专题06有理数的乘法（4个知识点3种题型1个易错点2种中考考法）（学生版）_初中数学_七年级数学上册（人教版）_常见题型通关讲解练-V3

专题 06 有理数的乘法（4 个知识点 3 种题型 1 个易 错点 2 种中考考法） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.有理数的乘法法则（重点） 知识点2.倒数的概念 知识点3.多个有理数相乘（难点） 知识点4.有理数的乘法运算律（难点） 【方法二】 实例探索法 题型1.相反数、倒数、绝对值的综合应用 题型2.运用有理数的乘法运算解决实际问题 题型3.有理数乘法的规律探究 【方法三】差异对比法 易错点 利用分配律时出错 【方法四】 仿真实战法 考法1.有理数的乘法 考法2.倒数 【方法五】 成果评定法 【学习目标】 1. 了解有理数乘法的意义，掌握有理数的乘法法则及多个有理数相乘的符号法则，会进行有理数的乘法 运算。 2. 理解有理数的乘法运算律，并并会运用运算律简化运算。 3. 理解有理数的倒数的意义，会求一个有理数的倒数。4. 能利用有理数的乘法解决实际问题。 【知识导图】 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.有理数的乘法法则（重点） 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 【例1】计算： (1)5×(－9); (2)(－5)×(－9)； (3)(－6)×(－9); (4)(－6)×0； (5)(－)×. 知识点2.倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 1 1 一般地，a• =1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是 ． a a（2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要． 倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 【例2】求下列各数的倒数． (1)－；(2)2；(3)－1.25；(4)5. 知识点3.多个有理数相乘（难点） 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶 数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 【例3】计算： (1)－2×3×(－4)； (2)－6×(－5)×(－7)； (3)0.1×(－0.001)×(－1)； (4)(－100)×(－1)×(－3)×(－0.5)； (5)(－17)×(－49)×0×(－13)×37.知识点4.有理数的乘法运算律（难点） 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 【例4】计算： (1)(－＋)×(－24)； (2)(－7)×(－)×. 【变式1】计算： 【变式2】计算 1 5 7 1   15 （1）(36)     （2）99 8 4 6 9 18  16 【变式3】计算：－32×＋(－11)×(－)－(－21)×. 【变式4】（2022秋•泰州月考）用简便方法计算： （1） ； （2）（﹣99）×999．5 71 8 【变式5】学习了有理数的运算后，薛老师给同学们出了这样一道题目：计算： ，看谁算得又 16 对又快.两名同学给出的解法如下： 1151 9208 1  8 575 小强：原式 16 16 2  15 15 1 小莉：原式71 8718 8575  16 16 2 （1）对于以上两种解法，你认为谁的解法最好？理由是什么？对你有何启发？ （2）此题还有其他解法吗？如果有，用另外的方法把它解出来？ 【方法二】实例探索法 题型1.相反数、倒数、绝对值的综合应用 1.已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为6，求－cd＋|m|的值． 2020(mn) 1  pq a 2．若m、n互为相反数，p、q互为倒数，且 a =6，求 的值． 2021 2 题型2.运用有理数的乘法运算解决实际问题 3.我市旅游局发布统计报告：国庆期间，溱湖风景区在7天假期中每天接待游客的人数变化如下表(正数表 示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数). 日期 10月 10月 10月 10月 10月 10月 10月6日 1日 2日 3日 4日 5日 7日 人数变化 单位：万 ＋1.2 ＋0.8 ＋0.2 －0.2 －0.6 ＋0.2 －1 人 若9月30日的游客人数为0.6万人，10月1日～10月3日门票为每人150元，10月4日～10月5日 门票为每人120元，10月6日～10月7日门票为每人100元，问国庆期间溱湖风景区门票收入是多少元？ 4．（2022秋·广西玉林·七年级统考期中）某果农把自家果园的草莓包装后再进行销售，原计划每天卖10 箱，但由种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有所增减，下表是某个星期的销售情况（超额记为正， 不足额记为负，单位：箱） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差 值 (1)根据表格可知，销售量最多的一天比最少的一天多卖出__________箱； (2)本周实际销售总量超过或不足计划数量多少箱？请通过计算说明理由； (3)若每箱草莓的售价为65元，已知果园有3个工人，每人每天的开支为80元，卖出每箱草莓需支出包装 费5元，那么该果农本周共获利多少元？ 5．（2023秋·江苏·七年级专题练习）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于 各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星 一 二 三 四 五 六 日 期 增 减 (1)根据记录可知前四天共生产 辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆； (3)该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生 产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？题型3.有理数乘法的规律探究 6．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解 决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． |a| |b| |c| （提出问题）三个有理数a、b、c满足 ，求   的值． abc0 a b c （解决问题） 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即a0，b0，c0时， |a| |b| |c| a b c 则：      1113； a b c a b c ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a0，b0，c0 |a| |b| |c| a b c      1111 则： a b c a b c |a| |b| |c| 所以：   的值为3或-1． a b c （探究）请根据上面的解题思路解答下面的问题： |a| |b| |c| （1）三个有理数a，b，c满足 ，求   的值； abc0 a b c （2）已知|a|3，|b|1，且ab，求ab的值． 7．（2022秋·福建泉州·七年级校考阶段练习）【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则． 