文档内容
专题 2.2 二次函数全章十类必考点
【人教版】
【考点1 根据题目信息识别和判断函数图象】.....................................................................................................1
【考点2 二次函数图象与系数的关系】..................................................................................................................4
【考点3 二次函数图象上点的坐标特征】..............................................................................................................7
【考点4 二次函数图象的几何变换】......................................................................................................................8
【考点5 由二次函数的最值求字母的值】..............................................................................................................9
【考点6 由二次函数的性质求代数式最值】.........................................................................................................9
【考点7 由二次函数的性质求几何最值】...........................................................................................................10
【考点8 二次函数的实际应用】............................................................................................................................12
【考点9 二次函数中的存在性问题】....................................................................................................................15
【考点10 二次函数中的新定义问题】..................................................................................................................19
【考点1 根据题目信息识别和判断函数图象】
1．（2024春•九龙坡区校级期末）函数y＝mx2+nx（m≠0）与y＝mx+n的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024•胶州市校级二模）一次函数y＝bx﹣a和二次函数y＝ax2+x+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中
的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
3．（2024春•无为市月考）已知二次函数 y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数 y＝ax2+bx+c
与一次函数y＝﹣x﹣b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023秋•黔南州期末）在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是常数，且
a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．5．（2024•镇平县模拟）已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与正
比例函数y＝﹣x的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
b
6．（2024•安徽一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=(c+3a)x− 的图象可能
a
是（ ）
A． B．
C． D．7．（2024•卧龙区校级二模）如图，一次函数y ＝x与二次函数 图象相交于P、Q两点，则
1 y =ax2+bx+c
2
函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点2 二次函数图象与系数的关系】
1．（2023秋•禹城市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论①abc＞0，
②2a+b＝0，③b2＞4ac，④4a+2b+c＞0，⑤3a+c＜0中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024春•天府新区校级月考）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）
如图所示，小明同学得出了以下结论：
①abc＜0，②a2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，⑤a+b≤m（am+b）
（m为任意实数）．其中结论正确的个数为（ ）A．3 B．2 C．5 D．6
3．（2024•临邑县模拟）小红从图所示的二次函数 y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：
①b＞0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0，你认为其中正确信息的个数有（
）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2024•十堰模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；
④a﹣b+c＞0；
⑤若 bx bx ，且x ≠x ，则x +x ＝2．其中正确的有（ ）
ax2+ 1=ax2+ 2 1 2 1 2
