文档内容
专题 13 解一元一次方程（二）---去括号与去分母
（3 个知识点 3 种题型 3 个易错点 2 个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.解一元一次方程-----去括号（重点）
知识点2解一元一次方程-----去分母（重点）
知识点3.列一元一次方程解应用题（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.用适当的方法巧解一元一次方程
题型2.利用方程的解确定方程中的字母的值。
题型3.列一元一次方程解决行程问题
【方法三】差异对比法
易错点1.去括号是漏乘括号内的项或弄错符号
易错点2.去分母时漏乘不含分母的项或忽略分数线的括号作用
易错点3.分母是小数的，化为整数是与去分母相混淆
【方法四】 仿真实战法
考法1.一元一次方程的解法
考法2.一元一次方程的实际应用
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 掌握解一元一次方程的基本步骤，会用去括号与去分母的方法解一元一次方程，体会解一元一次方程
中的转化思想。
2. 能够根据具体问题中的数量关系准确列出方程，进一步体会建模思想，并能够体验结果是否合理。【知识导图】
【倍速学习五种方法】
解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，
灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括
号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使
方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方
程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
【方法一】脉络梳理法
知识点1.解一元一次方程-----去括号（重点）
【例1】．若方程 与 的解互为相反数，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【变式】．（23·24七年级上·全国·课堂例题）马小虎同学在解关于 的方程 时，误将等号
右边的“ ”看作“ ”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为 ，则原方程正确的解为
（ ）
A． B． C． D．
知识点2解一元一次方程-----去分母（重点）
【例2】．（23·24七年级上·全国·课时练习）若方程 的解比关于 的方程
的解小1，则 的值为（ ）
A． B． C．5 D．3
【变式】．（23·24七年级上·全国·课时练习）已知关于 的方程 的解为 ，则 等于
（ ）
A．4 B． C．3 D．
知识点3.列一元一次方程解应用题（重点）
【例3】．．（22·23上·常州·期末）已知关于x的一元一次方程 的解为 ，那么关
于y的一元一次方程 的解为 ．
【变式】．．（22·23下·福州·开学考试）已知 ，关于 的方程 的解为 ，则关于 的方程
的解为 ．
【方法二】实例探索法
题型1.用适当的方法巧解一元一次方程
1．若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是 ．
2．（22·23七年级上·浙江绍兴·期末）设 ， ，当 时， 的取值范围是．
题型2.利用方程的解确定方程中的字母的值。
3．对关于 的方程 （1）
考虑如下说法：①当 取某些值时，方程（1）有两个整数解；
②对某个有理数 ，方程（1）有唯一的整数解；
③当 不是整数时，方程（1）没有整数解；
④不论 为何值时，方程（1）至多有4个整数解．
其中正确的说法的序号是 ．
4：已知关于 的一元一次方程 的解为 ，那么关于的y一元一次方程
解为 ．
题型3.列一元一次方程解决行程问题
5．（22·23七年级下·福建福州·开学考试）下列方程变形正确的是（ ）
A． 去分母得 B． 去括号得
C． 移项得 D． 系数化为1得
6．（22·23七年级上·湖南娄底·阶段练习）下列变形正确的是（ ）
A．若 ，那么
B．若 ，那么
C．方程 ，去括号，得
D．方程 ，移项，得：
【方法三】差异对比法
易错点1.去括号是漏乘括号内的项或弄错符号
1．（23·24七年级上·北京西城·期中）解方程：(1)
(2)
易错点2.去分母时漏乘不含分母的项或忽略分数线的括号作用
2．（23·24七年级上·广东广州·期中）解方程：
(1)
(2)
(3)易错点3.分母是小数的，化为整数是与去分母相混淆
3．（2023七年级上·全国·专题练习）解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【方法四】 仿真实战法
考法1.一元一次方程的解法
4．（22·23七年级上·北京西城·阶段练习）规定： ， ．例如 ，．下列结论中：①若 ，则 ；②若 ，则
；③能使 成立的 的值不存在；④式子 的最小值是7．
其中正确的所有结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
5．（22·23七年级上·重庆南岸·期末）已知关于 的方程 的解是负整数，那么整数 的所有取值之
和为（ ）
A．4 B．0 C． D．
考法2.一元一次方程的实际应用
6．（23·24七年级上·北京西城·期中）阅读下面解方程 的步骤，完成填空：
解：去括号，得 ．
移项，得 ．依据 ；
合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
7．（23·24七年级上·河北张家口·期中）如果用c表示摄氏温度 ，用f表示华氏温度 ．根据表中数
据，写出c的值为 ，f的值为 ．
c与f之间的关系是：
c
f
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（22·23七年级下·河南鹤壁·期末）下列方程的变形正确的是（ ）
A． ，去分母，得
B． ，去括号，得C． ，移项，得
D． ，系数化为1，得
2．（22·23七年级上·山东临沂·期末）下列方程的变形中，正确的是（ ）
A．方程 ，移项得
B．方程 ，去括号得
C．方程 ，可化为
D．方程 ，可化为
3．（20·21七年级下·山东枣庄·期中）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律， 的值
为（ ）
A．135 B．153 C．169 D．170
4．（23·24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程变形正确的是（ ）
A．方程 移项得
B．方程 化成
C．若 ，则
D．方程 ，去括号，得
5．解方程 ，有以下四个步骤：
①去括号，得
②移项，得
③合并同类项，得
④系数化为1，得
经检验知： 不是原方程的解，这说明解题的四个步骤有错，其中做错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④6．（23·24七年级上·福建龙岩·阶段练习）求 的值，可令 ，
则 ，因此 ．仿照以上推理，计算出 的值
为（ ）
A． B． C． D．
7．（22·23七年级上·河北保定·期末）若 、 表示非零常数，整式 的值随 的取值而发生变化，如
下表，则关于 的一元一次方程 的解为（ ）
…
0 1 3
…
…
1 3 5 9
…
A． B． C． D．
8．（22·23七年级下·河南周口·阶段练习）我们规定，对于任意两个有理数 ， 有 ，如
．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．0
9．（22·23七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知整数a使关于x的方程 有整数解，则符
合条件的所有a值的和为（ ）
A．﹣8 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣1
10．已知关于x的方程 的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（ ）
A．8 B． C．12 D．
二、填空题
11．已知关于 的一元一次方程 的解为 ，那么关于 的一元一次方程
的解为 ．
12．（23·24上·全国·课堂例题）小勤解方程 的过程如下：解：去分母（方程两边乘10），得 ． ①
去括号，得 ． ②
移项、合并同类项，得 ． ③
系数化为1，得 ． ④
小勤解答过程中错误步骤的序号为 ．
13．（22·23七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知m，n为定值，且无论k为何值，关于x的方程
的解总是 ，则 ．
14．（22·23七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若定义一种新的运算，规定 ，且 与
互为倒数，则 ．
15．小亮解方程 ，去分母时，方程右边的 忘记乘 ，求出的解是 ，则 的值是
.
