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专题 02 巧用有理数的七种方法（七大题型）
【题型01 归类法】
【题型02 凑整法】
【题型03 拆项法】
【题型05 逆向法】
【题型04 组合法】
【题型06 裂项相消法】
【题型07 倒数求值法】
【题型01 归类法】
方法：运用加法交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算如整数与整
数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。
【典例1】计算：( 1) ( 1) ( 1)
−2 +(+5)+ −3 +(+1.125)+ +4
8 2 2
【变式1-1】计算：
(1) ； (2) ( 1) ( 1) ．
25.7+(−7.3)+(−13.7)+7.3 (−2.125)+ +3 + +5 +(−3.2)
5 8
【变式1-2】简便计算：
(1) ( 1) ( 3) ( 3)； (2)1 ( 2) 4 ( 1) ( 1)．
1.5+ − + − + +1 + − + + − + −
2 4 4 2 3 5 2 3【变式1-3】计算：
(1) ( 2) ( 3) 2 ； (2) ．
−3 − −2 +3 −(+5.75) (−13)+(−7)−(+20)−(−40)+(+16)
3 4 3
(3)( 5) ( 2) ( 1) ( 1)； (4)
+ + − + +1 + − (+1.9)+3.6−(−10.1)+1.4．
6 3 6 3
【题型02 凑整法】
方法：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数(如互为相反数)相消
【典例2】计算：
(1) (2)( 2) ( 7) ( 3) ( 1)
(−18)+17+(−12)−(−33)． +3 + −2 − −5 − +1 ．
5 8 5 8
【变式2-1】计算：
(1) 1 ( 3) 3 ( 2)； (2) 1 ( 1)；
3 + −2 +5 + −8 (−0.5)+3 +2.75+ −5
4 5 4 5 4 2
(3) | 3) ．
−|−1.5)+ − +0
2【变式2-2】用简便方法计算：
(1) ； (2) 5 | 1) 11 ( 4)
−4+17+(−36)−(−73) − + − + + −
6 5 6 5
【变式2-3】用简便方法计算： 1 3 ( 5)
1 +3 +(−1.25)− −2
4 8 8
【题型03 拆项法】
方法:将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律)(结合率或者利用
乘法分配率从而使得计算变得简洁
【典例3】计算：
( 5) ( 2) 2 ( 1)
−2019 + −2018 +4036 + −1
6 3 3 2
【变式3-1】计算：( 7 ) ( 5) ( 1) ．
−2022 + −2021 + −1 +4044
24 8 6
【变式3-2】（1）计算：( 2) 3 ( 1) 1；
−17 +16 + −15 −2
3 4 3 2（2）计算( 5) ( 2) 2 ( 1)．
−2000 + −1999 +4000 + −1
6 3 3 2
【变式3-3】计算：( 5) ( 2) ( 1)
−2011 + −2012 +4023+ −1 ．
6 3 2
【题型04 逆向法】
方法：主要是将式子中的一些小数、带分数、分数互相转化，然后将乘法分配率逆向使用，
从而使得计算变得更加简单
【典例4】计算题： ( 3) 3 ( 3) 1 ．
2× −1 −2 ×13+ −1 ×5+ ×(−13)
7 4 7 4
3
【变式4-1】计算：3.75×735−5730× +16.2×62.5
8
【变式4-2】利用简便方法计算：
(1)3.2×200.9+4.7×200.9+2.1×200.9；
13 13 13
(2)36.8× +20.2× −2× ．
55 55 55【变式4-3】用简便方法计算下面各题．
4 4 4 2019
(1) ×24+ ×9+ (2)2019×
17 17 17 2020
【题型05 组合法】
方法：通过组合相同的因数，减少计算量
【典例5】计算：1+2+3+⋯+2023+(−1)+(−2)+(−3)+⋯+(−2024)．
【变式5-1】计算：−1+2−3+4−5+6−…−49+50．
【变式5-2】计算:2023−2020+2017−2014+2011−2008+⋯−16+13−10+7−4
【变式5-3】计算：1+2−3−4+5+6−7−8+⋯+2005+2006−2007−2008．
【题型06 裂项相消法】
方法：通过将数列中的每一项分解成两部分，然后重新组合，使得部分项在求和过程中相
互抵消，从而简化计算。
【典例6】先阅读下列例题，然后进行解答：
1 1 1 1
例：计算 + + +⋯+