1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2024•宝安区二模）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x
轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①b＝2a；
②c﹣a＝n；
③抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间；
④当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0；
1
⑤一元二次方程ax2+（b− ）x+c＝0有两个不相等的实数根．
2
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024•岚山区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（4，0），其对称轴为直
线x＝1，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＝0；④若关
于x的方程ax2+bx+c＝﹣1有两个实数根x x ，且满足x ＜x ，则x ＜﹣2，x ＞4；⑤直线y＝kx﹣4k
1 2 1 2 1 2
（k≠0）经过点（0，c），则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c+4k＞0的解集是0＜x＜4．其中正确结论
的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．（2024春•五莲县期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣2，下列说
法；①c﹣3a＞0；②4a2﹣2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；③若图象上存在点A（x ，y ）和B
1 1
（x ，y ），当m＜x ＜x ＜m+3时，满足y ＝y ，则m的取值范围为﹣5＜m＜﹣2；④若直线y＝px+q
2 2 1 2 1 2与抛物线两交点横坐标为分别为﹣1，﹣4．则不等式ax2+（b﹣p）x+c＜q的解集为4＜x＜﹣1．其中正
确个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点3 二次函数图象上点的坐标特征】
1．（2023秋•义乌市期末）已知二次函数y＝﹣mx2+2mx+4（m＞0）经过点A（﹣2，y ），点B（1，
1
y ），点C（3，y ），那么y ，y ，y 的大小关系为（ ）
2 3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 2 3 1 3 1 2
2．（2024春•鼓楼区校级期末）已知二次函数 y＝（x﹣1）2+2的自变量x ，x ，x 对应的函数值分别为
1 2 3
y ，y ，y ．当﹣1＜x ＜0，1＜x ＜2，x ＞3时，y ，y ，y 三者之间的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．不能确定
1 2 3 2 1 3 3 1 2
3．（2024•三元区一模）若二次函数y＝﹣x2﹣bx﹣c的图象过不同的几个点A（﹣1，a）、B（3，a）、C
（﹣2，y ）、D（−❑√2，y ）、E（❑√3，y ），则y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 1 3
4．（2024春•镇海区期末）已知二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2（a≠0）的图象上有两点A（x ，
1
p），B（x ，q），其中x ＜x ，则（ ）
2 1 2
A．若a＞0，当x +x ＞﹣5，则p＞q
1 2
B．若a＞0，当x +x ＜﹣3，则p＞q
1 2
C．若a＜0，当x +x ＞﹣3，则p＞q
1 2
D．若a＜0，当x +x ＜﹣5，则p＞q
1 2
5．（2024春•浦江县期末）点A（﹣4，y ），B（﹣2，y ），C（1，y ），D（4，y ）是二次函数y＝﹣
1 2 3 4
2x2﹣4x+c+2图象上的四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y y ＞0，则y y ＞0 B．若y y ＞0，则y y ＞0
1 2 3 4 1 4 2 3
C．若y y ＜0，则y y ＜0 D．若y y ＜0，则y y ＞0
3 4 1 2 2 3 1 4
6．（2024•赣榆区三模）已知点A（x ，y ）在直线y＝﹣x﹣6上，点B（x ，y ），C（x ，y ）在抛物线y
1 1 2 2 3 3＝﹣x2﹣4x﹣2上，若y ＝y ＝y ，x ＜x ＜x ，则x +x +x 的取值范围是（ ）
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A．﹣8＜x +x +x ＜﹣4 B．﹣10＜x +x +x ＜﹣6
1 2 3 1 2 3
C．﹣4＜x +x +x ＜0 D．﹣12＜x +x +x ＜﹣8
1 2 3 1 2 3
7．（2024春•海淀区校级期中）已知点A（x ，y ）、B（x ，y ）为抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上的两
1 1 2 2
点，当t﹣1＜x ＜t+1，t+2＜x ＜t+4 时，下列说法正确的是（ ）
1 2
3 1
A．若t＞− ，则y ≤y B．若y ＜y ，则t＞−
1 2 1 2
2 2
1 1
C．若y ＞y ，则t＜ D．若t＜− ，则y ≥y
1 2 1 2
2 2
【考点4 二次函数图象的几何变换】
1．（2024春•北碚区校级月考）将抛物线C ：y＝3x2+ax+b向左平移1个单位，向上平移1个单位后得到
1
新抛物线C ：y＝3x2+3x﹣17，则a﹣b的值为（ ）
2
A．12 B．15 C．18 D．21
2．（2024•阎良区三模）将二次函数y＝x2﹣6x+m2+6（m为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向
下平移2个单位后得到的二次函数图象经过点（1，5），则m的值为（ ）
A．0 B．1或﹣1 C．2或﹣2 D．3或﹣3
1
3．（2024•广西模拟）将抛物线y= x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
2
A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1
1 1
C．y=− x2+1 D．y=− x2−1
2 2
4．（2024•岳麓区校级模拟）二次函数y＝m（x+3）2﹣3（m为常数且m≠0）的图象与y轴交于点A．将
