文档内容
专题 12 解一元一次方程（一）---合并同类项与移项
（3 个知识点 5 种题型 1 个易错点 2 个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.解一元一次方程-----合并同类项（重点）
知识点2解一元一次方程------移项（重点）
知识点3.列方程解应用题（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.绝对值方程的求解
题型2.列一元一次方程求值
题型3.用方程的相关定义确定字母的值
题型4.利用方程解决实际问题
题型5.利用一元一次方程解数字规律问题
【方法三】差异对比法
易错点 移项不变号
【方法四】 仿真实战法
考法1.用移项法解一元一次方程
考法2.列一元一次方程解应用题
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 能用合并同类项与移项解一元一次方程。
2. 体会用一元一次方程解决具体问题的过程，逐步认识数学是解决实际问题的重要工具。
【知识导图】【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.解一元一次方程-----合并同类项（重点）
列方程解应用题的步骤：
①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系
②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）
③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系
④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程
⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值
⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）
【例1】．（22·23下·唐山·开学考试）把方程 变形为 ，其依据是（ ）
A．分数的基本性质 B．等式的基本性质1 C．等式的基本性质 2 D．解方程中
的移项
【变式1】．（23·24上·全国·课时练习）若 的3倍比 的2倍多15，则 的值为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．30
【变式2】．一个密封的瓶子里装着一些水（如图所示），已知瓶子的底面积为 ，请你根据图中标
明的数据，计算瓶子的容积是 ．A．80 B．70 C．60 D．50
知识点2解一元一次方程------移项（重点）
【例2】．（23·24上·西城·期中）若关于 的方程 的解与方程 的解相同，则 的值是
．
【变式】．（23·24上·怀化·期中）若 是关于x的一元一次方程，则方程的解是
．
知识点3.列方程解应用题（难点）
【例3】．（22·23下·海口·期中）若代数式 的值为 ，则x的值是（ ）
A． B． C．1 D．9
【变式1】．（23·24七年级上·重庆綦江·期中）关于x的方程 的解为 ，则m的值为（
）
A．2 B．6 C．－2 D．3
【变式2】．（23·24七年级上·陕西西安·阶段练习）超越梦想：阅读下面材料：点A、 在数轴上分别表示
有理数 、 ，A、 两点之间的距离表示为 ．当A、 两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，
如图1， ，当A、 两点都不在原点时，
点A、 在原点的右边，如图2， ；
点A、 在原点的左边，如图3， ；
点A、 在原点的两边，如图4， ．
综上，数轴上A、 两点的距离 ．
回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示 和 的两点之间的距离是______，数轴上表示1和 的两点之间的距离是______．
(2)数轴上表示 和 的两点A和 之间的距离是______，如果 那么 为______．
(3)当代数式 取最小值时，相应 的取值范围是______，最小值为______．
【方法二】实例探索法
题型1.绝对值方程的求解
1．（23·24七年级上·福建厦门·期中）（1）化简： ；
（2）解方程： ．
题型2.列一元一次方程求值
2．（23·24七年级上·天津滨海新·期中）解方程：
(1)
(2)
题型3.用方程的相关定义确定字母的值
3．同学们，我们在本期教材中曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数 的点与原点的距离叫做
这个数的绝对值，记作 ．
实际上，数轴上表示数 的点与原点的距离可记作 ；数轴上表示数 的点与表示数2的点的距离
可记作 ，也就是说，在数轴上，如果 点表示的数记为 点表示的数记为 ，则 两点间的距
离就可记作 ．
【学以致用】（1）数轴上表示1和 的两点之间的距离是_______；
（2）数轴上表示 与 的两点 和 之间的距离为2，那么 为________．
【解决问题】
如图，已知 分别为数轴上的两点，点 表示的数是 ，点 表示的数是50．
（3）现有一只蚂蚁 从点 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁 恰好从
点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动．
①求两只蚂蚁在数轴上相遇时所用的时间；
②求两只蚂蚁在数轴上距离10个单位长度时的时间．
