文档内容
专题 03 绝对值（3 个知识点 11 种题型 2 个易
错点 2 种中考考法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1：绝对值的概念
知识点2：绝对值的性质
知识点3：比较有理数大小
【方法二】 实例探索法
题型1：绝对值的化简
题型2：已知一个数的绝对值，求这个数
题型3：利用绝对值确定整数
题型4：比较有理数大小
题型5：利用数轴比较数与数绝对值的大小
题型6：利用绝对值解决实际问题
题型7：利用绝对值的非负性求值
题型8：绝对值与有理数的大小的综合应用
题型9：数轴上两点间距离与两点的关系
题型10：利用绝对值求最值
题型11：绝对值方程
【方法三】 差异对比法
易错点1：忽略了0的绝对值
易错点2：误认为小于某正数的所有整数只有非负数
【方法四】 仿真实战法
考法1：求一个数的绝对值
考法2：比较有理数的大小【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1.能利用数轴正确理解绝对值的概念及其几何意义。
2.会求一个有理数的绝对值，会根据绝对值求相应的数。
3.理解互为相反数的两个数的绝对值相等
4.了解绝对值的简单应用，能用绝对值解决简单的实际问题
5.会利用数轴、法则等方法比较有理数大小
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1：绝对值的概念
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点分析：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是
0．即对于任何有理数a都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对
值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
【例1】（2022秋·湖南衡阳·七年级统考期末） 的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【详解】解： ．
【变式】求下列各数的绝对值．
，-0.3，0，
【答案与解析】
解法一：因为 到原点距离是 个单位长度，所以 ．
因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．
因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0．
因为 到原点的距离是 个单位长度，所以 ．
解法二：因为 ，所以 ．
因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3．
因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0．
因为 ，所以 ．
知识点2：绝对值的性质1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
2.求法
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
【例2】（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）一个数的绝对值等于这个数本身，这个数是（ ）
A．0 B．正数 C．非正数 D．非负数
【答案】D
【详解】解：根据正数和0的绝对值等于本身，可知一个数的绝对值等于这个数本身，这个数是非负数，
知识点3：比较有理数大小
1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示
则a＜b．
2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
同为正号：绝对值大的数大
两数同号
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号 正数大于负数
正数与0：正数大于0
－数为0
负数与0：负数小于0
要点分析：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）
判定两数的大小．
1 2
【例3】用“＞”连接下列个数：2.6，―4.5，10 ，0，―23
分析：多个有理数比较大小时，应根据“正数大于一切负数和0，负数小于一切正数和0，0大于一切负数
而小于一切正数”进行分组比较，即只需正数和正数比，负数和负数比。
提醒学生，用“>”连接两个以上数时，大数在前，小数在后，不能出现5＞0＜4的式子．
1 2
解答：2.6＞10 ＞0＞―23＞―4.5。
【方法二】实例探索法题型1：绝对值的化简
1．（2023春·天津南开·七年级天津大学附属中学校考开学考试）若 ，那么 _____．
【答案】7
【详解】解： ，
， ，
，
2．（2021秋•富裕县期末）已知：数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简|b﹣a|+|b﹣c|＝
．
【解答】解：由图示可知，a＜b＜c，
∴b﹣a＞0，b﹣c＜0，
∴|b﹣a|＝b﹣a，|b﹣c|＝c﹣b，
∴原式＝b﹣a+c﹣b＝c﹣a．
故答案为：c﹣a．
3.化简：|－|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______．
解析：|－|＝；－|－1.5|＝－1.5；|－(－2)|＝|2|＝2.
4．（2021秋•龙泉市期末）若实数a，b满足|a|＝2，|4﹣b|＝1﹣a，则a+b＝ ．
【解答】解：∵|a|＝2，
∴a＝±2，
当a＝2时，|4﹣b|＝1﹣2＝﹣1，此时b不存在；
当a＝﹣2时，|4﹣b|＝3，
所以4﹣b＝3或4﹣b＝﹣3，
即b＝1或b＝7，
当a＝﹣2，b＝1时，a+b＝﹣1；
当a＝﹣2，b＝7时，a+b＝5，
故答案为：﹣1或5．
5.计算：（1） （2）|-4|+|3|+|0| （3）-|+(-8)|解：(1) ，
(2)|-4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7，
(3)-|+(-8)|＝-[-(-8)]＝-8．
6.(1)|a-4|(a≥4)；(2)|5-b|(b＞5)．
【答案与解析】(1)∵ a≥4，∴a-4≥0，∴ |a-4|＝a-4．
(2)∵ b＞5，∴ 5-b＜0，∴ |5-b|＝-(5-b)＝b-5．
题型2：已知一个数的绝对值，求这个数
7.已知一个数的绝对值是4，那么这个数是（ ）
A．4 B． C． D．8
【答案】C
【详解】解：因为一个数的绝对值等于4，
所以这个数为4或 ，
8.如果一个数的绝对值等于，则这个数是__________．
解析：∵或－的绝对值都等于，∴绝对值等于的数是或－.
