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专题 2.1 有理数的加法（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】有理数的加法
1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号
两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数
的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
【知识点二】有理数加法运算律
两个数相加，交换加数的位置，和不
文字语言
加法交换 变
律
有理 a+b＝b+a
符号语言
数加
法运 三个数相加，先把前两个数相加，或
算律 加法结合 文字语言 者先把后两个数相加，和不变
律
符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c)
重点强调：交换加数的位置时，不要忘记符号．
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用有理数的加法运算法则进行运算
【例1】（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算下列各题
(1) ； (2) ；【答案】(1)130 (2)
【分析】此题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键．
（1）（2）根据有理数的加法运算法则计算即可；
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查有理数加法法则：1．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2．绝对值不
相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数
的两个数相加得0；3．一个数同零相加，仍得这个数．掌握理数加法法则是解题的关键．
解：A． ，原计算错误，不符合题意；
B． ，原计算正确，符合题意；
C． ，原计算错误，不符合题意；
D． ，原计算错误，不符合题意；
故选：B．
【变式2】（23-24六年级下·上海·期中）若 ，且 ，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了绝对值以及有理数加法法则，利用绝对值的代数意义求得a的值，代入计算即可．解： ，
，
，
，
故答案为： ．
【题型2】有理加法运算和简化符号问题
【例2】（2022七年级上·全国·专题练习）计算
(1) ； (2) ．
【答案】(1)-10 (2)-10
【分析】（1）先去括号，再添括号，将正数和负数分开计算，再作减法即可；
（2）将小数部分相同的或能凑整的放在一起计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题主要考查了有理数的加减混合运算．计算含小数的式子时，可先观察，可将小数部分相同
或能凑整的放在一起计算，这样能简化计算过程，避免出错．括号前是“＋”，去括号后，括号里的各
项都不改变符号；括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改变符号．添括号时，若括号前是“＋”，
添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“−”，添括号后，括号里的各项都改变符号．【变式1】（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）把 写成省略括号的和的形式是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据相反数意义及有理数的加法法则处理．
解： ，
故选：A
【点拨】本题考查相反数的意义，有理数的加法；理解有理数的加法法则是解题的关键．
【变式2】（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）a、b、c三个数的位置如图所示：则 0，
0(填 或 )
【答案】
【分析】根据数轴上点的位置得到 ，则 ，再根据有理数加法计算
法则求解即可．
解：由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：① ，② ．
【点拨】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加法计算，正确根据题意得到 以及a、b、c
的符号是解题的关键．
【题型3】利用有理数加法运算律进行简便运算
【例3】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法计算：
(1) (2)
【答案】(1) (2)
（1）（2）根据有理数加法交换律和结合律计算即可；（1）解：
（2）解：
【点拨】本题考查有理数的加法运算，掌握运算法则是解题的关键，运用交换律和结合律可简化计算．
【变式1】（23-24七年级上·山西吕梁·期中）下列变形中正确使用加法交换律的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查有理数的加法运算，根据加法运算律逐一判断即可．
解： ，利用的加括号法则，故选项A不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，利用的是加法的交换律，故选项C符合题意；
，故选项D错误，不符合题意．
故选：C．
【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）加法交换律： ．
例： ；
（2）加法结合律： ．例： [ + ]．
【答案】
【分析】由有理数的加法交换律即可以得解；
解：（1） ；
．
故答案为： ．
（2） ；
