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跟踪训练 05 二项分布、超几何分布、正态
分布
一．选择题（共15小题）
1．已知随机变量服从正态分布 ，若 ，则
A． B． C．1 D．4
【解答】解： ，
，
随机变量服从正态分布 ，
，解得 ．
故选： ．
2．已知随机变量 服从二项分布 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：由随机变量 服从二项分布 ，
可得 ．
故选： ．
3．关于正态曲线的形状，下列描述正确的是
A．由 确定， 越大，曲线越“矮胖”
B．由 确定， 越大，曲线越“矮胖”
C．由 确定， 越大，曲线越“高瘦”
D．由 确定， 越大，曲线越“高瘦”
【解答】解：根据正态曲线的性质，可知正态曲线关于直线 对称，
在 处达到最高点函数取得最大值，并由该点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低，决定曲线的位置和对称性：曲线的形状由 确定，
而且当 一定时，比较若干个不同的 对应的正态曲线可以发现．
越大，曲线越矮胖， 越小，曲线越高瘦
综上所述， 正确， 、 、 错误．
故选： ．
4．已知服从正态分布 的随机变量在区间 ， ， ， 和
， 内取值的概率分别为 ， 和 ．若某校高二年级1000
名学生的某次考试成绩 服从正态分布 ， ，则此次考试成绩在区间 ，
内的学生大约有
A．477人 B．136人 C．341人 D．131人
【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 ， 根 据 正 态 分 布 的 对 称 性
，
则 ，
故此次考试成绩在区间 ， 内的学生大约有136人．
故选： ．
5．下列命题中错误的是
A．已知随机变量 ，则
B．已知随机变量 ，若函数 为偶函数，则
C．数据1，3，4，5，7，8，10的第80百分位数是8
D．样本甲中有 件样品，其方差为 ，样本乙中有 件样品，其方差为 ，则由甲乙
组成的总体样本的方差为【解答】解：对于 ， ， 正确；
对于 ，由函数 为偶函数，则 ，
所以 ，
所以区间 ， 关于 对称，则 ， 正确；
对于 ， ，所以数据1，3，4，5，7，8，10的第80百分位数是第六个数据
8， 正确；
对于 ，由按分层抽样样本方差的计算公式可知选项缺少平均数的相关数据， 错误．
故选： ．
6．某杂交水稻种植研究所调查某水稻的株高，得出株高 （单位： 服从正态分布，
其概率分布密度函数为 ， ，若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，该正态分布的对称性为 ，
根据正态分布曲线的对称性，则 ．
故选： ．
7．若离散型随机变量 ，且 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，解得 ，
．
故选： ．8．已知函数 在 上单调递减的概率为 ，且随机变量 ，
则 （ 附 ： 若 ， 则 ，
，
A．0.1359 B．0.01587 C．0.0214 D．0.01341
【解答】解：根据题意 在 上单调递减，可得 ，
故 ，
，
，
．
故选： ．
9．已知随机变量 ，若 ，则
A．0.64 B．0.32 C．0.36 D．0.72
【解答】解： 随机变量 服从正态分布 ，
曲线关于 对称，
．
故选： ．
10．已知随机变量 ，且 ，则 的最大值
为
A． B． C． D．【解答】解：因为随机变量 ，且 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，
令 ， ，
所以 ，
又 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，
即 的最大值为 ．
故选： ．
11．南沿江高铁即将开通，某小区居民前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市
区，路程较短但交通拥挤，经测算所需时间（单位为分钟）服从正态分布 ；路
线②骑共享单车到地铁站，乘地铁前往，路程长，但意外阻塞较少，经测算所需时间（单
位为分钟）服从正态分布 ．该小区的甲乙两人分别有70分钟与64分钟可用，要
使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别为
A．①、① B．①、② C．②、① D．②、②
【解答】解：对于甲：有70分钟可走，
若走第一条路：则 （2），
若走第二条路：则 ，因为 （2） ，故甲走路线②，
对于乙：有64分钟可走，
若走第一条路：则 ，
若走第二条路：则 （1），
因为 （1），故乙走路线①．
故选： ．
12．已知随机变量 ，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解：随机变量 ，
则 的可能取值为0，1，2，3，4，
，
则 ．
故选： ．
13．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究，创建了超级杂交稻技术体
系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研
究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位： 服从正态分布，其密度曲线函数为
， 则下列说法正确的是
A．该地水稻的平均株高为
B．该地水稻株高的方差为
C．随机测量一株水稻，其株高在 和在 的概率一样大
D．随机测量一株水稻，其株高在 以上的概率比在 以下的概率大【解答】解：对 ，由正态分布密度曲线函数 ， ，得
， ，
该地水稻的平均株高为 ，所以 错误；该地水稻株高的方差为100，所以 错误；
对 ，根据正态分布的对称性可知： ，
所以株高在 和在 （单位： 的概率不一样大，所以 错误；
对 ， ，所以株高在 以上的概率比株高在
以下的概率大，所以 正确．
故选： ．
14．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线
可得下列说法中正确的是
A．甲学科总体的均值最小
B．乙学科总体的方差及均值都居中
C．丙学科总体的方差最大
D．甲、乙、丙的总体的均值不相同
【解答】解：由题中图象可知三科总体的平均数（均值）相等，
由正态密度曲线的性质可知， 越大，正态曲线越扁平， 越小，正态曲线越尖陡，
故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．
故选： ．15．某学校共 1000 人参加数学测验，考试成绩 近似服从正态分布 ，若
，则 的值