16．（22·23七年级上·江苏盐城·期末）对于两个数 ， ，我们规定用 表示这两个数的平均数，用
表示这两个数中最小的数，例如： ， ，如果
，那么 ．
17．方程 的解是 .
18．已知数列 ，记第一个数为a ，第二个数为a ，…，第n个
1 2
数为a ，若a 是方程 (1－x)＝ (2x＋1)的解，则n＝ ．
n n
三、解答题
19．（23·24七年级上·重庆綦江·期中）在解含有字母系数的方程时，常常将字母系数看作已知数，然后利
用解方程的步骤和方法求解，所得的未知数的值常常是含有字母的代数式.例如：解关于x的一元一次方程 其中
解：移项：
合并同类项：
因为 ，所以 ，
化系数为1，两边同除以 ，得：
(1)请仿照上面的方法解关于x的方程：
(2)关于x的方程 ，其中 ，方程的解为正整数，求符合条件的k的整数值．
20．（23·24七年级上·广东广州·期中）已知代数式
，其中 为常数，当 时，
时， ．
(1)求 的值；
(2)关于 的方程 的解为 ，求 的值．(3)当 时，求式子 的值．
21．（23·24七年级上·江苏南京·阶段练习）课堂上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫☆运算．”老
师根据规律，写出了几组按照☆运算法则进行运算的式子：
第一组： ； ；
第二组： ； ；
第三组： ； ； ； ．
小明说：我知道老师定义的☆运算法则了，聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳☆运算法则：
(1)归纳☆运算法则，填写下列空白部分：
①同号两个数进行☆运算时，结果的符号为负，数值部分取绝对值相加；
②异号两个数进行☆运算时，____________；
③特别地，0和任何数进行☆运算，或是任何数和0进行☆运算都等于______；
(2)填空： ______； ______；
(3)若 ，求 的值．22．（22·23七年级上·湖南长沙·期末）小美喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，她给出一个定义：
若 是关于 的一元一次方程 的解， 是关于 的方程的所有解的其中一个解，且 ，
满足 ，则称关于 的方程为关于 的一元一次方程的“小美方程”．例如：一元一次方程
的解是 ，方程 的所有解是 或 ，当 ， ，所以 为一
元一次方程 的“小美方程”．
(1)已知关于 的方程： 是一元一次方程 的“小美方程”吗？________（填“是”或
“不是”）；
(2)若关于 的方程 是关于 的一元一次方程 的“小美方程”，请求出 的值；
(3)若关于 的方程 是关于 的一元一次方程 的“小美方程”，求出
的值．
23．（22·23七年级上·浙江金华·阶段练习）我们规定：若关于x的一元一次方程 的解为 ，则
称该方程为“和解方程”．例如：方程 的解为 ，而 ，则方程 为“和解方
程”．
请根据上述规定解答下列问题：
(1)下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 ．
① ；② ；③ ．
(2)已知关于x的一元一次方程 是“和解方程”，求m的值；
(3)若关于x的一元一次方程 和 都是“和解方程”，求代数式 的值．24．（22·23七年级上·广东广州·期末）对于有理数 ， ， ， ，若 ，则称 和 关于
的“清湾值”为 ．例如， ，则2和3关于1的“清湾值”为3
(1) 和5关于1的“清湾值”为______；
(2)若 和2关于1的“清湾值”为4，求 的值；
(3)若 和 关于1的“清湾值”为1， 和 关于2的“清湾值”为1， 和 关于3的“清湾值”为
1，…， 和 关于100的“清湾值”为1
① 的最大值为______；
② 的值为______（用含 的式子表示）
25．先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题.
例：解绝对值方程： .
解：讨论：①当 时，原方程可化为 ，它的解是 ；
②当 时，原方程可化为 ，它的解是 .
原方程的解为 或 .
（1）依例题的解法，方程算 的解是_______；（2）尝试解绝对值方程： ；
（3）在理解绝对值方程解法的基础上，解方程： .
26．（2023七年级上·全国·专题练习）小红在解方程 时，第一步出现了错误：
解： ，
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