．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了有理数的加法的交换律和结合律等知识点，解题时要熟练掌握运算律并准确计
算是关键．
【题型4】有理数加法运算中的实际运用
【例4】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我国某次军事演习中，一艘核潜艇的初始位置在海
平面下 ，规定核潜艇上升记为“＋”，下降记为“－”，下面是这艘核潜艇在某段时间内的运动情
况： ．（单位： ）
(1)最后这艘核潜艇停留的位置在海平面下多少米？
(2)如果这艘核潜艇每上升或下降 ，核动力装置所提供的能量相当于 汽油燃烧所产生的能量，那么
在这艘核潜艇运动的这段时间内，核潜艇动力装置提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？
【答案】(1)615 (2)5325
【分析】本题考查正负数的意义和有理数加法的实际应用．熟练掌握正负数的意义和有理数加法法则，
是解题的关键．
（1）将所有数据相加，根据最终结果确定核潜艇处在什么位置；
（2）将所有数据的绝对值相加，再 即可得解．
1）解：；
答：核潜艇处在海平面下 米位置；
（2）解：
(升)；
答：在这一时段内核动力装置所提供的能量相当于 升汽油燃烧所产生的能量．
【变式1】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）某支付平台主要提供支付及理财服务，通过该平台购
物、生活缴费、金融理财等可以获得相应的积分，积分可以兑换礼品或获得优惠权益． 王先生三天内积
内的变动情况为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 则这三天后王先生的
积分增加了（ ）
A．11分 B．14分 C．20分 D．83分
【答案】A
【分析】本题考查有理数加法的实际应用，将所有数据相加，即可得出结果．
解： ；
故选A．
【变式2】（22-23七年级上·山东青岛·阶段练习）5个城市的国际标准时间(单位：时)在数轴上表示如图
所示，如果在纽约当地时间10日 有一场篮球比赛，则北京时间是 ．
【答案】
【分析】本题考查有理数的加减运算，根据北京和纽约的时差加上纽约时间，即可得出结果．
解： ，
故答案为： ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0， ， ，1，2
这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可）
【答案】0
【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果．
解：由题意，填写如下：
，满足题意；
故答案为：0．
【例2】（2024·吉林长春·中考真题）根据有理数加法法则，计算 过程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握“将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的
符号相同”成为解题的关键．
根据将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同即可解答．
解： ．
故选D．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的
数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探
究”．
【提出问题】三个有理数 、 、 满足 ，求 的值．
【解决问题】解：由题意得： ， ， 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当 ， ， 都是正数，即 ， ， 时，
则 ；
②当 ， ， 有个一为正数，另外两个为负数时，设 ， ， ，
则 ，
所以 的值为 或 ．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)已知三个有理数 ， ， 满足 ，求 ；
(2)已知 ， ，且 ，求 的值．
【答案】(1) 或 ； (2) 的值为 或 ．
【分析】本题主要考查了绝对值的意义及有理数加减乘除运算，根据题意应用绝对值意义求解是解决本
题的关键．
（1）仿照题目给出的思路和方法求解即可；
（2）根据绝对值的意义和 ，确定a、b的值，然后再分类讨论求出再计算 的值即可．
解：（1）解：由题意得： ， ， 三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．
当 ， ， 都是负数，即 ， ， 时，
则： ；
当 ， ， 有一个为负数，另两个为正数时，设 ， ， ，
则： ．
综上， 的值为 或 ．
（2）解： ， ，
， ，
，
， 或 ， ，或 ．
答： 的值为 或 ．
【例2】（22-23七年级上·山东济南·期中）食堂要购进 筐青萝卜，以每筐 千克为标准，超过或者不
足的分别用正、负表示，记录如表：
与标准质量的差（千克） 0 2
筐数 1 4 2 3 5 5
(1) 筐萝卜中，最轻的一筐比最重的要轻多少？
(2)这 筐青萝卜的实际重量与标准重量相比，是多了还是少了？差值是多少？
(3)这批青萝卜每千克售价为 元，买进这 筐青萝卜的实际总价钱需要多少元？
【答案】(1)最轻的一筐比最重的要轻 千克；(2)这 筐青萝卜的实际重量与标准重量相比多了，多了
千克；(3)买进这 筐青萝卜的实际总价钱为 元；
【分析】本题考查正负数及正负意义的应用：
（1）根据表格中与标准质量差的最大值最小值之差即可得到答案；
（2）利用正负数之和与0比较即可得到答案；
（3）先求出总数量，乘以单价即可得到答案；
（1）解：由题意可得，
（千克），
∴最轻的一筐比最重的要轻 千克；
（2）解：由题意可得，
（千克），
∵ ，
∴这 筐青萝卜的实际重量与标准重量相比多了，多了 千克；
（3）解：由（2）得，
这 筐青萝卜的实际重量为：
（千克），
∵这批青萝卜每千克售价为 元，
∴买进这 筐青萝卜的实际总价钱为： （元），
∴买进这 筐青萝卜的实际总价钱为 元．
