文档内容
专题 13 解一元一次方程（二）---去括号与去分母
（3 个知识点 3 种题型 3 个易错点 2 个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.解一元一次方程-----去括号（重点）
知识点2解一元一次方程-----去分母（重点）
知识点3.列一元一次方程解应用题（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.用适当的方法巧解一元一次方程
题型2.利用方程的解确定方程中的字母的值。
题型3.列一元一次方程解决行程问题
【方法三】差异对比法
易错点1.去括号是漏乘括号内的项或弄错符号
易错点2.去分母时漏乘不含分母的项或忽略分数线的括号作用
易错点3.分母是小数的，化为整数是与去分母相混淆
【方法四】 仿真实战法
考法1.一元一次方程的解法
考法2.一元一次方程的实际应用
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 掌握解一元一次方程的基本步骤，会用去括号与去分母的方法解一元一次方程，体会解一元一次方程
中的转化思想。
2. 能够根据具体问题中的数量关系准确列出方程，进一步体会建模思想，并能够体验结果是否合理。【知识导图】
【倍速学习五种方法】
解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，
灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括
号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使
方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方
程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
【方法一】脉络梳理法
知识点1.解一元一次方程-----去括号（重点）
【例1】．若方程 与 的解互为相反数，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解 ，由两个方程的解互为相反数，则把 代入 ，解方程即可．
【详解】解：
，
，
∵方程 与 的解互为相反数，
∴ 的解为： ，
∴ ，
，
，解得： ，
故选： ．
【点睛】此题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于 的一元一次方程是解此题的关键．
【变式】．（23·24七年级上·全国·课堂例题）马小虎同学在解关于 的方程 时，误将等号
右边的“ ”看作“ ”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为 ，则原方程正确的解为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将 代入 求出a的值，再解关于 的方程．
【详解】解：由题意知： 是方程 的解，
，
解得 ，原方程为 ，
解得 ，
故选B．
【点睛】本题考查一元一次方程的解与解一元一次方程，求出a的值是解题的关键．
知识点2解一元一次方程-----去分母（重点）
【例2】．（23·24七年级上·全国·课时练习）若方程 的解比关于 的方程
的解小1，则 的值为（ ）
A． B． C．5 D．3
【答案】A
【分析】先求出 的解为 ，进而可得方程 的解为 ，代入方程即可
求出答案.
【详解】解：解方程 ，得 ，
则方程 的解为 ，
代入方程可得： ，
解得 ；
故选：A.
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键.
【变式】．（23·24七年级上·全国·课时练习）已知关于 的方程 的解为 ，则 等于
（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】把 代入方程 得 ，再解方程即可得到答案．
【详解】解：把 代入方程 得：，
解得： ，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，正确进行计算是解题的关键．
知识点3.列一元一次方程解应用题（重点）
【例3】．．（22·23上·常州·期末）已知关于x的一元一次方程 的解为 ，那么关
于y的一元一次方程 的解为 ．
【答案】
【分析】设 ，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可．
【详解】解：设 ，则关于y的方程化为： ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了 一元一次方程的解．正确理解方程的解的概念和运用整体代换是解决问题的关
键．
【变式】．．（22·23下·福州·开学考试）已知 ，关于 的方程 的解为 ，则关于 的方程
的解为 ．
【答案】
【分析】将 看作一个整体，根据 的解为 可得 ，然后即可求出y．
【详解】解：∵关于 的方程 的解为 ，
∴关于 的方程 中可得 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，根据方程的解得出 是解题的关键．【方法二】实例探索法
题型1.用适当的方法巧解一元一次方程
1．若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】由方程 有解，分 和 两种情况讨论，列出关于m的不等式进行求解
【详解】分两种情况讨论：
①若 ，则方程可化为 ，
移项并合并同类项，得
∵原方程有解，
∴ ，
即 ， 或 ，
∴ 或 ；
②若 ，则方程可化为 ，
移项并合并同类项，得
