文档内容
专题 05 有理数的减法（3 个知识点 7 种题型 1 个易
错点 2 种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.有理数的减法法则（重点）
知识点2.有理数的加减混合运算（难点）
知识点3.省略加号的和式的写法读法
【方法二】 实例探索法
题型1.有理数的加减混合运算
题型2.绝对值与有理数的减法的综合问题
题型3.利用有理数减法求数轴上两点间的距离
题型4.利用数轴信息进行有理数的加减运算
题型5.新定义运算问题
题型6.有理数的加减在实际生活中的应用
题型7.规律探究创新题
【方法三】差异对比法
易错点.混淆有理数减法中的运算符号和性质符号
【方法四】 仿真实战法
考法1.有理数的减法
考法2.有理数减法的实际应用
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 掌握有理数减法的运算法则，理解减法法则与加法法则的关系，体会转化的思想方法。2. 能熟练地进行有理数的减法运算，会进行有理数的加减混合运算，会解决简单的实际问题。
3. 能将和式中的括号和加号省略，并利用加法运算律进行相关计算。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.有理数的减法法则（重点）
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号
（减数变相反数）；
【注意】：
在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
【例1】 计算：(1)(－32)－(+5)； (2)(+2)－(－25)．
【答案与解析】法一：
法二：（1）原式=－32－5=－32+（－5）=－37；（2）原式=2+25=27
【变式1】(1)2－(－3)； (2)0－(－3.72)－(+2.72)－(－4)； (3) ．
【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算．(1)2－(－3)＝2+3＝5 (2)原式＝0+3.72+(－2.72)+4＝(0+4)+(3.72－2.72)＝4+1＝5
（3）原式=
【变式2】根据如图所示的计算机程序，若输入的值为x=12，则输出的值为_________．
【答案】
【详解】因为 ，
所以将 代入 得： ，
知识点2.有理数的加减混合运算（难点）
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的
形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
【例2】计算：(1)－9.2－(－7.4)＋9＋(－6)＋(－4)＋|－3|；
(2)－14＋11－(－12)－14＋(－11)；
(3)－－(－)＋(－)．
解：(1)－9.2－(－7.4)＋9＋(－6)＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2＋(－6.4)＋(－4)＋|－3|＝－9.2
＋7.4＋9.2－6.4－4＋3＝(－9.2＋9.2)＋(7.4－6.4)－4＋3＝0＋1－4＋3＝0；
(2)－14＋11－(－12)－14＋(－11)＝－14＋11＋12－14－11＝(－14＋12)＋(11－11)－14＝－2＋0－14
＝－16；
(3)－－(－)＋(－)＝－＋－＝(＋)＋(－－)＝1＋(－)＝.
【变式】（2022秋·浙江·七年级专题练习）计算：
(1)4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6）
(2)3 ）+5 +（﹣8 ）；
(3)2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2）
(4)﹣0.6﹣0.08+ ﹣2 ﹣0.92+2 ．【答案】(1)0.1
(2)﹣2.5
(3)﹣8
(4)﹣1.2
（1）解： 4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6）
＝4.7+8.9﹣7.5﹣6
＝13.6﹣13.5
＝0.1；
（2）
解：3 ）+5 +（﹣8 ）
＝3 ﹣2 +5 ﹣8
＝3 +5 ﹣2 ﹣8
＝8.5﹣11
＝﹣2.5；
（3）
解：2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2）
＝2.7﹣8.5﹣3.4+1.2
＝3.9﹣11.9
＝﹣8；
（4）
﹣0.6﹣0.08+ ﹣2 ﹣0.92+2
＝﹣0.6+0.4﹣0.08﹣0.92﹣2 +2
＝﹣0.2﹣1
＝﹣1.2．
知识点3.省略加号的和式的写法读法
（1）把算式中的减法转化为加法；
（2）去括号时注意符号，能省掉的“ ”号要省掉；
（3）多观察，巧妙利用运算律简便计算．【例3】将下列式子写成省略括号和加号的形式，并用两种读法将它读出来．
(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)
解：(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)＝－13＋7－21－9＋32.
读法①：负13、正7、负21、负9、正32的和；
读法②：负13减去负7减去21减去9加上32.