1×2 2×3 3×4 9×101 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
解：因为 = − ； = − ； = − ；⋯； = − 所以，
1×2 1 2 2×3 2 3 3×4 3 4 9×10 9 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
+ + +⋯+ = − + − + − +⋯+ − =1− =
1×2 2×3 3×4 9×10 1 2 2 3 3 4 9 10 10 10
请根据你的理解解答下列各题：
1 1 1 1
(1)计算： + + +⋯+
1×2 2×3 3×4 2011×2012
1 1 1 1
(2)计算： + + +⋯+
1×3 3×5 5×7 17×19
【变式6-1】先阅读，再答题
2 3−1 1 2 5−3 1 1 2 7−5 1 1 2 9−7 1 1
= =1− , = = − , = = − , = = − ……
3 1×3 3 15 3×5 3 5 35 5×7 5 7 63 7×9 7 9
根据你发现的规律，试写出：
2 1 1
(1) = − ；
99 ( ) ( )
2
(2) =________________；
n(n+2)
2 2 2 2 2 2 2
(3)计算： + + + + + +
3 15 35 63 99 143 195
1 1 1 1 1 1 1 1
【变式6-2】观察下列等式： =1− ， = − ， = − ．将以上三个等式两边分别
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
相加得： + + =1− + − + − =1− = ．
1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 4 4
1
(1)猜想并写出： = __________．
n(n+1)
(2)直接写出下列各式的计算结果：1 1 1 1 1
① + + + +⋅⋅⋅+ =__________；
1×2 2×3 3×4 4×5 99×100
②若a、b为有理数，且 ，则
|a−1)+(b−2) 2=0
1 1 1 1
+ + +⋅⋅⋅+ = __________；
ab (a+1)(b+1) (a+2)(b+2) (a+2009)(b+2009)
1 1 1 1
(3)探究并计算： + + +⋅⋅⋅+ ．
2×4 4×6 6×8 2012×2014
1 7 9 11 13 15 13 18
【变式6-3】计算：1 − + − + − + −
3 12 20 30 42 56 40 65
【题型07 倒数求值法】
方法：倒数法:有些含有分数的数学问题，直接求解比较繁琐，若将分子、分母上下颠倒，
则便于求解，这种解法称为倒数法。
【典例7】阅读下列材料：
计算： 1 (1 1 1 )
÷ − +
24 3 4 12
1 1 1 1 1 1 11
解法一：原式= ÷ − ÷ + ÷ = ；
24 3 24 4 24 12 24
解法二：原式 1 ( 4 3 1 ) 1 2 1；
= ÷ − + = ÷ =
24 12 12 12 24 12 4
解法三：原式的倒数为(1 1 1 ) 1 2 1 ，
− + ÷ = ÷ =4
3 4 12 24 12 24
1
故原式= ．
4(1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，则解法______是错误的；
(2)请你运用合适的方法计算： 1 (1 3 2 2)．
− ÷ − − +
42 6 14 7 3
【变式7-1】阅读以下材料，完成相关的填空和计算．
(1)根据倒数的定义我们知道，若(a+b)÷c=−2，则c÷(a+b)=______．
(2)计算( 5 1 2) 1 ．
− + ÷
12 9 3 36
(3)根据以上信息可知：( 1 ) ( 5 1 2)．
− ÷ − +
36 21 9 3
【变式7-2】【阅读材料】
计算： 1 (2 3 1)．
÷ − +
20 5 4 2
分析：利用倒数的意义，可以先求原式的倒数，再得出计算的结果．
解：由于(2 3 1) 1 (2 3 1) ，
− + ÷ = − + ×20=3
5 4 2 20 5 4 2
所以 1 (2 3 1) 1．
÷ − + =
20 5 4 2 3
【问题解决】
根据上述方法，计算：( 1 ) (2 3 1)．
− ÷ + −
12 3 4 6
1 1 1 3
【变式7-3】数学老师布置了一道思考题，“计算： − ÷( − + )”小明的计算方法如下：
24 3 6 8
1 1 1 3
− ÷( − + )
24 3 6 8
1 1 1 1 1 3
=− ÷ +(− )÷(− )+(− )÷(− )，
24 3 24 6 24 81 1 1 8
=− ×3+ ×6+(− )×(− )，
24 24 24 3
1 1 1
=− + + ，
8 4 9
17
= ．
72
请判断小明的做法是否正确，如果不正确，请写出正确的解法．