【数学理解】
（4）数轴上两点 对应的数分别为 ，已知 ，点 从 出发向右以每秒3个单位
长度的速度运动．表达出 秒后 之间的距离___________（用含 的式子表示）．
题型4.利用方程解决实际问题
4．（23·24六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程：
(1) ；
(2) ．题型5.利用一元一次方程解数字规律问题
5．（23·24七年级上·广东广州·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；数轴上表示 和2两点之间的距离是________；一般
地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为 ，那么，数轴上表示数x与5两点之间的
距离可以表示为________，表示数y与 两点之间的距离可以表示为________．
(2)如果表示数a和 的两点之间的距离是3，那么 _______；若数轴上表示数a的点位于 与2之间，
求 的值；
(3)当 _______时， 的值最小，最小值是______．
6．（23·24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）规定：若关于 的一元一次方程 的解为 ，则
称该方程为“和解方程”．例如：方程 的解为 ，而 ，则方程 为“和解方
程”．
请根据上述规定解答下列问题：
(1)已知关于 的一元一次方程 是“和解方程”，求 的值；
(2)已知关于 的一元一次方程 是“和解方程”，并且它的解是 ，求 的值．【方法三】差异对比法
易错点 移项不变号
1．（22·23七年级上·江西南昌·期末）已知 的取值与代数式 的对应值如表：
x … 0 1 2 3 …
ax+b … 9 7 5 3 1 …
根据表中信息，得出了如下结论：① ；②关于 方程 的解是 ；③| ；④
的值随着 值的增大而减小．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
2．（23·24上·武汉·阶段练习）已知关于 的绝对值方程 只有三个解，则 ．
【方法四】 仿真实战法
考法1.用移项法解一元一次方程
3．如图，按下列程序进行计算，经过三次输入，最后输出的数是12，则最初输入的数是 .4．（22·23七年级上·福建泉州·期中）如图，是一个 的幻方，当空格中填上适当的数后，下列每行每
列以及每条对角线上的和都相等，则 .
考法2.列一元一次方程解应用题
5．割圆术是我国古代数学家刘微创造的一种求周长和面积的算法：随着圆内接正多边形边数的增加，它
的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周
合体而无所失矣”．这一思想在数学领域中有广泛的应用．
例如：求 的值．则可以设 ，根据上述思想方法有 ，解方程
得 ；试用这个方法解决问题： （ ）
A．2 B． C．3 D．
6．（23·24七年级上·广东广州·期中）如果4个不同的正整数 、 、 、 满足
，那么 等于（ ）
A．16 B．24 C．28 D．32
7．（23·24七年级上·天津滨海新·期中）(1)计算①
②
（2）解方程
① ；
② ．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（23·24七年级上·河南驻马店·期末）小马虎在做作业，不小心将方程中的一个常数污染了，被污染的
方程是 ，怎么办呢？他想了想便翻看书后的答案，方程的解是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23·24八年级上·湖南长沙·开学考试）下列方程，与 的解相同的为（ ）
A． B． C． D．
3．（22·23七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）当 时 的值是3，则a的值为（ ）
A． B．5 C．1 D．
4．（23·24上·南阳·阶段练习）方程 的解为（ ）
A． B． C． D．5．（2023七年级上·全国·专题练习）解关于 的一元一次方程 时，不论 为何值， 的解都
相同，则 的值为（ ）
A． B．0 C． D．2
6．（23·24七年级上·福建福州·期中）若a与6互为相反数，则 的值为（ ）
A． B． C．5 D．6
7．（23·24七年级上·辽宁大连·期中）下列方程的变形中，正确的是（ ）
A．由 ，得 B．由 ，得
C．由 ，得 D．由 ，得
8．（22·23七年级下·河南南阳·期中）当 时，多项式 的值比 的值大3，那么a的值为
（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
9．（23·24七年级上·全国·课堂例题）如图，8块相同的小长方形地砖拼成了一个大长方形图案，求每块地
砖的宽．设每块地砖的宽为 ，则 的值为（ ）
A．30 B．20 C．15 D．40
10．（23·24上·沙坪坝·阶段练习）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化
的方法解决一些数学问题，比如 表示在数轴上数 ， 对应的点之间的距离．现定义一种“F运
算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对 ，1，2进行“F运
算”，得 ．下列说法：
①对m， 进行“F运算”的结果是3，则m的值是2；
②若 ，对于2，x，y进行“F运算”的结果是8，则y的值是8；
③对a，a，b，c进行“F运算”，化简的结果可能存在6种不同的表达式．
