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专题38一次函数的应用之几何问题
1．如图，在平面坐标系中，直线 分别与x轴，y轴交于点 ，点 ．
(1)求直线l的解析式；
(2)若点C是y轴上一点，且 的面积是 ，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，当点C在y轴负半轴时，在平面内是否存在点D，使以A，B，C，D为顶点
的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)存在，点 的坐标为 或 或
【分析】（1）根据点 的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）设点 的坐标为 ，则 ，根据 的面积是 建立方程，解绝对值方程即
可得；
（3）先求出点 的坐标为 ，再分①四边形 是平行四边形，②四边形 是平行
四边形和③四边形 是平行四边形三种情况，分别根据平行四边形的性质求解即可得．
（1）
解：将点 代入 得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ．
（2）
解：设点 的坐标为 ，则 ，
，
，
的面积是 ，
，
解得 或 ，
则点 的坐标为 或 ．
（3）
解： 在（2）的条件下，点 在 轴负半轴上，
，
设点 的坐标为 ，
由题意，分以下三种情况：
由①如图，当四边形 是平行四边形时，
平行四边形 的对角线互相平分，
，解得 ，则此时点 的坐标为 ；
②如图，当四边形 是平行四边形时，
，
，点 的横坐标与点 的横坐标相同，即 ，
则此时点 的坐标为 ；
③如图，当四边形 是平行四边形时，
，
，点 的横坐标与点 的横坐标相同，即 ，
则此时点 的坐标为 ；
综上，存在，点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数、平行四边形的性质等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况
讨论是解题关键．
2．如图①，在矩形 中，点 、 分别在 轴、 轴正半轴上，点 在第一象限， ，
．
（1）请直接写出点 的坐标；（2）如图②，点 在 上，连接 ，把 沿着 折叠，点 刚好与线段 上一点 重
合，求线段 的长度；
（3）如图③，点 为直线 在第一象限内的图象上的个动点，点 在线段 上(不
与点 、 重合)，是否存在直角顶点为 的等腰直角 ，若存在，请求出点 的坐标：若不
存在，请说明理由．
【答案】（1）点 的坐标 ；（2）3；（3）存在，点 坐标为 ．
【分析】（1）根据矩形的性质即可求解；
（2）根据折叠的性的可得AC'=AC=6，C'F=CF，∠C=∠AC'F=60°，然后由勾股定理可求CF的长即
可；
（3）分当点 在 下方和下方两种情况，分别利用全等三角形的性质可求PF=BE，EP=DF，求
解即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=OA=8，AC=OB=6，AC//OB，BC//OA，
∴点C的坐标为（8，6）；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=OA=8，∠AOB=∠C=90°
∴
把 沿着 折叠，点 刚好与线段 上一点 重合，
， ， ，
，
，；
（3）设点 ，分两种情况：
①当点 在 下方时，如图③，过点 作 ，交 轴于 ，交 于 ，
是等腰三角形，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
点 ，点 为 在端点上，点 不符合题意，舍去；
②当点 在 的上方时，如图④，过点 作 ，交 轴于 ，交 的延长线于 ，同理可证 ，
，
，
，
点 ，
点 为 ，不在端点，符合题意．
综上所述，点 坐标为 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质、折叠的性
质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的性质、折叠
的性质、全等三角形的判定与性质并掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，直线y
＝2x－6经过线段OA的中点D，与y轴交于点G，E是线段CG上一点，作点E关于直线DG的对
称点F，连接BE，BF，FG．设点E的坐标为（0，m）．
（1）写出点B的坐标是（ ， ）；
（2）当 时，求点E的坐标；
（3）在点E的整个运动过程中，
①当四边形BEGF为菱形时，求点E的坐标；
②若N为平面内一点，当以B，E，F，N为顶点的四边形为矩形时，m的值为 ．（请直
接写出答案）
【答案】（1）（6，6）；（2）E（0，2）； （3）① E（0， ）； ② 4【分析】（1）对于y＝2x−6，令y＝0，即2x−6＝0，解得x＝3，故点D的坐标分别为（3，0）、
则点A（6，0），即可求解；
（2）对于y＝2x−6，令x＝0，求出G点的坐标，由对称性得出 ，所以
，列出等式求解即可；
（3）①根据菱形的性质得出EG//BF，BE＝GF＝BF＝EG，判断出BF在OA的延长线上，由BE2
＝EG2列出等式，求解即可；
②当B，E，F，N四点构成的四边形为矩形时，BE＝BF，则该矩形为正方形，则∠EBF为直角，
