文档内容
专题03 菱形的判定与性质重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 利用菱形的性质求角度
题型二 利用菱形的性质求线段长
题型三 利用菱形的性质求面积
题型四 利用菱形的性质证明
题型五 添一个条件使四边形是菱形
题型六 证明四边形是菱形
题型七 根据菱形的性质与判定求角度
题型八 根据菱形的性质与判定求线段长
题型九 根据菱形的性质与判定求面积
题型十 菱形的综合性问题
【知识梳理】
知识点1：菱形的概念与性质
1. 概念：一组邻边相等的平行四边形是菱形
2.性质： 边：菱形的四条边都相等．
对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半．
知识点2：菱形的判定
1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）．
2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）．
3. 四条边相等的四边形是菱形（边）
【经典例题一 利用菱形的性质求角度】
【例1】（2023上·吉林长春·八年级校考期末）如图，在菱形 中， ， 的垂直平分线
交对角线 于点F，E为垂足，连接 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）如图，在菱形 中， ， 的垂直平分线交对角
线 于点F，E为垂足，连接 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·陕西榆林·九年级统考期末）如图，四边形 是菱形，延长 到点E，使 ．连
接 ，若 ，则 的度数为 ．
3．（2023下·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在四边形 中， ， ， 平分
交边 于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)连接 ，若 ， ，则 ______度．
【经典例题二 利用菱形的性质求线段长】
【例2】（2022·江苏镇江·校考三模）如图，菱形ABCD中， ， ，点M是边CD的中点，
直线EF分别与 、 交于点 、 ，若点 与点 关于直线 对称，则 的值为（ ）A．2 B． C． D．
【变式训练】
1．（2024上·四川成都·九年级四川省成都市第七中学初中学校校考期末）如图，四边形 是菱形，连
接 交于点O，过点A作 ，交 于点E，若 ，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·甘肃酒泉·九年级统考期末）如图，菱形 的对角线 与 相交于点O，E为 的中
点，连接 ， ， 4 ，则 ．
3．（2023上·四川成都·九年级统考期末）如图1，矩形 中，点E，F分别在 ， 上，将矩形
沿直线 折叠，点C落在 上的一点H处，点D落在点G处， 与 交于点O．(1)求证：四边形 是菱形；
(2)如图2， ， ，点H与点A重合时，求 的长．
【经典例题三 利用菱形的性质求面积】
【例3】（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）如图，四边形 是菱形，按以下步骤作图：①以顶点B
为圆心， 长为半径作弧，交 于点E；②分别以D、E为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧
相交于点F，作射线 交 于点G，连接 ，若 ， ，则菱形 的面积为
（ ）
A．16 B． C． D．12
【变式训练】
1．（2024上·辽宁朝阳·九年级统考期末）如图，将一个长为 ，宽为 的矩形纸片先按照从左向右
对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，
得到如图（2）所示的小菱形的面积为（ ）A． B． C． D．
2．（四川省达州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，菱形 的边长为26，对角线
的长为48，延长 至E， 平分 ，点G是 上任意一点，则 的面积为 ．
3．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在 中，点 分别在 上，且
．
(1)请从以下三个条件：① 是 的中点，② 平分 ，③ 中，选择一个合适的作为已知
条件，使四边形 为菱形，并加以证明．
(2)在（1）的条件下，若 ，求菱形 的面积．
【经典例题四 利用菱形的性质证明】
【例4】（2022上·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，在四边都相等的平行四边形 中，点 是对角
线的交点，点 、 、 、 分别是四边中点，则图中的全等三角形共有（ ）A．12对 B．16对 C．18对 D．20对
【变式训练】
1．（2023上·河南郑州·九年级校考阶段练习）如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，得到四边形
相交于点O．下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·辽宁铁岭·九年级统考阶段练习）如图，点 是菱形 边 的中点，点 为边 上一
动点，连接 ，将 沿直线 折叠得到 ，连接 ． 已知 ，当
为直角三角形时，线段 的长为 ．
3．（2024下·广西·九年级专题练习）如图，在菱形 中，对角线 、 相交于点O，过点D作对
角线 的垂线交 的延长线于点E．
(1)证明：四边形 是平行四边形；(2)若 ， ，求 的周长．
【经典例题五 添一个条件使四边形是菱形】
【例5】（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，甲、乙两人分别用一张矩形纸做一个折菱形的游戏．甲
沿 折叠使得点 落在 上，沿 折叠使得点 落在 上，甲说得到的四边形 为菱形；乙沿
折叠使得 与 重合，再折出 ， ，乙说得到的四边形 为菱形；下列说法正确的是
（ ）
A．甲一定成立，乙可能成立 B．甲可能成立，乙一定不成立
C．甲一定成立，乙一定不成立 D．甲可能成立，乙也可能成立
【变式训练】