方法总结：解答此类问题容易漏解、考虑问题不全面，所以一定要记住：绝对值等于某一个数的值有两个，
它们互为相反数，0除外．
9.如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．
【答案与解析】
解：因为|x|＝6，所以x＝6或x＝-6；
因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4；
由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4．
题型3：利用绝对值确定整数
10．（2022秋·广东惠州·七年级统考期中）满足 的整数 共有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【详解】当 时， ，
令 ，解得： ；当 时， ，恒为4，
此时整数 ；
当 时， ，
令 ，解得：
综上，整数 可能为 、 、 、0、1，共有5个．
11.求绝对值不大于3的所有整数．
【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3．
12．（2022秋·安徽合肥·七年级校联考阶段练习）（1）如果 ，求 ，并观察数轴上表示 的点与
表示 的点的距离为______；
（2）在（1）的启发下求适合条件 的所有整数 的值______．
【答案】（1） 或 ，当 时，数轴上表示 的点与表示 的点的距离为 ；当 时，数轴上表
示 的点与表示 的点的距离为 ；（2） ， ， ， ，
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
解得 或 ，
当 时，数轴上表示 的点与表示 的点的距离为 ；
当 时，数轴上表示 的点与表示 的点的距离为 ；
故答案为；当 时，数轴上表示 的点与表示 的点的距离为 ；当 时，数轴上表示 的点与表示
的点的距离为 ；
（2）∵ ，
∴ ，
解得 ，
其中整数有 ， ， ， ， ．
故答案为： 或 ； ， ， ， ， ．
13．（2022秋·安徽合肥·七年级统考阶段练习）（1）如果 ，求 ，并观察数轴上表示 的点与表
示1的点的距离．（2）在（1）的启发下求适合条件 的所有整数 的值．
【答案】（1）x为4或者0；当 时与点1的距离为3，当 时与点1的距离为1；
（2） 取 ，0，1，2，3
【详解】解：（1）
或0，
如图：
当 时与点1的距离为3；
当 时与点1的距离为1；
（2） 表示 的点与表示1的点的距离小于3，
如图：
可知： 到1的距离为3，4到1的距离也为3，
则到1的距离要小于3的数在 与4之间，即可取的整数为： ，0，1，2，3，
即 取 ，0，1，2，3．
题型4：比较有理数大小
14.比较下列各对数的大小：
1 ( 1) 1
−|−2| − − − −|− |
①－1与－0.01； ② 与0； ③－0.3与 3； ④ 9 与 10 。
解：(1)这是两个负数比较大小，
∵|―1|=1， |―0.01|=0.01， 且 1>0.01， ∴―1< ―0.01。
(2) 化简：―|―2|=―2，因为负数小于0，所以―|―2| < 0。
(3) 这是两个负数比较大小，1 1 ¿
∵|―0.3|=0.3，
|−
3
|=
3
=0.3
，且 0.3 <
0.3 ¿
， ∴
−0.3>−
3
1
。
(4) 分别化简两数，得：
1 1
6 6 1 1 1 ( )
( ) ( ) − − >−|− |
− 24 ÷(−6)= 24 + ×=4+=4 9 10
7 7 6 7 7
∵正数大于负数， ∴
说明：①要求学生严格按此格式书写，训练学生逻辑推理能力；
②注意符号“∵”、“∴”的写法、读法和用法；
③对于两个负数的大小比较可以不必再借助于数轴而直接进行；
④异分母分数比较大小时要通分将分母化为相同。
15.比较下列各对数的大小：
(1)3和－5；
(2)－3和－5；
(3)－2.5和－|－2.25|；
(4)－和－.
解析：(1)根据正数大于负数；(2)、(3)、(4)根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
解：(1)因为正数大于负数，所以3＞－5；
(2)因为|－3|＝3，|－5|＝5，3＜5，所以－3＞－5；
(3)因为|－2.5|＝2.5，－|－2.25|＝－2.25，|－2.25|＝2.25，2.5＞2.25，所以－2.5＜－|－2.25|；
(4)因为|－|＝，|－|＝，＜，所以－<－.
方法总结：在比较有理数的大小时，应先化简各数的符号，再利用法则比较数的大小．
题型5：利用数轴比较数与数绝对值的大小
16.已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示．比较a、b、－a、－b的大小，正确的是( )
A．a＜b＜－a＜－b B．b＜－a＜－b＜a
C．－a＜a＜b＜－b D．－b＜a＜－a＜b
解析：由图可得a＜0＜b，且|a|＜|b|，则有：－b＜a＜－a＜b.故选D.
方法总结：解答本题的关键是结合数轴和绝对值的相关知识，从数轴上获取信息，判断数的大小．
17.画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：＋5，－3.5，，－1，4，0.
解：如图所示：因为在数轴上右边的数大于左边的数，所以－3.5＜－1＜0＜＜4＜＋5.