过点F作x轴的平行线交BA的延长线于点T，由三角形形全等判定推出△BCE≌△BTF（AAS），推
出点A、T重合，则点F在x轴上，则AF＝CE，即可表示出点F的坐标，由GE＝GF，列出等量
关系求解即可．
【详解】解：（1）对于y＝2x−6，令y＝0，即2x−6＝0，解得x＝3，
∴D的坐标分别为（3，0），
∵线段OA的中点D，正方形OABC的边OA，
∴A（6，0），
B（6，6），
故答案为：6；6；
（2）对于y＝2x−6，令x＝0，即y＝−6，
∴ G（0，﹣6），
∵点E关于直线DG的对称点F，
∴ ，
∴
设点E的坐标为（0，m）．
∴EG＝m+6，
∵ ， B（6，6），
∴ ，
∴ ，
解得m＝2，∴E（0，2）；
（3）①若四边形BEGF为菱形，则EG//BF，
∴ BF⊥x轴，即BF在BA的延长线上，
根据菱形的性质知：BE＝GF＝BF＝EG，
∵点E的坐标为（0，m），
∴BE2＝EG2，BE2＝BC2 +CE2
∴ ，
解得： ，
∴E（0， ）；
②如下图，当B，E，F，N四点构成的四边形为矩形时，
∵BE＝BF，则该矩形为正方形，则∠EBF为直角，
过点F作x轴的平行线交BA的延长线于点T，
∵∠CBE＋∠EBA＝90°，∠EBA＋∠FBA＝90°，
∴∠CBE＝∠FBA，
∵∠BCE＝∠BTF＝90°，BE＝BF，
∴△BCE≌△BTF（AAS），
∴CE＝TF＝6−m，BT＝BC，
故点A、T重合，则点F在x轴上，则AF＝CE＝6−m，
故点F（12−m，0），
∵GE＝GF，
∴GE2＝GF2，GE2＝（m＋6）2，GF2＝（12−m）2＋（−6）2
∴（m＋6）2＝（12−m）2＋（−6）2，
解得：m＝4．
故答案为：4【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、三角形全等的
性质和判定，勾股定理，熟练掌握所学性质定理是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，过点B（4，0）的直线AB与直线OA相交于点A（3，1），动点
M在线段OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）直线AB交y轴于点C，求△OAC的面积；
（3）当△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，求出这时点M的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x+4；（2）6；（3）M的坐标是：M（1， ）或M（1，3）或M（﹣1，
1 2 3
5）
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求得C的坐标，即OC的长，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）当△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解
析式即可求得M的坐标．
【详解】解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，
根据题意得： ，
解得： ，
则直线的解析式是：y＝﹣x+4；
（2）在y＝﹣x+4中，令x＝0，解得：y＝4，则OC=4，
S OAC＝ ×4×3＝6；
△
（3）当M在线段OA时，
设OA的解析式是y＝mx，
把A（3，1）代入得：3m＝1，解得：m＝ ，
则直线的解析式是：y＝ x，
∵△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，
∴当M的横坐标是 ×3＝1，
在y＝ x中，当x＝1时，y＝ ，
则M的坐标是（1， ）；
当M在射线AC上时，
在y＝﹣x+4中，x＝1时，
则y＝3，
则M的坐标是（1，3）；
当M的横坐标是﹣1时，
在y＝﹣x+4中，当x＝﹣1时，y＝5，
则M的坐标是（﹣1，5）；
综上所述：M的坐标是：M（1， ）或M（1，3）或M（﹣1，5）．
1 2 3
【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，掌握待定系数法和一次函数的性质是解题的关键．
5．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A(a，0)、B(0，b)两点，且a，b满
足（a﹣b）2＋|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．
（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；
（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt BPF，其中∠BPF
＝90°，连接FA并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？△若改变，请求出
它的变化范围；若不变，求出它的长度．
【答案】（1）见解析；（2）BD＝2AE，证明见解析；（3）OG的长不变，OG＝4t【分析】（1）根据直线解析式求出点 、 的坐标，然后得出 是等腰直角三角形，再根据
角平分线的定义求出 ，根据等腰三角形三线合一的性质 ，然后根据直角三
角形两锐角互余的性质与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出 ，