1．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在□ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，
MC，CN，NA．添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件可以是（ ）
A． B．MB＝MO
C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
2．（2023上·山东青岛·九年级校考期中）如图，在 中，点D、E、F分别在边 上，且
．下列四种说法：①四边形 是平行四边形；②如果 ，那么四边形
是矩形；③如果 平分 ，那么四边形 是菱形；④如果 且 ，那么
四边形 是菱形．其中，正确的有 （只填写序号）．3．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，在四边形 中， ， 分别是
边 上的点，连接 交于点 ， ．添加下列条件之一使四边形 成为菱形：①
；② ．
(1)你添加的条件是______（填序号），并证明．
(2)在（1）的条件下，连接 ，若 ，求菱形 的面积．
【经典例题六 证明四边形是菱形】
【例6】（2021下·江苏南京·八年级南师附中树人学校校考期中）如图，在 中，点 、 分别是
、 的中点， 与 交于点 ， 与 交于点 ，下列说法：①四边形 是平行四边形；
②四边形 是平行四边形；③当 时，四边形 是菱形；④当 时，四边形
是矩形，其中正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【变式训练】
1．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点O，点E
为 的中点，连接 并延长交 于点F， ， ．下列结论：① ；②
；③四边形 是菱形；④ ，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2023上·福建三明·九年级统考期中）如图，现有一张矩形纸片 ， ， ，点 ，
分别在矩形的边 ， 上，将矩形纸片沿直线 折叠，使点 落在 边上点 处，点 落在点 处，
连接 ，交 于点 ，连接 ．下列结论：
； 四边形 是菱形； ， 重合时， ； 点 、 、 三点共线．
其中正确的结论有 ．（写出序号即可）
3．（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图， 中，过点 作 ， 交 的延长线点
；过点 作 ，交 的延长线于点 ， 交 于点 ，连接 ， ．
(1)求 的长；
(2)求证：四边形 为菱形．【经典例题七 根据菱形的性质与判定求角度】
【例7】（2024上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，在 中， ，
，对角线 交于点 ， 为直角三角形， 是斜边 的中点， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在菨形 中，过顶点 作 交对角线
于 点，已知 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·四川成都·八年级四川省成都市石室联合中学校考期中）如图，在四边形 中，对角线
互相垂直平分，点 ，Q分别是边 ，线段 上的点，连接 与 相交于点 ．
，且 ，则 ；当 时，设 ，则 的长
．（用含a的代数式表示）．3．（2022下·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，在 中，E是 的中点，连接 并延长交
的延长线于点F．
(1)求证： ．
(2)连接 ， ．
①当 时， 的形状是________．
②若 ，当 ________ 时，四边形 是菱形．
【经典例题八 根据菱形的性质与判定求线段长】
【例8】（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如图，在平行四边形 中（
），以点A为圆心， 为半径画弧交 于点F，连结 ，分别以点B和点F为圆心、以适当
长为半径作圆弧交于点G，连接 并延长交 于点E． 若 ， ，则 的长为（ ）
A．18 B．16 C．12 D．20
【变式训练】
1．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，四边形 中 ， ， ，连接， 的角平分线交 ， 分别于点O、E，若 ， ，则 的长为（ ）
A．4 B． C． D．
2．（2023·江苏盐城·统考模拟预测）如图，已知，等边 中， ，将 沿 翻折，得到
，连接 ，交 于O点，E点在 上，且 ，F是 的中点，P是 上的一个动点，
则 的最大值为 ．
3．（2024上·贵州贵阳·九年级统考期末）如图，已知在平行四边形 中， 平分 交 于点
E，点F在 上， ，连接 交 于点O，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求 的长．
【经典例题九 根据菱形的性质与判定求面积】
【例9】（2023·广西南宁·校考二模）如图，已知平行四边形纸片 ，将平行四边形纸片沿
过点A的直线折叠，使点B落在边 上，点B的对应点为F，折痕为 ，点E在边 上，连接 ，若 ，则四边形 的面积为（ ）
A．64 B．48 C．32 D．16
【变式训练】
1．（2023下·河南开封·八年级校考阶段练习）如图，在 的两边上分别截取 使 ，
分别以点A，B为圆心，以 的长为半径作弧，两弧交于点C，再连接 ，若
，则四边形 的面积是（ ）
A．240 B．130 C．120 D．65
2．（2023上·四川成都·九年级统考期中）将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部
分组成的四边形 中，对角线 ， ，则纸条重叠部分的面积为 ．
3．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）猜想：如图①，在 中，点 是对角线 的中点，过点
的直线分别交 、 于点 、 ．若 的面积是20，则四边形 的面积是______．
探究：如图②，在 中， ，对角线 、 相交于点 ，过点 的直线分别交 、
于点 、 ．若 ，求四边形 的面积．
应用：如图③，在Rt 中， ，延长 到点 ，使 ，连结 ．若
，则 的面积是______．【经典例题十 菱形的综合性问题】