∵原方程有解，
∴ ，
即 ， ，
∴ ；
综上所述，m的取值范围是 或 ．
故答案为： 或
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度不大，关键是先分类讨论x的取值再求m的取值
范围．
2．（22·23七年级上·浙江绍兴·期末）设 ， ，当 时， 的取值范围是
．
【答案】【分析】根据题意，得到 ，即 ，由绝对值的代数意义分情况讨论去掉绝对值，
解方程即可得到答案．
【详解】解： ， ，当 时，
，即 ，
当 时， ，则 ，即 ，解得 ；
当 时， ，则 恒成立，即 ；
当 时， ，则 ，即 ，解得 ；
综上所述，当 时， 的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查含绝对值方程的解法，熟记绝对值的代数意义去绝对值是解决问题的关键．
题型2.利用方程的解确定方程中的字母的值。
3．对关于 的方程 （1）
考虑如下说法：①当 取某些值时，方程（1）有两个整数解；
②对某个有理数 ，方程（1）有唯一的整数解；
③当 不是整数时，方程（1）没有整数解；
④不论 为何值时，方程（1）至多有4个整数解．
其中正确的说法的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】根据题意,当 时；原式 ，即 ；当 时；原式 ，
为 中的任意实数 ；当 时；原式 ，即 ；进而代入每个序号中，即可
求解．
【详解】解：当 时；原式 ，即 ；
当 时；原式 ，即 ， 为 中的任意实数；当 时；原式 ，即 ；
①例如： 时， 或 ，故当 取某些值时，方程有两个整数解，故①正确；
②例如： 时， 或 ，对某个有理数 ，方程的整数解不止一个，故②错误；
③∵ 或 ，只有 与 为整数时， 才能为整数；即只有 为整数时， 才能为整数，
故当 不是整数时，方程没有整数解，故③正确；
④∵当 时， ；当 时； 为 中的任意实数，在此范围的整数有2个；当
时， ；
∴不论 为何值时，方程至多有4个整数解，故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解一元一次方程，代数式求值，求得 的值是解题的关键．
4：已知关于 的一元一次方程 的解为 ，那么关于的y一元一次方程
解为 ．
【答案】 ．
【分析】将方程 变形为 ，在根据方程 的解
为 得到 ，即可求解．
【详解】解：将关于 的一元一次方程 变形为 ，
即 ，
∵一元一次方程 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．故答案为： y=3 ．
【点睛】本题考查了换元法解一元一次方程，将关于 的一元一次方程 变形为
是解题关键．
题型3.列一元一次方程解决行程问题
5．（22·23七年级下·福建福州·开学考试）下列方程变形正确的是（ ）
A． 去分母得 B． 去括号得
C． 移项得 D． 系数化为1得
【答案】B
【分析】根据等式的性质，去括号法则，逐个进行判断即可．
【详解】解：A． 去分母得 ，故A不正确，不符合题意；
B． 去括号得 ，故B正确，符合题意；
C． 移项得 ，故C不正确，不符合题意；
D． 系数化为1得 ，故D不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的步骤，解题的关键是熟练掌握等式的性质：等式的性质一：等
式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立．性质二：等式两边同时乘或除以同一个不为0的
整式，等式仍然成立．以及去括号的法则．
6．（22·23七年级上·湖南娄底·阶段练习）下列变形正确的是（ ）
A．若 ，那么
B．若 ，那么
C．方程 ，去括号，得
D．方程 ，移项，得：
【答案】A【分析】根据等式性质、平方性质、去括号法则及整式乘法运算法则、移项法则逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、根据等式性质，若 ，则 ，那么 ，该选项正确，符合题意；
B、当 互为相反数时，若 ，那么 ，该选项错误，不符合题意；
C、根据去括号法则，如果括号外是负的，去括号以后括号内各项要变号，再结合整式乘法运算法则方程
，去括号，得 ，该选项错误，不符合题意；
D、根据移项法则，移项后要变号，方程 ，移项，得： ，该选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查等式变形，涉及等式性质、平方性质、去括号法则及整式乘法运算法则、移项法则，熟
练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
【方法三】差异对比法
易错点1.去括号是漏乘括号内的项或弄错符号
1．（23·24七年级上·北京西城·期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
（1）按照移项合并，把x系数化为1的步骤即可求出解；
（2）按照去括号，移项合并，把x系数化为1的步骤求解即可．
【详解】（1）解：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
（2）解：
去括号得：移项、合并同类项得：
系数化为1得：
易错点2.去分母时漏乘不含分母的项或忽略分数线的括号作用
2．（23·24七年级上·广东广州·期中）解方程：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)3
(2)
(3)
【分析】（1）直接移项即可解答；
（2）先移项，再系数化为1即可解答；
（3）先去括号，然后再移项、合并同类项、系数化为1即可解答