，利用等角对等边得到 ；
（2）延长 交 于 ，得 ，得到 ，再证 得到 ，
从而得到 ；
（3）作 ，垂足为 ，利用角角边定理可以证明 与 全等，根据全等三角形对
应边相等可得 、 ，再证 ， ， ．
【详解】（1）证明： 直线 分别交 轴、 轴于 、 两点，且 ， 满足
，且 ，
，
当 时， ，
当 时， ，
解得 ，
点 、 的坐标是 ， ，
是等腰直角三角形，
点 是 的中点，
，
，
直线 平分 ，
，
，
，
，
（等角对等边）；
（2）答： ．
理由如下：延长 交 于 ，
平分 ，
，
于点 ，
，在 中， ，
，
，
，
，
，
又 ， （对顶角相等），
，
在 与 中， ，
，
，
；
（3） 的长不变，且 ．
过 作 ，垂足为 ，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在 与 中， ，，
， ，
， ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
【点睛】本题综合考查了一次函数，全等三角形的判定与全等三角形的性质，以及等腰直角三角
形的性质，角平分线的定义，等腰三角形三线合一的性质等等知识点，熟悉相关性质是解题的关
键．
6．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形ABCD在第一象限内，AB∥x轴，点A的坐标
为（5，4）经过点O、点C作直线l，将直线l沿y轴上下平移．
（1）当直线l与正方形ABCD只有一个公共点时，求直线l的解析式；
（2）当直线l在平移过程中恰好平分正方形ABCD的面积时，直线l分别与x轴、y轴相交于点
E、点F，连接BE、BF，求 BEF的面积．
△
【答案】（1）y＝ x+3或y＝ x﹣ ；（2）
【分析】（1）根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，直
线平移，斜率不变，设平移后的直线方程为y＝ x+b；把点B和D的坐标代入进行解答即可；
（2）根据正方形是中心对称图形，当直线l经过对角线的交点时，恰好平分正方形ABCD的面积，
求得交点坐标，代入y＝ x+b，根据待定系数法即可求得直线l的解析式，然后求得E、F的坐标，
根据待定系数法求得直线BE的解析式，得到与y轴的交点Q的坐标，根据三角形面积公式即可求得．
【详解】（1）∵长为3的正方形ABCD中，点A的坐标为（5，4），
∴B（2，4），C（2，1），D（5，1），
设直线l的解析式为y＝kx，
把C（2，1）代入得，1＝2k，解得k＝ ，
∴直线l为：y＝ ，
设平移后的直线方程为y＝ x+b，
把点B的坐标代入，得:4＝ 2+b，
×
解得 b＝3，
把点D的坐标代入，得:1＝ 5+b，
×
解得: b＝﹣ ，
则平移后的直线l解析式为：y＝ x+3或y＝ x﹣ ；
（2）设AC和BD的交点为P，
∴P点的坐标为（ ， ），
把P点的坐标代入y＝ x+b得， ＝ +b，
解得b＝ ，
∴此时直线l的解析式为y＝ x+ ，如图，
∴E（﹣ ，0），F（0， ），
设直线BE的解析式为：y＝mx+n，
则 ，解得： ，
∴直线BE的解析式为：y＝ x+ ，∴Q（0， ），
∴QF＝ ﹣ ＝ ，
∴△BEF的面积＝ ＝ ．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象的平移和正方形的性质的综合，掌握待定系数法和求直线
和坐标轴的交点坐标是解题的关键.
7．已知，一次函数 的图像与 轴、 轴分别交于点A、点B，与直线 相交于点
C，过点B作 轴的平行线l.点P是直线l上的一个动点.
（1）求点A，点B的坐标.
（2）若 ，求点P的坐标.
（3）若点E是直线 上的一个动点，当 APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，求点E
△
的坐标.
【答案】（1） ， ；（2） 或者 ；（3） 点坐标为： 或或 或 .
【分析】（1）由一次函数解析式可直接求解；
（2）由两直线解析式求出交点C的坐标，再由面积相等求出线段BP的长度，继而得出点P的坐标；
（3）设点E(x, )，根据两点间的距离公式求出AP，PE，AE，根据已知条件可得，AP=PE，
，列方程组求解即可．
【详解】解：（1）当x=0时，y=6；当y=0时，x=8，
∴ ， ；
（2）联立
解得： ，
∴ 为 ．
∴ ．
∴ ，
解得： ．
∴ 或 ．
（3）若 APE是以AP为直角边的等腰直角三角形，则有AP=PE， ，设点E坐标为
△
E(x, )，A(8,0)，
∵ 或
∴当 时，有化简求解即可，同理可得出当 时，点E的坐标，
综上所述， 点坐标为： 或 或 或 ．
【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的综合应用，熟练掌握距离公式以及解二元一次方程组和
一元二次方程组是解题的关键.
8．如图，将一矩形纸片 放在平面直角坐标系中， ， ， .动点 从点
出发以每秒1个单位长度的速度沿 向终点 运动，运动 秒时，动点 从点 出发以相同的速
度沿 向终点 运动，当点 、 其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设点 的运动时间
为 （秒）.
（Ⅰ） _____________， _____________；（用含 的代数式表示）
（Ⅱ）当 时，将 沿 翻折，点 恰好落在 边上的点 处.