【方法二】实例探索法
题型1.有理数的加减混合运算
1．计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)3；
(2) ；
(3) ．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；（3）解：
．
2．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
题型2.绝对值与有理数的减法的综合问题
3．有理数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，化简式子： ______．
【答案】
【详解】由数轴可得：c＜a＜0＜b，∴a-c＞0，a-b＜0，2a＜0，
∴|a-c|-|a-b|+|2a|
=a-c+a-b-2a
=-c-b．
故答案为：-c-b．
4.已知 ，求 的值．
【答案】
【详解】∵ ， ， ，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ．
5.在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：
．
(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式；
① ______；
② ______；
③ =______；
(2)用合理的方法计算： ；
(3)用简单的方法计算： ．
【答案】(1)① ；② ；③ ；
(2)(3)
【详解】（1）① ；
② ；
③ ；
故答案为：① ；② ；③ ；
（2）原式
；
（3）原式
= ．
6.某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中
十次行驶纪录如下（单位： ）．
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 第九次 第十次
(1)最后他们是否回到出发点A？若没有，则他们停留在A地的什么方向？距离A地多远？
(2)在第 _________次纪录时距A地最远．
(3)若每千米耗油0.08升，问共耗油多少升？
【答案】(1)他们没有回到出发点A，停留在A地东边 处
(2)五
(3)共耗油5.6升
【详解】（1）解： ．答：他们没有回到出发点A，停留在A地东边 处；
（2）解：第一次： ；
第二次： ；
第三次： ；
第四次： ；
第五次： ；
第六次： ；
第七次： ；
第八次： ；
第九次： ；
第十次： ．
∴在第五次纪录时距A地最远．
故答案为：5；
（3）解：
（升）．
答：共耗油5.6升．
题型3.利用有理数减法求数轴上两点间的距离
7．如图，数轴上一点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，若点C表示
的数为1，则A点表示的数为_________________．【答案】
【分析】根据点在数轴上移动的规律：左减右加解答即可．
【详解】解：根据题意可得：点A表示的数为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查数轴上点的平移规律，解决此题的关键是熟练掌握左减右加，也考查了有理数的加减运
算．
8．数轴上点 对应的数是 ，那么与 相距2个单位长度的点 对应的数是______．
【答案】 或
【分析】此题注意考虑两种情况：当点在A点的左侧时，用减法，当点在A点的右侧时，用加法，即可得
出结果．
【详解】解：在A点左边与A点相距2个单位长度的点所对应的有理数为 ；
在A点右边与A点相距2个单位长度的点所对应的有理数为 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
9． “数形结合”是重要的数学思想．如： 表示3与 差的绝对值，实际上也可以理解为3与
在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B所对应的数分别用a，b表示，那
么A，B两点之间的距离表示为 ．利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上 和5这两点之间的距离为 ．
(2)若x表示一个实数， 的最小值为 ．
(3)直接写出所有符合条件的x，使得 ，则x的值为 ．
【答案】(1)7
(2)6
(3) 或3
【详解】（1） ．
故答案为：7；（2） 表示x到 和4的距离之和，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
故 最小值为6．
故答案为：6；
（3） 表示x到 和4的距离之和等于9，
时， ，
当 时， ；
当 时， ．
故答案为 或3．
10.已知数轴上 、 两点所对应的数分别是 和 ， 为数轴上任意一点，对应的数为 ．
（1）则 、 两点之间的距离为________；
（2）式子 的最小值为________．
【答案】2； ．
【详解】（1） 、 两点之间的距离为3-1=2，
故答案为：2；
（2）由已知条件可知， 表示数x到数 的距离，
只有当x到1的距离等于x到2019的距离时，式子即可取最小值，
当 时， 取最小值，
最小值为：
题型4.利用数轴信息进行有理数的加减运算
11．邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行2km到达A村，继续向西骑行3km到达B村，然后向东骑行9km
到达C村，最后回到邮局．(1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，以1个单位表示1km，在该数轴上表示A，B，C三个村庄的位置；
(2)C村离A村有多远？
(3)邮递员一共骑行了多少千米？
【答案】(1)答案见解析
(2)6千米
(3)18千米
【详解】（1）解：