方法总结：此类问题是考查有理数的意义以及数轴的有关知识，正确地画出数轴是解决本题的关键．
18.在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接各数．
5， ，|﹣4|，﹣（﹣1），﹣（+3）
【答案】数轴见详解， ．
【详解】解：如图所示：
∴用“＜”连接各数为： ；
题型6：利用绝对值解决实际问题
19.第53届世乒赛于2015年4月26日至5月3日在苏州举办，此次比赛中用球的质量有严格的规定，下表
是6个乒乓球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数).
一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球
－0.5 0.1 0.2 0 －0.08 －0.15
(1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明．
(2)若规定与标准质量误差不超过0.1g的为优等品，超过0.1g但不超过0.3g的为合格品，在这六个乒乓
球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由．
解：(1)四号球，|0|＝0正好等于标准的质量，五号球，|－0.08|＝0.08，比标准球轻0.08克，二号球，
|＋0.1|＝0.1，比标准球重0.1克．
(2)一号球|－0.5|＝0.5，不合格，二号球|＋0.1|＝0.1，优等品，三号球|0.2|＝0.2，合格品，四号球|
0|＝0，优等品，五号球|－0.08|＝0.08，优等品，六号球
|－0.15|＝0.15，合格品．
20.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质
量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判
员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．
【答案】 因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的
质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．
【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大．
21.某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L的误差．现抽查6瓶食
用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表：
+0.0018 -0.0023 +0.0025
-0.0015 +0.0012 +0.0010
请用绝对值知识说明：
(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?
(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？
【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018，-0.0015，+0.0012，+0.0010的
这四瓶．
(2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量．
22.一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程
记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，
如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?
【答案】小虫爬行的总路程为：
|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) ．
小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) ．
题型7：利用绝对值的非负性求值
23.若|a－3|＋|b－2015|＝0，求a，b的值．
解：由绝对值的性质得|a－3|≥0，|b－2015|≥0，又因为|a－3|＋|b－2015|＝0，所以|a－3|＝0，|b－
2015|＝0，所以a＝3，b＝2015.
24.已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．
【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m
｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3．
【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|＝0
且|2-m|≥0，|n-3|≥0
所以|2-m|＝0，|n-3|＝0
即2-m＝0，n-3＝0
所以m＝2，n＝3
故m-2n＝2-2×3＝-4．
题型8：绝对值与有理数的大小的综合应用25．（2022秋·湖南邵阳·七年级湖南省隆回县第二中学校考期中）已知有理数a、b、c满足：a+c＜0，ac＞
0，|b|＝b，
（1）比较大小：a______0；b_____；c_____0；
（2）先去绝对值，再化简：|a﹣2b+c|﹣ +2|b﹣2c|的值．
【答案】（1）＜；≥；＜；（2）4b﹣3c．
（2）根据加法的符号法则，先判断a﹣2b+c、2a+4c、b﹣2c的正负，再根绝绝对值的意义化去绝对值后再
计算．
【详解】解：（1）因为a+c＜0，ac＞0，|b|＝b，
所以a＜0，c＜0，b≥0．
故答案为：＜；≥；＜
（2）∵a＜0，c＜0，b≥0．
∴a﹣2b+c＜0，2a+4c＜0，b﹣2c＞0，
∴原式＝﹣（a﹣2b+c）﹣ +2（b﹣2c）
＝﹣a+2b﹣c+a+2c+2b﹣4c
＝4b﹣3c．
题型9：数轴上两点间距离与两点的关系
26.探究数轴上两点之间的距离与这两点的对应关系：
(1)观察数轴，填空：
点A与点B的距离是 ；点C与点B的距离是 ；
点E与点F的距离是 ；点D与点G的距离是 ．
我们发现：在数轴上，如果点M对应的数为m，点N对应的数为n，那么点M与点N之间的距离 可表
示为 （用m、n表示）．