A．0.1 B．0.9 C．0.45 D．0.05
【解答】解：由已知可得， ，所以 ，
又 ，
根据正态分布的对称性可得 ，
所以 ．
故选： ．
二．多选题（共5小题）
16．下列说法正确的是
A．线性回归方程中，若线性相关系数 越大，则两个变量的线性相关性越强
B．若 ，若函数 为偶函数，则
C．根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 ，依据 的独立
性检验 ，可判断 与 有关且犯错误的概率不超过0.05
D．已知 ， ，若 ，则
【解答】解：对于 ，相关系数 ，且 越接近于1，相关程度越大，
反之两个变量的线性相关性越弱， 错误；
对于 ，函数 为偶函数，则 ，
即 ，
又 ，故区间 ， 与 ， 关于 对称，所以 ， 正确；
对于 ，因为 ，故可判断 与 有关且犯错误的概率不超过
0.05， 正确；
对于 ，由 ， ， ，
可得 ，故 ，
则 ，则 ， 正确．
故选： ．
17．以下四个命题中真命题的是
A．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则常数 的值是2
B．若命题“ ，使得 成立”为真命题，则实数 的取值范围为 ，
，
C．圆 被直线 分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为
D．已知 ， ，如果 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是
【 解 答 】 解 ： 设 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 ， 若 ，
，解得 ，则常数 的值是3，因此 不正确；
若命题“ ，使得 成立”为真命题，则△ ，解得 或 ，因此实数 的取值范围为 ， ， ， 正确；
圆 被直线 分成两段圆弧，圆心 到直线 的距离
， 较短弧所对的圆心角为 ， 较短弧长与较长弧长之比为 ，因此
不正确；
已知 ， ，解得 或 ， 是 的充分不必要条件，则实数
因此 的取值范围是 ， 正确．
故选： ．
18．将一枚均匀的硬币连续抛掷 次，以 表示没有出现连续2次正面的概率．下列四
个结论正确的有
A．
B． 是递减数列
C．
D．存在某个正整数 ，使得
【解答】解：对于 ，根据题意， ， 错误；
对于 ，在没有出现连续2次正面的前提下，
设首次为正面向上时，第 次抛硬币正面向上的结果数为 ，反面向上的结果数为 ，
则首次为反面向上时，第 次抛硬币正面向上的结果数为 ，反面向上的结果数为
，首次为正面向上时，第 次抛硬币正面向上的结果数为 ，反面向上的结果数为
，
首次为反面向上时，第 次抛硬币正面向上的结果数为 ，反面向上的结果数为
，
首次为正面向上时，第 次抛硬币正面向上的结果数为 ，反面向上的结果数为
，
首次为反面向上时，第 次抛硬币正面向上的结果数为 ，反面向上的结果数
为 ，
所以 ， ，
由于 ，所以 ，
即 是递减数列， 正确；
对 于 ， 由 上 可 知 ， ，
，
设 ，则有 ， ，解得 ， ，
即 ， ， ， 错误；
对于 ，设 ，解得 ，
所以有 ，即数列 是以 为公比的等比数列，
， ， ，
由于 ， ，
所以当 ， ，
可见存在某个正整数 ，使得 ， 正确．
故选： ．
19．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一
个3号球：2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2
号球．若第一次先从1号盒子内这机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，
第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是
A．如果将10个相同的小球放入这三个盒子内，允许有空盒子，则不同的放法有36种
B．第二次抽到3号球的概率为
C．如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大
D．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为
【解答】解：将10个相同的小球放入这三个（不同）盒子内，应用插棍法，
把10个小球和3个盒子排成一列有12个空（不含两端），再用2根棍插入其中两个空，
所以不同的放法有 种，故 错误；
表示第一次抽到1号球， 表示第一次抽到2号球， 表示第一次抽到3号球，
所以 ， ，表示第二次抽到3号球，则 ，
所以 ，
而 ， ，
所以 ，故 正确；
第二次抽到的是3号球来自1号盒 ，
第二次抽到的是3号球来自2号盒 ，
第二次抽到的是3号球来自3号盒 ，
所以第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大，故 正确；
表示第二次抽到2号球，则第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为
，故 正确．
故选： ．
20．已知随机变量 ，若使 的值最大，则 等于
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：令 ，解得 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，所以 和 的值最大．
故选： ．
三．填空题（共5小题）
21．已知 服从正态分布 ，且 ，则 0. 1 ．
【解答】解：由题知： ，故 ，
又 ，
故 ．
故答案为：0.1．
22．对一个物理量做 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最
后结果的误差 ，为使误差 在 内的概率不小于0.683，至少要测量
16 次．（附：若 ，则
【解答】解：根据正态曲线的对称性知：要使误差 在 内的概率不小于0.683，
则 ， ， 且 ， ，所以 ，可得 ．
故答案为：16．
23．某校1000名学生参加数学文化知识竞赛，每名学生的成绩 ， ，成绩不
低于90分为优秀，依此估计优秀的学生人数为 也可以） （结果填整数）．附：
若 ，则 ， ．
【解答】解：由每名学生的成绩 ， ，得 ， ，
则则优秀的学生人数为 ．
故答案为： 也可以）．
24．某品牌手机的电池使用寿命 （单位：年）服从正态分布．且使用寿命不少于1年的
概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为0.1，则该品牌手机的电池使用寿命不少于 5年
且不多于9年的概率为 0. 4 ．
【解答】解：由题意知 ， ，
，
正态分布曲线的对称轴为直线 ，
因为 ，
，