该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转180°，旋转后的图象与y轴交于点B，若AB＝12，则m的值
为（ ）
1 1
A．1或− B．1或﹣3 C．3 D．
3 3
5．（2024•鼓楼区一模）在平面直角坐标系中，将二次函数 y＝x2﹣4的图象沿直线x＝2翻折，它能够与
另一个二次函数的图象重合，另一个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2+4 B．y＝x2﹣6x+8
C．y＝x2﹣8x+12 D．y＝﹣x2﹣4
6．（2024春•肇东市校级月考）将抛物线y＝2（x+1）2+3沿x轴翻折后对应的函数解析式为 ．
7．（2023秋•太仓市期中）在平面直角坐标系中，把抛物线y＝﹣3（x+2）2﹣1沿y轴翻折所得新抛物线的解析式为 ．
【考点5 由二次函数的最值求字母的值】
1．（2023秋•榆林期末）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值（
）
A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3
1
2．（2024春•鄞州区校级期末）若当﹣4≤x≤2时，二次函数y= x2−mx+1(m＞0)的最小值为0，则m
2
＝（ ）
9 3 3
A．− B．❑√2 C． D．❑√2或
4 2 2
3．（2024春•榆阳区校级月考）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+5有最大值4，则实数m的值为
（ ）
A．﹣3 B．﹣1或2 C．2或﹣3 D．2或﹣3或﹣1
4．（2023•绵竹市模拟）当﹣2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的
值为（ ）
A．2 B．2或−❑√3
7 7
C．2或−❑√3或− D．2或±❑√3或−
4 4
5．（2024•子洲县三模）已知抛物线y＝2x2﹣4x+3在自变量x的值满足m≤x≤m+2时，与其对应的函数值y
的最大值为9，则m的值为（ ）
A．﹣1或5 B．﹣1或2 C．﹣1或1 D．1或4
6．（2024•邢台三模）点A（a，b ），B（a+2，b ）在函数y＝﹣x2+2x+3的图象上，当a≤x≤a+2时，函数
1 2
的最大值为4，最小值为b ，则a的取值范围是（ ）
1
A．0≤a≤2 B．﹣1≤a≤2 C．﹣1≤a≤1 D．﹣1≤a≤0
7．（2023•江阳区校级模拟）当2b﹣2≤x≤2b+1时，抛物线y＝﹣（x﹣b）2+4b﹣1有最大值2，则b的值为
（ ）
3 3 3
A．1或 B．7或1 C．7或 D．1或−
4 4 4
【考点6 由二次函数的性质求代数式最值】
1．（2023•江都区一模）已知y2﹣2x+4＝0，则x2+y2+2x的最小值是（ ）
A．8 B．﹣8 C．﹣9 D．9
2．（2023 秋•如皋市校级月考）已知实数 a、b 满足 a﹣b2＝2，则代数式 a2﹣3b2+a﹣9 的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣9
1 1 4
3．（2024•浙江模拟）已知：m= a2−a− (0≤a≤4)，n= (1≤b≤4)，m+n＝2，则下列说法中正确
2 2 b
的是（ ）
A．n有最大值4，最小值1
3
B．n有最大值3，最小值−
2
C．n有最大值3，最小值1
5
D．n有最大值3，最小值
2
4．（2023秋•潜山市期末）已知s，t是实数，点（s，t2）在函数y＝﹣2x2+6x的图象上，设w＝t2+s2+2s，
则w的最大值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
5．（2022秋•泗洪县期末）已知非负数x，y，z满足x+y＝3，z﹣3x＝4，设s＝﹣x2+y+z的最大值为a，最
小值为b，则a﹣b的值为（ ）
10
A．6 B．5 C．4 D．
3
6．（2024•邗江区校级一模）若实数x，y满足关系式3x2+y2＝6x，则2x2+y2的最大值为 ．
7．（2024•高港区三模）已知p2﹣2ap+1＝0，q2﹣2（a﹣1）q﹣2a+2＝0，且a≥2，设t＝a（p+q），则t
的最小值为 ．
【考点7 由二次函数的性质求几何最值】
1．（2024•雁塔区校级四模）在平面直角坐标系xOy中，M是抛物线y＝x2+x﹣2在第三象限上的一点，过
点M作x轴和y轴的垂线，垂足分别为P，Q，则四边形OPMQ的周长的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
2．（2023秋•贵池区期末）正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若
AP＝PF，则△APF的面积最大值为（ ）A．8 B．6 C．4 D．2❑√2
3．（2023秋•宣化区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的
速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、
DF，则△DEF面积最小值为（ ）
3 3 4 8
A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2
2 4 5 5
4．（2024•石家庄模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿
边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动，如果P、Q
两点分别从A、B两点同时出发，设运动时间为t s，那么△PBQ的面积S的最大值为 mm2．
5．（2024•宜兴市一模）如图，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝3，E、F分别是边BC、CD上的动点，且
BE＝CF，将△BCF沿着BC方向向右平移到△EGH，连接DH、EH，当DE＝EH时，DH长是 ；
运动过程中，△DEH的面积的最小值是 ．
6．（2024•祁阳市二模）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、
C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB
上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴
于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 ．7．（2024•大武口区校级模拟）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N，设点M的横坐标
为m，请用含m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若
