文档内容
专题 02 巧用有理数的七种方法（七大题型）
【题型01 归类法】
【题型02 凑整法】
【题型03 拆项法】
【题型05 逆向法】
【题型04 组合法】
【题型06 裂项相消法】
【题型07 倒数求值法】
【题型01 归类法】
方法：运用加法交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算如整数与整
数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。
( 1) ( 1) ( 1)
【典例1】计算： −2 +(+5)+ −3 +(+1.125)+ +4
8 2 2
【答案】5
【分析】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数加法运算法则和加法运算律是解题的关键．利
用有理数加法运算法则和加法运算律计算，即可求解．
( 1) ( 1) ( 1)
【详解】解： −2 +(+5)+ −3 +(+1.125)+ +4
8 2 2
[( 1) 1) ( 1 1)
= −2 +1 +5+ −3 +4
8 8 2 2
=−1+5+1
=5
【变式1-1】计算：
(1)25.7+(−7.3)+(−13.7)+7.3；( 1) ( 1)
(2)(−2.125)+ +3 + +5 +(−3.2)．
5 8
【答案】(1)12
(2)3
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．
（1）利用加法交换律与加法结合律，把互为相反数的两数相加，另两数相加；
（2）利用加法交换律与加法结合律，把小数部分相同的两数相加，互为相反数的两数相加．
【详解】（1）解：25.7+(−7.3)+(−13.7)+7.3
=[25.7+(−13.7))+[(−7.3)+7.3)
=12+0
=12；
( 1) ( 1)
（2）解：(−2.125)+ +3 + +5 +(−3.2)
5 8
[ 1) [ 1 )
= (−2.125)+5 + 3 +(−3.2)
8 5
=3+0
=3．
【变式1-2】简便计算：
( 1) ( 3) ( 3)
(1)1.5+ − + − + +1 ；
2 4 4
1 ( 2) 4 ( 1) ( 1)
(2) + − + + − + − ．
2 3 5 2 3
【答案】(1)2
1
(2)−
5
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．( 1) ( 3) ( 3)
（1）根据有理数加法的交换律和结合律将1.5和 − 结合， − 和 +1 结合，再进行计算即可．
2 4 4
1 ( 1) ( 2) ( 1)
（2）根据有理数加法的交换律和结合律将 和 − 结合， − 和 − 结合，再进行计算即可．
2 2 3 3
( 1) ( 3) ( 3)
【详解】（1）解：1.5+ − + − + +1
2 4 4
[ ( 1)) [( 3) ( 3))
= 1.5+ − + − + +1
2 4 4
=1+1
=2；
1 ( 2) 4 ( 1) ( 1)
（2）解： + − + + − + −
2 3 5 2 3
[1 ( 1)) [( 2) ( 1)) 4
= + − + − + − +
2 2 3 3 5
4
=0+(−1)+
5
1
=− ．
5
【变式1-3】计算：
( 2) ( 3) 2
(1) −3 − −2 +3 −(+5.75)；
3 4 3
(2)(−13)+(−7)−(+20)−(−40)+(+16)．
( 5) ( 2) ( 1) ( 1)
(3) + + − + +1 + − ；
6 3 6 3
(4)(+1.9)+3.6−(−10.1)+1.4．
【答案】(1)−3
(2)16
(3)1
(4)17【分析】本题考查了有理数的加减混合运算；
（1）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解；
（2）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解；
（3）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解；
（4）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解．
( 2) ( 3) 2
【详解】（1）解： −3 − −2 +3 −(+5.75)
3 4 3
2 3 2
=−3 +2 +3 −5.75
3 4 3
2 2 3
=(−3 +3 )+(2 −5.75)
3 3 4
=0−3
=−3；
（2）解：(−13)+(−7)−(+20)−(−40)+(+16)
=−13−7−20+40+16
=16；
( 5) ( 2) ( 1) ( 1)
（3）解： + + − + +1 + −
6 3 6 3
5 2 1 1
= − +1 −
6 3 6 3
=2−1
=1；
（4）解：(+1.9)+3.6−(−10.1)+1.4
=1.9+3.6+10.1+1.4
=17．
【题型02 凑整法】
方法：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数(如互为相反数)相消
【典例2】计算：
