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专题 15.5 分式（4 大知识点 16 类题型）（全章知识梳理与题型分类
讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点1】分式的有关概念及性质
1．分式
A
B
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式.其中A叫做分子，B
叫做分母.
【要点提示】分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式
A
B
才有意义.
2. 分式的基本性质
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
【知识点2】分式的运算
1．约分
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形
叫做分式的约分.
2．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母
的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
3．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
a b ab
c c c
；
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.a c ac
（2）乘法运算 b d bd ，其中a、b、c、d 是整式，bd 0.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
a c a d ad
（3）除法运算 b d b c bc ，其中a、b、c、d 是整式，bcd 0.
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
分式的乘方，把分子、分母分别乘方。
4．零指数
.
5.负整数指数
6.分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
【知识点3】分式方程
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知
数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为 0，那么就会出现不适
合原方程的根---增根.
【要点提示】因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带
入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.
【知识点4】分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关
系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确
列出方程，并进行求解.
知识点与题型目录
【知识点一】分式的有关概念与性质
【题型1】分式的意义与分式的值...............................................3
【题型2】分式的基本性质.....................................................3【题型3】最简分式与约分.....................................................4
【知识点二】分式的运算
【题型4】最简公分母.........................................................4
【题型5】约分与通分.........................................................5
【题型6】分式的乘除运算.....................................................5
【题型7】分式的加减运算.....................................................5
【题型8】分式的加减乘除混合运算.............................................5
【题型9】分式的化简求值.....................................................6
【题型10】整数指数幂........................................................6
【知识点三】分式方程
【题型11】解分式方程........................................................6
【题型12】分式方程的增根与无解..............................................7
【题型13】根据分式方程解的情况求参数取值范围................................7
【知识点四】分式方程的应用
【题型14】列分式方程解应用题................................................7
【知识点五】直通中考与拓展延伸
【题型15】直通中考..........................................................8
【题型16】拓展延伸..........................................................9
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】分式的意义与分式的值
【例1】（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）已知 ，x取哪些值时：
(1)y的值是零； (2)分式无意义； (3)y的值是正数；
【变式1】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）已知： （ 、 、 均不为零），则
．
【变式2】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D．【变式3】（22-23九年级上·江苏南京·开学考试）下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当 时， 无意义
B．当 时， 无意义
C．当 时， 的值为0
D．当 时， 的值为负数
【题型2】分式的基本性质
【例2】（2024八年级上·全国·专题练习）在学完分式的基本性质后，小刚和小明两人对下面两个式子产
生了激烈的争论：
① ，② ．
小刚说：“①，②两式都是对的．”
小明说：“①，②两式都是错的．”
他们两人的说法到底谁对谁错？为什么？
【变式1】（24-25八年级上·广西南宁·期中）把分式 中的 ， 的值都扩大为原来的3倍，则分
式的值（ ）
A．缩小为原来的 B．不变
C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的3倍
【变式2】（24-25七年级上·上海·期中）已知 ，则 ．
【题型3】最简分式与约分
【例3】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）化简下列分式：
(1) ； (2) ．
【变式1】（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）下列是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．【变式2】（23-24八年级下·河北保定·期末）琪琪在化简分式 时得到的结果为 ，则？部分的
代数式应该是 ．
【题型4】最简公分母
【例4】（20-21七年级上·上海徐汇·阶段练习）分式 ， ， 的最简公分母是
【变式】把分式 ， ， 通分，下列结论不正确的是（ ）
A．最简公分母是 B．
C． D．
【题型5】约分与通分
【例5】（23-24八年级下·江苏南京·期中）
（1）通分： 和 ； （2）约分：
【变式1】（19-20七年级上·上海金山·期中）已知对于 成立，则A=
,B= ．
【变式2】计算： .