（2）解： 村离 村的距离为 ；
（3）解：邮递员一共行驶了 （千米）．
12.如图，是北京S1线地铁的分布示意图，其中桥户营、四道桥、金安桥、苹果园四站在同一条直线上．
如果在图中以正东为正方向建立数轴，桥户营站、苹果园站表示的数分别是 ，2，那么金安桥站表示的
数是___________．
【答案】0
【详解】∵桥户营站、苹果园站表示的数分别是 ，2，
∴桥户营站与苹果园站的距离是2-（-4）=6，
∵桥户营站与苹果园站之间共有三个单位长度，
∴每个单位长度表示 ，
∴金安桥表示的数是2-2=0，
故答案为：0．
题型5.新定义运算问题
13．（2022秋·重庆·七年级校考阶段练习）阅读材料寻找共同存在的规律：有一个运算程序a⊕b＝n可以使
（a+c）⊕b＝n+c，a⊕（b+c）＝n﹣2c，如果1⊕1＝2，那么2020⊕2020＝ ．【答案】﹣2017
【详解】解：由（a+c）⊕b＝n+c，a⊕（b+c）＝n﹣2c可得出，（a+c）⊕b＝a⊕b+c＝n+c，a⊕（b+c）＝
a⊕b﹣2c＝n﹣2c，
∵1⊕1＝2，
∴（1+2019）⊕1＝1⊕1+2019＝2+2019＝2021，即2020⊕1＝2021．
又∵2020⊕（1+2019）＝2020⊕1﹣2×2019＝2021﹣2×2019＝2021﹣4038＝﹣2017，
∴2020⊕2020＝﹣2017．
14．（2022秋•新河县校级月考）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b， ， ，将
这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，
， ，所以1，﹣2，3的“分差”为﹣ ．
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为 ；
（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，求这些不同“分差”中的最大值．
【解答】解：（1）根据题意可得：﹣2﹣（﹣4）＝2， ， ＝﹣ ，
∵﹣ ＜ ＜2，
∴﹣2，﹣4，1的“分差”为﹣ ，
故答案为：﹣ ；
（2）①这三个数的位置为：﹣2，﹣4，﹣1时，根据（1）中所求“分差”为﹣ ；
②这三个数的位置为：﹣2，1，﹣4时，
则﹣2﹣1＝﹣3， ， ＝ ，
∵﹣3＜1＜ ，
∴﹣2，1，﹣4的“分差”为﹣3；
③这三个数的位置为：1，﹣2，﹣4时，则1﹣（﹣2）＝3， ， ＝ ，
∵ ＜ ＜3，
∴1，﹣2，﹣4的“分差”为 ；
④这三个数的位置为：1，﹣4，﹣2时，
则1﹣（﹣4）＝5， ， ＝﹣ ，
∵﹣ ＜ ＜5，
∴1，﹣4，﹣2的“分差”为﹣ ；
⑤这三个数的位置为：﹣4，1，﹣2时，
则﹣4﹣1＝﹣5， ， ＝1，
∵﹣5＜﹣1＜1，
∴﹣4，1，﹣2的“分差”为﹣5；’
⑥这三个数的位置为：﹣4，﹣2，1时，
则﹣4﹣（﹣2）＝﹣2， ， ＝﹣1，
∵ ＜﹣2＜1，
∴﹣4，﹣2，1的“分差”为 ；
∵ ＞﹣ ＞﹣ ＞﹣ ＞﹣3＞﹣5，
∴这些不同“分差”中的最大值为 ．
题型6.有理数的加减在实际生活中的应用
15．小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高6分，第三次比第二次低10分，
第四次又比第三次高12分．那么这四次测验的平均成绩是（ ）
A．90分 B．85分 C． 分 D．81分
【答案】C【分析】分别计算得到每次测验的成绩，再计算四次测验的平均成绩即可．
【详解】解：第一次85分，
第二次 （分），
第三次 （分），
第四次 （分），
这四次测验的平均成绩是 （分）．
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的加减的应用，能根据题意列出算式是解此题的关键．
16．（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无
现金社会发展．下表是妈妈元旦当天的微信零钱支付明细：则元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是
（ ）
微信转账
扫二维码付
款
微信红包
便民菜站
A．收入 元 B．支出 元 C．收入 元 D．支出 元
【答案】A
【分析】根据收入记作“ ”，支出记作“ ”，收入与支出之和就是结余钱数，然后计算得出结果．
【详解】解：
（元），
∴元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是收入 元．
故选：A．
【点睛】本题考查了正负数的表示方法以及有理数的加减运算．正确理解正数与负数的相反意义是解题的
关键．
17．小明同学将2B铅笔笔尖从原点 开始沿数轴进行连续滑动，先将笔尖沿正方向滑动1个单位长度完成
第一次操作，再沿负方向滑动2个单位长度完成第二次操作；又沿正方向滑动3个单位长度完成第三次操
作；再沿负方向滑动4个单位长度完成第四次操作，…，以此规律继续操作，经过第99次操作后笔尖停留
在点 处，则点 对应的数是（ ）．A．0 B． C． D．50
【答案】D
【详解】解：规定正方向为正、负方向为负，则
，
故选：D．
18．（2023春·江苏南通·七年级南通田家炳中学校考开学考试）某一天早晨的气温是 ，中午上升了
，午夜又下降了 ，则午夜的温度是 ．
【答案】
【详解】 （ ）．
19.粮库 天内粮食进、出库的吨数记录如下表（“＋”表示进库，“ ”表示出库）：
第二 第五
时间 第一天 第三天 第四天 第六天
天 天
进、出库数量（吨） ＋25 ＋8 ＋34 22
(1)在这6天中，进库或出库的粮食数量最多的是 吨．
(2)经过这6天，粮库里的粮食是增多还是减少了？请通过计算说明．
(3)经过这6天，仓库管理员结算时发现库里还存有480吨粮食，那么6天前库里存粮多少吨？
【答案】(1)36