(1)(−18)+17+(−12)−(−33)．( 2) ( 7) ( 3) ( 1)
(2) +3 + −2 − −5 − +1 ．
5 8 5 8
【答案】(1)20
(2)5
【分析】本题主要考查了有理数的加法运算律：
（1）利用有理数的加法运算律计算，即可求解；
（2）利用有理数的加法运算律计算，即可求解．
【详解】（1）解：(−18)+17+(−12)−(−33)
=(−18−12)+(33+17)
=−30+50
=20；
( 2) ( 7) ( 3) ( 1)
（2）解： +3 + −2 − −5 − +1
5 8 5 8
2 7 3 1
=3 −2 +5 −1
5 8 5 8
( 2 3) ( 7 1)
= 3 +5 − 2 +1
5 5 8 8
=9−4
=5
【变式2-1】计算：
1 ( 3) 3 ( 2)
(1)3 + −2 +5 + −8 ；
4 5 4 5
1 ( 1)
(2)(−0.5)+3 +2.75+ −5 ；
4 2
| 3)
(3)−|−1.5)+ − +0．
2
【答案】(1)−2
(2)0(3)0
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．
( 1 3) ( 3 2)
（1）运用加法的交换律交换加数的位置，可变为 3 +5 − 2 +8 ，然后利用加法的结合律将
4 4 5 5
两个加数相加；
( 1) ( 1 )
（2）运用加法的交换律交换加数的位置，可变为− 0.5+5 + 3 +2.75 ，然后利用加法的结合律
2 4
将两个加数相加；
（3）先计算绝对值，再根据有理数的加法法则计算即可．
1 ( 3) 3 ( 2)
【详解】（1）解：3 + −2 +5 + −8
4 5 4 5
( 1 3) ( 3 2)
= 3 +5 − 2 +8
4 4 5 5
=9−11
=−2；
1 ( 1)
（2）解：(−0.5)+3 +2.75+ −5
4 2
( 1) ( 1 )
=− 0.5+5 + 3 +2.75
2 4
=−6+6
=0；
| 3)
（3）解：−|−1.5)+ − +0
2
3
=−1.5+ +0
2
=0．
【变式2-2】用简便方法计算：
(1)−4+17+(−36)−(−73)；5 | 1) 11 ( 4)
(2)− + − + + −
6 5 6 5
【答案】(1)50
2
(2)
5
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．
（1）将和为整数的两个数，分别结合为一组求解；
（2）先去绝对值符号和括号，再将分母相同的两个数，分别结合为一组求解．
【详解】（1）解：−4+17+(−36)−(−73)
=−(4+36)+(17+73)
=−40+90
=50；
5 | 1) 11 ( 4)
（2）解：− + − + + −
6 5 6 5
(11 5) (1 4)
= − + −
6 6 5 5
6 3
= −
6 5
3
=1−
5
2
= ．
5
1 3 ( 5)
【变式2-3】用简便方法计算：1 +3 +(−1.25)− −2
4 8 8
【答案】6
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．利用有理数的加法运算律计算，即可求解．
1 3 1 5
【详解】解：原式=1 +3 −1 +2
4 8 4 8
( 1 1) ( 3 5)
= 1 −1 + 3 +2
4 4 8 8=0+6
=6
【题型03 拆项法】
方法:将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律)(结合率或者利用
乘法分配率从而使得计算变得简洁
【典例3】计算：
( 5) ( 2) 2 ( 1)
−2019 + −2018 +4036 + −1
6 3 3 2
1
【答案】−3 ，计算过程见解析
3
【分析】此题考查了有理数的加法法则，利用拆分法进行计算，正确理解解题方法并正确解题是关键；
将各带分数依据已知题的拆分方法分别拆分，再将整数部分、分数部分分别相加，根据有理数的加法
法则进行计算即可得到答案；
[ ( 5)) [ ( 2)) ( 2) [ ( 1))
【详解】解：原式= (−2019)+ − + (−2018)+ − + 4036+ + (−1)+ −
6 3 3 2
[( 5) ( 2) 2 ( 1))
=[(−2019)+(−2018)+4036+(−1))+ − + − + + −
6 3 3 2
( 4)
=(−2)+ −
3
1
=−3
3
( 7 ) ( 5) ( 1)
【变式3-1】计算： −2022 + −2021 + −1 +4044．
24 8 6
1
【答案】−1
12
【分析】此题考查了有理数的加法计算．先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可．
( 7 ) ( 5) ( 1)
【详解】解： −2022 + −2021 + −1 +4044
24 8 6[ ( 7 )) [ ( 5)) [ ( 1))
= (−2022)+ − + (−2021)+ − + (−1)+ − +4044
24 8 6
[( 7 ) ( 5) ( 1))
=[(−2022)+(−2021)+(−1)+4044)+ − + − + −
24 8 6
( 13)
