文档内容
专题 08 有理数的乘方（5 个知识点 7 种题型 1 个易
错点 3 种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.有理数乘方的意义（重点）
知识点2.有理数乘方运算的符号规律（重点）
知识点3.有理数的混合运算（难点）
知识点4.科学记数法（重点）
知识点5.近似数（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.有理数的混合运算
题型2.用科学记数法表示数
题型3.按要求取近似值
题型4.有理数乘方与其他知识的综合应用
题型5.有关乘方的规律探究问题
题型6.利用有理数乘方解决实际问题
题型7.有关乘方的拓展创新题
【方法三】差异对比法
易错点：含乘方运算时符号考虑不全产生漏解
【方法四】 仿真实战法
考法1.乘方
考法2.含乘方的有理数混合运算
考法3.科学记数法
【方法五】 成果评定法【学习目标】
1. 理解有理数的乘方的意义，并能进行乘方运算。
2. 掌握有理数的混合运算顺序，并能熟练、正确地进行计算。
3. 借助生活进一步感受较大的数，并能用科学记数法表示绝对值大于10的数。
4. 了解近似数的意义，能按要求取近似数。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.有理数乘方的意义（重点）
1、求n个相同因数a的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂。a叫底数，n叫指数，
an
读作：a的n次幂(
a的n次方)。
2、乘方的意义：
an
表示n个a相乘。
n个a
⏞ a×a×a×⋯×a=an
3、写法的注意：
当底数是负数或分数时，底数一定要打括号，不然意义就全变了．2 2 2 2
2
(− ) − − −
3 3 3 3
如： ＝( )×( )，表示两个 相乘．
22 2×2
− −
3 3
而 ＝ ，表示2个2相乘的积除以3的相反数．
an an
4、 与－ 的区别．
(1)
an
表示n个a相乘，底数是a，指数是n，读作：a的n次方．
(2)－
an
表示n个a乘积的相反数，底数是a，指数是n，读作：a的n次方的相反数．
如： (−2) 3 底数是−2，指数是3，读作(－2)的3次方，表示3个(－2)相乘．
(−2) 3
＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8．
−23 底数是2，指数是3，读作2的3次方的相反数．−23
＝－(2×2×2)＝－8．
注：
(−2) 3 与−23
的结果虽然都是－8，但表示的含义并不同。
【例1】（2022秋•苍南县期中）把 写成幂的形式是 ．
【变式】（2022秋•南浔区期末）下列各组数中，运算结果相等的是（ ）
A．（﹣5）3与﹣53 B．23与32
C．﹣22与（﹣2）2 D． 与
知识点2.有理数乘方运算的符号规律（重点）
5、乘方运算的符号规律．
(1)正数的任何次幂都是正数．
(2)负数的奇次幂是负数．
(3)负数的偶次幂是正数．
(4)0的奇数次幂，偶次幂都是0．
所以，任何数的偶次幂都是正数或0。
【例2】计算： ， ．【变式1】计算： ； ； ．
知识点3.有理数的混合运算（难点）
1、有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，再算括
号外面的。
2、括号前带负号，去掉括号后括号内各项要变号，即
−(a+b)=−a−b −(a−b)=−a+b
，
【例3】（2023春·广西南宁·七年级统考期末）计算： ．
【变式】（2022秋·广东茂名·七年级校考期中）计算：
知识点4.科学记数法（重点）
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，
这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此
规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是
前面多一个负号．
【例4】（2023•路桥区校级二模）2022年12月28日，台州市域铁路S1线开通运营，标志着台州城市发展迈入轨道时代台州市域铁路S1线全长约52.4公里，总投资约228.19亿元，是连接椒江区、路桥区及
温岭市之间重要的城市快速通道．其中数据228.19亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.22819×1010 B．0.22819×1011
C．2.2819×1010 D．2.2819×1011
【变式】用科学记数法表示的数为4.315×103，这个数原来是（ ）
A．4315 B．431.5 C．43.15 D．4.315
知识点5.近似数（难点）
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说
法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前
者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
【例5】（2022秋•青田县期中）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到千分位）
C．0.05（精确到百分位） D．0.0502（精确到0.0001）
【变式】（2022秋•仪征市期末）全球七大洲的总面积约为 149 480 000km2，对这个数据精确到百万位可
表示为
km2．
【方法二】实例探索法
题型1.有理数的混合运算