不存在，请说明理由．
【考点8 二次函数的实际应用】
1．（2024•广水市模拟）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长
40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动
区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．
A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．
（1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 m2，花卉
B的种植面积是 m2，花卉C的种植面积是 m2．
（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．2．（2024•江岸区校级模拟）小明准备给长16米，宽12米的长方形空地栽种花卉和草坪，图中I、II、III
三个区域分别栽种甲、乙、丙三种花卉，其余区域栽种草坪．四边形ABCD和EFGH均为正方形，且各
有两边与长方形边重合，矩形MFNC（区域II）是这两个正方形的重叠部分，如图所示．
（1）若花卉均价为450元/米2，种植花卉的面积为S（米2），草坪均价为300元/米2，且花卉和草坪裁
种总价不超过65400元，求S的最大值；
（2）若矩形MFNC满足MF：FN＝1：3．
①求MF，FN的长；
②若甲、乙、丙三种花卉单价分别为150元/米2，80元/米2，150元/米2，且边BN的长不小于边ME长
5
的 倍．求图中I、II、II三个区域栽种花卉总价W元的最大值．
4
3．（2024•襄城区模拟）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．两种产品
成本价、售价及每日需支付的专利费如下表所示：
类别产品 成本价（元/件） 售价（元/件） 每日需支付的专利费（元）
A m（m为常数，且4≤m≤6） 8 30
B 12 20 y
其中A产品每日最多产销500件，B产品每日最多产销300件，B产品每日需支付专利费y（元）与每日
产销x（件）满足关系式y＝80+0.01x2．
（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w 元，w 元，请分别写出w ，w 与x的函数关系式，并写
1 2 1 2
出x的取值范围；
（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润；（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．
【利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费】
4．（2024•天山区校级一模）某小区内超市在“新冠肺炎”疫情期间．两周内将标价为 10元/斤的某种水
果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）①从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息
如表所示：
时间x（天） 1≤x＜9 9≤x＜15
售价（元/斤） 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格
销量（斤） 80﹣3x 120﹣x
储存和损耗费用（元） 40+3x 3x2﹣64x+400
已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之
间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大．
②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于330元，请直接写出结果．
5．（2024•大冶市一模）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造
的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第 x天（1≤x≤28，且x
为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7 …
销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 …
为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价 z（元）与第x天（1≤x≤28且x为整
数）成一次函数关系且满足z＝﹣2x+100．已知该纪念品成本价为20元/件．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
（3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价
在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，
问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值．
6．（2024•江岸区模拟）某次军训中，借助小山坡的有利地势，优秀学员小明在教官的指导下用手榴弹
（模拟手榴弹）进行一次试投：如图所示，把小明投出的手榴弹的运动路线看成一条开口向下的抛物
线，抛物线过原点，手榴弹飞行的最大高度为10米，此时它的水平飞行距离为20米，山坡OA的坡度
为1：10，山坡上A处的水平距离OB为30米．（1）求这条抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）A处有一棵树AC，AC＝4.4米，则小明投出的手榴弹能否越过这棵树？请说明理由；
（3）求手榴弹在飞行的过程中离坡面OA的最大高度是多少米．
7．（2024•梁园区校级四模）嘉嘉和淇淇在进行羽毛球比赛，某同学借此次情境编制了一道数学题，请解
答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表 1m长，嘉嘉在点A（6，1）处发球，羽毛球（看成
点）的运动路线为抛物线C 的一部分．当球运动到最高点时，离嘉嘉站立的位置水平距离为 3m，其高
1
度为2m，淇淇恰在点B（0，c）处将球击回．在与点O水平距离3m处设有一个高为1.5m的球网MN、
P，Q为两侧边界．与球网的距离均为7m（注意：运动员在接/发球时，身体不可以接触球网，否则犯
规）．
（1）求抛物线C 的解析式和c的值（不必写x的取值范围）；
1
1 8
（2）当羽毛球被淇淇击回后，其运动路线为抛物线C ：y=− x2+ +c的一部分．
2
5 5
①试通过计算判断此球能否过网？是否出界？