①求点 的坐标及直线 的解析式；
②点 是射线 上的任意一点，过点 作直线 的平行线，与 轴交于 点，设直线 的
解析式为 ，当点 与点 不重合时， 为 的面积，当点 与点 重合时， .
求 与 之间的函数关系式，并求出自变量 的取值范围.
【答案】（Ⅰ） ； ；（Ⅱ）① ；②【分析】（I）由O（0，0），A（6，0），C（0，3），可得：OA=6，OC=3，根据矩形的对边平行
且相等，可得：AB=OC=3，BC=OA=6，进而可得点B的坐标为：（6，3），然后根据E点与F点的
运动速度与运动时间即可用含t的代数式表示OE，OF；
（II）①由翻折的性质可知：△OPF≌△DPF，进而可得：DF=OF，然后由t=1时，DF=OF= ，CF=OC-
OF= ，然后利用勾股定理可求CD的值，进而可求点D和E的坐标；利用待定系数可得直线DE的
解析式；
②先确定出k的值，再分情况计算S的表达式，并确认b的取值．
【详解】解：（I）∵O（0，0），A（6，0），C（0，3），
∴OA=6，OC=3，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC=3，BC=OA=6，
∴B（6，3），
∵动点F从O点以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动 秒时，动点E从点A出发以
相等的速度沿AO向终点O运动．
∴当点E的运动时间为t（秒）时，
∴AE=t，OF= +t，
则OE=OA-AE=6-t；
故答案为 ； .
（Ⅱ）①当 时， .
∵ ， ∴ .
∴ .∵ 沿 翻折得到 ，
∴ .
在 中，利用勾股定理，得 .
∵四边形 是矩形，
∴ .
设直线 的解析式为： .
∵将 ， 代入
，解得 .
∴直线 的解析式为： .
②∵直线 与直线 平行，
∴ .
∴该直线解析式为： .
令 时， ，∴
如图所示：当点 在线段 上时，∴ .
，（ ）.
当点 与点 重合时， ， .
当在 的延长线上时，
∴ .
，（ ）.
综上所述
【点睛】此题是四边形和一次函数的综合题，主要考查了动点的问题、矩形的性质、全等三角形
的判定与性质等知识，解（I）的关键是：明确动点的时间和速度；解（II）的关键是：由翻折的性
质可知：△OEF≌△DEF；，并采用了分类讨论的思想，注意确认b的取值．
9．已知，直线y=2x-2与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)如图①,点A的坐标为_______,点B的坐标为_______；
(2)如图②,点C是直线AB上不同于点B的点，且CA=AB．
①求点C的坐标；
②过动点P(m,0)且垂直与x轴的直线与直线AB交于点E，若点E不在线段BC上，则m的取值范围
是_______；
(3)若∠ABN=45º,求直线BN的解析式.【答案】（1）（1,0），（0，-2）；（2）C（2,2）；m<0或m>2；（3） 或y=-3x-2.
【分析】（1）利用函数解析式和坐标轴上点的坐标特征即可解决问题；
（2）①如图②，过点C 作CD⊥x 轴，垂足是D．构造全等三角形，利用全等三角形的性质求得点
C的坐标；
②由①可知D（2，0），观察图②，可知m的取值范围是：m＜0或m＞2；
（3）如图③中，作AN⊥AB，使得AN=AB，作NH⊥x轴于H，则△ABN是等腰直角三角形，
∠ABN=45°．利用全等三角形的性质求出点N坐标，当直线BN′⊥直线BN时，直线BN′也满足条件，
求出直线BN′的解析式即可．
【详解】解：（1）如图①，
令y=0，则2x-2=0，即x=1．所以A（1，0）．
令x=0，则y=-2，即B（0，-2）．
故答案是：（1，0）；（0，-2）；
（2）①如图②，过点C 作CD⊥x 轴，垂足是D，
∵∠BOA=∠ADC=90°，
∠BAO=∠CAD，
CA=AB，
∴△BOA≌△CAD（AAS），
∴CD=OB=2，AD=OA=1，
∴C（2，2）；
②由①可知D（2，0），观察图②，可知m的取值范围是：m＜0或m＞2．
故答案是：m＜0或m＞2；
（3）如图③，作AN⊥AB，使得AN=AB，作NH⊥x轴于H，则△ABN是等腰直角三角形，
∠ABN=45°．
∵∠AOB=∠BAN=∠AHN=90°，
∴∠OAB+∠ABO=90°，∠OAB+∠HAN=90°，
∴∠ABO=∠HAN，
∵AB=AN，
∴△ABO≌△NAH(AAS)，
∴AH=OB=2，NH=OA=1，∴N（3，-1），
设直线BN的解析式为y=kx+b，
则有： ，
解得 ，
∴直线BN的解析式为y= x-2，
当直线BN′⊥直线BN时，直线BN′也满足条件，直线BN′的解析式为：
.