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的基本步骤为去分母、去括号、移项、合并同
类项、系数化为一．
易错点3.分母是小数的，化为整数是与去分母相混淆
3．（2023七年级上·全国·专题练习）解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) 或
【详解】（1）解： ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（2）解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（3）解： ，原方程可变形为 ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（4）解： ，
去绝对值，得： 或 ，
去括号，得： 或 ，
移项，得： 或 ，
合并同类项，得： 或 ，
系数化为1，得： 或 ．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法“去分母、去括号、移项、合并同类
项、系数化为1”是解题的关键．
【方法四】 仿真实战法
考法1.一元一次方程的解法
4．（22·23七年级上·北京西城·阶段练习）规定： ， ．例如 ，
．下列结论中：①若 ，则 ；②若 ，则
；③能使 成立的 的值不存在；④式子 的最小值是7．
其中正确的所有结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】根据题中的规定逐项判断出各选项的结论正确与否即可．【详解】解：①若 ，即 ，
解得： ，
则 ，故①正确；
②若 ，则 ，故②正确；
③若 ，则 ，即 （无解）或 ，
解得： ，即能使已知等式成立的x的值存在，故③错误；
④式子 ，此式子表示数轴上一个点到 和 的距离之和，当这个点所表
示的数在 与3之间时， 的最小值是7，故④正确．
综上，正确的所有结论是：①②④．
故选：B．
【点睛】本题以新规定为载体，主要考查了绝对值的意义和化简、整式的加减以及一元一次方程的求解等
知识，正确理解新运算法则是解题的关键．
5．（22·23七年级上·重庆南岸·期末）已知关于 的方程 的解是负整数，那么整数 的所有取值之
和为（ ）
A．4 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】解一元一次方程，可得出原方程的解为 ，结合原方程的解是负整数且k为整数，可得出k
的值，再将其相加即可得出结论．
【详解】∵
∴ ，
当 时，原方程无解；
当 时， ．
∵原方程的解是负整数，且k为整数，
∴ 或
∴ 或 ，∴整数k的所有取值之和为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，由原方程的解为负整数，找出整数k的值是解题的关键．
考法2.一元一次方程的实际应用
6．（23·24七年级上·北京西城·期中）阅读下面解方程 的步骤，完成填空：
解：去括号，得 ．
移项，得 ．依据 ；
合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
【答案】 等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立
【分析】本题考查了解一元一次方程，根据等式的基本性质1和等式的基本性质2即可求解，熟练掌握解
方程的一般步骤是解题的关键．
【详解】解：去括号，得 ．
移项，得 ．依据：等式的基本性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式
仍成立，
合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ，
故答案为：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立； ．
7．（23·24七年级上·河北张家口·期中）如果用c表示摄氏温度 ，用f表示华氏温度 ．根据表中数
据，写出c的值为 ，f的值为 ．
c与f之间的关系是：
c
f
【答案】 20 32
【分析】把 代入 可得 的值，把 代入 可得 的值，从而可得答案．
【详解】解：∵c与f之间的关系是： ，当 时，则 ，
当 时， ，
解得： ．
故答案为： ， ；
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解一元一次方程，理解题意，将 的值或 的值代入得到一元
一次方程是解题的关键．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（22·23七年级下·河南鹤壁·期末）下列方程的变形正确的是（ ）
A． ，去分母，得
B． ，去括号，得
C． ，移项，得
D． ，系数化为1，得
【答案】D
【分析】逐项方程整理得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、将方程 ，去分母，得： ，错误，A选项不符合题意；
B、将方程 ，去括号，得 ，B错误，选项不符合题意；
C、将方程 ，移项，得 ，C错误，选项不符合题意；
D、将方程 ，系数化为 ，得 ；符合题意；
故选： ．
【点睛】此题考查了解一元一次方程的步骤，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键．
2．（22·23七年级上·山东临沂·期末）下列方程的变形中，正确的是（ ）
A．方程 ，移项得
B．方程 ，去括号得C．方程 ，可化为
D．方程 ，可化为
【答案】C
【分析】将下列解方程按照合并同类项、去括号、同时扩大的方法整理方程即可判断正确选项.