12
②嘉嘉在球场上C（d，0）处准备接球，原地起跳后使得球拍达到最大高度 m，若嘉嘉因接球高度
5
不够而失球，直接写出d的取值范围．
【考点9 二次函数中的存在性问题】
9
1．（2024•德阳模拟）平面直角坐标系中，抛物线y=a(x−1) 2+ 与x轴交于A，B（4，0）两点，与y
2
轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，
若不存在，请说明理由；
（3）如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，
请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
2．（2024•龙江县模拟）如图，已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（点A在点B的左
1
侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x= ，P是第一象限内抛物线上一个动点．
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作PM⊥x轴，与线段BC交于点M，垂足为点H，若PM＝MH时，求△PBC的面积；
（3）若以P，M，C为顶点的三角形是以∠PMC为底角的等腰三角形时，求线段MP的长；
（4）已知点Q是直线PC上一点，在（3）的条件下，直线PM上是否存在一点K，使得以Q，M，C，
K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
1 3
3．（2024春•南川区期中）已知抛物线y=− x2+ x+2与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左
2 2
侧），与y轴交于点A．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作PH⊥x轴于H，交AC于点Q，设四边形OAPC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和△QHC的面积；
（3）在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得以P、C、
M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标．
5 5
4．（2023秋•陵城区期末）如图，抛物线y=ax2+bx+ 与直线AB交于点A(−1，0)，B(4， )．点
2 2
D是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A、B重合），经过点D且与y轴平行的直线交直线AB
于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若点D为抛物线的顶点，点P是抛物线上的动点，点Q是直线AB上的动点．是否存在以点P，
Q，C，D为顶点的四边形是以CD为边的平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明
理由．
5．（2024•武威二模）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x＝2与x轴交于点
C，直线y＝﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m），且与y轴、直线x＝2分别交于点D、E，点D是
BE的中点．
（1）求m的值；
（2）求该抛物线对应的函数关系式；
（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB＝PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2024春•青山区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）、C（0，﹣2）．
（1）求抛物线表达式；
（2）点Q是位于第四象限内抛物线上的一个动点，当△QBC的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标，
若不存在，请说明理由．
7．（2024•连州市二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（﹣3，0）两
点，与y轴交于点C（0，﹣3），点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接BC，CP，BP．
（1）求该抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）△BCP的面积是否存在最大值？若存在，请求出△BCP面积的最大值及此时点P的坐标；若不存
在，请说明理由；
（3）设直线AQ与直线BC交于点Q，若存在∠AQB与∠ACB中一个是另一个的2倍，请直接写出点Q
的坐标；若不存在，请说明理由．【考点10 二次函数中的新定义问题】
1．（2024•南通一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图
象的“平衡点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“平衡点”．
3
（1）在函数①y＝﹣x+3，②y= ，③y＝﹣x2+2x+1，④y＝x2+x+7的图象上，存在“平衡点”的函
x
数是 ；（填序号）
4
（2）设函数y=− （x＞0）与y＝2x+b的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足
x
为C．当△ABC为等腰三角形时，求b的值；
（3）若将函数y＝x2+2x的图象绕y轴上一点M旋转180°，M在（0，﹣1）下方，旋转后的图象上恰有
1个“平衡点”时，求M的坐标．
2．（2024•长沙模拟）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数
值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正
比例函数y＝x，它的相关函数为y { x(x≥0) )．
=
−x(x＜0)
（1）已知点A（﹣5，10）在一次函数y＝ax﹣5的相关函数的图象上，求a的值；
1
（2）已知二次函数y＝﹣x2+4x− ．
2
3
①当点B（m， ）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；
2
1
②当﹣3≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x− 的相关函数的最大值和最小值．
2
1 9