【题型6】分式的乘除运算
【例6】（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）计算：
(1) ； (2) ．
【变式1】（2024·河北邢台·模拟预测）化简 ，正确的是（ ）
A． B． C． D．【变式2】（20-21八年级上·全国·课后作业）
．
【题型7】分式的加减运算
【例7】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）计算：
(1) ； (2) ．
【变式1】（20-21八年级上·河北石家庄·阶段练习）计算 的正确结果是（ ）
A． B． C．1 D．
【变式2】（20-21八年级上·甘肃陇南·期末）观察下列各等式： ， ， ，
…，根据你发现的规律计算： （n为正整数）．
【题型8】分式的加减乘除混合运算
【例8】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）计算：
(1) ； (2)
【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）要使式子 的值为负整数，则 的
取值为（ ）
A．1或2 B．2或3 C． D．
【变式2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知实数 满足 ，则 ．
【题型9】分式的化简求值
【例9】（24-25八年级上·山东青岛·期中）解决下面问题(1)先化简 ，再从 ，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值；
(2)先化简，再求值： ，其中 ， 满足 ．
【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于 的不等式组 的整数解仅为 ，若
为整数，则代数式 的值为 ．
【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期中）人们把 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚
的优选法中的 法就应用了黄金分割数． 设 ， ，得 ，记
（ 取正整数）， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型10】整数指数幂
【例10】（2024·云南昆明·模拟预测）计算：
【变式1】（24-25八年级上·广西来宾·期中）下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级上·辽宁营口·期中）观察等式 ，其中 的值是 ．
【题型11】解分式方程
【例11】（24-25八年级上·北京顺义·期中）解方程
(1) (2)【变式1】（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知方程 ，且关于x的不等式组
只有2个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期中）方程 的解为 ．
【题型12】分式方程的增根与无解
【例12】（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）已知关于x的分式方程
(1)若该方程有增根，求m的值； (2)若该方程无解，求m的值．
【变式1】（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）若关于 的分式方程 有增根，则 的值是
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知 是关于 的方程．
（1）若方程有增根，则 的值为 ，方程的增根为 ；
（2）若方程无解，则 的值为 ．
【题型13】根据分式方程解的情况求参数取值范围
【例13】（24-25八年级上·全国·单元测试）当 为何值时，关于 的方程 的解小于
零．
【变式1】（24-25八年级上·山东威海·期中）若关于 的方程 的解为正数，则 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【变式2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若关于 的分式方程 的解为非负数，则
的取值范围是 ．
【题型14】列分式方程解应用题
【例14】（24-25八年级上·山东威海·期中）（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车
以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平
均速度各是多少？
（2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，
付乙工程队工程款 万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天；
方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？
【变式1】开学初，我校决定购进A，B两种品牌的足球，其中购买A品牌足球共花费2400元，购买B
品牌足球共花费3600元，且购买A品牌足球的数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知B品牌足球比A
品牌足球单价贵了30元，设A品牌足球单价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24八年级下·全国·阶段练习）某企业接到一批生产甲种板材 、乙种板材
的订单．已知该企业安排140人生产这两种板材，每人每天能生产甲种板材 或乙种板材
，则应安排 人生产甲种板材，才能确保他们用相同的时间完成各自的生产任务．
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型15】直通中考
【例1】（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是
我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是 ，装裱后，上、下、
左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后 与 的比是 ，且 ， ， ，
求四周边衬的宽度．【例2】（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排
放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加 ，结果提前
15天完成铺设任务．
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所
有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
【题型16】拓展延伸
【例1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有
相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方
程”．
(1)判断方程 与 是否为“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的二元一次方程 和 是“相伴方程”，求正整数m的值．
【例2】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）【问题提出】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一，
即要比较M与N的大小，只要作出它们的差 ．
（i）若 ，则 ；（ii）若 ，则 ；（iii）若 ，则 ；
【尝试应用】
（1）比较图中两个长方形周长的大小 ；（2）若 ， ，且 ，试比较代数式 与 的大小，
【联系生活】
（3）在某次1000米长跑中，甲同学前半程以速度匀速跑，后半程以速度为速跑．乙同学前一半时间以
速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑，请问谁先到达终点？