【详解】解： 选项：方程 两边同时减 得， ，不符合题意；
选项：方程 去括号得 ，不符合题意；
选项：方程 两边同时乘10得， ，符合题意；
选项：将方程 分母化整数，得 ，不符合题意.
故答案选： .
【点睛】本题考查了一元一次方程计算，熟练掌握一元一次方程式解本题的关键.本题化简方程时容易忽略
分母扩大，分子并未扩大导致解方程出错.
3．（20·21七年级下·山东枣庄·期中）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律， 的值
为（ ）
A．135 B．153 C．169 D．170
【答案】D
【分析】结合题意，根据数字规律的性质，分别计算正方形中四个数字的规律，即可得到答案．
【详解】第一个正方形左上角数字为：1
第二个正方形左上角数字为：2
第三个正方形左上角数字为：3
…
第n个正方形左上角数字为：n；
第一个正方形右上角数字为：
第二个正方形右上角数字为：第三个正方形右上角数字为：
…
第n个正方形右上角数字为：
∵题干中最后一个正方形右上角为：18
∴
∴
∴题干中最后一个正方形为第八个正方形；
第一个正方形左下角数字为：
第二个正方形左下角数字为：
第三个正方形左下角数字为：
…
第n个正方形左下角数字为：
第八个正方形左下角数字为：9；
第一个正方形右下角数字为：
第二个正方形右下角数字为：
第三个正方形右下角数字为：
…
第n个正方形右下角数字为：
∵
∴第8个正方形右下角数字为：
故选：D．
【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、代数式、有理数混合运算、一元
一次方程的性质，从而完成求解．
4．（23·24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程变形正确的是（ ）
A．方程 移项得
B．方程 化成
C．若 ，则D．方程 ，去括号，得
【答案】B
【分析】各项中方程变形得到结果，即可做出判断．
【详解】解：A、方程 ，移项得 ，错误，故本选项不符合题意；
B、方程 化为 ，即 ，即 ，正确，故本选项符合题意；
C、方程 ，则 错误，因为当 时，x、y不一定相等，故本选项不符合题意；
D、方程 ，去括号，得 ，错误，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求
出解．
5．解方程 ，有以下四个步骤：
①去括号，得
②移项，得
③合并同类项，得
④系数化为1，得
经检验知： 不是原方程的解，这说明解题的四个步骤有错，其中做错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】解决此题应先去括号，再移项，移项时要注意符号的变化．
【详解】解： ，
①去括号得： ，
②移项得： ，
③合并同类项，得
④系数化为1，得
可知所给的4个步骤中从第②步开始出现错误，
故选B．【点睛】本题考查解一元一次方程的一般步骤，解题的关键是移项时要注意符号的变化．
6．（23·24七年级上·福建龙岩·阶段练习）求 的值，可令 ，
则 ，因此 ．仿照以上推理，计算出 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 ，则 ，运用等式性质，得
．
【详解】解：令 ，则
，
∴ ．
∴ ．
故选：D
【点睛】本题考查等式的性质，乘方运算，一元一次方程求解；理解等式的性质是解题的关键．
7．（22·23七年级上·河北保定·期末）若 、 表示非零常数，整式 的值随 的取值而发生变化，如
下表，则关于 的一元一次方程 的解为（ ）
…
0 1 3
…
…
1 3 5 9
…
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将关于x的一元一次方程 化为 ，然后根据表格得出当 时， ，
即可求出关于x的一元一次方程 的解．
【详解】解：关于x的一元一次方程 可化为 ，
由表格可知，当 时， ，
∴关于x的一元一次方程 的解为 ．
故选：C．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是将关于x的一元一次方程 化为
．
8．（22·23七年级下·河南周口·阶段练习）我们规定，对于任意两个有理数 ， 有 ，如
．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】B
【分析】根据规定的运算法则可得关于a的方程，解方程即得答案．
【详解】解：因为 ，
所以 ，