1.（2023秋·安徽蚌埠·七年级统考期末）计算： ．2．（2023·广西南宁·统考二模）计算： ．
3．（2023·广东肇庆·统考二模）计算： ．
4．（2023·广西贵港·统考一模）计算： ．
5．（2023秋·陕西西安·七年级校考期末）计算：
6．（2023春·广西柳州·九年级统考期中）计算： ．
7．（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）计算： ．8．（2023秋·贵州黔东南·七年级统考期末）计算： ．
题型2.用科学记数法表示数
9．（2023春·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）“神威·太湖之光”超级计算机运算
速度达每秒 次，它工作 可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示）
10．（2022秋•慈溪市期中）在宇宙之中，光速是目前知道的最快的速度，可以达到 3×108m/s，如果我们
用光速行驶3.6×103s，请问我们行驶的路程为多少m？
11．（2022秋•永嘉县校级月考）已知一个U盘的名义内存为10GB，平均每个视频的内存为512MB，平
均每首音乐的内存为10.24MB，平均每篇文章的内存为10.24KB．现该U盘已存16个视频，50首音乐．
若该U盘的内存的实际利用率为90%，求还可以存文章的最多篇数（用科学记数法表示）．（注：已
知1GB＝1024MB，1MB＝1024KB）
题型3.按要求取近似值
12．（2022秋•上城区校级期中）近似数13.7万精确到（ ）
A．十分位 B．百位 C．千位 D．千分位
13．（2022秋•泗阳县期末）由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（ ）A．精确到十分位 B．精确到个位
C．精确到百位 D．精确到千位
14．（2022秋•瑞安市期中）小明的身高为1.68m，表示他实际身高a的范围为（ ）
A．1.675≤a＜1.685 B．1.675＜a≤1.685
C．1.675≤a≤1.685 D．1.675＜a＜1.685
15．（2023春·江苏盐城·七年级校考期末）数 精确到 位．
16.下列问题中出现的数，哪些是精确值 哪些是近似值
(1)某院校的某专业计划招生 人；
(2)小明的立定跳远成绩是 ；
(3)若尘的这次数学考试成绩是 分；
(4)据统计，公园门口每月的车流量大约是 辆．
题型4.有理数乘方与其他知识的综合应用
17．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）如图，有理数 在数轴上对应的
点分别是 ，且 满足 ．
(1) _________， __________；
(2)动点 分别从点 同时出发、相向而行，若点 的速度是每秒2个单位长度，点 的速度每秒3个
单位长度，设运动时间为 秒， 为何值时， 两点相距40个单位长度．题型5.有关乘方的规律探究问题
18．（2022秋·山东枣庄·七年级枣庄市第十五中学校考阶段练习）观察下列等式： ， ， ，
，…．通过观察，用你发现的规律确定 的个位数字是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
19．（2023春·湖北武汉·七年级统考开学考试）将一张厚 毫米的纸对折，再对折，这样对折2次后，纸
的厚度是（ ）
A． 毫米 B． 毫米 C． 毫米 D． 毫米
20．（2023秋·七年级课时练习）求 的值，可令 ，则
，因此 ， ．参照以上推理，计算
的值为（ ）
A． B． C． D．
21．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）观察下列等式： ， ， ， ， ，
，解答下列问题： 的末尾数字是
22．（2023秋·七年级课时练习）观察下列算式：
① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦ ，⑧ ，…那么
的个位数字是 ．
23．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成
2个．根据此规律可得：(1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？
(2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成64个细胞？
题型6.利用有理数乘方解决实际问题
24．（2023春·重庆云阳·七年级校考阶段练习） 阅读下面的材料：我们已经学习过“乘方”和“开方”运
算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．
定义：如果 （ ， ， ），则b叫做以a为底N的对数，记作 ．
例如：因为 ，所以 ；因为 ，所以 ．
(1)填空： ，
(2)如果 ，求m的值．
(3)对于“对数”运算，小明同学认为有“ （ ， ， ， ）”，他
的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正．
25．（2022秋·福建宁德·七年级校考阶段练习）本学期我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果
叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．定义： 与 （ ，m，n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作 ．
运算法则如下：
