专题07有理数的除法（3个知识点5种题型1个易错点1种中考考法）（学生版）_初中数学_七年级数学上册（人教版）_常见题型通关讲解练-V3

专题 07 有理数的除法（3 个知识点 5 种题型 1 个易 错点 1 种中考考法） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.有理数除法法则（重点） 知识点2.有理数的乘除混合运算（重点） 知识点3.有理数的加减乘除混合运算（重点） 【方法二】 实例探索法 题型1.有理数的加减乘除混合运算的实际应用 题型2.与有理数相关的新定义运算 题型3.有理数混合运算的材料阅读题 题型4.有理数乘除法的创新应用 题型5.综合利用绝对值、相反数和有理数除法进行化简求值 【方法三】差异对比法 易错点.有理数除法运算中误用分配律 【方法四】 仿真实战法 考法.有理数的除法 【方法五】 成果评定法 【学习目标】 1. 了解有理数除法的意义，理解有理数除法与乘法的互逆关系。 2. 掌握有理数的除法法则，能运用法则熟练地进行有理数除法运算以及四则混合运算。 3. 通过利用有理数除法法则进行运算的过程，体会转化的数学思想。【知识导图】 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.有理数除法法则（重点） 1 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） b （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把 绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除 混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 【例1】计算 (1)(－15)÷(－3)； (2)12÷(－)； (3)(－0.75)÷(0.25)． 【变式】计算： (1)(－18)÷(－)； (2)16÷(－)÷(－)．知识点2.有理数的乘除混合运算（重点） 【例2】计算： (1)－2.5÷×(－)； (2)(－)÷(－)×(－1)． 【变式1】（2023秋·全国·七年级专题练习）计算： ． 【变式2】（2023秋·全国·七年级专题练习） ． 知识点3.有理数的加减乘除混合运算（重点） 【例3】计算： ． 解法1：原式 ① ② ③ 解法2：原式 ① ② ③ (1)解法1是从第______步开始出现错误的；解法2是从第______步开始出现错误的；（填写序号即可）(2)请给出正确解答． 【方法二】实例探索法 题型1.有理数的加减乘除混合运算的实际应用 1．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）某水果店以每箱200元的价格从 水果批发市场购进20箱樱桃．若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为 负数，称重的记录如下表： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 箱数 1 4 3 4 5 3 (1)这20箱樱桃质量相差最大是多少千克？ (2)这20箱樱桃的总质量是多少千克？ (3)水果店购进这批樱桃需要付运费100元，要把这些樱桃全部以零售的形式卖掉，并按照全部销售后获得 利润为成本的 作为销售目标制定零售价，若第一天水果店以该零售价售出了总质量的 ，第二天因 害怕剩余的樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃按原零售价的七折售完，请计算该水果店在销售这批樱桃的 过程中共盈利或亏损多少元？（提示：成本＝总进价＋运费） 2．（2022秋·江苏盐城·七年级统考期中）为常态化开展社会人群核酸检测工作，我市在人群密集、流动量 大的区域布局了健康小屋（便民核酸采样点）．某采样点计划每天完成 人次的核酸采样，实际每天采样的数量相比有出入，下表是十月份某一周该采样点的实际采样人次（超过为正，不足为负，单位：人 次） 星 一 二 三 四 五 六 七 期 增 减 (1)根据记录可知该采样点前三天共完成了多少人次的核酸采样？ (2)采样人次最多的一天比采样人次最少的一天多了多少人次？ (3)该采样点采用十人混检的方式收集核酸样本（将 个人的样本采集后放到同一根采样管中进行检测）， 该采样点在这周至少需要多少根采样管？ 题型2.与有理数相关的新定义运算 3．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）对于有理数a、b，定义运算“ ”如下： ， 试比较大小 (填“＞”“＜”或“＝”)． 4．（2022秋·安徽·七年级校考阶段练习） 是新规定的一种运算法则： ，例如 ． (1)求 的值； (2)求 的值．题型3.有理数混合运算的材料阅读题 5．阅读下题的计算方法：  1  2 3 7      计算： 24 3 4 8 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 2 3 7  1  2 3 7 解：       (24)16182119 3 4 8  24 3 4 8 1 所以原式 19  1   1 2 9 3 根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：       20  4 5 10 2 6．阅读下题的计算方法：  1  2 3 7      计算： 24 3 4 8 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 2 3 7  1  2 3 7 解：       (24)16182119 3 4 8  24 3 4 8 1 所以原式 19  1   1 2 9 3 根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：       20  4 5 10 2题型4.