∴满足条件的直线BN的解析式为y= x-2或y=-3x-2．
【点睛】本题考查一次函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3），动
点F从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿OC向终点C运动，运动 秒时，动点E从点A出发
以相同的速度沿AO向终点O运动，当点E、F其中一点到达终点时，另一点也停止运动设点E的
运动时间为t：（秒）
（1）OE= ，OF= （用含t的代数式表示）
（2）当t=1时，将 OEF沿EF翻折，点O恰好落在CB边上的点D处
①求点D的坐标及直△线DE的解析式；
②点M是射线DB上的任意一点，过点M作直线DE的平行线，与x轴交于N点，设直线MN的解
析式为y=kx+b，当点M与点B不重合时，S为 MBN的面积，当点M与点B重合时，S=0．求S与
b之间的函数关系式，并求出自变量b的取值范△围．【答案】（1）6-t， +t；（2）①直线DE的解析式为：y=- ；②
【分析】(1)由O(0，0)，A(6，0)，C(0，3)，可得：OA=6，OC=3，根据矩形的对边平行且相等，可
得：AB=OC=3，BC=OA=6，进而可得点B的坐标为：(6，3)，然后根据E点与F点的运动速度与运
动时间即可用含t的代数式表示OE，OF；
(2)①由翻折的性质可知：△OPF≌△DPF，进而可得：DF=OF，然后由t=1时，DF=OF= ，CF=OC-
OF= ，然后利用勾股定理可求CD的值，进而可求点D和E的坐标；利用待定系数可得直线DE的
解析式；
②先确定出k的值，再分情况计算S的表达式，并确认b的取值．
【详解】(1)∵O(0，0)，A(6，0)，C(0，3)，
∴OA=6，OC=3，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC=3，BC=OA=6，
∴B(6，3)，
∵动点F从O点以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动 秒时，动点E从点A出发以
相等的速度沿AO向终点O运动，
∴当点E的运动时间为t(秒)时，
AE=t，OF= +t，
则OE=OA-AE=6-t，
故答案为6-t， +t；
(2)①当t=1时，OF=1+ = ，OE=6-1=5，则CF=OC-OF=3- = ，由折叠可知：△OEF≌△DEF，
∴OF=DF= ，
由勾股定理，得：CD=1，
∴D(1，3)；
∵E(5，0)，
∴设直线DE的解析式为：y=mx+n(k≠0)，
把D(1，3)和E(5，0)代入得： ，解得： ，
∴直线DE的解析式为：y=- ；
②∵MN∥DE，
∴MN的解析式为：y=- ，
当y=3时，- =3，x= (b-3)= b-4，
∴CM= b-4，
分三种情况：
i)当M在边CB上时，如图2，∴BM=6-CM=6-( b-4)=10- b，
DM=CM-1= b-5，
∵0≤DM＜5，即0≤ b-5＜5，
∴ ≤b＜ ，
∴S= BM•AB= ×3(10− b)=15-2b=-2b+15( ≤b＜ )；
ii)当M与点B重合时，b= ，S=0；
iii)当M在DB的延长线上时，如图3，
∴BM=CM-6= b-10，
DM=CM-1= b-5，
∵DM＞5，即 b-5＞5，
∴b＞ ，
∴S= BM•AB= ×3( b−10)=2b-15(b＞ )；
综上， ．
【点睛】本题是四边形和一次函数的综合题，考查了动点的问题、矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，解(1)的关键是：明确动点的时间和速度；解(2)的关键是：由翻折的性质可知：
△OEF≌△DEF，并采用了分类讨论的思想，注意确认b的取值范围．
11．如图，一次函数y=kx+b的图象为直线l，经过A（0，4）和D（4，0）两点；一次函数y=x+1
1
的图象为直线l，与x轴交于点C；两直线l，l 相交于点B．
2 1 2
（1）求k、b的值；
（2）求点B的坐标；
（3）求 ABC的面积．
△
【答案】（1）k=-1,b=4; （2）B( , );（3） ABC的面积为3.75.