【例10】（2023下·江苏常州·八年级统考期末）如图，在菱形 中， ， ，点 、 分
别在边 、 上，且 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【变式训练】
1．（2023上·宁夏银川·九年级银川唐徕回民中学校考期中）如图，在菱形 中， ， ，
， 分别是 ， 的中点， ， 相交于点 ，连接 ， ，有下列结论：① ；②
；③ ；④ ，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022下·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在菱形 中，对角线 ， ，动点 、
分别从点 、 同时出发，均以 的速度沿 、 向终点 、 匀速运动；同时，动点 、 也
分别从点 、 出发，均以 的速度沿 、 向终点 、 匀速运动，顺次连接 、 、 、
．设运动的时间为 ，若四边形 是矩形，则 的值为 ．3．（2023·江苏·统考中考真题）对于平面内的一个四边形，若存在点 ，使得该四边形的一条对角线绕点
旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点 是该四边形的一个“旋
点”．例如，在矩形 中，对角线 、 相交于点 ，则点 是矩形 的一个“旋点”．
(1)若菱形 为“可旋四边形”，其面积是 ，则菱形 的边长是_______；
(2)如图1，四边形 为“可旋四边形”，边 的中点 是四边形 的一个“旋点”．求
的度数；
(3)如图2，在四边形 中， ， 与 不平行．四边形 是否为“可旋四边形”？请说
明理由．
【拓展培优】
1．（2023上·河南郑州·九年级校考期中）如图，四边形 中， 、 、 、 分别是 、 、
、 的中点，若中点四边形 是菱形，那么原四边形 满足什么条件（ ）A． B． C． D．
2．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，点E，F分别是菱形 边 的中点，
交 的延长线于点G．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·山东济南·九年级统考期末）如图，菱形 中， ， ，E，F，P分别是
， ， 上的动点， 的最小值等于（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2023·海南三亚·统考二模）如图，将边长为4，锐角为 的菱形 沿 折叠，使顶点 恰好落
在边 的中点处，记为 ，则 的长度为（ ）
A． B． C．3 D．
5．（2023上·湖北·九年级校考周测）如图，在菱形 中， ，点 分别在 上，且
，连接 交于点 ，延长 到 使 ，连接 ，则以下四个结论：①；② ；③ 是等边三角形；④ ．其中正确结论的个
数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024上·陕西宝鸡·九年级校考期末）如图，在菱形 中，对角线 的交点为O，
， ，若点E在 上，且 ，则 的长为 ．
7．（2023上·贵州贵阳·九年级校考期中）如图，在菱形 中，对角线 ，点 为 的中点，点
在 上，连接 交 于点 ，若 ， ，则线段 的长为 ．
8．（2024上·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考期末）如图，四边形 为菱形， ，
在 内作射线 ，使得过点D作 ，垂足为F，若 ，则对角线 的长为 ．9．（2023上·江苏南京·八年级期末）如图，在菱形 中，对角线 ， 交于点O，点E为 的中
点，点F在 上， ，连接 交 于点G，若 ，连接 ， ，则线段 的长
为 ．
10．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）如图，在菱形 中， ， ，点 为
边上一点，且 ，在 边上存在一点 ， 边上存在一点 ，线段 平分菱形 的周长．
则 周长的最小值为 .
11．（四川省达州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）在 中， ，D是 的
中点，过点A作 ，且 ，连结 ．
(1)证明：四边形 是菱形；(2)若 ， ，求菱形 的面积．
12．（2024上·山东泰安·八年级统考期末）在 中，点 是 上任意一点，延长 交 的延长
线于点 ．
(1)在图1中，当 时，求证： 是 的平分线；
(2)根据（1）的条件和结论，
①如图2，若 ，点 是 的中点，请求出 的度数；
②如图3，若 ，且 ，连接 、 ，请直接写出 的度数．
13．（2022下·河北衡水·八年级校联考阶段练习）如图1，在矩形纸片 中， ， ，折叠
纸片使B点落在边 上的点E处，折痕为 ．过点E作 交 于F，连接 ．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)当点E在 边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形 的边长
②若限定P、Q分别在边 、 上移动，菱形 的面积的最大值为______；最小值为______．14．（2024上·山东青岛·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，点P从点D
出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的
速度都是 ，连接 ，设点P、Q运动的时间为 ．
(1)当t为何值时，四边形 是矩形？
(2)当t为何值时，四边形 是菱形？求出此时菱形 的面积．
15．（2024上·福建福州·八年级校考期末）【提出问题】求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四边
的平方和．
【探究问题】小红在探究该问题时从特殊的矩形和菱形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题：
（1）①如图①，在矩形 中， ， ，则 __________；
②若边长为5的菱形 中，两条对角线的平方和 __________；【解决问题】（2）如图②，已知 ，求证： ；
【知识应用】（3）如图③，在 中， 的长分别为7、10、5， 是 边上的中线，利
用（2）的结论求 的长．
