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第 15 章 分式 章节整合练习（23 个知识点+40 题练习）
章节知识清单练习
知识点1．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数
字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n
＜10
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点
前的0）
知识点2．分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括
号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是 的形式，从
本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x+ +2是分式，如果形式都不是 的形式，那就不能算是分式了，如：
（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式
如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝ 仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
知识点3．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
知识点4．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
知识点5．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知
条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
知识点6．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母
中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值
不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符
号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
知识点7．约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的
最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．知识点8．通分
（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫
做分式的通分．
（2）通分的关键是确定最简公分母．
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简
公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中
不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．
知识点9．最简分式
最简分式的定义：
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
知识点10．最简公分母
（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高
次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字
系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
知识点11．分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，
即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约
分．②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，
切不可打乱这个运算顺序．
知识点12．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异
分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把
分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；
通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形
式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
知识点13．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，
有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活
运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分
式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法
的运算律运算，会简化运算过程．
知识点14．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果
要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，
代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．
当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
知识点15．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝ （a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的
错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
知识点16．列代数式（分式）
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．
⑤正确进行代换．
注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．
知识点17．分式方程的定义
分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
知识点18．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生
增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
知识点19．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
知识点20．换元法解分式方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对
象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而
简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．
知识点21．分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或
是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许
未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整
式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好
是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为 0，如果
为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
知识点22．由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和
追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
知识点23．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作
时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
章节题型整合练习
一．科学记数法—表示较小的数
1．（2024•沙洋县模拟）随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电
子元件大约只占 ，将0.00000065用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解： ．
故选： ．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中 ， 为由原数左边起
第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
二．分式的定义
2．（2024秋•新邵县期中）下列各式： ， ， ， ， ，其中分式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
【解答】解：分式有 ， ，共2个，
故选： ．【点评】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，式子 、 是整式）中，分母
中含有字母，则 叫分式．
3．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
， ， ， ， ．
【分析】根据分式的定义，单项式和多项式统称为整式，逐一判断即可解答．
【解答】解：代数式 ， ， ， ， 中的 ， ， 是整式， ， 是分式．
【点评】本题考查了分式的定义，整式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
三．分式有意义的条件
4．（2024•镇海区校级三模）若分式 有意义，则 的取值范围是 ．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零得出 ，求解即可．
【解答】解： 分式 有意义，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解此题的关键．
5．（2023秋•襄都区月考）已知：代数式 ．
（1）当 为何值时，该式无意义？
（2）若该式的值为正数，求 的取值范围．
【分析】（1）根据分母为零时分式没有意义进行列式计算即可；
（2）当分母不小于零时，该式为正数进行列式计算即可．
【解答】解：（1） 代数式 无意义，
，
；
（2）由题意得，该式的值为正数时，
可得 ，即 ．
【点评】本题考查分式的值为零的条件和分式有意义的条件，掌握分母不为零和分子为零的条件是解题的
关键．
四．分式的值为零的条件
6．（2024•息烽县一模）若分式 的值为0，则 的值为
A．0 B． C．1 D．2
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出 的值．
【解答】解： 分式 的值为0
，且 ，
，
故选： ．
【点评】本题考查了分式的值为0的条件，解决本题的关键是熟记若分式的值为零，需同时具备两个条件：
（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
7．（2024秋•昌平区期中）分式 的值为0，则 的值为 ．
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
【解答】解： 分式 的值为0，
且 ，
解得： ．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
五．分式的值
8．（2024秋•桃城区校级月考）如图，若 ，则表示 的值的点落在
A．段① B．段② C．段③ D．段④【分析】先根据题意得到 ，再把所求式子的分子和分母都分解因式后化简得到 ，据此可得答
案．
【解答】解： ，
，
，
故选： ．
【点评】本题主要考查了分式的值，关键是分式性质的熟练应用．
9．（2024秋•沭阳县校级月考）若 ，则 的值为 ．
【分析】先根据 ， ， ， ， 的值为1或 ，得出 、 、 、 中有3
个正数，1个负数，进而得出 为负数，即可得出答案．
【解答】解： 当 、 、 、 为正数时， ， ， ， 的值为1，当 、 、 、 为负数时，
， ， ， 的值为 ，
又 ，
、 、 、 中有3个正数，1个负数，
为负数，
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了绝对值的意义和有理数的乘法，根据题意得出 、 、 、 中有3个正数，1个
负数，是解题的关键．六．分式的基本性质
10．（2023秋•石景山区期末）在括号内填入适当的整式对分式变形： ，变形的依据是 ．
【分析】根据分式的基本性质进行解题即可．
【解答】解： ，
则 ，
变形的依据是：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的数，分式的值不变．
故答案为： ，分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的数，分式的值不变．
【点评】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
11．（2024春•雅安期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分
数”，而假分数都可化为带分数．如： ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字