解得： ；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的求解，正确理解规定的运算法则是解题关键．
9．（22·23七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知整数a使关于x的方程 有整数解，则符
合条件的所有a值的和为（ ）
A．﹣8 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣1
【答案】A
【分析】先求出方程的解是 ，根据方程有整数解和 为整数得出 或 或
或 ，求出 的值，再求出和即可．
【详解】解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
当 时， ，整数 使关于 的方程 有整数解，
或 或 或 ，
解得： 或 或 或0，
和为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的整数解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关
键．
10．已知关于x的方程 的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（ ）
A．8 B． C．12 D．
【答案】A
【分析】求得方程的解 ，根据解是正整数，分类计算即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵方程 的解是正整数，
∴ ，
解得
∴积为 ，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法及其特殊解，正确理解整数解的意义是解题的关键．
二、填空题
11．已知关于 的一元一次方程 的解为 ，那么关于 的一元一次方程的解为 ．
【答案】2024
【分析】根据关于x的一元一次方程的解，可以得到m的值，把m的值代入关于y的方程式中，可以得到
y的解．
【详解】法一：∵ 的解为 ，
∴ ，
解得： ，
∴方程 可化为
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2024．
法二：将所求方程两边同乘-1，
对照
比较发现，
x=y-5,而x=2019,
所以y=2024
【点睛】本题考查了已知一元一次方程的解求参数，整体代换解一元一次方程，掌握整体代换的思想是解
题的关键．
12．（23·24上·全国·课堂例题）小勤解方程 的过程如下：解：去分母（方程两边乘10），得 ． ①
去括号，得 ． ②
移项、合并同类项，得 ． ③
系数化为1，得 ． ④
小勤解答过程中错误步骤的序号为 ．
【答案】 /
【分析】①去分②母②与①去括号有误，错误原因是：去分母时各项都要乘以10，而不含分母的项5漏乘了10；去
括号时42没有变号．
【详解】解：去分母（方程两边乘10），得 ． ①
去括号，得 ． ②
移项、合并同类项，得 ． ③
系数化为1，得 ． ④
小勤解答过程中错误步骤的序号为①②，
故答案为：①②．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．（22·23七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知m，n为定值，且无论k为何值，关于x的方程
的解总是 ，则 ．
【答案】6
【分析】先去分母，把方程化为 ，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即
可．
【详解】解： ，
方程两边都乘6，去分母得
，
整理得： ，
∵无论k为何值，方程的解总是 ，
∴ ， ，解得： ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据方程的解与k无关，则k的系数为0列出方程是解题的关键．
14．（22·23七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若定义一种新的运算，规定 ，且 与
互为倒数，则 ．
【答案】6
【分析】直接根据题意列式一元一次方程求解即可．
【详解】解：由题意可知： ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了新定义下的一元一次方程，根据新定义正确列出方程是解题的关键．
15．小亮解方程 ，去分母时，方程右边的 忘记乘 ，求出的解是 ，则 的值是
.
【答案】1
【分析】由题意可得： 是方程 的解，然后代入方程求解即可.
【详解】解：由题意可得： 是方程 的解，
则 ，
解得： ；
故答案为：1.