(2)利用你发现的规律，解决下列问题：数轴上表示x和2的两点之间的距离是3，则x＝ ．
(3)利用你发现的规律，逆向思维解决下列问题：
① ，则x＝ ．
② ，则x＝ ．【答案】(1)2；5；1；5；
(2)5或﹣1
(3)①7或 ；② 或
【详解】（1）解：由数轴可得：点A与点B的距离是2，点C与点B的距离是5，点E与点F的距离是
1，点D与点G的距离是5．
点M与点N之间的距离 可表示为 ．
故答案为：2，5，1，5， ．
（2）若数轴上表示x和2的两点之间的距离是3，则 ，
即 或 ，
解得 或 ．
故答案为：5或 ．
（3）① ，即 或 ，
解得 或 ，
故答案为：7或 ．
② ，即 或 ，
解得 或 ，
故答案为： 或 ．
题型10：利用绝对值求最值
27．（2023秋·贵州铜仁·七年级统考期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：
的几何意义是数轴上表示数 的点与表示数-2的点的距离， 的几何意义是数轴上表示数 的点与表示
数3的点的距离．当 取得最小值时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】B
【详解】解：如图，当 时， ， ，
；
当 时， ， ，
；
当 时， ， ，
；
综上所述，当 时， 取得最小值，
所以当 取得最小值时， 的取值范围是 ．
28．（2021秋•南昌期中）若a，b满足|a|＜|b|≤4，且a，b为整数．
（1）直接写出a，b的最大值；
（2）当a，b为何值时，|a|+b有最小值？此时，最小值是多少？
【解答】解：（1）∵|a|＜|b|≤4，且a，b为整数，
∴a的最大值为3，b的最大值为4；
（2）∵|a|≥0，
∴当a＝0时，|a|最小，
∴当a＝0，b＝﹣4时，|a|+b有最小值，最小值是﹣4．
29.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____；表示 和2两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表
示数 和数 的两点之间的距离等于 ．如果表示数 和 的两点之间的距离是3，那么 _____；
(2)若数轴上表示数 的点位于 与2之间，求 的值；
(3)当 取何值时， 的值最小，最小值是多少？请说明理由．
【答案】(1)3，5，1或
(2)6
(3)当 时，式子的值最小，最小值是9，理由见解析
【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是4-1=3；
表示-3和2两点之间的距离是2-（-3）=5；
依题意有|a-（-2）|=3，
∴a-（-2）=3或a-（-2）=-3
解得a=1或-5．
故答案为：3，5，1或-5．
（2）解：∵数a的点位于-4与2之间，
∴a+4＞0，a-2＜0
∴|a+4|+|a-2|=a+4-a+2=6．
（3）解：∵ 表示一点到-5，1，4三点的距离的和．
∴当a=1时，式子的值最小，
∴ 的最小值是9．
30.【阅读】若点 ， 在数轴上分别表示有理数 ， ， ， 两点之间的距离表示为 ，则
，即 表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)点 ， 表示的数分别为 ，2，则 _______， 在数轴上可以理解为______；
(2)若 ，则 _________，若 ，则 ________；
【应用】(3)如图，数轴上表示点 的点位于 和2之间，求 的值；
(4)由以上的探索猜想，对于任意有理数 ， 是否有最小值？如果有，求出最小值，并
写出此时x的值；如果没有，说明理由．
【答案】(1)9， 与 的距离
(2) 或7.1，
(3)5
(4)有最小值，7
【详解】（1）解：数轴上表示 的点与表示2的点之间的距离为9，
，即可表示为 到 的距离，
故答案为：9； 与 的距离；
（2）解： ，
到3.1的距离为4，
， ，
，
到 的距离和 到3的距离相同，
，
故答案为： 或7.1； ；
（3）解： 可表示a到 的距离加上 到2的距离且 位于 和2之间，
原式可看作 与2之间的距离，
；
（4）解： 可表示为 到 的距离加上 到 的距离加上 到1的距离，
当 时，该式取得最小值，此时 ．
题型11：绝对值方程31．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）满足 的x的值是（ ）．
A．0 B． C． D．
【答案】C
【详解】 时， ， ， 舍去；
时，
得 ，
∴ 或 ，
得 ，满足 ，可取；
时 ， ， 舍去；
综上所述 ，
【方法三】差异对比法
易错点1：忽略了0的绝对值
32．对于任意有理数 ，下列结论正确的是（ ）
A． 是正数 B． 是负数 C． 是负数 D． 不是正数
【答案】D
【详解】解：A、 时 ，既不是正数也不是负数，故本选项错误；
B、 是负数时， 是正数，故本选项错误；
C、 时， ，既不是正数也不是负数，故本选项错误；
D、 不是正数，故本选项正确．
33.如果 ，那么a一定是（ ）A．正数 B．负数 C．零和负数 D．零和正数
【答案】C
【详解】解：由题意知：a为负数或零，
易错点2：误认为小于某正数的所有整数只有非负数
34．绝对值小于4的整数有（ ）．
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
【答案】A
【详解】解：根据绝对值的定义，则绝对值小于4的整数是 ，共7个．
【方法四】 仿真实战法
考法1：求一个数的绝对值
35．（2023•随州）﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
【解答】解：由题意，根据一个负数的绝对值是它的相反数，
∴|﹣2023|＝2023．
故选：A．
35．（2023•浙江）计算：|﹣2023|＝ ．
【解答】解：﹣2023的相反数是2023，
故|﹣2023|＝2023，
故答案为：2023．
37．（2023•临沂）在实数a，b，c中，若a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，则下列结论：①|a|＞|b|，②a＞0，
③b＜0，④c＜0，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，
∴2c＜a+b＝0，
∴c＜0．
∵c﹣a＞0，
∴c＞a，
∴a＜0，