在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考． 【探索】 （1）若 ，则 的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是_____；（填序号） （2）若 ，且 、 为整数，则 的最大值为_______； 【拓展】 （3）数轴上A、 两点分别对应有理数 、 ，若 ，试比较 与0的大小． 【方法三】差异对比法 易错点 利用分配律时出错17 8.学习了有理数之后，老师给同学们出了一道题：计算：17 ×（﹣9），下面是小方给出的答案，请判 18 断是否正确，若错误给出正确解答过程． 17 17 1 解：原式＝﹣17 ×9＝﹣17 ＝﹣25 ． 18 2 2 【方法三】 仿真实战法 考法1. 有理数的乘法 9．（2023•南通）计算（﹣3）×2，正确的结果是（ ） A．6 B．5 C．﹣5 D．﹣6 10．（2022•泰安）计算（﹣6）×（﹣ ）的结果是（ ） A．﹣3 B．3 C．﹣12 D．12 考法2.倒数 11．（2022•连云港）﹣3的倒数为（ ） A．﹣ B． C．3 D．﹣3 【方法五】 成果评定法 一、单选题 1．（2023秋·全国·七年级专题练习）计算 ，运用哪种运算律可避免通分（ ） A．加法交换律和加法结合律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．分配律 2．（2020秋·山东聊城·七年级校考期中）现有以下五个结论：①0没有相反数；②若两个数互为相反数， 则它们相除的商等于-1；③负数的绝对值是它的倒数；④绝对值等于其本身的有理数是零；⑤几个有理数 相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数．其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（2023秋·全国·七年级专题练习）下列各式中，计算结果为负数的是（ ）A． B． C． D． 4．（2023秋·全国·七年级专题练习）若a、b两数互为倒数，则下列等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 5．（2023秋·江苏·七年级专题练习）自然数6的所有因数有1、2、3、6，这几个因数之间的关系是 ，像这样的数叫做完全数（也叫完美数）．下面的数中（ ）是完全数． A．24 B．28 C．36 D．9 6．（2023秋·江苏·七年级专题练习）算式 可以化为（ ） A． B． C． D． 7．（2023秋·湖南岳阳·七年级校考开学考试）已知 ，那么 的得数比 多 （ ） A． B． C． D． 8．（2023秋·全国·七年级专题练习）计算 的值为（ ） A．1 B．36 C．﹣1 D．0 9．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）已知 ，则a， ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 10．（2023秋·湖南张家界·七年级统考期末）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为 2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2020次输出的结果是（ ） A．﹣1 B．3 C．6 D．8二、填空题 11．（2022秋·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）计算： ． 12．（2023秋·全国·七年级专题练习）计算： ． 13．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）计算： ． 14．（2023秋·七年级课前预习）计算： ． 15．（2023秋·全国·七年级专题练习）用简便方法计算： ． 16．（2023秋·全国·七年级专题练习）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一 座山峰，每登高 气温的变化量为 ，登高 后，气温下降 ． 17．（2022秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）在数4、 、3、 、1中，任意取3个不同的数相乘，其 中乘积最大是 ． 18．（2022秋·山东菏泽·七年级校考阶段练习）设 是最大的负整数， 是绝对值最小的有理数，则 ． 19．（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习） 的倒数是 . 20．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）若“！”是一种数学运算符号，并且 ， ， 则 ． 三、解答题 21．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）计算22．（2019秋·广东东莞·七年级东莞市华侨中学校考阶段练习）计算： 23．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）简便计算 (1) ； (2) ． 24．（2022秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）解答下列问题： 请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）：(1) ； (2) ． 25．（2022秋·河南开封·七年级校考阶段练习）若a，b互为倒数，c，d互为相反数，m为最大的负整数， 求 的值． 26．（2022秋·山东菏泽·七年级校考阶段练习）股民张智慧上星期五买进某公司股票1000股，每股27元， 下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨 +4 +4.5 ﹣1 ﹣2.5 ﹣4 跌(1)星期二收盘时，每股是 元？ (2)本周内最高价是每股 元？最低价每股 元？ (3)已知张智慧买进股票时付了0.15%的手续费，卖出时需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税，如果 张智慧在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 27．（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）根据下面给出的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A ， B ； (2)若将数轴折叠，使得A点与表示 的点重合，则B点与表示数 的点重合； (3)若数轴上M、N两点之间的距离为2022(M在N的左侧)，且M、N两点经过（2）中折叠后互相重合，则 M、N两点表示的数分别是：M ，N ． 28．（2021秋·四川遂宁·七年级校考阶段练习）我们知道， 可以理解为 ，它表示：数轴上表示数 a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示， 那么A，B两点之间的距离为AB＝ ，反过来，式子 的几何意义是：数轴上表示数a的点和表 示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是___，数轴上表示数﹣1的点和表示数﹣3的点之间的距离是___； (2)数轴上点A用数a表示，若 ，那么a的值为___； (3)数轴上点A用数a表示， ①若 ，那么a的值是___； ②当 时，数a的取值范围是___；这样的整数a有___个； ③ 有最小值，最小值是____； ④求 的最小值．