故该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为0.4．
故答案为：0.4．
25．在某市高二的联考中，学生的数学成绩 服从正态分布 ，随机抽取10位学
生的成绩，记 表示抽取的10位学生成绩在 ， 之外的人数，则 0.372 3
， 的数学期望 ．
附 ： 若 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 ， 则 ，
，取 ， ．
【解答】解：由已知得：数学成绩 服从正态分布 ，所以 ， ，
所以 ，故数学成绩在 之外的概率为： ，
故 ，
所以 ．
．
故答案为：0.3723，0.456．
四．解答题（共3小题）
26．2022年河南、陕西、山西、四川、云南、宁夏、青海、内蒙古8省区公布新高考改革
方案，这8省区的新高中生不再实行文理分科，今后将采用“ ”高考模式．“
”高考模式是指考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语 3个科目成绩和考
生选择的3科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750分．“3”是三门主
科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理、历史里选一
门，按原始分计入成绩；“2”指考生要在生物学、化学、思想政治、地理4门中选择2门，
但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分．
（1）若按照“ ”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地
理”的概率；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学
校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试、满分450分，并给前640名颁发荣誉证
书，假设该次网络测试成绩服从正态分布．
①考生甲得知他的成绩为260分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为
210分，290分以上共有91人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；
②考生丙得知他的实际成绩为425分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为 240
分，360分以上共有91人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪．
附 ： ， ，
．
【解答】解：（1）根据题意，记选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”为
事件 ，从物理、历史里选一门，生物学、化学、思想政治、地理 4 门中选择 2 门的选法有
种，
事件 即从剩余生物学、思想政治、化学三个科目中选择一个，有 种等可能选法，
所以 ．
（2）根据题意，设此次网络测试的成绩 ．
①由于此次测试平均成绩为210分，则 ，
因 为 ， 且 ， 即
，
即 ， ， ．
又 ， ，
所以前640名学生成绩的最低分低于 ，
而考生甲的成绩为260分 分，则甲同学能够获得荣誉证书．
②若考生乙所说为真（结果是开放的，只要统计理由充分，即可），
则 ， ，
而 ，所以 ，
从而 ．
理由1：根据统计学中的 原则，认为 为小概率事件，
即丙同学的成绩为425分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认
为乙同学所说为假．理由 ，
4000名学生中成绩大于420分的约有 人，
这说明4000名考生中，也会出现约5人的成绩高于420分的“极端”样本，
由于样本的随机性，丙同学的成绩为425分也有可能发生，所以可认为乙同学所说为真．
27．幸福农场生产的某批次20件产品中含有 件次品，从中一次任取10件，其
中次品恰有 件．
（1）若 ，求取出的产品中次品不超过1件的概率；
（2）记 ，则当 为何值时， 取得最大值．
【解答】解：（1）记“取出的产品中次品不超过1件”为事件 ，
则 （A）
；
即取出的产品中次品不超过1件的概率是 ；
（2） ，
；
若 ，则 ，
解得 ；
故当 时， ；当 时， ；
故当 时， 取得最大值．
即当 时， 取得最大值．
28．某公司生产某种产品，一条流水线年产量为 10000件，该生产线分为两段，流水线第
一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见表：
第一段生产的半成品的质量指标
或 或
第二段生产的成品为一等品概率 0.2 0.4 0.6
第二段生产的成品为二等品概率 0.3 0.3 0.3
第二段生产的成品为三等品概率 0.5 0.3 0.1
从第一道生产工序抽样调查了100件，得到频率分布直方图如图：
若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、 元．
（1）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量
指标的平均值；
（2）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；
（3）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是20万元，使用寿命是1年，
安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布 ， ，且不影响产
量．请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由．
（ 参 考 数 据 ： ， ，【解答】解：（1）流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值为：
；
（2）由频率直方图，第一段生产半成品质量指标 或 ，
或 ，
，
设生产一件产品的利润为 元，则
，
，
，
生产一件成品的平均利润是 元，
故一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元；
（3） ， ， ， ，
设引入该设备后生产一件成品利润为 元，
则 ，
，
，
引入该设备后生产一件成品平均利润为：
元，引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元，
增加收入 万元，
综上可知，应该引入该设备．