=0+ −
12
1
=−1 ．
12
( 2) 3 ( 1) 1
【变式3-2】（1）计算： −17 +16 + −15 −2 ；
3 4 3 2
( 5) ( 2) 2 ( 1)
（2）计算 −2000 + −1999 +4000 + −1 ．
6 3 3 2
3 4
【答案】（1）−18 ；（2）−
4 3
【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键．
（1）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可
得；
（2）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可
得；
( 2) 3 ( 1) 1
【详解】（1）解： −17 +16 + −15 −2
3 4 3 2
[( 2) 3 ( 1) ( 1))
=[(−17)+16+(−15)+(−2))+ − + + − + −
3 4 3 2
( 3)
=−18+ − ，
4
3
=−18 ；
4
( 5) ( 2) 2 ( 1)
（2）解： −2000 + −1999 +4000 + −1
6 3 3 2[( 5) ( 2) 2 ( 1))
=[(−2000)+(−1999)+4000+(−1))+ − + − + + −
6 3 3 2
( 4)
=0+ − ，
3
4
=− ．
3
( 5) ( 2) ( 1)
【变式3-3】计算： −2011 + −2012 +4023+ −1 ．
6 3 2
【答案】−3
【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，理解材料中简便运算方法是解题关键．根据有理数加
5 5 2 2 1 1
减混合运算法则，将−2011 变形为−2011− ，−2012 变形为−2012− ，−1 变形为−1− ，
6 6 3 3 2 2
然后进行计算即可．
( 5) ( 2) ( 1)
【详解】解：原式= −2011− + −2012− +4023+ −1−
6 3 2
( 5 2 1)
=(−2011−2012+4023−1)+ − − −
6 3 2
=−1+(−2)
=−3．
【题型04 逆向法】
方法：主要是将式子中的一些小数、带分数、分数互相转化，然后将乘法分配率逆向使
用，从而使得计算变得更加简单
( 3) 3 ( 3) 1
【典例4】计算题：2× −1 −2 ×13+ −1 ×5+ ×(−13)．
7 4 7 4
【答案】−49
【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则及乘法分配律是解本题的关键．
原式逆用乘法分配律计算即可求出值．( 3) 3 ( 3) 1
【详解】解：2× −1 −2 ×13+ −1 ×5+ ×(−13)
7 4 7 4
3 ( 3 1)
=−1 ×(2+5)−13× 2 +
7 4 4
10
=− ×7−13×3
7
=−10−39
=−49．
3
【变式4-1】计算：3.75×735−5730× +16.2×62.5
8
【答案】1620
【分析】本题主要考查有理数的简便计算，掌握乘法结合律是解题的关键．
3
【详解】解：3.75×735−5730× +16.2×62.5
8
=3.75×735−5730×0.375+(5.4×3)×(5×12.5)
=3.75×735−573×3.75+(5.4×5)×(12.5×3)
=3.75×735−573×3.75+27×37.5
=3.75×735−573×3.75+270×3.75
=3.75×(735−573+270)
=3.75×432
=1620．
【变式4-2】利用简便方法计算：
(1)3.2×200.9+4.7×200.9+2.1×200.9；
13 13 13
(2)36.8× +20.2× −2× ．
55 55 55
【答案】(1)2009
(2)13
【分析】本题考查了利用运算律进行有理数的简便运算等知识．
（1）逆用分配律进行计算即可求解；
（2）逆用分配律进行计算即可求解．
【详解】（1）解：3.2×200.9+4.7×200.9+2.1×200.9=(3.2+4.7+2.1)×200.9
=10×200.9
=2009；
13 13 13
（2）解：36.8× +20.2× −2×
55 55 55
13
=(36.8+20.2−2)×
55
13
=55×
55
=13．
【变式4-3】用简便方法计算下面各题．
4 4 4
(1) ×24+ ×9+
17 17 17
2019
(2)2019×
2020
【答案】(1)8
1
(2)2018
2020
【分析】本题主要考查分数的混合运算，简便计算，运算律的运用，掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据乘法分配律的逆运算即可求解；
2019 ( 1 )
（2）将 拆成 1− ，再运用乘法分配律即可求解．
2020 2020
4 4 4
【详解】（1）解： ×24+ ×9+
17 17 17
4
= ×(24+9+1)
17
4
= ×34
17
=8；
2019
（2）解：2019×
2020
( 1 )
=2019× 1−
20201
=2019×1−2019×
2020
2019