∵a+b＝0，∴b＝﹣a＞0，
∴a，b互为相反数，
∴|a|＝|b|，
综上，正确的结论有：④，
∴正确的个数有一个．
故选：A．
考法2：比较有理数的大小
38．（2023•金华）某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是﹣20℃，﹣10℃，
0℃，2℃，其中最低气温是（ ）
A．﹣20℃ B．﹣10℃ C．0℃ D．2℃
【解答】解：由题可知：﹣20＜﹣10＜0＜2，
所以最低气温是﹣20℃．
故选：A．
39．（2023•枣庄）下列各数中比1大的数是（ ）
A．0 B．2 C．﹣1 D．﹣3
【解答】解：∵|﹣1|＝1，|﹣3|＝3，1＜3，
∴2＞1＞0＞﹣1＞﹣3，
则比1大的数是2，
故选：B．
40．（2023•宁波）在﹣2，﹣1，0， 这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 π C．0 D．
【解答】解：∵|﹣2|＝2，|﹣1|＝1，2＞1， π
∴﹣1＞﹣2，
∴ ＞0＞﹣1＞﹣2，
则π最小的数为：﹣2，
故选：A．
41．（2023•台湾）已知a＝﹣1， ，c＝﹣1 ，下列关于a、b、c三数的大小关系，何者正确（
）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a
【解答】解：∵a＝﹣1， ，c＝﹣1 ，且﹣1＞﹣1 ＞﹣1 ，∴a＞c＞b．
故选：A．
【方法五】成功评定法
一、单选题
1．（2022秋·湖北黄冈·七年级校考期中）绝对值不大于3的非负整数有（ ）个
A．1 B．3 C．4 D．7
【答案】C
【分析】根据非负整数包含正整数和零，不大于即小于等于，理解了计算即可．
【详解】绝对值不大于3的非负整数有0,1,2,3，有4个，
故选C．
【点睛】本题考查了非负整，不大于的内涵，正确理解意义是解题的关键．
2．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）如图，有理数a，b，c在数轴上的位置，结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据各个数在数轴上的位置，得到相应的大小关系，比较各个选项，得到结论正确的选项即可．
【详解】解：
对于A，由数轴可知 ，故A选项错误，不符题意，
对于B，由数轴可知 ，故B选项错误，不符题意，
对于C，由数轴可知 ，故C选项错误，不符题意，
对于D，由数轴可知 ，故D选项正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，把相关数标到数轴上，根据右边的数总比左边的数进行比较，是常
用的解题方法．
3．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）式子 的值可能是（ ）
A． B． C． D．1【答案】D
【分析】根据绝对值的非负性即可解答．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴A、B、C选项不符题意，D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性这一性质．
4．（2023秋·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，
不足标准质量的克数记作负数，从轻重的角度看，最接近标准的工件是（ ）
A．6 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】根据绝对值的意义，即可求解．
【详解】解： ，
∴最接近标准的工件是选项D，
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
5．（2022秋·云南昆明·七年级统考期中）下列说法正确的有（ ）个
①如果地面向上15米记作 米，那么地面向下6米记作 米；
②一个有理数不是正数就是负数； ③任何一个有理数的绝对值都不可能小于零；
④ 一定在原点左边； ⑤在数轴上，一个数对应的点离原点越远，这个数越小．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据正数和负数的定义，有理数的分类，绝对值的性质，有理数的大小比较和数轴的性质对各选
项分析判断利用排除法求解．
【详解】①如果地面向上15米记作 米，那么地面向下6米记作 米，故本选项正确；
②一个有理数不是正数就是零或负数，故本选项错误；
③任何一个有理数的绝对值都是非负数，故本选项正确；
④ 可以表示任意数，不一定在原点左边，故本选项错误；
⑤在数轴上，原点右边的一个数对应的点离原点越远，这个数越大，故本选项错误；综上，正确的有①③共 个，
故选：B．
【点睛】本题考查有理数，正数和负数，绝对值和数轴，解题的关键是掌握有理数的分类标准和数轴的性
质．
6．（2022秋·江苏镇江·七年级镇江市丹徒区高资中学校联考阶段练习）如图，数轴上的A、B、C三点所
表示的数分别为a，b，c，点A与点C到点B的距离相等，如果 ，那么该数轴的原点O的位置
应该在（ ）
A．点A的左边 B．点A与点B之间 C．点B与点C之间 D．点C的右边
【答案】C
【分析】根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点 到原点的距离的大小，由此
即可得．
【详解】 ，
点A到原点的距离最大，点C其次，点B最小，
又 ，
原点O的位置是在点B与点C之间，且靠近点B的地方，
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴的定义是解题关键．
7．（2022秋·北京朝阳·七年级校考期中）式子 取最小值时，x等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】A
【分析】由 ，可得式子 取最小值时，则 ，再解方程即可．
【详解】解：∵ ，
∴式子 取最小值时， ，
解得： ．故选A．
【点睛】本题考查的是绝对值的非负性的应用，掌握 的最小值是0是解本题的关键．
8．（2022秋·江苏盐城·七年级校联考期中）若a为有理数，则 表示的数是（ ）
A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数
【答案】D
【分析】分类讨论a的符号情况，分别找到 的正负，得出结论．