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，正确理解题意、熟练掌握解一元一次方程的步
骤和方法是解题的关键.16．（22·23七年级上·江苏盐城·期末）对于两个数 ， ，我们规定用 表示这两个数的平均数，用
表示这两个数中最小的数，例如： ， ，如果
，那么 ．
【答案】
【分析】根据新定义直接列方程求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ；
【点睛】本题考查新定义运算，解题的关键是读懂新定义，根据新定义直接列方程求解．
17．方程 的解是 .
【答案】1010
【分析】方程左边整理后，利用折项法变形，计算即可求出解.
【详解】∵
∴方程整理为：
即
即
化简得， ，即
整理得，
解得，
故答案为：1010.
【点睛】此题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐
渐向x=a的形式转化.
18．已知数列 ，记第一个数为a ，第二个数为a ，…，第n个
1 2
数为a ，若a 是方程 (1－x)＝ (2x＋1)的解，则n＝ ．
n n
【答案】325或361
【详解】解：
两边同乘以21得：7－7x=12x+6
解得：x=
∴an=
分析数列如下：
（分母为1时，1个数）
， ， （分母为2时，3个数）
以此类推，分母为3时，有5个数，分母为4时，有7个数，分母为5时，有9个数，分母为6时，有11
个数，分母为n时，有2n-1个数．当分母为19时，一共有：1+3+…+（2×19-1）=361，361－2×18=325．故
n=325或361．
点睛：题目设计新颖，考查学生的观察能力和处理问题能力，特别注意 会在两个位置出现，因此n值会
有两个解．
三、解答题
19．（23·24七年级上·重庆綦江·期中）在解含有字母系数的方程时，常常将字母系数看作已知数，然后利
用解方程的步骤和方法求解，所得的未知数的值常常是含有字母的代数式.
例如：解关于x的一元一次方程 其中
解：移项：合并同类项：
因为 ，所以 ，
化系数为1，两边同除以 ，得：
(1)请仿照上面的方法解关于x的方程：
(2)关于x的方程 ，其中 ，方程的解为正整数，求符合条件的k的整数值．
【答案】(1)
(2)0或1或3
【分析】（1）先移项，合并同类项，然后将未知数系数化为1即可；
（2）先解方程得出 ，然后再根据方程的解为正整数，求出整数k的值即可．
【详解】（1）解： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
（2）解： ，
移项，合并同类项得： ，
∵其中 ，
∴ ，
系数化为1得： ，
∵方程的解为正整数，∴整数 或1或3．
20．（23·24七年级上·广东广州·期中）已知代数式
，其中 为常数，当 时，
时， ．
(1)求 的值；
(2)关于 的方程 的解为 ，求 的值．
(3)当 时，求式子 的值．
【答案】(1)1
(2)
(3)3
【分析】（1）将 时， 代入代数式A，然后再化简即可解答；
（2）将 代入方程得到： ，再将 时 代入代数式B得到：
，然后将上面两个等式通过整理变形即可求出k值；
（3）先分别求出A、B、E，再代入所求的代数式计算即可．
【详解】（1）解：将 时， 代入代数式A，可得： ，即 ．
（2）解：由题意可知：当 时，
，
整理得 ①，
将 时 代入代数式B得到： ，
整理得： ②，
将②式代入①中可得： ，
整理得 ，解得： ．
（3）解：∵ ， ，
∴ ，整理得： ，∵ ，
∴
∴当 时， ，
， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了整式的加减涉及到一元一次方程的解等知识点，掌握整体思想成为解答本题的关
键．
21．（23·24七年级上·江苏南京·阶段练习）课堂上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫☆运算．”老
师根据规律，写出了几组按照☆运算法则进行运算的式子：
第一组： ； ；
第二组： ； ；
第三组： ； ； ； ．
小明说：我知道老师定义的☆运算法则了，聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳☆运算法则：
(1)归纳☆运算法则，填写下列空白部分：
①同号两个数进行☆运算时，结果的符号为负，数值部分取绝对值相加；
②异号两个数进行☆运算时，____________；
③特别地，0和任何数进行☆运算，或是任何数和0进行☆运算都等于______；