=2019−
2020
1
=2018 ．
2020
【题型05 组合法】
方法：通过组合相同的因数，减少计算量
【典例5】计算：1+2+3+⋯+2023+(−1)+(−2)+(−3)+⋯+(−2024)．
【答案】−2024
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．根据有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得．
【详解】解：1+2+3+⋯+2023+(−1)+(−2)+(−3)+⋯+(−2024)
=[1+(−1))+[2+(−2))+[3+(−3))+⋯+[2023+(−2023))+(−2024)
=0+0+0+⋯+0+(−2024)
=−2024．
【变式5-1】计算：−1+2−3+4−5+6−…−49+50．
【答案】25
【分析】观察算式发现，加数为正负相间，且从第一个加数开始，连续两个加数的和是1，据此可解决
问题．本题考查实数计算中的规律，能发现从第一个加数开始的两个连续加数的和都为1是解题的关键．
【详解】解：观察所给算式可知，
这50个加数正负相间，且从第一个加数开始的两个连续加数的和都为1，
所以原式=(−1+2)+(−3+4)+(−5+6)+…+(−49+50)
=25 × 1
=25．
【变式5-2】计算:2023−2020+2017−2014+2011−2008+⋯−16+13−10+7−4
【答案】1011
【分析】本题考查了数的规律，整式的加减法的速算与巧算，根据分组的方法计算是解答本题的关键．
根据观察，式子中一共有(2023−4)÷3+1=674个加数，每两个加数为一组，和是3，这些数分成
674÷2=337组，再算出结果即可．
【详解】解：2023−2020+2017−2014+2011−2008+⋯−16+13−10+7−4
=(2023−2020)+(2017−2014)+(2011−2008)+⋯+(19−16)+(13−10)+(7−4)=3+3+3+……+3+3+3
=3×337
=1011
【变式5-3】计算：1+2−3−4+5+6−7−8+⋯+2005+2006−2007−2008．
【答案】−2008
【分析】本题考查了有理数的混合运算，科学运用结合律是解题的关键．
【详解】解：原式
=(1−3)+(2−4)+(5−7)+⋯+(2005−2007)+(2006−2008)=−2×1004=−2008．
【题型06 裂项相消法】
方法：通过将数列中的每一项分解成两部分，然后重新组合，使得部分项在求和过程中相
互抵消，从而简化计算。
【典例6】先阅读下列例题，然后进行解答：
1 1 1 1
例：计算 + + +⋯+
1×2 2×3 3×4 9×10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
解：因为 = − ； = − ； = − ；⋯； = − 所以，
1×2 1 2 2×3 2 3 3×4 3 4 9×10 9 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
+ + +⋯+ = − + − + − +⋯+ − =1− =
1×2 2×3 3×4 9×10 1 2 2 3 3 4 9 10 10 10
请根据你的理解解答下列各题：
1 1 1 1
(1)计算： + + +⋯+
1×2 2×3 3×4 2011×2012
1 1 1 1
(2)计算： + + +⋯+
1×3 3×5 5×7 17×19
2011
【答案】(1)
2012
9
(2)
19
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）先拆分，再抵消法计算即可求解；
（2）先拆分，再抵消法计算即可求解．1 1 1 1
【详解】（1）解： + + +⋯+
1×2 2×3 3×4 2011×2012
1 1 1 1 1 1 1
=1− + − + − +⋯+ −
2 2 3 3 4 2011 2012
1
=1−
2012
2011
= ．
2012
1 1 1 1
（2）解： + + +⋯+
1×3 3×5 5×7 17×19
1 ( 1 1 1 1 1 )
= × 1− + − +⋯+ −
2 3 3 5 17 19
1 ( 1 )
= × 1−
2 19
1 18
= ×
2 19
9
= ．
19
【变式6-1】先阅读，再答题
2 3−1 1 2 5−3 1 1 2 7−5 1 1 2 9−7 1 1
= =1− , = = − , = = − , = = − ……
3 1×3 3 15 3×5 3 5 35 5×7 5 7 63 7×9 7 9
根据你发现的规律，试写出：
2 1 1
(1) = − ；
99 ( ) ( )
2
(2) = ________________；
n(n+2)
2 2 2 2 2 2 2
(3)计算： + + + + + +
3 15 35 63 99 143 195
【答案】(1)9；11
1 1
(2) −
n n+2
14
(3)
15【分析】本题考查数字规律的探索，结合题意分析规律是解题的关键．
（1）根据题中规律得出第5个等式即可得出结果；
（2）根据题意总结出规律即可；
（3）结合（2）中规律求解即可．
2 11−2 1 1