【详解】解：当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
表示的数为非正数．
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的意义和性质，解决本题的关键是分类讨论a的不同正负情况对应的结果．
9．（2021秋·河南驻马店·七年级校考期末）如果 ，下列 的取值不能使这个式子成立的是
（ ）
A． B．0 C．1 D． 取任何负数
【答案】C
【分析】根据绝对值的非负性判断即可．
【详解】解： ，
，即 ，
不可能为正数，
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．
10．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）如图， ， ， ， 分别是数轴上四个整数所对应的点，
其中有一个点是原点，并且 ，数 对应的点到点 ， 的距离相等，数 对应的点到点 ，的距离相等，若 ，则原点是（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】利用数轴特点确定a、b的关系，然后根据绝对值的性质解答即可得出答案．
【详解】因为 ，
所以 ，
所以
当原点在 或 点时， ，又因为 ，所以原点可能在 或 点
当原点在 或 点时， ，所以原点不可能在 或 点
综上所述，原点应是在 或 点．
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴的定义和绝对值的意义，解题的关键是先利用条件判断出绝对值符号里代数式的
正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简后根据整点的特点求解．
二、填空题
11．（2022秋·山西临汾·七年级统考期中）若 与 互为相反数，则 的值为
【答案】3
【分析】根据相反数的概念列出算式，根据非负数的性质列式求出x、y的值，代入代数式计算即可．
【详解】解：由题意，得 ，
所以 ， ．
所以 ， ．
所以 ， ．
所以 ．故答案为：3．
【点睛】本题考查的是绝对值非负的性质，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须
等于0．
12．（2022秋·江苏南京·七年级南京市金陵汇文学校校考阶段练习）绝对值不大于 的所有整数分别是
．
【答案】 ， ， ，
【分析】根据绝对值的定义求解即可．
【详解】根据绝对值的定义可知，绝对值不大于 的所有整数分别是 ， ， ， ．
故答案为： ， ， ， ．
【点睛】本题主要考查绝对值的定义（在数轴上，表示一个数 的点与原点的距离叫做这个数的绝对值），
牢记绝对值的定义是解题的关键．
13．化简： ， ．
【答案】
【分析】用绝对值的性质进行计算，化简多重符号去括号即可．
【详解】解： ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，多重符号的化简，正确理相关概念是解决本题的关键．
14．（2023秋·山东菏泽·七年级统考期末）我们知道， 表示 在数轴上对应的点到原点的距离， 我们
可以把看作 ．所以， 就表示 与 在数轴上对应的两点之间的距离．若 ，则
．
【答案】 或2
【分析】根据绝对值的意义，即可解答．
【详解】解： ，
数轴上表示数 的点到表示数 的点的距离为5，
的值为 或2．
故答案为： 或2．【点睛】本题主要考查了数轴及绝对值，熟练掌握数轴及绝对值的几何意义进行求解是解决本题的关键．
15．（2022秋·河北廊坊·七年级统考期末） 表示 与 之差的绝对值，实际上也可理解为 与 两
数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示 与 两点之间的距离是 ，
（2）数轴上表示 与 的两点之间的距离可以表示为 ．
【答案】 或
【分析】（1）根据数轴的特点，即可确定两点之间的距离，由此即可求解；
（2）根据材料提示的求两点之间距离的方法即可求解．
【详解】解：（1）根据数轴上表示 与 两点之间的距离是 ；
故答案为： ；
（2）根据材料提示，数轴上表示 与 的两点之间的距离可以表示为 或 ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查数轴与两点之间距离的计算方法，掌握数轴的特点，绝对值的意义等知识是解题的
关键．
16．（2022秋·江苏镇江·七年级统考期中）比较大小： （选填“>”、“<”或
“＝”）．
【答案】＞
【分析】先去括号，去绝对值符号，再根据正数大于一切负数进行解答．
【详解】解： ， ，
， ，
，
．故答案为： ．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知正数大于一切负数是解题的关键．
17．（2023秋·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）比较两数大小： ．
【答案】
【分析】根据两个负数比较大小,绝对值大的数反而小，可得结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查有理数大小的比较，熟练掌握比较两个负数大小：绝对值大的反而小是解题的关键．
18．（2022秋·河南南阳·七年级校考期末）有理数 、 、 在数轴上的位置如图所示，且 ，化简
．
【答案】0
【分析】先由数轴得出a，b，c的大小，再按照绝对值的化简法则化简即可；
【详解】∵由数轴可得： ，且
当 时
原式
故答案为0
【点睛】本题考查了数轴上的数的绝对值化简问题，属于基础知识的考查，比较简单．
三、解答题
19．（2022秋·江西景德镇·七年级统考期中）在数轴上表示下列各数，并用“<”把这些数连接起来．
① ；② ；③ ；④ ；⑤【答案】 ，见解析
【分析】先化简各数，进而在数轴上表示出来即可得出大小关系．
【详解】解： ， ，
如图所示，
．
【点睛】本题主要考查有理数大小比较，先对给出的数进行化简再在数轴上表示出来是关键．
20．（2022秋·江苏南京·七年级南京市金陵汇文学校校考阶段练习）根据数学研究对象本质属性的共同点
和差异点，将事物分类，然后对划分的每一类进行研究的方法叫做“分类讨论”方法．
(1)在探究 的大小关系的过程中，我们根据 ， 的符号和绝对值的大小进行分类归纳．下列 ， 的
取值中：① ， ；② ， ；③ ， ；④ ， ；⑤ ， ；
