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专题27 圆中定值
1．已知 是 的切线， 是 的直径．求证：点 、 与 的距离的和为定值．
【解答】证明：①根据题意可画出图形，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
连接
是 的切线
又 为 中点，
为梯形 的中位线，
即 等于定长，为圆的直径．
②如图：当 为 的直径时，
点 到 的距离为 的长，点 到 的距离为0，
点 、 与 的距离的和 半径，
以上可得：点 、 与 的距离的和为定值．
2．如图，已知，在以 为弦的弓形劣弧上取一点 （不包括 ， 两点），以 为圆心作圆
和 相切，分别过 ， 作 的切线，两条切线相交于点 ．
求证： 为定值．【解答】证明：连接 ， ，
由题意得： 是内心，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
中 ，
，
所在圆是个定圆，弦 和半径都是定值，
为定值，
为定值 ．
3．如图，半径给定的两圆同心，对小圆作三条切线，两条分别交于 、 、 三点，记以 、
、 为顶点的像扇形的区域面积分别为 、 、 ， 的面积为 ，求证：
为定值．
【解答】证明：由于半径给定，故切小圆的三条大圆的弦的长度为定值，每条弦把大圆分成两个
弓形，不妨设大弓形的面积为 ，小弓形的面积为 ，分别计圆中阴影部分的面积分别为 、、 ，
则 ， ，
故 ，即 为定值．
4．如图，已知 为正方形 的外接圆的劣弧 上任意一点，求证： 为定值．
【解答】解：延长 到 ，使 ，连接 ，
， ，
，
四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，，
， ，
，
是等腰直角三角形，
．
即： ，
为定值．
5．已知两同心圆的圆心为 ，过小圆上一点 作小圆的弦 和大圆的弦 ，且 ，
求证： 为定值．
【解答】证明：过 点作 垂线，设垂足为 ；作 垂线，设垂足为 ，
设 ， ， ，大圆的半径为 ，小圆的半径为 ，
，
，
， ，
， ，
在 中， ，
在 中， ，
求得方程组：
解方程组的得： ，
，为定值．
6．已知直径 、 互相垂直，点 是 上一动点，连 、 、 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，求证： 为定值．
【解答】证明：（1）如图1，连接 、 ．
直径 、 互相垂直，
， ，
．
由托勒密定理得到 ，即 ，
．
（2）如图2，连接 、 ．
直径 、 互相垂直，
， ，．
由托勒密定理得到 ，即 ，
，
，即 为定值．
7．如图，设 为圆 内一定点，过 任作一弦 ，分别过 ， 引圆的切线，再过 分别作两
切线的垂线，垂足为 ， ．求证： 为定值．
【解答】证明：过点 作直径交 于点 ，连接 ，过 作直径交 于 ， ，
．
， ，
且 ．
， ，
．
①
同理可得： ②① ②，得：
，
．
．
是直径，点 是定点，
是定值，
是定值．
8．如图，过点 和点 的动圆 分别与 轴， 轴相交于点 ， ．
（1）求 的值；
（2）设 的内切圆 的直径为 ，求证： 为定值．
【解答】（1）解：作 轴于 ， 轴于 ，连接 、 ，如图，
点坐标为 ，
，
四边形 为正方形，
， ，
为直径，，即 ，
而 ，
，
在 和 中
，
，
，
；
（2）证明： 的内切圆 的半径 ，
的内切圆 的直径 ，
，
即 为定值．
9．如图1， 点为 轴正半轴上一点， 交 轴于 、 两点，交 轴于 、 两点， 点为
劣弧 上一个动点，且 ， ．
（1） 的度数为 12 0 ；
（2）如图2，连结 ，取 中点 ，连结 ，则 的最大值为 ；
（3）如图3，连接 ， ．若 平分 交 于 点，求线段 的长；
（4）如图4，连接 、 ，当 点运动时（不与 、 两点重合），求证： 为定值，
并求出这个定值．【解答】解：（1）如图1，连接 ， ，
， ，
，
，
垂直平分 ，
，
，
，
，
，
故答案为120；
（2）由题可得， 为 直径，且 ，
由垂径定理可得， ，
连接 ，如图2，又 为 的中点，
，且 ，
当 ， ， 三点共线时，此时 取得最大值，
且 ，
的最大值为4，
故答案为4；
（3）如图3，连接 ， ，
直径 ，
，
，平分 ，
，
，
，
由（1）可得， ，
；
证明：（4）由题可得，直径 ，
垂直平分 ，
如图4，连接 ， ，则 ，
由（1）可得， 为等边三角形，
，
，
将 绕 点顺时针旋转 至 ，
，
， ，
四边形 为圆内接四边形，
，
，
， ， 三点共线，
，
过 作 于 ，则 ，
，
在 中， ，
设 ，则 ，
，
，，
，
为定值．10．问题：如图1， 中， 是直径， ，点 是劣弧 上任一点．（不与点 、
重合）
求证： 为定值．
思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明 ．按思路完成下列证明过程．
证明：在 上截取点 ．使 ．连接 ．
运用：如图2，在平面直角坐标系中， 与 轴相切于点 ，与轴相交于 、 两点，且
，连接 ， ．
（1） 的长为 1 ．
（2）如图3，过 、 两点作 与 轴的负半轴交于点 ，与 的延长线交于点 ，连接