(1)填空： ______， ______；
(2)如果 ，且 ，求出x的值；
(3)如果 ，请直接写出x的值______．
题型7.有关乘方的拓展创新题
26．（2022秋•鞍山期末）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小
王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中 J代表11、Q代表12、K代表13，若
每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24．
（1）小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式；
（2）请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式．
27．（2022秋•曹县期末）观察下列三个等式： ， ， ，我们称使等式 a﹣b＝ab 成立的一对有理数 a，b 为“有趣数对”，记为（a，b），例如数对 ，
， 都是“有趣数对”，请回答下列问题：
（1）数对 是“有趣数对”吗？试说明理由．
（2）若 是“有趣数对”，求a的值．
（3）若（2，m2+2m）是“有趣数对”，求10﹣6m2﹣12m的值．
28.概念学习：
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如 ，
等，类比有理数的乘方，我们把 写作 ，读作“2的圈3次方”，
写作 ，读作“ 的圈4次方”，一般地把 写作
aⓝ，读作“a的圈n次方”．
初步探究：
(1)直接写出计算结果： ； ；
(2)下列关于除方说法中，错误的有 ；（在横线上填写序号即可）
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
D．圈n次方等于它本身的数是1或-1．
深入思考：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运
算如何转化为乘方运算呢？
(3)归纳：请把有理数 的圈 次方写成幂的形式为：aⓝ= ；
(4)比较： ；（填“＞”“＜”或“=”）
(5)计算： ．
【方法三】差异对比法
易错点：含乘方运算时符号考虑不全产生漏解
29．（2022秋•文成县期中）下面的计算错在哪里？指出错误步骤的序号，并给出正确的解答过程．
﹣3 ＝ ……①
＝9÷1……②＝9……③
错误步骤的序号： ；
正确解答： ；
【方法四】 仿真实战法
考法1.乘方
30．（2023•台湾）（﹣3）3之值为何（ ）
A．﹣27 B．﹣9 C．9 D．2731．（2022•广东）计算22的结果是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
考法2.含乘方的有理数混合运算
32．（2023•内蒙古）定义新运算“ ”，规定：a b＝a2﹣|b|，则（﹣2） （﹣1）的运算结果为
（ ） ⊗ ⊗ ⊗
A．﹣5 B．﹣3 C．5 D．3
33．（2023•杭州）（﹣2）2+22＝（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
34．（2023•随州）计算：（﹣2）2+（﹣2）×2＝ ．
35．（2023•广西）计算：（﹣1）×（﹣4）+22÷（7﹣5）．
考法3.科学记数法
36．（2023•青岛）中欧班列是共建“一带一路”的旗舰项目和明星品牌，是亚欧各国深化务实合作的重
要载体．中欧班列“青岛号”自胶州开往哈萨克斯坦，全程 7900公里．将7900用科学记数法表示为（
）
A．0.79×103 B．7.9×102 C．7.9×103 D．79×102
37．（2023•河北）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于
9.46×1012km，下列正确的是（ ）
A．9.46×1012﹣10＝9.46×1011
B．9.46×1012﹣0.46＝9×1012
C．9.46×1012是一个12位数
D．9.46×1012是一个13位数
38．（2023•齐齐哈尔）中国经济韧性强、潜力大、活力足．据文化和旅游部统计，2023年春节假期全国
国内旅游出游达到 308000000 人次，同比增长了 23.1%．将 308000000 用科学记数法表示为．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2022秋·浙江金华·七年级校联考阶段练习） 表示（ ）
A． 乘5 B．5个 相加 C．5个 相乘 D．2个 相加
2．（2022秋·浙江·七年级期中）下列各对数中，相等的一对是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
4．（2022秋·浙江·七年级期中）下列各组数中，互为相反数的是( )
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
4．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）在有理数 、 、 、
中负数有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2023秋·七年级课时练习） 和 的关系是（ ）
A．相等的数 B．互为相反数
C．互为倒数 D．上述结论都错误
6．（2022秋·浙江·七年级期中）如果 是任意两个不等于零的实数，定义新运算如下： ，那么
的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·七年级课时练习）已知 是相反数等于本身的数， 是倒数等于本身的数，则 的