母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次
数时，我们称之为“真分式”．如 ， 这样的分式就是假分式； ， 这样的分式就
是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即 整式与真分式的和的形式）．
如： ， ；
解决下列问题：
（1）分式 是 分式（填“真”或“假” ；
（2）将假分式 化为带分式；
（3）如果 为整数，分式 的值为整数，求所有符合条件的 的值．
【分析】（1）认真读懂题意，利用题中给出的定义判断；
（2）依据题意化简即可；
（3）依据题意化简后分情况讨论出结果即可．【解答】解：（1）分式 是真分式；
故答案为：真；
（2） ；
（3）原式 ，
分式的值为整数，
或 ，
或 或11或 ．
【点评】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的化简运算方法，弄清定义，利用整体的数学思想是解题的
关键．
七．约分
12．（2023秋•樊城区期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们
称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：① ；② ；③ ；④ ．其中是“和谐分式”的是 （填写序
号即可）；
（2）若 为正整数，且 为“和谐分式”，请写出 的值 ；
（3）在下列三个整式中，任意选择2个式子构造分式，分别作为分子分母，要求构造的分式是“和谐分
式”，直接写出所有的结果 ．
； ； ．
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义判断即可；
（2）分 、 两种情况，根据“和谐分式”的定义判断；
（3）根据“和谐分式”的定义判断．
【解答】解：（1）① ，分式的分子或分母都不可以因式分解，分式不是“和谐分式”；
② ，分式的分母可以因式分解，这个分式不可约分，分式是“和谐分式”；③ ，分式可以约分，分式不是“和谐分式”；
④ ，分式可以约分，分式不是“和谐分式”；
故答案为：②；
（2）当 时， ，分式是“和谐分式”；
当 时， ，分式不是“和谐分式”；
的值是4，
故答案为：4；
（3） ， ，
不能作分子或分母，
构造的“和谐分式”是： 或 ，
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查的是分式的约分、“和谐分式”的定义，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式
的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
八．通分
13．（2022秋•新化县校级期中）把 ， 通分，则 ， ．
【分析】把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通
分．
【解答】解： ， ．故答案为： ， ．
【点评】本题考查通分，解题的关键是正确理解通分的概念，本题属于基础题型．
九．最简分式
14．（2022秋•新华区校级期末）有分别写有 ， ， 的三张卡片，若从中任选一个作为分式
的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有 的卡片．
【分析】直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义分析得出答案．
【解答】解： ，
，
， 都不是最简分式，
无法化简，是最简分式，
故使得分式为最简分式，则应选择写有 的卡片．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了最简分式，正确掌握相关定义是解题关键．
一十．最简公分母
15．（2023秋•桂林期末）分式 和 的最简公分母是
A． B． C． D．
【分析】根据最简公分母的概念解答即可．
【解答】解： 和 的最简公分母是 ，
故选： ．
【点评】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
一十一．分式的乘除法
16．（2024秋•新华区校级月考）计算 的结果是
A． B． C． D．
【分析】根据幂的乘方运算的运算方法以及分式的乘法的运算方法计算即可．
【解答】解：
．
故选： ．
【点评】此题主要考查了幂的乘方的运算以及分式乘法的运算方法，解答此题的关键是明确分式的乘法法
则．
17．（2023秋•环翠区期末）化简 ．
【分析】先变除为乘，再进行计算．
【解答】解：原式
．
【点评】本题主要考查分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键．
一十二．分式的加减法
18．（2023 秋•潍坊期末）对于代数式 ， ，定义运算“ ”： ，例如：
，若 ，则 ．
【分析】根据定义运算表示出 的式子，再将 进行运算，便得到 和 的值，最后代入 中，求出结果即可．
【解答】解： ，
，
，
， ，
解得 ， ，
，
故答案为：5．
【点评】本题考查了分式的加减法，解题的关键是运用计算法则正确地进行计算．
19．（2024秋•昌平区校级期中）我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形
式，其中新的分式的分子中，不含字母，如：
，
．
参考上面的方法，解决下列问题：
（1）将 变形为满足以上结果要求的形式： ；
（2）若 变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数 的值；（3）将 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为 ．
【分析】（1）先将 转化为 ，进而得 ，据此可得出答案；
（2）先将 转化为 ，进而得 ，再根据该分式的值为整数得 为整数，则
，由此解出 即可；
（3）先将 转化为 ，进而得 ，据此即可得出答案．
【解答】解：（1）
；
故答案为： ；
（2）
，
该分式的值为整数，
为整数，
，
由 ，解得： ，
由 ，解得： ，当该分式的值为整数时， 或0；
（3）
．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了分式的性质，分式的加减法运算，理解分式的性质，熟练掌握分式的加减法运算
法则是解决问题的关键．
一十三．分式的混合运算
20．（2024秋•桃城区校级月考）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解： ，故选项 错误，不符合题意；
，故选项 错误，不符合题意；
，故选项 错误，不符合题意；
，故选项 正确，符合题意；
故选： ．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（2024秋•荣昌区校级月考）分式化简：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）把除法变为乘法同时进行因式分解，约分即可得到答案；
（2）先把除法运算转化成乘法运算，再根据乘法分配律化简，然后运算即可．
【解答】（1）解：
；
（2）