、 ，当 的大小变化时，问 的值是否变化，为什么？如果不变，请求出
的值．
【解答】证明：如图1，在 上截 ，，
，
在 和 中，
，
，
， ，
为直径，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，即 为定值；
（1）如图2，连接 ，过 作 于点 ，， ， 轴，
，
，
，
，
故答案为：1；
（2） 的值不变，
如图2，
由（1）得， ，
，
，
，
，
，
，
如图3，在 上取一点 ，使 ，连接 ， ，， ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，即 的值不变．
11．问题：如图1， 中， 是直径， ，点 是劣弧 上任一点（不与点 、 重
合），求证： 为定值．思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明 ．按思路完成下列证明过程．
证明：在 上截取点 ，使 ，连接 ．
运用：如图2，在平面直角坐标系中， 与 轴相切于点 ，与 轴相交于 、 两点，且
，连接 、 ．
（1） 的长为 1 ．
（2）如图3，过 、 两点作 与 轴的负半轴交于点 ，与 的延长线交于点 ，连接
、 ，当 的大小变化时，问 的值是否变化，为什么？如果不变，请求出
的值．
【解答】解：证明：在 上截 ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
为直径，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，即 为定值；
（1）如图2，连接 ，过 作 于点 ，
， ， 轴，
，
，
，
，
故答案为：1；
（2） 的值不变，如图2，
由（1）得， ，
，
，
，
，
，
，
如图3，在 上取一点 ，使 ，连接 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，即 的值不变．12．如图，已知在平面直角坐标系 中，直线 交 轴于点 ，点 关于 轴的对称点
为点 ，过点 作直线 平行于 轴，动点 到直线 的距离等于线段 的长度．
（1）求动点 满足的 关于 的函数解析式，并画出这个函数图象；
（2）若（1）中的动点 的图象与直线 交于 、 两点（点 在点 的左侧），分别
过 、 作直线 的垂线，垂足分别是 、 ，求证：① 是 外接圆的切线；②
为定值．
【解答】（1）解： 过点 作直线 平行于 轴，
直线 的解析式为 ，
， ，
，点 到直线 的距离为： ，动点 满足到直线 的距离等于线段 的长度，
，
动点 轨迹的函数表达式 ，
图象如图1所示：
（2）证明：①如图：
设点 点 ，
动点 的轨迹与直线 交于 、 两点，
，
，
， ，
过 、 作直线 的垂线，垂足分别是 、 ，
， ，
，
，
，
，
是直角三角形， 为斜边，
取 的中点 ，
点 是 的外接圆的圆心，
，，
直线 的解析式为 ，
直线 的解析式为 ，
，
是 外接圆的切线；
② 点 点 在直线 上，
， ，
， ， 是 的外接圆的切线，
， ，
，
即： 为定值，定值为2．
13． 内接于 ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 连接 ．（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，若 ，求 的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点 作 于点 ，连接 ，若 ，试说明线段
与 的差为定值．
【解答】解：（1） 于点 ，
，
；
（2）如图2，连接 、 ，
， ，
，而 ，
，
；
（3）如图3，分别延长 、 ，交于点 ；
平分 ，
；
在 与 中，
，
，
，，
，
为 的中位线，
，
．
14．如图， 是 的直径， ， 是弧 的中点， ， 绕点 旋转与
的两边分别交于 、 （点 、 与点 、 、 均不重合），与 分别交于 、
两点．
（1）求证： ；
（2）连接 、 ，试探究：在 绕点 旋转的过程中， 是否为定值？若是，求
出 的大小；若不是，请说明理由；
（3）连接 ，试探究：在 绕点 旋转的过程中， 的周长是否存在最小值？若存在，
求出其最小值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明： 是 的直径，
，
是弧 的中点，
弧 弧 ，
，
为等腰直角三角形，
， ， ， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解： 为定值．
， ，
，
，
，，
；
（3）解： 的周长有最小值．
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
的周长
，
当 时， 最小，此时 ，
的周长的最小值为 ．
15．如图，四边形 的四个顶点在 上，对角线 、 交于点 且 ，
于点 ．
（1）求证： ；
（2）求证： 为定值．【解答】（1）证明：连接 ，延长 交 于 ，连接 ， ．
是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明： ，
，
定值．