【详解】（1）解：由题意可得，第5个等式为 = = − ，
99 9×11 9 11
故答案为：9；11；
2 1 1
（2）由题意可得，第n个等式： = − ，
n(n+2) n n+2
1 1
故答案为： −
n n+2
2 2 2 2 2 2 2
（3） + + + + + +
3 15 35 63 99 143 195
2 2 2 2 2 2 2
+ + + + + + ，
1×3 3×5 5×7 7×9 9×11 11×13 13×15
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
=1− + − + − + − + − + − + −
3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15
1
=1−
15
14
= ．
15
1 1 1 1 1 1 1 1
【变式6-2】观察下列等式： =1− ， = − ， = − ．将以上三个等式两边分别
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
相加得： + + =1− + − + − =1− = ．
1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 4 4
1
(1)猜想并写出： = __________．
n(n+1)
(2)直接写出下列各式的计算结果：
1 1 1 1 1
① + + + +⋅⋅⋅+ =__________；
1×2 2×3 3×4 4×5 99×100
②若a、b为有理数，且|a−1)+(b−2) 2=0，则
1 1 1 1
+ + +⋅⋅⋅+ =
__________；
ab (a+1)(b+1) (a+2)(b+2) (a+2009)(b+2009)1 1 1 1
(3)探究并计算： + + +⋅⋅⋅+ ．
2×4 4×6 6×8 2012×2014
1 1
【答案】(1) −
n n+1
99 2010
(2)① ；②
100 2011
503
(3)
2014
【分析】本题考查了有理数的运算，根据题意找出规律是解决问题的关键．
（1）根据规律求解即可；
（2）①将式子按照（1）中的规律展开，求解即可；
②先求出a=1，b=2，将式子按照（1）中的规律展开，求解即可；
（3）将式子按照题意中的规律展开，求解即可．
1 1 1 1 1 1 1 1
【详解】（1）解：∵ =1− ， = − ， = − ，
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1 1 1
∴ = − ，
n(n+1) n n+1
1 1
故答案为： − ；
n n+1
1 1 1 1 1
（2）解：① + + + +⋅⋅⋅+
1×2 2×3 3×4 4×5 99×100
1 1 1 1 1 1 1
=1− + − + − +⋅⋅⋅+ −
2 2 3 3 4 99 100
1
=1−
100
99
= ；
100
99
故答案为： ．
100
②∵|a−1)+(b−2) 2=0，
∴a−1=0，b−2=0，
解得：a=1，b=2，
1 1 1 1
+ + +⋅⋅⋅+
ab (a+1)(b+1) (a+2)(b+2) (a+2009)(b+2009)1 1 1 1
= + + +⋅⋅⋅+
2 2×3 3×4 2010×2011
1 1 1 1 1 1 1
= + − + − +⋅⋅⋅+ −
2 2 3 3 4 2010 2011
1 1 1
= + −
2 2 2011
2010
= ；
2011
2010
故答案为： ．
2011
1 1 1 1
（3）解： + + +⋅⋅⋅+
2×4 4×6 6×8 2012×2014
1 (1 1 1 1 1 1 )
= × − + − +⋅⋅⋅+ −
2 2 4 4 6 2012 2014
1 (1 1 )
= × −
2 2 2014
503
= ．
2014
1 7 9 11 13 15 13 18
【扁丝6-3】计算：1 − + − + − + −
3 12 20 30 42 56 40 65
12
【答案】
13
【分析】本题考查了有理数加减混合运算，观察得到每个加数的规律是解题的关键．
从第二个分数开始，每个分数的分母可以拆分成2个数相加，而分子是这2个数的和，据此将分数变为
1 (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1 )
1+ − + + + − + + + − + + + − + ，然后将括号去掉进行
3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 5 8 5 13
简算即可．
1 7 9 11 13 15 13 18
【详解】解：1 − + − + − + −
3 12 20 30 42 56 40 65
1 (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1 )
=1+ − + + + − + + + − + + + − +
3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 5 8 5 131 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