(2)库里的粮食是增多了41吨；
(3)6天前库里有粮439吨．
【详解】（1）解：∵ ，
∴在这6天中，进库或出库的粮食数量最多的是36吨；
故答案为：36；
（2） （吨），
答：库里的粮食是增多了41吨；
（3） （吨），
答：6天前库里有粮439吨．
20．某地的国际标准时间是指该地与格林尼治的时差．以下为同一时刻5个城市的国际标准时间（正数表
示当地时间比格林尼治时间早的时数，负数表示当地时间比格林尼治时间迟的时数）：城市 伦敦 北京 东京 多伦多 纽约
国际标准时间 0 +8 +9 -4 -5
(1)伦敦时间中午12点时，北京的当地时间是 _________ 点，纽约的当地时间是 _________ 点：
(2)某人在北京首都机场乘坐中午12点整的航班飞往伦敦，若飞行时间为12小时，则此人到达伦敦时，伦
敦的当地时间是几点?（以上时刻均用24小时制作答）
【答案】(1)20，7
(2)16点
【详解】（1） （时）， （时）；
答：北京的当地时间是20点，纽约的当地时间是7点；
（2）
（时）；
答：伦敦的当地时间是16点．
21．为了庆祝中华人民共和国成立72周年，空军航空开放活动在其机场举行，某特技飞行队做特技表演时，
其中一架J31型飞机起飞0.5km后的高度（上升记为正）变化为：+2.5km，－1.2km，+1.1km，－1.4km．
(1)求该飞机完成这四个表演动作后离地面的高度；
(2)已知飞机平均上升1km需消耗5L燃油，平均下降1km需消耗3L燃油，那么这架飞机在做完这四个表演
动作过程中，一共消耗了多少升燃油？
【答案】(1)1.5km
(2)25.8升
【详解】（1）解： （千米）；
答：飞机完成这四个表演动作后离地面的高度1.5千米；
（2）解：
（升 ，
答：一共消耗了25.8升燃油．
22．小颖大学暑假期间在某玩具厂勤工俭学．厂里规定每周工作6天，每人每天需生产A玩具30个，每周
生产180个．下表是小颖某周实际的生产情况（增产记为正、减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六增减产
值
(1)根据记录的数据可知小颖星期二生产玩具___________个；
(2)根据记录的数据可知小颖本周实际生产玩具___________个；
(3)该厂规定：每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元，少生产一个则
倒扣2元；工资采用“每日计件工资制”或“每周计件工资制”．小颖本周应选择哪种工资形式更合算？
请说明理由 ．
【答案】(1)23
(2)191
(3)选择每日计件工资制更合算，见解析
【详解】（1）小颖星期二生产玩具 （个）；
故答案为：23；
（2）本周实际生产玩具： （个）；
故答案为：191；
（3）每日计件工资制：
=
= （元），
每日计件工资制，小颖本周的工资总额是 元；
每周计件工资制：
（元），
每周计件工资制，小颖本周的工资总额是 元；
，
∴小颖应选择每日计件工资制更合算．
题型7.规律探究创新题
23．观察下列各式的特征： ； ； ；
，根据规律，解决相关问题：
（1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）；① _____________；
② ___________．
（2）当 时， ___________；当 时， __________．
（3）有理数 在数轴上的位置如图，则化简 的结果为___________
A． B． C． D．
（4）合理的方法计算：
【答案】（1）①21-7；② ；（2）a-b，b-a；（3）C；（4）
【详解】解：（1）①|7-21|=21-7；
② ，
（2）当a＞b时，|a-b|=a-b；
当a＜b时，|a-b|=b-a，
故答案为：a-b，b-a；
（3）由数轴上点的位置得到a-2＜0，
则原式=2-a，故选C；
（4）原式=
=
= ．
24.定义：对于任意的有理数a，b ，
(1)探究性质：①例： _________； _________； _________； ________；
②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出 的一般规律；
(2)性质应用：
①运用发现的规律求 的值；
②将 ， ， ， ……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个
数中任一数值记作a，另一个记作b，求出 ，10组数代入后可求得10个 的值，则这10个值的和
的最小值是 ．
【答案】(1)① ， ， ， ；②见解析，一般规律为
(2)① ；②
【详解】（1）解：① ，
，
，
，
，
故答案为： ， ， ， ；
②例如： ，
，
通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值，
用a，b的式子表示出一般规律为 ；
（2）解：①；
②不妨设 ，则代数式中绝对值符号可直接去掉，
代数式等于 ，
为偶数，
最小值 ，
故答案为： ．
25.已知点A、B在数轴上分别表示数a，b．若A、B两点间的距离记为d，则d和a，b之间的数量关系是
d=|a-b|.
(1)数轴上有理数x与有理数－2所对应两点之间的距离可以表示为______；
(2)|x+6|可以表示数轴上有理数x与有理数_______所对应的两点之间的距离；
若|x+6|= |x -2|，则x=______；
(3)若a=1，b=-2，将数轴折叠，使得A点与﹣7表示的点重合，则B点与数______表示的点P重合；
(4)若数轴上M、N两点之间的距离为11(M在N的左侧)，且M、N两点经过(3)中折叠后互相重合，则M、
N两点表示的数分别是：M：_____， N：_______；
(5)在题(3)的条件下，点A为定点，点B、P为动点，若移动点B、P中一点后，能否使相邻两点间距离相等？
若能，请写出移动方案.