⑥ ， ；⑦ ， ；⑧ ， ；⑨ ， ．可以代表大小关系不同种类
的取值组合是 _________ ．
A．①②③④⑦⑧⑨ B．①②③④⑤⑥⑦
C．②③④⑤⑥⑦⑨ D．①②③④⑥⑦⑧
(2)通过以上比较，请你归纳出当 ， 为有理数时， 与 的大小关系．
(3)根据（2）中得出的结论，当 时， 的取值范围是 _________ ；整数 ， ， ，
满足 ， ，则 _________ ．
【答案】(1)D
(2)当 ， 同号或至少有一个为 时， ；当 ， 异号时， ．
(3) 或【分析】（1）不同种类包括：两个数均为正数；两个数均为负数；一个数为正数一个数为负数，且正数
的绝对值大于负数的绝对值；一个数为正数一个数为负数，且正数的绝对值小于负数的绝对值；两个数互
为相反数；一个数为正数一个数为 ；一个数为负数一个数为 ．据此可求得答案．
（2）观察分析（1）中的数据，结合绝对值的意义即可求得答案．
（3）将 变形为 ，根据（2）中的结论即可求得答案；设 ，
，可知 和 异号，分类讨论即可求得答案．
【详解】（1）根据题意，不同种类包括：两个数均为正数；两个数均为负数；一个数为正数一个数为负
数，且正数的绝对值大于负数的绝对值；一个数为正数一个数为负数，且正数的绝对值小于负数的绝对值；
两个数互为相反数；一个数为正数一个数为 ；一个数为负数一个数为 ．
观察分析可知，⑤和⑥为同类，均为一个数为正数一个数为负数，且正数的绝对值小于负数的绝对值；①
和⑨为同类，一个数为正数一个数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值．
故选：D．
（2）观察分析可知，当 ， 同号或至少有一个为 时， ；当 ， 异号时， ．
（3）将 变形，得
．
所以 ．
设 ， ，
根据题意，得
， ．
所以 和 异号．
①若 ，且 ，则
得②若 ，且 ，则
得
③若 ，且 ，则
得
④若 ，且 ，则
得
综上所述， 或 ，即 或 ．
故答案为： 或
【点睛】本题主要考查绝对值的定义，牢记绝对值的定义并采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键．
21．（2021秋·广东江门·七年级统考阶段练习）数轴上表示数 的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记
作 ．数轴上表示数 的点到表示数 的点的距离记作 ，如 表示数轴上表示数1的点到表示数3
的点的距离， 表示数轴上表示数1的点到表示数 的点的距离， 表示数轴上表示数
的点到表示数2的点的距离．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)若 ，则 _________，若 ，则 _________；(2)若 ，则 能取到的最小值是_________；最大值是_________；
(3)若 ，则 能取到的最大值是_________；
(4)关于 的式子 的取值范围是_________．
【答案】(1)0，
(2) ，2
(3)
(4)大于等于5
【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案；
（2）由 表示的意义，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值；
（3）根据 所表示的意义明确的x的取值范围，进而求出最大值；
（4）根据 的意义，求出 的最小值，从而确定取值范围．
【详解】（1） 表示数轴上表示 的点到表示1和 的点的距离相等，
因此 ．
表示数轴上表示 的点到表示1和−3的点的距离相等，
因此 ．
故答案为：0， ；
（2） 表示数轴上表示 的点到表示2和 的点的距离之和为3，
所以 ，
因此， 能取到的最小值为 ，最大值为2．
故答案为： ，2；
（3） 表示数轴上表示数 的点到表示数2的点的距离比它到表示 的点的距离大3，由数轴直观可得 ，
即 能取到的最大值为 ．
故答案为： ；
（4） 表示数轴上表示 的点到表示3和 的点的距离之和，
由数轴直观可得 的最小值为5，
因此 的取值范围是大于等于5．
故答案为：大于等于5．
【点睛】此题考查了数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是解题的关键．
22．（2023秋·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）已知 ， ， 在数轴上的位置如图所示，
所对应的点分别为 ， ， ．
(1)填空： ， 之间的距离为______， ， 之间的距离为______．
(2)化简： ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离等于右边的数减去左边的数，求出距离即可；
（2）根据数轴可以得出 ，即有 ， ， ，进而有 ，
去掉绝对值符号，再合并同类项即可．
【详解】（1）∵数轴上两点之间的距离等于右边的数减去左边的数，
∴A、B之间的距离为 ，B、C之间的距离为 ，
故答案为： ， ；
（2）由图，根据数轴可得： ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴，
∴ 值为 ．
【点睛】本题考查了根据点在数轴上的位置判定式子的正负，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，
掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键．
23．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）已知数轴上表示 的点到原点的距离为10，表示 的点
在原点的左侧，求 的值．
【答案】2
【分析】根据绝对值的意义以及数轴上点的特性即可求出答案．
【详解】解： 数轴上表示 的点到原点的距离为10，
，
或 ，
或 ．
当 时， 在原点左侧；
当 时， 在原点右侧．
表示 的点在原点的左侧，
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了绝对值的意义和数轴上的点，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义．
24．（2022秋·吉林长春·七年级长春外国语学校校考期中）如图，已知数轴上有 、 两点（点 在 点