值为（ ）
A．1 B．3 C． D．1或38．（2023春·浙江金华·七年级校考期中）在下列各式：① ；② ；③
；④ ；⑤ 正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
9．（2022秋·安徽淮北·七年级校考期中）一根1m长的小木棒，第一次截去它的 ，第二次截去剩余部分
的 ，第三次再截去剩余部分的 ，如此截下去，第六次后剩余的小木棒的长度是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·福建三明·七年级统考阶段练习）计算： （ ）
A． B．1 C．0 D．2023
二、填空题
11．（2023秋·七年级课时练习）（1）根据有理数乘方的意义，算式 可表示
为 ．
（2）在 中指数是 ，底数是 ．
12．（2023·湖南·九年级专题练习）计算： ．
13．（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图是一个数值运算程序，当输入的数是 时，输出的数
是 ．
14．（2023秋·七年级课时练习）计算 的结果为 ．
15．（2023秋·江苏宿迁·七年级沭阳县怀文中学校考开学考试）在长为5分米宽为4分米的长方形里画一
个最大的圆，这个圆的面积是 平方分米．
16．（2023秋·七年级课时练习）【问题解决】例如：观察下面式子，根据规律填空：
（1） ， ， ， ，…， ， ．
（2） ， ， ， ，…， ．
17．（2023秋·七年级课时练习）若 ， ， ， ，则按从小到大的顺序排
列为 ．
18．（2023秋·山东枣庄·七年级滕州育才中学校考开学考试）定义一种新运算 ，若 ，则
，例 ， ．已知 ，则x的值为 ．
三、解答题
19．（2023秋·七年级课时练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
20．（2023秋·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）计算： ．21．（2023秋·七年级课时练习）计算：
(1) ；
(2) ．
22．（2020秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）计算：
(1) ．
(2) ．
23．（2023春·上海·六年级专题练习）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+， ，
×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
(1)计算： ；
(2)若 □ ，请推算□内的符号；(3)将1，2，6，9这4个数字进行+， ，×，÷混合运算，每个数字只能用一次，使结果为24，写出一个运
算式子．
24．（2023春·江苏无锡·七年级校考期中）阅读下列材料，并解决下面的问题:
我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子
可以变形为 也可以变形为 .在式子 中，3叫做以2为底8的对数，记
为 一般地，若 则 叫做以 为底 的对数，记为 ，且具有性质：
其中 且
根据上面的规定，请解决下面问题:
(1) _______ ；(请直接写出结果)
已知 ，则 ______；（用含y的代数式来表示）
(2)已知 请你用含m的代数式来表示n，其中 (请写出必要的过程).
25．（2022秋·七年级课时练习）在计算1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100时，可以先设S＝1＋2＋22＋23＋…＋
299＋2100，然后在等式两边同乘以2，则有2S＝2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101，最后两式相减可得：2S－S
＝(2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101)－(1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100)＝2101－1，即得S＝2101－1．即1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100＝2101－1．
根据以上方法，计算：1＋( )＋( )2＋( )3＋…＋( )2019＋( )2020．
26．（2022秋·河南南阳·七年级期中）对于任何数，规定一种新运算 ，例如：
．
(1)按照这个规定，请你计算 的值；
(2)按照这个规定，请你计算当x、y满足 时，求 的值．27．（2023秋·七年级课时练习）你能比较 和 的大小吗？
为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较 和 的大小（n为
正整数），我们从 …这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论
(1)通过计算，比较下列各组数字大小：
① __________ ； ② __________ ； ③ __________ ；
④ __________ ； ⑤ __________ ； ⑥ __________ …
(2)将第（1）题的结果进行归纳，你能得出什么结论？
(3)根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较两个数的大小：
__________ （填 或 ）．