△
【分析】（1）将A点和D点的坐标代入到一次函数的一般形式，求得k、b的值即可；
（2）两函数联立组成方程组求得方程组的解后即可求得点B的坐标；
（3）首先求得点C的坐标，然后利用S ABC=S ACD-S BCD求解即可．
【详解】解：（1）把A（0，4）和D（4△，0）代△入y=kx+△b得：
解得 ;
（2）由（1）得y=-x+4，联立
解得 ,
所以B（ , );
（3）由y=x+1，当y=0时，x+1=0，解得x=-1，
所以点C（-1，0）所以S ABC=S ACD-S BCD= ×5×4- ×5× =3.75；
△ △ △
【点睛】本题考查两条直线平行或相交的问题，求两条直线的交点坐标时通常联立后组成方程组
求解．
12．已知 过点(2,-1),与 轴交于点A,F点为(1,2).
(Ⅰ)求 的值及A点的坐标；
(Ⅱ)将函数 的图象沿 轴 方向向上平移得到函数 ,其图象与 轴交于点Q,且OQ=QF,求平移后
的函数 的解析式；
(Ⅲ)若点A关于 的对称点为K,请求出直线FK与 轴的交点坐标.
【答案】(Ⅰ) k=-1，A（1，0）；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)y=-7x+9;( ,0).
【分析】(Ⅰ)将（2，-1）代入直线解析式中，求出k，即可得出结论；
(Ⅱ)构造直角三角形，利用勾股定理求出点Q的坐标，即可得出结论；
(Ⅲ)先确定出点D，Q的坐标，即可判断出∠ODQ=45°，进而求出点K的坐标，即可得出结论．
【详解】(Ⅰ)∵y =kx+1经过点（2，-1），
1
∴2k+1=-1，
∴k=-1，y =-x+1，
1
令y=0，
∴x=1，
∴A（1，0）；
(Ⅱ)设平移后的直线解析式为y=-x+m，
∴Q（0，m），
如图，过点F作EF⊥y轴于E，
∵F点为（1，2），
∴EF=1，EQ=2-m，FQ=OQ=m，
根据勾股定理得，EF2+EQ2=FQ2，
∴1+（2-m）2=m2，
∴m＝ ，∴平移后的函数y 的解析式y2＝−x＋ ；
2
③如图，设直线y ＝−x＋ 与x轴的交点为D，
2
∴D（ ，0），Q（0， ），
∴OD＝OQ，
∴∠ODQ＝45°，
∵A（1，0），
∴AD＝OD−OA＝ ，
连接DH，
∵点A关于y 的对称点为K，
1
∴DK＝DA＝ ，∠KDQ＝∠ODQ＝45°，
∴∠ADK＝90°，
∴K（ ， ），
∵F（1，2），
∴直线FK的解析式为y＝−7x＋9，
∴FK与x轴的交点为（ ，0）．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，直线的平移的性质，对称
的性质，解本题的关键是作出辅助线，是一道中等难度的中考常考题．
13．在平面直角坐标系中，直线 ： 分别与x轴、y轴交于点A、点B，且与直线 ：
于点C．Ⅰ 如图 ，求出B、C两点的坐标；
Ⅱ 若D是线段OC上的点，且 的面积为4，求直线BD的函数解析式．
Ⅲ 如图 ，在 Ⅱ 的条件下，设P是射线BD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、B、
P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(Ⅰ)B(0,4) ;(Ⅱ) ;(Ⅲ) Q的坐标为(2√2,-2√2)或(-2,2)或(4,4)．
【分析】(1) 令 ，得到 ，可求B坐标，解方程组可得得解得C的坐标；（2）由面积求出
D的坐标，再由待定系数法求BD函数解析式;(3) 当OB为菱形的边时，
，可得 ， 当 为菱形的对角线时，四边形
是正方形，此时 ． 当OB为菱形的边时，点 与D重合，P、Q关于y轴对称，
.
【详解】解： Ⅰ 对于直线： ，令 ，得到 ，
，
由 ，解得 ，Ⅱ 点D在直线 上，设 ，
的面积为4，
，
解得 ，
．
设直线BD的解析式为 ，则有 ，
解得 ，
直线BD的解析式为 ．
Ⅲ 如图 中，
当OB为菱形的边时， ，可得 ，
当 为菱形的对角线时，四边形 是正方形，此时 ．
当OB为菱形的边时，点 与D重合，P、Q关于y轴对称， ，
综上所述，满足条件的Q的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考核知识点：一次函数与菱形. 解题关键点：熟记一次函数与菱形性质，数形结合分
析题目.