【答案】（1）|x+2|；（2）表示的是x与(-6)之间的距离，x=-2；（3）P点表示的数为-4；（4） ，
（5）B点向左移动 此时P点向右移动 或B点向右移动 此时P点向左移动 .
【详解】（1）|x-(-2)|=|x+2|，故表示为|x+2|；
（2）∵|x+6|=|x-(-6)|,
∴表示的是x与(-6)之间的距离，
∵|x+6|= |x -2|
∴x+6=x-2或x+6=-(x-2)
解x+6=x-2无解，解x+6=-(x-2)得x=-2.
则x=-2.
（3）如下图，易得对称轴为经过-3且与数轴垂直的直线，所以P点表示的数为-4.（4）根据题意M、N在-3的左右两边，且距离-3的距离为 ，设距-3的距离为 的数为x，则|x+3|= ,
即x+3= ,x= 或x= ，故M点为 时N为 .
（5）设B点移动后表示的数为x，P点表示的数为y，则有|x-3|=|y-3|, x-3=y-3或x-3=3-y，解x-3=y-3得
x=y，即B、P两点重合舍去，解x-3=3-y得y= -x-6，所以P点表示的数位-x-6所以AB=|1-x|，AP=|1-(-x-6)|=|
7+x|，BP=|x-(-x-6)|=|2x+6|.
根据移动后相邻两点间距离相等，可分三类情况
①BP=AP，即|2x+6|=|7+x|即2x+6=7+x或2x+6=-7-x，
解2x+6=7+x得x=1，即A、B两点重合不符合题意舍去，
解2x+6=-7-x得 ，所以B点向左移动 即可，此时P点向右移动 ；
②BP=AB，即|2x+6|=|1-x|即2x+6=1-x，或2x+6=x-1，
解2x+6=1-x得x= ,所以B点向右移动 ，此时P点向左移动 ，
解2x+6=x-1得x=-7,此时-x-6=1，A、P两点重合舍去；
③AP=AB，则|1-x|=|7+x|，即1-x=7+x或x-1=7+x
解1-x=7+x得x=3，此时B、P重合舍去，
解x-1=7+x无解舍去.
故B点向左移动 此时P点向右移动 或B点向右移动 此时P点向左移动 .
【方法三】差异对比法
易错点.混淆有理数减法中的运算符号和性质符号
26.计算： ．
莉莉的解法如下：．
请问莉莉的解法正确吗？如果不正确，请写出正确解法．
【答案】莉莉的解法不正确，详见解析，-23
【分析】错误，运算法则运用错误，写出正确的解题过程即可．
【详解】莉莉的解法不正确．
正确解法： ．
【点睛】此题考查了有理数的减法法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【方法四】 仿真实战法
考法1.有理数的减法
27．（2023•日照）计算2﹣（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【解答】解：2﹣（﹣3）
＝2+3
＝5．
故选：D．
28．（2023•临沂）计算（﹣7）﹣（﹣5）的结果是（ ）
A．﹣12 B．12 C．﹣2 D．2
【解答】解：原式＝（﹣7）+5
＝﹣2．
故选：C．
29．（2023•滨州）计算2﹣|﹣3|的结果为 ．
【解答】解：原式＝2﹣3
＝﹣（3﹣2）
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
考法2.有理数减法的实际应用
30．（2023•温州）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：由数轴可得：A表示﹣1，则比数轴上点A表示的数大3的数是：﹣1+3＝2．
故选：D．
31．（2022•杭州）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为﹣6℃，
最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（ ）
A．﹣8℃ B．﹣4℃ C．4℃ D．8℃
【解答】解：根据题意得：2﹣（﹣6）＝2+6＝8（℃），
则该地这天的温差为8℃．
故选：D．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2022秋·浙江金华·七年级期中）泰山风景壮观，深受广大游客喜爱，1月份泰山山脚的平均气温是零
上 ，泰山山顶的平均气温是零下 ，则山脚平均气温与山顶平均气温的温差是（ ）
A．1 B． C．7 D．
【答案】C
【分析】用山脚平均气温减去山顶平均气温可求解．
【详解】解： ，
故选：C．
【点睛】本题考查有理数减法的实际应用，正确列出算式是解答的关键．
2．（2022秋·甘肃定西·七年级校考期中）若 ， ，则 的值为（ ）
A．5 B． C． D．0【答案】C