有理数乘除法的创新应用 7．（2022秋·江苏南京·七年级南师附中树人学校校考阶段练习）如图A在数轴上所对应的数为 ． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运 动，当点A运动到 所在的点处时，求A，B两点间距离． (3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点以原来的速度沿数轴向左运动时，经过多长时间A、B两点相 距4个单位长度． 8．（2022秋·安徽淮北·七年级校考期中）如图， 7 2 5 1 (1)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相乘，则乘积的最大值是_______ (2)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相除，则商的最小值是 ， (3)若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法，写出一个运算式，使四个数字的计算结果为24，你选取 的数为______________，算式为___________________ 题型5.综合利用绝对值、相反数和有理数除法进行化简求值 9．（2022秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）已知对于非零有理数 ，当 时， ，当 时， 请根据上面的知识解答下面的问题： (1)已知 ， ， 是非零有理数，满足 ，求 的值． (2)已知 ， ， 是非零有理数，满足 且 ，求 的值．10．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，且 ，又b，c互为相反数． (1)求a，b，c的值． (2)若有两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发相向而行，甲的速度为6个单位/秒，乙的速度为4 个单位/秒，当两只蚂蚁在数轴上点m处相遇时，求点M表示的数． (3)若将（2）的条件改为同向而行，其余条件都不变，求点M表示的数． 11．（2023秋·全国·七年级专题练习）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知 ， 是有理数，当 时，则 _______；当 时，则 _______． (2)已知 ， ， 是有理数， ， ，求 的值． (3)已知 ， ， 是有理数，当 时，求 的值．12．（2023秋·全国·七年级专题练习）（1）若 ， ；若 ， ； （2）若 ，则 ＝ ； （3）若 ，则 ． 13．（2023秋·全国·七年级专题练习）如果a，b，c是非零有理数，求式子 的所有可 能的值． 14．（2022秋·湖北武汉·七年级统考期中）（1）根据 是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列 问题． ① 取何值时， 的值最小，最小值是多少？ ② 取何值时， 的值最大，最大值是多少？ （2）已知若 ，则 ，即 ，若 ，则 ，即 ，如果 、 、 是有理 数，且 ， 时，求 的值． 15．（2022秋·湖南长沙·七年级统考期中）若 ， 互为相反数， ， 互为倒数， 的绝对值为5． (1)直接写出 ， ， 的值； (2)求 的值．16．（2022秋·浙江金华·七年级期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简 时，可以这样分类：当 时， ；当 时， ；当 时， ，请用这种方法解决下列问题． (1)当 时，分别求 的值； (2)已知 是有理数，当 时，试求 的值； (3)已知 是有理数，当 时，试求 的值． 17．（2022秋·河南商丘·七年级校考阶段练习）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示， （1）用“>”或“<”填空： _________0，ac_________0，abc_________0， ____________0 ． （2）求代数式 的值．【方法三】差异对比法 易错点.有理数除法运算中误用分配律 18．（2023秋·江苏·七年级专题练习）观察下列解题过程． 计算： ． 解：原式＝ ＝ ＝ ＝2 你认为以上解题是否正确，若不正确，请写出正确的解题过程． 6 19．小军在计算(42 )6时，使用运算律解题过程如下： 7 6 6 1 1 6 1 1 6 解：(42 )6(42 ) 42   7 6 ． 7 7 6 6 7 6 7 7 他的解题过程是否正确？如果不正确，请你帮他改正． 5 71 8 20．学习了有理数的运算后，薛老师给同学们出了这样一道题目：计算： ，看谁算得又对又快 16 .两名同学给出的解法如下： 1151 9208 1  8 575 小强：原式 16 16 2  15 15 1 小莉：原式71 8718 8575  16 16 2 （1）对于以上两种解法，你认为谁的解法最好？理由是什么？对你有何启发？ （2）此题还有其他解法吗？如果有，用另外的方法把它解出来？ 21．（2023秋·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：计算 ． 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式 ． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算： 【方法四】 仿真实战法考法.