(2)填空： ______； ______；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)结果的符号为正，数值部分取绝对值相加；该数的绝对值
(2) ；
(3) 或1
【分析】（1）从题中分别观察同号运算，异号运算，以及与0进行运算时的结果，进行总结即可；
（2）结合新定义的运算法则，求解即可；（3）分 为负数、 为正数和 为0三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：归纳☆运算法则，填写下列空白部分：
①同号两个数进行☆运算时，结果的符号为负，数值部分取绝对值相加；
②异号两个数进行☆运算时，结果的符号为正，数值部分取绝对值相加；
③特别地，0和任何数进行☆运算，或是任何数和0进行☆运算都等于该数的绝对值．
故答案为：结果的符号为正，数值部分取绝对值相加；该数的绝对值；
（2） ；
．
故答案为： ； ；
（3）若 为负数，即 ，
则有 ，
解得 ；
若 为正数，即 ，
则有 ，
解得 ；
若 为0，
则有 ，
解得 ，不符合题意，舍去．
综上所述， 的值为 或1．
【点睛】本题主要考查了新定义运算、有理数运算、化简绝对值以及解一元一次方程等知识，理解新定义
的运算是解题关键．
22．（22·23七年级上·湖南长沙·期末）小美喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，她给出一个定义：
若 是关于 的一元一次方程 的解， 是关于 的方程的所有解的其中一个解，且 ，
满足 ，则称关于 的方程为关于 的一元一次方程的“小美方程”．例如：一元一次方程的解是 ，方程 的所有解是 或 ，当 ， ，所以 为一
元一次方程 的“小美方程”．
(1)已知关于 的方程： 是一元一次方程 的“小美方程”吗？________（填“是”或
“不是”）；
(2)若关于 的方程 是关于 的一元一次方程 的“小美方程”，请求出 的值；
(3)若关于 的方程 是关于 的一元一次方程 的“小美方程”，求出
的值．
【答案】(1)是
(2)
(3)
【分析】（1）先化简绝对值得到 ，再解 求出 ，最后计算作答即可；
（2）先分别解方程求出 ， ，再根据“小美方程”的定义计算即可；
（3）先根据题意得到 ，再由 得到 ，解得 ，将
代入 整理得到 ，最后计算即可．
【详解】（1）由 得， ；
解 得： ，
而 ，
所以 是一元一次方程 的“小美方程”，
故答案为：是；
（2）解：∵
解得： ；对于 ，解得 ；
由题意，当 时， ，解得： ；
（3）解：由题意， ，即
由 得： ，
所以 ，
则 ，
把上式代入 中，整理得： ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的解法，正确理解“小美方程”是解题的关键．
23．（22·23七年级上·浙江金华·阶段练习）我们规定：若关于x的一元一次方程 的解为 ，则
称该方程为“和解方程”．例如：方程 的解为 ，而 ，则方程 为“和解方
程”．
请根据上述规定解答下列问题：
(1)下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 ．
① ；② ；③ ．
(2)已知关于x的一元一次方程 是“和解方程”，求m的值；
(3)若关于x的一元一次方程 和 都是“和解方程”，求代数式 的值．
【答案】(1)②
(2)
(3)32
【分析】（1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可；
（2）先解方程得出方程的解，再根据和解方程的含义建立方程即可求得答案；（3）根据和解方程得出方程的解与 ，再整体代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：① ＝ 的解是 ，
∵ ，
∴①不是“和解方程”；
② 的解是 ，
∵ ，
∴②是“和解方程”；
③ 的解是 ，
∵ ，
∴③不是“和解方程”；
故答案为：②．
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 即 是“和解方程”，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ，
而 是“和解方程”，
∴ ，∴ ，（①式）
∵ ，
∴ ，
而 是“和解方程”，
∴ ，
∴ ，（②式），
由①-②得： ，
∴