【分析】根据绝对值的意义求出 ， ，再分别计算．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ 或 ，
故选C．
【点睛】本题主要考查有理数的减法和绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义和减法法则．
3．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）华华家住在电梯楼房的第 层，他乘电梯下到 层的地下车库，
则他的位置高度下降了（ ）层．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过实际问题直接转化为有理数减法运算即可．
【详解】解： (层)，
故选： ．
【点睛】此题考查了有理数的减法，解题的关键在于掌握运算法则．
4．（2023秋·广西南宁·七年级统考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数加法和减法运算法则进行判断即可．
【详解】解：A． ，故A错误；
B． ，故B错误；
C． ，故C错误；
D． ，故D正确．
故选：D．【点睛】本题主要考查了有理数加法和减法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法和减法运算法则，准
确计算．
5．（2022秋·浙江金华·七年级校联考阶段练习）如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若
， ， ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】利用绝对值的意义，推出c、d之间的距离是2，再根据b、d之间的距离是6，利用b、d之间的
距离减去c、d之间的距离即为所求．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴数a、c之间的距离是8，数a、d之间的距离是10，数b、d之间的距离是6，
∴数c、d之间的距离是 ，
∴数b、c之间的距离是 ．
故选B．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
6．（2022秋·甘肃定西·七年级校考阶段练习）若数轴上的点A表示的数 ，则与点A相距5个单位长度
的点表示的数是（ ）
A． B． C．3或 D． 或7
【答案】C
【分析】根据数轴上到一点距离相等的点有两个，位于该点的左右，可得答案．
【详解】解：在数轴上与 的距离等于5的点表示的数是 或 ．
故选C．
【点睛】本题考查了数轴，有理数的加法和减法，熟练掌握利用了数轴上到一点距离相等的点有两个，位
于该点的左右两侧是解答本题的关键．
7．（2021秋·福建福州·七年级校考阶段练习）在数轴上，到表示 的点的距离等于5的点表示的数是
（ ）
A．4 B． C．4或 D．7
【答案】C【分析】根据数轴的特点，可以知道在数轴上与表示 的点的距离等于5的点有两个，通过计算可以解答
本题．
【详解】解：在数轴上表示到 的点距离等于5的点所表示的数是：
或 ．
故选C．
【点睛】本题考查数轴，解题的关键是明确数轴的特点，知道到一个点的距离相等的点有两个．
8．（2022秋·甘肃定西·七年级校联考阶段练习）如图，在生产图纸上通常用 来表示轴的加工要求，
这里300表示直径是 ， 和 是指直径在 到 之间的产品都属于合
格产品．现加工一批轴，尺寸要求是 ，请依次检验直径为 和 的两根轴是否合格
（ ）
A．合格，合格 B．不合格，不合格 C．合格，不合格 D．不合格，合格
【答案】C
【分析】根据正负数的意义求出尺寸在 到 之间都合格，由此即可得到答案．
【详解】解：∵尺寸要求是 ， ，
∴尺寸在 到 之间都合格，
∴直径为 的轴合格，直径为 的轴不合格，
故选C．
【点睛】本题主要考查了正负数的意义，有理数的加减计算，正确求出轴的尺寸的合格范围是解题的关键．
9．（2022秋·安徽·七年级周测）若a＞0，b＜0，则下列各式正确的是（ ）
A．a﹣b＜0 B．a﹣b＞0 C．a﹣b=0 D．（﹣a）+（﹣b）＞0
【答案】B
【分析】根据题意，利用有理数的加减法法则进行判断即可.
【详解】因为a＞0，b＜0
所以-a＜0，-b＞0所以a-b=a+（-b）＞0
故A不正确，B正确，C不正确；
由于a、b的绝对值的大小不确定，故无法判断，故D不正确.
故选：B.
【点睛】此题主要考查了有理数的加减法的应用，关键是根据有理数的加减法的法则进行判断，有点难度，
注意符号的变化.