=1+ − − + + − − + + − − + + − −
3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 5 8 5 13
1
=1−
13
12
= ．
13
【题型07 倒数求值法】
方法：倒数法:有些含有分数的数学问题，直接求解比较繁琐，若将分子、分母上下颠倒，
则便于求解，这种解法称为倒数法。
【典例7】阅读下列材料：
1 (1 1 1 )
计算： ÷ − +
24 3 4 12
1 1 1 1 1 1 11
解法一：原式= ÷ − ÷ + ÷ = ；
24 3 24 4 24 12 24
1 ( 4 3 1 ) 1 2 1
解法二：原式= ÷ − + = ÷ = ；
24 12 12 12 24 12 4
(1 1 1 ) 1 2 1
解法三：原式的倒数为 − + ÷ = ÷ =4，
3 4 12 24 12 24
1
故原式= ．
4
(1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，则解法______是错误的；
1 (1 3 2 2)
(2)请你运用合适的方法计算：− ÷ − − + ．
42 6 14 7 3
【答案】(1)一；
1
(2)− ．
14
【分析】（1）根据题意，第一种解法是错误，除法运算没有这样的运算律，不能自己杜撰乱用致错．
（2）选择适当且正确的方法解答即可．
本题考查了除法的运算，乘法分配律，熟练掌握运算律是解题的关键．【详解】（1）解：根据题意，得第一种解法是错误的，
故答案为：一．
(1 3 2 2) ( 1 )
（2）解：原式的倒数为 − − + ÷ −
6 14 7 3 42
(1 3 2 2)
= − − + ×(−42)
6 14 7 3
=−7+9+12−28
=−14，
1
故原式=− ．
14
【变式7-1】阅读以下材料，完成相关的填空和计算．
(1)根据倒数的定义我们知道，若(a+b)÷c=−2，则c÷(a+b)=______．
( 5 1 2) 1
(2)计算 − + ÷ ．
12 9 3 36
( 1 ) ( 5 1 2)
(3)根据以上信息可知： − ÷ − + ．
36 21 9 3
1
【答案】(1)−
2
(2)35
1
(3)
35
【分析】本题考查了有理数的除法以及倒数的定义，如图两个数乘积为1，那么这两个数互为倒数．
（1）根据倒数的定义可得出答案；
（2）将除法变为乘法，利用乘法的分配律进行计算即可；
（3）再由倒数的定义直接得出答案即可．
【详解】（1）解；∵(a+b)÷c=−2，
1
∴c÷(a+b)=− ，
2
1
故答案为：− ；
2( 5 1 2) 1
（2）解： − + ÷
12 9 3 36
( 5 1 2)
= − + ×36
12 9 3
5 1 2
= ×36− ×36+ ×36
12 9 3
=15−4+24
=35；
( 5 1 2) 1
（3）解：∵ − + ÷ =35
12 9 3 36
( 1 ) ( 5 1 2) 1
∴ − ÷ − + =
36 21 9 3 35
【变式7-2】【阅读材料】
1 (2 3 1)
计算： ÷ − + ．
20 5 4 2
分析：利用倒数的意义，可以先求原式的倒数，再得出计算的结果．
(2 3 1) 1 (2 3 1)
解：由于 − + ÷ = − + ×20=3，
5 4 2 20 5 4 2
1 (2 3 1) 1
所以 ÷ − + = ．
20 5 4 2 3
【问题解决】
( 1 ) (2 3 1)
根据上述方法，计算： − ÷ + − ．
12 3 4 6
1
【答案】−
15
【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法分配律，准确计算．
(2 3 1) ( 1 )
【详解】解：∵ + − ÷ −
3 4 6 12(2 3 1)
= + − ×(−12)
3 4 6
2 3 1
= ×(−12)+ ×(−12)− ×(−12)
3 4 6
=−8−9+2
=−15，
( 1 ) (2 3 1) 1
∴ − ÷ + − =− ．
12 3 4 6 15
1 1 1 3
【变式7-3】数学老师布置了一道思考题，“计算： − ÷( − + )”小明的计算方法如下：
24 3 6 8
1 1 1 3
− ÷( − + )
24 3 6 8
1 1 1 1 1 3
=− ÷ +(− )÷(− )+(− )÷(− )，
24 3 24 6 24 8
1 1 1 8
=− ×3+ ×6+(− )×(− )，
24 24 24 3
1 1 1
=− + + ，
8 4 9
17
= ．
72
请判断小明的做法是否正确，如果不正确，请写出正确的解法．
【答案】小明的做法不正确，正确解法见解析．
【分析】此题考查了有理数的加减法和除法运算，先通分括号内的式子，再计算括号外的除法即可，
熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【详解】解：小明的做法不正确，正确解法如下：
1 1 1 3
− ÷( − + )
24 3 6 8
1 8 4 9
=− ÷( − + )，
24 24 24 24
1 13
=− ÷(− )，
24 24
1 24
= × ，
24 131
= ．
13