的左侧），且两点距离为 个单位长度，动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向右匀速
运动，设运动时间为 （ ）秒．
(1)图中如果点 、 表示的数是互为相反数，那么点 表示的数是________；
(2)当 秒时，点 与点 之间的距离是_________个长度单位；
(3)当点 为原点时，点 表示的数是_________；（用含t的代数式表示）
(4)求当 为何值时，点 到点 的距离是点 到点 的距离的 倍．【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) 或 ．
【分析】（1）设点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，根据两点距离为 个单位长度，则 ，
，即可；
（2）根据点 运动的速度和时间计算，即可；
（3）根据题意，当点 为原点，点 表示的数为 ；
（4）根据点 运动的距离分类讨论： 当点 在线段 上； 当点 在线段 的延长线，即可．
【详解】（1）设点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
（2）∵动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴点 与点 之间的距离为： ，
∴当 时，点 与点 之间的距离为 个长度单位，
故答案为： ．
（3）∵动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴点 为原点时，点 表示的数为： ，
故答案为： ．
（4）∵点 到点 的距离是点 到点 的距离的 倍，
∴ ，
当点 在线段 上，∴ ，
解得： ；
当点 在线段 的延长线，
∴ ，
解得： ，
∴当 秒或 秒时，点 到点 的距离是点 到点 的距离的 倍．
【点睛】本题考查数轴，绝对值的知识，解题的关键是掌握数轴的性质，绝对值的运用，动点问题与几何
的结合．
25．（2023秋·江苏镇江·七年级统考期末）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午
后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形
的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？
【问题探究】
（1）观察分析（特殊）：
①当 ， 时，A，B之间的距离 ；
②当 ， 时，A，B之间的距离 ；
③当 ， 时，A，B之间的距离 ；
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数 ， 的两点A，B之间的距离表示为 ；
【问题解决】
（3）应用：
数轴上，表示 和3的两点A和B之间的距离是5，试求 的值；
【问题拓展】
（4）拓展：
①若 ，则 ．
②若 ，则 ．
③若 ， 满足 ，则代数式 的最大值是 ，最小值是 ．【答案】（1）7，3；（2） ；（3） 或 ；（4）①4②0或8③6，0
【分析】（1）利用数轴直接得到A，B之间的距离 即可；
（2）归纳总结得到：数轴上分别表示有理数 ， 的两点A，B之间的距离表示为 ；
（3）解绝对值方程即可；
（4）①解绝对值方程即可；②分三种情况分类讨论解方程；先求出 ， 的取值范围，然后计算解题．
【详解】（1）② ；
③ ；
故答案为：7，3．
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数 ， 的两点A，B之间的距离表示为 ，
故答案为： ．
（3）∵
∴ ，
解得： 或 ；
（4）① ，
即 ，
解得： ；
故答案为：4．
②若 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，方程无解；
当 时， ，解得 ；故答案为：8或0．
③由题可知 ， ，
又∵ ，
∴ ， ，
即 ， ，
∴代数式 的最大值是 最小值是 ，
故答案为：6，0．
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，解题的关键是了解数轴上两点间的距离的含义，利用数形结合、
从特殊到一般的数学思想结合解决问题．
26．（2022秋·广东深圳·七年级深圳市光明区公明中学校考期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)探究：
①数轴上表示7和3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示 和 的两点之间的距离是 ；
③数轴上表示 和5的两点之间的距离是 ．
(2)归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(3)应用：
①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为： ，那么a＝ ．
②若数轴上表示数a的点位于 与2之间，求 的值．
③当a何值时， 的值最小，最小值是多少？请说明理由．
【答案】(1)①4；②5；③8
(2)
(3)① 或 ；②7；③当 时， 的值最小，最小值是7【分析】（1）根据两点之间的距离 较大的数 较小的数可得结论；
（2）因为不确定 和 的大小关系，所以数轴上表示数 和数 的两点之间的距离等于 ；
（3）①根据绝对值的意义可得： ，解方程即可；②根据a的范围，化简绝对值，再合并即可；③
分析得出 表示一点到 ，1，2三点的距离的和，据此可解．
【详解】（1）解：①数轴上表示7和3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示 和 的两点之间的距离是 ；
③数轴上表示 和5的两点之间的距离是 ；
（2）一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ；
（3）① ，
∴ 或 ，
解得： 或 ；
②∵数轴上表示数a的点位于 与2之间，
∴ ，
∴ ；
③ 表示一点到 ，1，2三点的距离的和，
∴当 时，该式的值最小，最小值为 ．
∴当 时， 的值最小，最小值是7．
【点睛】本题考查了数轴在两点间的距离及绝对值化简中的应用，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间
的关系，是解题的关键．