14．如图1，直线AB交x轴于点A（4 ，0），交y轴于点B（0 ，-4），
（1）如图，若C的坐标为（-1, ，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，如图2，连接OH，求证：∠OHP=45°；（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连结MD，过点D作DN⊥DM交
x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子 的值是否发生改变？如发生
改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【答案】（1）P（0 ，-1）；（2）证明见解析；（3）不变；4．
【分析】（1）利用坐标的特点，得出△OAP≌△OB，得出OP=OC=1，得出结论；
（2）过O分别做OM⊥CB于M点，ON⊥HA于N点，证出△COM≌△PON，得出OM=ON，HO平分
∠CHA，求得结论；
（3）连接OD，则OD⊥AB，证得△ODM≌△ADN，利用三角形的面积进一步解决问题．
试题解析：（1）由题得，OA=OB=4．
【详解】解：∵AH⊥BC于H，
∴∠OAP＋∠OPA=∠BPH＋∠OBC=90°，
∴∠OAP=∠OBC
在△OAP和△OBC中，
∴△OAP≌△OBC（ASA），
∴OP=OC=1，则点P（0 ，-1）
（2）过点O分别作OM⊥CB于M点，ON⊥HA于N点，在四边形OMHN中 ，∠MON=360°-3×90°=90°，
∴∠COM=∠PON=90°-∠MOP
在△COM和△PON中，
，
∴△COM≌△PON（AAS），
∴OM=ON，
∵HO平分∠CHA，
∴ ；
(3) 的值不发生改变，
理由如下：
连结OD，则OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，∠OAD=45°，
∴OD=AD，
∴∠MDO=∠NDA=90°-∠MDA，
在△ODM和△AND中，
，
∴△ODM≌△AND（ASA），
∴
∴ ，
∴ ．
15．如图，直线 与x轴，y轴分别交于点A，点B，与函数y=kx的图象交于点M（1，
2）．(1)直接写出k，b的值和不等式0 的解集；
(2)在x轴上有一点P，过点P作x轴的垂线，分别交函数y=﹣ x+b和y=kx的图象于点C，点D．
若2CD=OB，求点P的坐标．
【答案】(1)2， ；1≤x≤5
(2)P （ ，0）或 （ ，0）
【分析】（1）把M点的坐标分别代入y=kx和 可求出k、b的值，再确定A点坐标，然
后利用函数图象写出不等式 的解集；
（2）先确定B点坐标得到OB的长，设P（m，0），则C（m， ），D（m，2m），利用
2CD=OB得到 ，然后解绝对值方程求出m，从而得到点P的坐标．
（1）
解：把M（1，2）代入y=kx得k=2；
把M（1，2）代入 得 ，解得 ；
直线AB解析式为： ，直线OM的解析式是 ，
当y=0时， ，解得x=5，则A（5，0），
由图可知不等式 的解集是线段AM上所有点的横坐标的集合，所以不等式 的解集为1≤x≤5；（数形结合）
（2）
当x=0时， ，则B（0， ），
∴OB= ，
设P（m，0），则C（m， ），D（m，2m），
∵2CD=OB，
∴ ，
解得m= 或 ，
∴点P的坐标为P （ ，0）或 （ ，0）．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b
的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴
上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了待定系数法一次函数的性质．利用
数形结合思想是解题的关键．
16．无刻度直尺作图：
图1 图２
(1)直接写出四边形ABCD的形状．(2)在图1中，先过E点画一条直线平分四边形ABCD的面积，再在AB上画点F，使得AF＝AE．
(3)在图2中，先在AD上画一点G，使得∠DCG＝45°；连接AC，再在AC上画点H，使得GH＝
GA．
【答案】(1)四边形ABCD是菱形，理由见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）只需要证明AB=CD=AD=BC即可得到结论；
（2）如图连接AC，BD交于点T，作直线ET交BC于G，连接AG交BD于H，连接CH并延长交
AB于F，则直线EG，点F即为所求；
（3）如图所示，取格点T，连接CT交AD于G，取格点M、N，连接MN交BC于P，连接GP交
AC于H，则点G、H即为所求；
（1）
解：四边形ABCD是菱形，理由如下：
由题意得 ，
∴AB=CD=AD=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）
解：如图连接AC，BD交于点T，作直线ET交BC于G，连接AG交BD于H，连接CH并延长交
AB于F，则直线EG，点F即为所求；
如图所示建立如下平面直角坐标系，
∴点A的坐标为（0，4），点D的坐标为（-3，0），点C的坐标为（2，0），点B的坐标为
（5，4），∴直线AD的解析式为 ，直线BD的解析式为 ，点T的坐标为（1，2），
∴点E的坐标为（-2， ） ，
∴直线ET的解析式为 ，