（3）在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为（− ，1）、（ ，1），连接MN．直接写出线段
2 2MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．
3．（2024•兴隆台区校级三模）我们定义【a，b，c】为函数y＝ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y＝2x2
﹣3x+5的“特征数”是【2，﹣3，5】，函数y＝x+2的“特征数”是【0，1，2】，函数y＝﹣2x的
“特征数”是【0，﹣2，0】．
（1）若一个函数的特征数是【1，﹣4，1】，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单
位，得到一个图象对应的函数“特征数”是 ．
❑√3
（2）将“特征数”是【0，− ，﹣1】的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数
3
的解析式是 ．
（3）当“特征数”是【1，﹣2m，m2﹣3m】的函数在直线x＝m﹣2和直线x＝1之间的部分（包括边界
点）的最高点的纵坐标为5时，求m的值．
（4）点A（﹣2，1）关于y轴的对称点为点D，点B（﹣2，﹣3m﹣1）关于y轴的对称点为点C．当若
（3）中的抛物线与四边形ABCD的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为 3时，
直接写出m的值．（m为常数）
4．（2024•龙岗区校级模拟）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：
点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y﹣x”称为点A的“纵横值”．
函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵值”．
【举例】已知点A（1，3）在函数y＝2x+1图象上．
点A（1，3）的“纵横值”为y﹣x＝3﹣1＝2；
函数y＝2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，当3≤x≤6时，x+1的最大
值为6+1＝7，所以函数y＝2x+1（3≤x≤6）的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：（1）①点B（﹣6，2）的“纵横值”为 ；
4
②求出函数y= +x（2≤x≤4）的“最优纵横值”；
x
3
（2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线x= 上，且最优纵横值为5，求c的值；
2
（3）若二次函数y＝﹣x2+（2b+1）x﹣b2+3，当﹣1≤x≤4时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b
的值．
c
5．（2024春•海州区校级月考）我们定义：点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数y= 上，若
x
c
存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数和y＝ax+b反比例函数y= 的
x
“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点 P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，点Q（1，﹣2）在
2
y=− 上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数y＝x2﹣x﹣2为一次函数y＝x﹣1和反比例函数
x
2
y=− 的“向光函数”，点P（﹣1，﹣2）是“幸福点”．
x
2
（1）判断一次函数y＝x+1和反比例函数y=− 是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”
x
坐标；若不存在，请说明理；
k+3
（2）若一次函数y＝x﹣k与反比例函数y= 只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
x
c
（3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y= 有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函
x
数”y＝ax2+bx+c与轴x交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：
S
①a+b+c＝0②“向光函数”经过点（﹣3，4），③a＞b＞0，记四边形ACBD的面积为S，求 的取
a
值范围．
6．（2024•无锡模拟）定义：把函数C ：y ＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）的图象绕点P（O，n）旋转180°，得
1 1
到新函数C 的图象，我们称C 是C 关于点P的相关函数，C 的图象顶点纵坐标为m．
2 2 1 2
（1）当n＝0时，求新函数C 的顶点坐标（用含a的代数式表示）；
2
3
（2）若a＝1，当− ≤x≤m时，函数C 的最大值为y ，最小值为y ，且y +y ＝7，求C 的解析式；
1 1 2 1 2 2
2
（3）当n＝1时，C 的图象与直线y＝2相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．
2把线段AD绕点（0，2）逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C 的图象有公共
2
点，结合函数图象，请直接写出a的取值范围 ．
7．（2024春•雨花区期末）定义：若一个函数图象与直线y＝﹣x有交点，该函数就称为“零和函数”，
两个函数图象的交点称为“零和点”，例如：y＝x+2图象与y＝﹣x的交点是（﹣1，1），则y＝x+2是
“零和函数”，交点（﹣1，1）是“零和点”．
（1）以下两个函数：①y＝2x﹣1，②y＝x2+x+4，是“零和函数”的是 （填写序号）；
（2）一个“零和函数”y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0），顶点恰好是“零和
点”，求该二次函数的解析式；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a＜0）的图象上有两个不同的“零和点”A
15
（x ，y ）和B（x ，y ），且x2+x2=5，该二次函数的图象与 y轴交点的纵坐标是− ，若已知
1 1 2 2 1 2 2
1 2 24
M=a− b2− b+ ，求M的取值范围．
5 5 5