．
【点评】此题考查了分式的混合运算，关键是掌握运算法则．
一十四．分式的化简求值
22．（2024秋•新邵县期中）已知 ，关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是
甲： 的计算结果为 ；
乙：当 时， ；
丙：当 时， 的值为正数．A．乙错，丙对 B．甲和乙都对 C．甲对，丙错 D．甲错，丙对
【分析】首先将分式化简即可判定甲，然后将 代入求解即可判断乙，然后根据 的范围即可判定
的正负，
【解答】解：
，故甲对；
当 时， ，故分式无意义，故乙错；
当 时，
，
，故丙错．
故选： ．
【点评】此题考查了分式的乘除运算，分式的求值，解题的关键是熟练掌握分式的乘除运算法则．
23．（2024 秋•定陶区校级期中）（1）先化简，再求值： ，其中
， ．
（2）先化简 ，再从 中选取合适的整数代入求值．
【分析】（1）先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后合并同类项，最后将 、 的值代入化简后的
式子计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定 的值，把 的值代入计算即可．
【解答】解：（1）
，当 ， 时，原式 ；
（2）
，
由题意得： ，2，4，
当 时，原式 ．
【点评】本题分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
一十五．负整数指数幂
24．（2024春•寿县期末）若实数 、 满足 ，则 ．
【分析】首先根据题意，可得 ， ，所以 ， ，据此求出 、
的值，然后把求出的 、 的值代入 计算即可．
【解答】解： 实数 、 满足 ，
， ，
， ，
解得 ， ，
．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了绝对值、偶次方的非负性质的应用，以及零指数幂、负整数指数幂的运算，解答此题的关键是要明确：（1）① ；② ．（2） ， 为正整数）．
25．（2024秋•涟源市月考）计算：
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、乘方的运算法则计算即可得解．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、绝对值、乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
一十六．列代数式（分式）
26．（2023秋•襄都区月考）小玉要打一份 40000字的文件，第一天她打字 1.5小时，打字速
度为 字 分．第二天她打字速度比第一天快了20字 分，两天打完全部文件，用含 的式
子表示第二天打字用的时间为 ．
【分析】先把1.5小时化为90分，再利用第二天打字用的时间 求解即可．
【解答】解：1.5小时 分，
根据题意得第二天打字用的时间为： 分．
故答案为： 分．
【 点 评 】 本 题 主 要 考 查 了 列 分 式 ， 解 题 的 关 键 是 根 据 题 意 利 用 第 二 天 打 字 用 的 时 间
正确的列式．
一十七．分式方程的定义
27．（2024秋•昆明期中）下列是分式方程的是
A． B． C． D．【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解： 、 不是方程，不符合题意；
、 不含有分式，不是分式方程，不符合题意；
、 不含有分式，不是分式方程，不符合题意；
、 含有分式，是分式方程，符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．
28．（2024春•新宁县期末）有下列方程：① ，② ，③ 为不等于2
的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）．
【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：①方程 的分母中不含有未知数，不是分式方程；
②方程 的分母中含有未知数，是分式方程；
③方程 为不等于2的常数）的分母中不含有未知数，不是分式方程；
所以分式方程有②．
故答案为：②．
【点评】本题考查了分式方程的定义，能熟记分式方程的定义（分母中含有未知数的方程叫分式方程）是
解此题的关键．
一十八．分式方程的解
29．（2024秋•新华区校级月考）已知关于 的方程 ，下列说法错误的是
A．当 时， B．当 时，原方程无解
C． 为正数时， D． 为负整数时， 有4个整数值
【分析】先解分式方程，再检验，再逐一分析各选项即可．
【解答】解： 、原方程整理得： ，
当 时， ，解得 ，
经检验， 是原方程的解，
原方程的解为 ，
故选项 正确，但不符合题意；
、当 时，方程无解，
故选项 正确，但不符合题意；
、当 为正数时， ，且
且 ，
故选项 错误，符合题意；
、当 为负整数时，则 或 或 或 ，
或3或2或1，
有4个整数值，
故选项 正确，但不符合题意，
故选： ．
【点评】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解，掌握“解分式方程的方法与步骤，理解分式方程
的解的含义”是解本题的关键．
30．（2023秋•宝山区期末）已知关于 的分式方程 的解是非负数，求 的取值范围．
【分析】解出分式方程，根据解是非负数求出 的取值范围，再根据 时分式方程的增根，求出此时
的值，即可得到答案．
【解答】解：给分式方程两边同乘以 ，得 ，
解得， ．
方程的解是非负数，
，
解得 ；
又 ，即 ，
，
综上 的取值范围为 且 ．
【点评】本题主要考查了分式的方程的解，解出分式方程，根据解是非负数判断范围是解题的关键．一十九．解分式方程
31．（2024秋•道里区校级月考）方程 的解是
A． B． C． D．
【分析】等式两边同时乘以公因式 ，然后去小括号，移项，合并同类项，最后系数化为 1即
可．
【解答】解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
经检验， 是方程的解，
方程的解为： ．
故选： ．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程是关键．
32．（2024秋•新邵县期中）阅读下列材料：
关于 的分式方程 的解是 ， ； ，即 的解是 ，
； 的解是 ， ； 的解是 ， ；
（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于 的方程 与它的关系，猜想它的解是什
么，并利用方程解的概念进行验证；
（2）由上述的观察，解关于 的方程： ．
【分析】（1）根据材料即可判断方程的解，然后代入到方程的左右两边检验即可；
（2）将方程左右两边同时减去1，变为题干中的形式，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意可猜想方程 的解为 ，验证：当 时，方程 的左边 方程的右边，
是方程 的解；
当 时，方程 的左边 方程的右边，
是方程 的解；
（2） ，
，
或 ，
解得 ．
经检验， 都是原方程的解，且符合题意．
【点评】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