同理可得直线BC的解析式为 ，
联立 ，
解得 ，
∴点G的坐标为（4， ），
∴直线AG的解析式为 ，
联立 ，
解得 ，
∴点H的坐标为（3，3），
∴直线CH的解析式为 ，
当y=4时， ，
∴点F的坐标为（ ，4），
∴ ，
又∵ ，
∴AF=AE；（3）
解：如图所示，取格点T，连接CT交AD于G，取格点M、N，连接MN交BC于P，连接GP交
AC于H，则点G、H即为所求；
∵CD=DT，∠CDT=90°，
∴△CDT是等腰直角三角形，
∴∠TCD=45°，
同理可证∠MNQ=45°，∠TWS=45°，
∴∠MNQ=∠TWS，
∴TC∥MN，
∴∠AKG=∠BLP，
∵AD∥BC，
∴∠KAG=∠LBP，
又∵AK=BL，
∴△AKG≌△BPL（ASA），
∴AG=BP，
∴四边形AGPB是平行四边形，
∴AB∥PG，
又∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠AHG=∠ACD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠AHG，∴AG=GH．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判
定，一次函数与几何综合，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键．
17．如图1，在平面直角坐标系中， ， ， ， ．
(1)求直线AB的解折式；
(2)如图2，已知P为直线l： 上一点，且 ，求点P的坐标；
(3)若点D为第一象限内一动点，且 ，求BD的最小值．
【答案】(1)
(2)（−1， ）或（9， ）
(3)
【分析】（1）先得出BD的长，再利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）设P（m， ），作PQ∥y轴交直线AB于点Q，则Q（m， ），再利用 ABP
△
和四边形ABCO的面积求解即可；
（3）过点O作OM⊥OD交DC的延长线于点M，连接DA，易得 MOD为等腰直角三角形，证出
MOC≌△DOA，得到∠CDA=90°，连接CA，取CA中点N,连接B△N，DN，在Rt CAD中，求出
△ △ND的长度，根据勾股定理求出BN的长度，根据三角形两边之差小于第三边得到
．
(1)
解：过点B作BD⊥OA于点D，
∴∠BDA＝90°，
∵BC∥OA，BC＝2，OA＝6，
∴AD＝6−2＝4，
在Rt ABD中，
△
BD＝ ，
∴B（2，6），A（6，0），
设直线AB的解析式为：y＝kx＋b，
把B（2，6），A（6，0），代入得： ，
解得： ，
∴直线AB的解析式为： ；
(2)
设P（m， ），
作PQ∥y轴交直线AB于点Q，
则Q（m， ），∴PQ＝|yQ−yP|＝ ，
∵xA−xB＝6−2＝4，
∴S ABP＝ PQ•(xA−xB)＝ ×4×|4−m|＝|8−2m|，
△
S ABCO＝ ×(2＋6)×6＝24，
四边形
∴|8−2m|＝ ×24，
即8−2m＝10或2m−8＝10，
∴m＝−1或9，
∴点P的坐标为：（−1， ）或（9， ）；
(3)
过点O作OM⊥OD交DC的延长线于点M，连接DA，
∵∠ODC=45°，∠MOD=90°，
∴ MOD为等腰直角三角形，
∴△MO=DO，∠M=45°，
∵CO=AO=6，∠COA=90°
∴∠MOC=∠DOA，
∴ MOC≌△DOA (SAS)，
∴△∠ODA=∠M=45°，∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°，
连接CA，取CA中点N,连接BN，DN，
在Rt CAD中，CA= ，
△
∴ND= AC= ，
∵B (2,6)，N (3,3)
∴
∴
即BD的最小值为 ．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理及三角形的三
边关系，正确作出辅助线是解题的关键．
18．如图，直线y＝x＋9与直线y＝－2x－3交于点C，它们与y轴分别交于A、B两点．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)点F在x轴上，使 ，求点F的坐标；
(3)点P在x轴上，使∠PBO＋∠PAO＝90°，直接写出点P的坐标．
【答案】(1) 的坐标 ， 的坐标 ， 的坐标
(2)点 的坐标为 或
(3) ， 或 ， ．
【分析】（1）在 中，令 得 ，即得 ，同理 ，解 得；
（2）设 交 轴于 ，由 ， ，根据 ，有 ，
，即可得点 的坐标为 或 ；
（3）由 ，知 ，有 ，设 ，则
，可解得 ， 或 ， ．
（1）
解：在 中，令 得 ，
，
在 中，令 得 ，
，
由 得 ，
，
答： 的坐标 ， 的坐标 ， 的坐标 ；
（2）
解：设 交 轴于 ，如图：
在 中，令 得 ，
， ，
，
，
，解得 ，
当 在 右侧时， ，
当 在 左侧时， ，
答：点 的坐标为 或 ；
（3）
解：如图：
，
，
，
设 ，又 ， ，
，
解得 或 ，
， 或 ， ．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及一次函数图象上点坐标的特征，三角形面积，勾股定
理及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用．