10．（2023秋·全国·七年级专题练习）若 ， ，且 的绝对值与相反数相等，则 的值是
（ ）
A． B． C． 或 D．2或6
【答案】C
【分析】求出a、b的值，进行计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 的绝对值与相反数相等，
∴ ＜0，
∴ ， ，
或 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的意义和有理数的计算，解题关键是理解绝对值的意义，确定a、b的值．
二、填空题
11．（2023秋·内蒙古呼和浩特·七年级校考期末）若a的相反数是 ，b的绝对值是5，则 ．
【答案】 或
【分析】根据绝对值和相反数分别求出a，b，再分情况计算减法即可．
【详解】解： a的相反数是 ，b的绝对值是5，
， ，
或 ．
故答案为： 或7．
【点睛】本题考查了有理数的减法，绝对值，相反数，解题的关键是正确求出a，b的值．12．（2021秋·福建福州·七年级校考阶段练习） 写成省略括号的和的形式为
．
【答案】
【分析】括号前面是正号则括号可以直接去掉，括号外面是负号则括号里面的各项要变号．
【详解】解： 写成省略括号的和的形式为：
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，即括号前是“ ”号时，将括号连同它前边的“ ”号去
掉，括号内各项都不变；括号前是“ ”号时，将括号连同它前边的“ ”去掉，括号内各项都要变号．
13．（2023秋·江苏·七年级专题练习）一天早晨的气温是 ，中午上升了 ，半夜又下降了 ，则
半夜的气温是 ．
【答案】
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意得： ，
则半夜的气温是 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（2021秋·广东江门·七年级校考阶段练习）计算： ．
【答案】
【分析】根据有理数加减的运算法则求解即可．
【详解】
．
【点睛】本题主要考查有理数的加减运算及简便算法，牢记有理数加减的运算性质是解题的关键．15．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）数轴上离表示2的点相距4个单位长度的点表示的数是
．
【答案】 或
【分析】分两种情况讨论：①当点在表示3的点的左边时；②当点在表示3的点的右边时，根据数轴上两
点间的距离公式，即可得到答案．
【详解】解：分为两种情况：
①当点在表示2的点的左边时，数为 ；
②当点在表示2的点的右边时，数为 ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离公式，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
16．（2023秋·全国·七年级专题练习）点A在数轴上距原点3个单位长度，若一个点从点A处向右移动4
个单位长度，再向左移动1个单位长度得到点B．则点B表示的数是 ．
【答案】0或6/6或0
【分析】根据数轴上的点距离原点3个单位长度，可得点A表示的数，再根据向右移动几个单位加几，向
左移动几个单位减几，据此可解．
【详解】解：∵点A距离原点3个单位长度，
∴点A表示的数为 ，
当点A表示的数为 时，由题意得：点B表示的数为 ；
当点A表示的数为3时，由题意得：点B表示的数为 ；
∴则点B表示的数是0或6，
故答案为：0或6．
【点睛】本题考查了数轴上的点所表示的数，明确向右移动用加法，向左移动用减法及距离原点几个单位
如何表示，这都是解题的关键．
17．（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）按如图程序计算，当输入的值为0时，输出的值为
.【答案】4
【分析】将0代入计算程序进行计算不满足程序，再把结果代入进行即可．
【详解】解：根据题意得： ，
把 代入得： ，
∴输出结果为4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是理解题意列出相应的算式，准确计算．
18．（2022秋·七年级单元测试）有理数a，b，c在数轴上所表示的点的位置如图所示，则化简|a+b|﹣|c
﹣b|+|c|﹣|c﹣a|＝ ．
【答案】−2b−c
【分析】根据数轴、绝对值的性质及有理数加减法法则计算，即可得到答案．
【详解】根据题意得：b>0>c>a，且|a|>|b|
∴a+b<0，c−b<0，c−a>0
∴|a+b|−|c−b|+|c|−|c−a|
=−(a+b)+ (c−b)−c−(c−a)
=−a−b+c−b−c−c+a
=−2b−c
故答案为：−2b−c．【点睛】本题考查了数轴、绝对值、整式的加减运算的知识；熟练掌握数轴、绝对值、有理数加减运算的
性质是解题的关键．
19．（2023秋·全国·七年级专题练习）若 的最小值为3，则 的值为 ．
【答案】 或
【分析】根据代数式的最小值，得到关于 的方程，求出 的值即可．
【详解】 表示数轴上 到 与 到 的距离之和，
且其最小值为3，
当 介于 与 之间时，
与 的距离为3，即
若 ，解得 ；
若 ，解得
故答案为：2或 ．
【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．
20．（2023春·湖南衡阳·七年级衡阳市实验中学校考期末）如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整
数记作 ．例如， ， ， ．那么， ，其中 ．例如，
， ， ．现有 ，则x的值为 ．
【答案】 或 或
【分析】根据 为不超过x的最大整数且 ，可知 是整数，根据 ，得到a为0或 或
，根据 ，得到 ，得到x为 或 或 ．
【详解】∵不超过x的最大整数为 ， ，
∴ 是整数，∵ ，
∴a为0或 或 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴x为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了新定义“不超过x的最大整数 ”，解决问题的关键是熟练掌握任意一个有理数
都可以看作一个整数和一个正小数或0的和，进行分类讨论．
三、解答题
21．（2023秋·全国·七年级专题练习）用简便方法运算．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）按照有理数的加减法运算法则和运算律进行计算即可；
（2）按照有理数的加减法运算法则和运算律进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减法运算法则和运算律．
22．（2023秋·江苏·七年级专题练习）计算： ．
【答案】 ．
【分析】将括号打开，重新组合，即可求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查有理数的加减混合运算．打开括号，重新利用结合律是解决此题的关键．
