 的平分线， 交 于 ，
在 上， ，证明： ．
22．如图， 于E， 交 的延长线于点
F．(1)求证： 平分 ；
(2)若 ，求 的长．
23．证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并
用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了
不完整的已知和求证．
已知：如图，点 在 上，
求证： ．（要求：请你补全已知和求证，并写出证明过程．）
24．如图， 是 边 的延长线上的一点，在边 上取一点 ，使得，且 ，作 的平分线交 于点 ．
(1)求 的度数．
(2)过点 作 于点 ，连接 ，若 ， ， 的面积为12，求
的面积．
25．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为 ， ， ，记 ，那么这个三
角形的面积为 ．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的
三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，
故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”．完成以下问题：
如图，在 中， ， ， ．
(1)利用上面公式求 的面积；
(2)如图2， 的两条角平分线 ， 交于点 ，求点 到边 的距离．26．已知：等边 中，D为 延长线上一点，连接 ，点E在 上，连接 ，
．
(1)如图1，连接 ，求证： 平分 ；
(2)如图2，点F为线段 上一点，连接 交 于点G，若点G为 中点，求证：
；
(3)如图3，点F为线段上一动点，作F关于的对称点，连接，．交于点K，点D在的延长线
上运动，始终满足，连接，交于点G，当F'D取得最大值时，此时，求整个运动过程中的最
小值.