二十．换元法解分式方程
33．（2022秋•港北区期中）如果用换元法解分式方程 ，并设 ，那么原方程
可化为
A． B． C． D．
【分析】设 ，则 ，再把方程变形求解．
【解答】解：设 ，原方程可化为： ，
故选： ．
【点评】本题考查了换元法解分式方程，转换思想是解题的关键．
34．（2023秋•岱岳区期末）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程： ．
解：设 ，则原方程化为： ，方程两边同时乘 得： ，
解得： ，
经检验： 都是方程 的解， 当 时， ，解得： ，
当 时， ，解得： ，经检验： 或 都是原分式方程的解，
原分式方程的解为 或 ．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程 中，设 ，则原方程可化为： ；
（2）利用上述方法解方程： ．
（3）模仿上述换元法解方程组： ．
【分析】（1）根据题意作答即可；
（2）根据换元法设 ，则原方程化为： ，然后解方程，并求出 的值即可；
（3）根据换元法设 ， ，则原方程组可化为 ，然后解方程组，并求出 ， 的值即可．
【解答】解：（1）由题意知，原方程可化为 ，
故答案为： ；
（2）设 ，则原方程化为： ，
方程两边同时乘 得： ，
解得： ，
经检验： 都是方程 的解．
当 时， ，该方程无解；
当 时， ，解得： ；
经检验： 是原分式方程的解，
原分式方程的解为 ．
（3）设 ， ，则原方程组可化为 ，
解得 ，
．
【点评】本题考查了换元法解分式方程，换元法解二元一次方程组．理解题意，熟练掌握换元法是解题的
关键．
二十一．分式方程的增根35．（2024秋•桂阳县校级月考）分式方程 有增根，则 的值为 ．
【分析】方程两边都乘以最简公分母 把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根是使
最简公分母等于0的未知数的值，求出增根，然后代入进行计算即可得解．
【解答】解：方程两边都乘以 得，
，
，
，
分式方程有增根，
，
， ，
解得 ， ，
当 时， ，
当 时， ，此时方程无解，不符合题意．
所以 的值为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根就是使最简公分母等于0的未知数的值，确定后可按如下步骤
进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
36．（2024•杭州二模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：
．
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是 ，原分式方程无解”，请你求出原分式方
程中“？”代表的数是多少？
【分析】（1）把？ 代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可；（2）设？为 ，利用分式方程的增根解答即可．
【解答】解：（1）方程两边同时乘以 得
解得
经检验， 是原分式方程的解．
（2）设？为 ，
方程两边同时乘以 得
由于 是原分式方程的增根，
所以把 代入上面的等式得 ，
所以，原分式方程中“？”代表的数是 ．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求
解．解分式方程一定注意要验根．
二十二．由实际问题抽象出分式方程
37．（2024春•泉港区期末）参加“绿化家园”活动，已知乙班同学每小时比甲班多种 2棵树，甲班同学
种20棵树与乙班种26棵树所用的时间相同．设甲班每小时种 棵树，则列出的方程是
A． B． C． D．
【分析】根据甲班同学种20棵树与乙班种26棵树所用的时间相同，可以列出相应的分式方程．
【解答】解：甲班每小时种 棵树，则乙班每小时种 棵树，
由题意可得： ，
故选： ．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
38．（2023秋•西城区期末）甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲 清点完这批图书
的 ，乙加入清点剩余的图书，两人合作 清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？
若设乙单独清点这批图书需要 ，则根据题意可列方程为 ．
【分析】先设乙单独清点这批图书需要的时间是 小时，根据“甲3小时清点完一批图书的 ”和“两人合作2.4小时清点完另一半图书”列出方程．
【解答】解：设乙单独清点这批图书需要 小时，
根据题意，得 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程的知识，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关
系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量 工作效率 工作时间．
二十三．分式方程的应用
39．（2024•蓬江区校级模拟）“ ”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的
铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修 米，所列
方程正确的是
A． B．
C． D．
【分析】要求的未知量是工作效率，有工作路程，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“提
前4天开通了列车”；等量关系为：原来所用的时间 实际所用的时间 ．
【解答】解：原来所用的时间为： ，实际所用的时间为： ．
故所列方程为： ．
故选： ．
【点评】考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等
量关系是解决问题的关键．本题用到的关系为：工作时间 工作总量 工作效率．
40．（2024秋•昌平区校级期中）列方程解决实际问题：
为了提高学生体育锻炼的意识和能力，丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买跳
绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低5元，且用2250元购买甲种跳绳与用3000元购买乙种跳绳的数量相
同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？
【分析】根据“2250元购买甲种跳绳与用3000元购买乙种跳绳的数量相同”列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设甲种跳绳的单价为 元，则乙种跳绳的单价为 元，
由题意得： ，
解得：
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲种跳绳的单价为15元，乙种跳绳的单价为20元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