23．（2023秋·江苏·七年级专题练习）阅读下面文字：对于 ，可以按如下方
法计算：
原式．
上面这种方法叫拆项法．仿照上面的方法，请你计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据示例，利用有理数中的加减简便运算即可求解．
（2）根据示例，利用有理数中的加减简便运算即可求解．
【详解】（1）解：原式
．
（2）原式
．
【点睛】本题考查了有理数中的加减简便运算，根据示例结合有理数中的加减简便运算法则进行计算是解
题的关键．
24．（2023秋·全国·七年级专题练习）阅读下面的解题过程，并解决问题
计算：
解：原式 ……第一
步…………第二
步
…………………………………………
第三步
(1)计算过程中，第一步把原式化成_______的形式，体现了数学中的_______思想，为了计算简便，第二步
运用了___________
(2)根据以上的解题技巧计算下列式子：
【答案】(1)省略加号和括号；转化；加法交换律和结合律
(2)
【分析】（1）根据有理数的加减混合运算步骤及运算定律可得出答案；
（2）仿照题意运用有理数加减法交换律及结合律，使用简便方法计算即可．
【详解】（1）解：计算过程中，第一步把原式化成省略加号和括号的形式，体现了数学中的转化思想，
为了计算简便，第二步运用了加法交换律和结合律；
（2）
．
【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，掌握混合运算的步骤及运算法则是解题关键．
25．（2023秋·福建南平·七年级福建省光泽第一中学校考开学考试）六年级（1）班和（2）班进行植树比
赛．上午（1）班种了 18 棵，下午两个班种的一样多．六（2）班上午种了多少棵？【答案】25棵
【分析】根据“下午两个班种的一样多”，可知用（2）班上午植树量等于（2）班一天植树总数减去
（1）班下午植树量．
【详解】解：
（棵）
答：六（2）班上午种了25棵．
【点睛】本题考查有理数加减混合运算的实际应用，解题的关键是正确列出算式．
26．（2023秋·湖南永州·七年级校考开学考试）为了体现社会对教师的尊重，教师节这天上午，出租车司
机小李在东西向的公路上免费接送教师，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千
米）： ， ， ， ， ， ， ， ，
(1)将最后一名教师送到目的地时，小李在出车地点的什么方向？距离出车地点多远？
(2)若汽车的耗油量为每千米 升，这天上午汽车共耗油多少升？
【答案】(1)小李在出车地点的东面 千米处
(2)这天上午汽车共耗油 升
【分析】（1）根据有理数的加法运算，可得答案；
（2）根据行车就耗油，可得到耗油量．
【详解】（1）解： ，
答：最后一名老师送到目的地时，小李在出车地点的东面 千米处；
（2）解： （千米），
（升）
答：这天上午汽车共耗油 升．
【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的加减运算，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
27．（2022秋·四川泸州·七年级校考期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入
微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式 的几何意义是数轴上 所对应的点与
2所对应的点之间的距离；因为 ，所以 的几何意义就是数轴上 所对应的点与 所对
应的点之间的距离．
发现问题：代数式 的最小值是多少？
探究问题：如图，点 、 、 分别表示数 、 、 ， ．（在数学中，∵表示因为，∴表示所
以）
∵ 的几何意义是点 到点 和点 之间的距离之和，
∴当点 在点 和点 之间时，点 到点 和点 之间的距离之和等于3，
当点 在点 的左侧或点 的右侧时，点 到点 和点 之间的距离之和大于3．
∴ 的最小值是3．
解决问题：
（1）若数轴上两点 、 表示的数为 、 ， 、 之间的距离可用含 的式子表示为______；
（2） ，则 ______；
（3） 有最小值，最小值是______．
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）
【分析】（1）根据绝对值的意义，即可求解．
（2）根据绝对值的几何意义列出方程，即可求出 ；
（3）根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到 的距离和到 的距离之和的最小值；
【详解】（1）解：数轴上两点 、 表示的数为 、 ， 、 之间的距离可用含 的式子表示为，
故答案为： ．
（2）∵
∴ 或
解得： 或
故答案为： 或 ．
（3） 的几何意义为：数轴上表示 的点与 和 的距离和，
当表示 的点在 与 之间时， 有最小值，最小值为 ；
故答案为： ；
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，绝对值方程，熟练掌握绝对值的几何意义是
解题的关键．
28．（2022秋·浙江台州·七年级校考期中）定义：对于任意的有理数a，b ，
(1)探究性质：
①例： _________； _________； _________； ________；
②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出 的一般规律；
(2)性质应用：
①运用发现的规律求 的值；
②将 ， ， ， ……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个
数中任一数值记作a，另一个记作b，求出 ，10组数代入后可求得10个 的值，则这10个值的和
的最小值是 ．
【答案】(1)① ， ， ， ；②见解析，一般规律为
(2)① ；②【分析】（1）①根据定义 即可求解；②举例 ，通过与以
上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值；
（2）①直接利用规律进行求解；②不妨设 ，则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于 ，由
此即可解决问题．
【详解】（1）解：① ，
，
，
，
，
故答案为： ， ， ， ；
②例如： ，
，
通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值，
用a，b的式子表示出一般规律为 ；
（2）解：①
；
②不妨设 ，则代数式中绝对值符号可直接去掉，
代数式等于 ，
为偶数，
最小值 ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找
到新定义的运算规律，利用规律进行求解．
