文档内容
15.2 分式运算
【考点1:分式的乘除】
【考点2:同分母分式的加减】
【考点3:异分母分式的加减】
【考点4:分式混合运算】
【考点5: 分式化简求值】
【考点6:科学计数法】
【考点7:负指数整数幂】
知识点1：分式的乘除
分式的乘除法运算
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，
乘法
即
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，
除法 即
知识点2：分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：
a n an
b bn n
（ 为正整数）.
⑴、 （ 是正整数） ⑵、 （ 是正整数）
⑶、 （ 是正整数）
⑷、 （ ， 是正整数， ）⑸、 （ 是正整数） ⑹、 （ ，n是正整数）
知识点3：同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
上述法则可用式子表为：
a b ab
c c c .
注意：
（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，
当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不
然，容易导致符号上的错误.
（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.
知识点4：异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
上述法则可用式子表为：
a c ad bc ad bc
b d bd bd bd .
注意：
（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分
式的加减法.
（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分
式.
知识点5：科学记数法
科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n
是正整数，1 a 10 ，这叫科学记数法．
注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d
的指数 n=m+1．
【考点1:分式的乘除】【典例1】分式计算：
(1) 2x ÷ 3 ⋅ x (2)( a2b ) 3 ÷ 2a ⋅ ( c ) 2 ．
5x−3 9−25x2 5x+3 −cd3 d3 2a
【变式1-1】计算：
(1) a+2 ⋅ a2−4a+4 ÷ a2−4； (2) x2−1 ÷ 2x2−2 ÷(x−1) 2 ．
a2−2a+1 a+1 a2−1 x2+2x+1 4x2+8x+4
【变式1-2】计算：
(1)2x2 5 y 10x2； (2)a2−4 4a2b+8ab．
· ÷ ⋅
3 y2 6x 21y❑ 2ab a2+4a+4
【变式1-3】计算：
(1) x2 6x y2； (2) x−3 x−3 ．
⋅ ÷
2y x4 x2−4x+4 x2−4
【考点2:同分母分式的加减】
【典礼2】计算：
x2 x 4
(1) − (2) +a−2．
x−1 x−1 a+2
x 2
【变式2-1】计算： + ．
x2−4 4−x2a2 1
【变式2-2】化简： − ．
a−1 a−1
【变式2-3】计算下列各式．
x2 y2 a2
(1) − (2) −a−1
y−x y−x a−1
【考点3:异分母分式的加减】
【典礼3】计算：
x2 x−2 x+1 2
(1) −x+1； (2) + − ．
x+1 x2−x x−1 x
【变式3-1】计算：
(1)4 a+8 (2) 1 x2−3x
− +
a 2a x−1 x2−1
【变式3-2】计算：
3 1 a−1 4a
(1) − ； (2) + ．
2x x a+1 a2−1
【变式3-3】计算：
x+1 x−1 y 1
(1) − (2) − ．
x−1 x+1 y2−4 2y−4【考点4:分式混合运算】
【典例4】（1）化简：( 5 ) x2−6x+9； （2）计算：( 3 ) m+2 ．
x+2− ÷ m−1− ÷
x−2 x−2 m+1 m2+m
【变式4-1】化简： x2−x ( x2 )
÷ x+1−
x2−2x+1 x−1
【变式4-2】计算：
(1)x y x2+ y2 (2)x−2 x2−1 1 ．
− + ⋅ −
y x xy x−1 x2−4x+4 x−2
【变式4-3】化简( 3 ) x2−4x+4．
−x+1 ÷
x+1 x+1
【考点5: 分式化简求值】
【典例5】先化简，再求值：(4−2a ) a2−2a 请从 中选择一个数字a代入求值．
−a+2 ÷ , −2,−1,0,2
a+2 a+2【变式5-1】先化简，再求值：(2a+1 ) a2+2a+1，其中 ．
−1 ÷ a=−2
a a
【变式5-2】先化简，再求值：(x−1 x−2) 2x2−x ，其中 1．
− ÷ x=−
x x+1 x2+2x+1 2
【变式5-3】先化简，再求值：( 3 ) x2+4x+4，其中 ．
x−1− ÷ x=5
x+1 x+1
【考点6:科学计数法】
【典例6】H7N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0.00000012米，
这一直径用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×10−9米 B．1.2×10−8米 C．12×10−8米 D．1.2×10−7米
【变式6-1】芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．据测，一粒芝麻的质量约为
0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A．0.201×10−5 B．2.01×10−5 C．2.01×10−6 D．2.01×10−7
【变式6-2】某种生物孢子的直径为0.000063m，用科学记数法表示为（ ）
A．0.63×10−4m B．6.3×104m
C．6.3×10−5m D．6.3×10−6m
【变式6-3】随着科技的进步，微电子技术飞跃发展，电子科学院的学生在实验室把半导体材料的尺寸
大幅度缩小，某电子元件的面积大约为0.00000012平方毫米，0.00000012用科学记数法可表示为（
）
A．1.2×10−6 B．12×10−8 C．1.2×10−7 D．0.12×10−6
【考点7:负指数整数幂】【典例7】计算：
3−2−(−1) 2001−
|
−
2)
+(π−4) 0
．
9
【变式7-1】计算：( − 1) −2 +(2024−π) 0+ ( − 1) 2024 ×(−3) 2024
2 3
【变式7-2】计算： (π−2024) 0− ( − 1) −1 +|1−❑√3)+√3−8 ．
2
【变式7-3】计算 |−2)+ (1) −2 ×(π−❑√2) 0 −❑√9−(−1) 2
3
1．纳米是非常小的长度单位，1纳米=10−9米，某种病菌的长度约为50纳米，用科学记数法表示该病菌的
长度，结果是（ ）
A．5×109 B．50×10−9 C．5×10−8 D．5×10−10
2．化简 3x+6 x2−4 的结果为（ ）
⋅
x2−2x x2+4x+43 1 x
A．3 B． C． D．
x 3 3
a−1 a
3．计算 − 的结果为（ ）
2a−1 1−2a
2a+1 1
A．−1 B．1 C． D．
2a−1 2a−1
4．计算2024−1的正确结果是（ ）
1 1
A．2024 B．−2024 C． D．−
2024 2024
m2 9
5．若m=2，则代数式 − 的值为（ ）
m+3 m+3
A．−1 B．−3 C．1 D．3
3 2 m
6．计算(− ) ⋅ 的结果是（ ）
m 9
1 1
A．− B．−m C． D．m
m m
7．化简 ( 1 x+1 ) 的结果是（ ）
− ⋅(x−1)
x−3 x2−1
2 2 x−4
A．2 B． C． D．
x−1 x−3 x−1
1 1 a−2ab−b
8．已知 − =4，则 =（ ）
a b 2a−2b+7ab
2 2
A． B．− C．−6 D．6
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9．将x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖（ ）
x+ y x+3 y x+3 y
A．20% B． C． D．
2 20 10x+10 y
10．计算：−5x y2÷15xy= ．
a❑ 2 1
11．化简： − = ．
a−1 a−1
12．计算：(
−
1) −2
+20=
．
5
a a2
13．计算： + = ．
a−1 1−a14．化简：
(1)a+2 ( 2)； (2)( a+3) a2−1．
÷ 1+ a−1+ ÷
a2 a a+2 a+2
15．计算： x x2+2x+1 x+1
− ÷
x+2 x2+x x−2
16．计算：
(1)3 a−15 (2)( 1 1 ) 2x
+ + ÷
a 5a x−1 x+1 x2−2x+1
17．先化简，再求值：( 2 ) x2−6x+9，其中 ．
1− ÷ x=5
x−1 x2−x