其中正确的个数为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．（23·24上·唐山·期中）嘉淇在解关于x的方程： 时，误将方程中的“ ”看成了“ ”，
求得方程的解为 ，则原方程的解为 ．
12．（22·23七年级上·湖北武汉·期中）下列说法正确的是 （填写序号）
①若 ，则 ．②若 、 互为相反数，且 ，则 ③若 ，则关于 方程
的解为 ．④若三个有理数 、 、 满足 ，则
13．（23·24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）数轴上有三个点A，B，C表示的数分别为 ，1，c，已知A，
B，C中，其中有一点恰好在另外两点的正中间，则c可能的值为 ．
14．（22·23七年级下·吉林长春·期中）如果 与 的值相同；那么 ．
15．（23·24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若 的相反数是2，则 ．
16．（23·24七年级上·福建泉州·阶段练习）为了考察班级同学的某次考试情况，鹏辉老师分析了班级某个
小组的成绩，以平均分作为标准，超过记为正数，不足记为负数，制作了如下的成绩分析表格，但是老师
不小心把表格的数字弄脏了：
根据这个表格，被污染的格子中的数值之和＝ ．
17．（22·23上·哈尔滨·期中）若 和 互为相反数，则 ．
18．幻方是一种将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等的方法．幻方
历史悠久，是中国传统游戏如图是一个 的幻方的部分，则 ．
三、解答题19．（2023七年级上·全国·专题练习）已知关于 的整式 ， （ 为常
数）．
(1)若整式 的取值与 无关，求 的值；
(2)若当 或1时， 与 所对应的值分别相等，试求 的值．
20．（23·24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若 是关于 的方程 的解，求 的
值．
21．（23·24七年级上·江苏常州·阶段练习）阅读理解：
把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如： ， ，我们称之为集合，其中的数称
其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数 也必是这个集合的元素，
这样的集合我们称为好的集合．例如集合 就是一个好的集合．
(1)分别说明集合 ， 是不是好的集合？(2)所有好的集合中，元素个数最少的集合是______；
(3)如果一个好的集合有n个元素，那么这n个元素的和是______．
22．（23·24七年级上·福建福州·期中）如下表所示，有按规律排列的A、B两组数：
列
1 2 3 4 5 6 …
数
A组 2023 2022 2021 2020 2019 2018 …
B组 3 6 9 12 15 18 …
(1)A组第10列数为________，B组第n列数为____________；
(2)若代数式 的值与列数n无关， 的值始终为定值，求k的值．
23．如图，点 和点 在数轴上对应的数分别为 和 ，且 ．（1）求线段 的长；
（2）点 在数轴上所对应的数为 ，且 是方程 的解，点 在线段 上，并且
，请求出点 在数轴上所对应的数；
（3）在（2）的条件下，线段 和 分别以 个单位长度/秒和 个单位长度/秒的速度同时向右运动，
运动时间为 秒， 为线段 的中点， 为线段 的中点，若 ，求 的值．
24．（22·23七年级上·广西桂林·期中）【阅读】
表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
可以看作 ，表示3与 的差的绝对值也可理解为3与 两数在数轴上所对应的两点之间的
距离．
【探索】
（1）数轴上表示4和-2的两点之间的距离是____
（2）①若 ，则x=
②若使x所表示的点到表示3和-2的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和为____
【折叠】
小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
（3）折叠纸面，若1表示的点和-1表示的点重合，则3表示的点与____表示的点重合．
（4）折叠纸面，若3表示的点和-5表示的点重合，则
①10表示的点和____表示的点重合；
②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2022且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数是
___，点B表示的数是__；
③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且A，B两点经折叠后重合，试求a与b 之间的数量关系．25．（23·24七年级上·福建宁德·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
数轴上表示5和2的两点之间的距离是 ；表示 和2两点之间的距离是
；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(1)数轴上1和 的距离是 ；如果表示数a和 的两点之间的距离是3，那么 ．
(2)若数轴上表示数a的点位于 与2之间，则 ．
(3)当 时， 的值最小，最小值是 ．
(4)若式子 ，则 的最大值是 ．