有理数的除法 22．（2020•山西）计算（﹣6）÷（﹣ ）的结果是（ ） A．﹣18 B．2 C．18 D．﹣2 23．（2022•玉林）计算：2÷（﹣2）＝ ． 【方法五】 成果评定法 一、单选题 1．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）与 结果相同的是（ ） A． B． C． D． 2．（2022秋·河北廊坊·七年级校联考期中）计算 的结果为（ ） A． B．1 C． D．4 3．（2022秋·河北廊坊·七年级校联考期中）等式 中，“ ”表示的数是（ ） A． B． C． D． 4．（2022秋·湖南岳阳·七年级校考期中）计算 ，结果正确的是( ) A． B． C． D． 5．（2022秋·河南许昌·七年级校考阶段练习）a，b，c的大小关系如图所示，则 的值是 （ ） A． B． C．1 D．3 6．（2023秋·全国·七年级专题练习）与 互为倒数的是（ ）A． B． C． D． 7．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知a，b，c，d都是负数，且 ， 则 的值（ ） A．负数 B．0 C．正数 D．负数或0 8．（2022秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）设a、b、c为不为0的有理数，则 ，化简的 结果有（ ）种不同的取值． A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）下列等式或不等式中：① ；② ；③ ；④ ，表示a、b异号的个数有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（2022秋·山西忻州·七年级校考期中）a是不为2的有理数，我们把 称为a的“哈利数”．如：3 的“哈利数”是 ＝﹣2，﹣2的“哈利数”是 ，已知a＝3，a 是a 的“哈利数”，a 是a 1 2 1 3 2 的“哈利数”，a 是a 的“哈利数”，…，依此类推，则a ＝（ ） 4 3 2019 A．3 B．﹣2 C． D． 二、填空题 11．（2023春·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考开学考试）设 为非零有理数， 的最 大值是 ，最小值是 ，则 ． 12．（2023秋·新疆和田·七年级和田市第三中学校考期末）已知 ．且 ，则 的值等于 ． 13．（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）若规定“ ”是一种数学运算符号，且，．．．，则 的值为 ． 14．（2021秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）计算： 的结果为 ． 15．（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）计算 16．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）已知三个有理数 、 、 ，其积是负数，则 ． 17．（2021秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考开学考试）已知有理数 ， ， 在数轴上的位置 如图所示，则 0（填“＞”“＜”或“＝”）． 18．（2023秋·江苏·七年级专题练习）若有理数a，b满足 ，则 的值为 ． 19．（2023秋·全国·七年级专题练习）计算： ． 20．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）对于有理数a、b，定义运算“ ”如下： ，试比较大小 (填“＞”“＜”或“＝”)． 三、解答题 21．（2023秋·浙江·七年级专题练习）计算： ． 22．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）23．（2023秋·全国·七年级专题练习）计算： ． 24．（2022秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）计算： 圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．如果被污染的数字是 ，请计算 ． 下面是圆圆同学计算一道题的过程： ． 圆圆同学这样算正确吗？如果正确，请解释理由；如果不正确，请你写出正确的计算过程． 25．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）用常规方法计算 时比较麻烦，小东想了一个办法：先将该式的被除数和除数交换位置，先算出 后，再利用倒数意义求出算式 你认为小东的方法正确吗？若正确，请用这种方法计算 ．若不 正确，请说明理由． 26．（2022秋·甘肃陇南·七年级校考期中）如果对于任何有理数 定义运算“ ”如下： ，如 ，求 的值． 27．（2023秋·全国·七年级专题练习）若x是不等于1的实数，我们把 称为x的差倒数，如2的差倒数 是 ，-1的差倒数为 ，现已知 ， 是 的差倒数， 是 的差倒数， 是 的差 倒数，…，依此类推． （1）分别求出 ， ， 的值； （2）计算 的值； （3）计算 的值．28．（2023秋·全国·七年级专题练习）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道 ，所以当 时， ；当 时， ，现在我们可以用这个结论来解决下面问题： （1）已知 ， 是有理数,当 时，求 的值； （2）已知 ， ， 是有理数，当 ，求 的值； （3）已知 ， ， 是有理数， ， ，求 的值.