．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的应用，新定义运算，求解代数式的值，正确理解新定义再建立新
的方程求解是解题的关键．
24．（22·23七年级上·广东广州·期末）对于有理数 ， ， ， ，若 ，则称 和 关于
的“清湾值”为 ．例如， ，则2和3关于1的“清湾值”为3
(1) 和5关于1的“清湾值”为______；
(2)若 和2关于1的“清湾值”为4，求 的值；
(3)若 和 关于1的“清湾值”为1， 和 关于2的“清湾值”为1， 和 关于3的“清湾值”为
1，…， 和 关于100的“清湾值”为1
① 的最大值为______；② 的值为______（用含 的式子表示）
【答案】(1)
(2) 或 ；
(3)①3；② 或 ．
【分析】（1）根据“清湾值”的定义直接列式计算即可；
（2）根据“清湾值”的定义可得 ，再解方程即可；
（3）①根据题意列出方程 ，再分为四种情况：当 ， 时，当 ， 时，
当 ， 时，当 ， 时；再根据绝对值的性质，把绝对值方程转化为常规方程进行解答便
可； ②先根据已知条件求出 ， ， ，…， 的取值范围，再根据绝对值的性质求得 ， ， ，
…， 与 的关系，便可求得结果．
【详解】（1）解： 和5关于1的“清湾值”为：
；
（2）
∵ 和2关于1的“清湾值”为4，
∴ ，
整理得： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ；
（3）①根据题意得， ，
分为四种情况： 当 ， 时，有 ，则 ；当 ， 时，有 ，则 ，得 ；
当 ， 时，有 ，则 ，得 ；
当 ， 时，有 ，则 ；
由上可知， 的最大值为3；
②∵ ，
∴ ， 都不为负数，
分为3种情况，
当 ，时 ， ， ， ，
此时 ．
当 时， ，则， ，此种情形不存在．
当 时， ， ，…， ，
∴ ， ，…， ，
∴ ，即 ； ，即 ；
同理可得： ，…， ，
∴ ， ， ，…， ，
∴
．
当 ， 时，∴ ， ， ， ，
此时 ， ， ， ， ，
∴ ， ， ， ；
∴
．
，
综上所述： 的值为 或 ，
【点睛】本题主要考查一元一次方程的综合运算能力，绝对值的化简，理解“清湾值”的概念是解决此题
目的关键．
25．先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题.
例：解绝对值方程： .
解：讨论：①当 时，原方程可化为 ，它的解是 ；
②当 时，原方程可化为 ，它的解是 .
原方程的解为 或 .
（1）依例题的解法，方程算 的解是_______；
（2）尝试解绝对值方程： ；
（3）在理解绝对值方程解法的基础上，解方程： .
【答案】（1）x=6或x=-6；（2）x=5或x=-1；（3）x=0或x=3.【分析】(1)分两种情况 ： 、 时，去绝对值符号解方程即可；
(2)分两种情况： 、 时，去掉绝对值符号得到关于x的方程，解方程即可；
(3)分三种情况：、 、 、x＞2时，去绝对值符号解方程即可.
【详解】(1)分两种情况：①当 时，原方程可化为 ，它的解是x=6；
②当 时，原方程可化为 ，它的解是x=-6.
∴原方程的解为x=6或x=-6.
(2)①当 时，原方程可化为2（x-2）=6，它的解是x=5；
②当 时，原方程可化为-2（x-2）=6，它的解是x=-1；
∴原方程的解为x=5或x=-1.
(3)①当 时，原方程可化为2-x+1-x=3，它的解是x=0；
②当 时，原方程可化为2-x+x-1=3，此时方程无解；
③当x＞2时，原方程可化为x-2+x-1=3，它的解是x=3；
∴原方程的解为x=0或x=3.
【点睛】此题考查含有绝对值符号的一元一次方程的解法，先根据未知数的取值范围去掉绝对值符号得到
方程，依次解方程即可得到原方程的解.
26．（2023七年级上·全国·专题练习）小红在解方程 时，第一步出现了错误：
解： ，
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
【答案】(1)见解析
(2) ，过程见解析
【分析】（1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断；
（2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、系数化成1即可求解．
【详解】（1）如图：（2）去分母： ，
去括号： ，
移项： ，
合并同类项： ，
系数化 ．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求
出解．
