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专题 4-1 一次函数（考题猜想，一次函数常见的四类易错题）
类型1：忽视一次函数定义中的隐含条件而致错
【例题1】（22-23八年级下·山西朔州·阶段练习）已知函数 是一次函数，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数 中 ， 的指数为 列式，根据绝对值的性质，不等式的性质即
可求解．
【详解】解：∵函数 是一次函数，
∴ ，则 ，
∵ ，则 ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义，绝对值的性质，不等式的性质的运算是解
题的关键
【变式1】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）若 是关于x的一次函数，则m的值为
．
【答案】
【分析】根据一次函数的定义得到 且 ，即可得到答案．
【详解】解：由题意得： 且 ，解得，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数定义是解题的关键
【变式2】（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）已知函数 ，
(1)当 是何值时函数是一次函数．
(2)当函数是一次函数时，写出此函数解析式．并计算当 时的函数值．
(3)点 在此一次函数图象上，则 的值为多少．
【答案】(1)
(2) ，当 时，
(3)
【分析】（1）根据一次函数的定义进行求解即可；
（2）根据（1）所求代入m得值求出对应的函数关系式，再把 代入对应的函数关系式求出此时y的值
即可；
（3）代入 ，求出此时x的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵函数 是一次函数，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，函数 是一次函数；
（2）解：由（1）得 ，
∴当 时， ；
（3）解：在 中，当 时， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值，一般地，形如
（其中k、b都是常数，且 ）的函数叫做一次函数
【变式3】（22-23八年级下·吉林长春·期中）已知关于x的一次函数 ．
(1)若函数图象经过点 ，求a的值；
(2)若函数图象经过第一、三、四象限，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将 代入 得， ，计算求解即可；（2）由函数图象经过第一、三、四象限，可得 ，计算求解即可．
【详解】（1）解：将 代入 得， ，
解得， ，
∴a的值为7；
（2）解：∵函数图象经过第一、三、四象限，
∴ ，
解得， ，
∴a的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，解一元一次不等式组．解题的关键在于对知识的熟练掌握与
灵活运用
类型2：忽视分类或分类不全而致错
【例题2】（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系 中，已知 ，直线 ：
与 轴相交所成的锐角为 ．若 是 轴上的动点， ， 是 上的动点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图所示，直线 、 轴关于直线 对称，直线 、直线 关于 轴对称，点 是点
关于直线 的对称点，作 于点 ，交 轴于点 ，交直线 于 ，作 直线
，垂足为 ，此时 最小（垂线段最短），在 中利用
勾股定理即可解决．
【详解】解：如图所示，直线 、 轴关于直线 对称，直线 、直线 关于 轴对称，点
是点 关于直线 的对称点，作 于点 ，交 轴于点 ，交直线 于 ，作 直线
，垂足为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 与 轴相交所成的锐角为 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，设 ，
∵ ，直线 、 轴关于直线 对称，
在 中， ， ， ，
∴ ，即 ，
解得： 或 （负值不符合题意，舍去），
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称—最短问题、垂线段最短、等腰三角形的判定、勾股定理等知识．解题的关键是
利用轴对称性质正确找到点 的位置
【变式1】（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）如图，直线 的解析表达式为： ，且 与 轴交
于点 ，直线 经过点 ， ，直线 ， 交于点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)在直线 上存在异于点 的另一点 ，使得 与 的面积相等，求出点 的坐标；
(3)若点 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点 的坐标为 或 或 ，理由见详解
【分析】（1）根据题意，设直线 的解析式为 ，把点 ， 代入，运用待定
系数法即可求解；
（2）根据一次函数与坐标轴的交点，分别求出 的坐标，根据几何图形面积的计算方法即可求解；
（3）根据平行四边形的判定和性质，图形几何分析即可求解．
【详解】（1）解：∵直线 经过点 ， ，设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得， ，
∴直线 的解析式为： ；
（2）解：直线 的解析表达式为： ，
∴令 时， ；令 时， ；
∴ ，
∵直线 的解析式为： ，
∴令 时， ；令 时， ；
∴ ，
联立直线 ， 得，
，
解得， ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，
设 ，
∴ ，
解得， ，
∵异于点 的另一点 ，且 ，
∴ ，即 ；
（3）解：存在，点 的坐标为 或 或 ，理由如下，
如图所示， ， ， ，
根据题意，四边形 ，四边形 ，四边形 为平行四边形，
∴ 的中点坐标的横坐标为 ，纵坐标为0，
∴设 ，
∴ ， ，
解得， ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴ ；
同理， 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴ ；
综上所述，存在，点 的坐标为： 或 或 ．【点睛】本题主要考查一次函数图象的性质，平行四边形的判定和性质，几何图形面积的计算方法，一次
函数交点与二元一次方程组的运用，掌握一次函数图象，平行四边形的判定和性质是解题的关键．
【变式2】（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，一次函数 的图象过点 ， ，与x
轴相交于点C，过点A作 轴，垂足为B．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积；
(3)已知在x轴上有点E，满足 是等腰三角形，请你直接写出所有符合条件的点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 的坐标为 的坐标为 的坐标为 的坐标为
【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质，解答本题的关键
是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据一次函数 的图象过点 ，即可求得该函数的解析式；
（2）根据（1）中的结果，可以求得该函数与 轴和 轴的交点，然后即可计算出一次函数的图象与两坐
标轴围成的三角形的面积；
（3）根据题意，画出点 所在的位置，然后再写出所有符合条件的点 的坐标即可．
【详解】（1）∵一次函数 的图象过点 ，
∴ ，
解得 ，
即一次函数的表达式是 ；
（2）由（1）知： ，
∴当 时， ；
当 时， ；
∴点 的坐标为 ，1)，点 的坐标为 ，∴一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积是 ；
（3）∵点 轴，
当 时， 的坐标为 ，
当 时， 的坐标为
当 时， 的坐标为 的坐标为
∴ 的坐标为 ，
【变式3】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系 中，直线 分别
交 ， 轴于点 ， ，在 轴负半轴有一点C，满足 ，作直线 ，点D是y轴正半轴上的一个
动点．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)过点D作y轴的垂线，分别交直线 ， 于点 ， ，若 ，求点D的坐标；
(3)如图2，连接 ，将 沿直线 进行翻折，翻折后点O的对应点为点E，连接 ，若 为
直角三角形，求 的长度．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；(3) 或 或8．
【分析】（1）设直线 的解析式为 ，用待定系数法即可得直线 解析式；
（2）分类讨论：点D在线段 上，点D在线段 延长线上，把三个点的坐标表示出来列方程即可求解；
（3）点D在y轴正半轴上运动时，分三种情况： ，分别画出图形，
结合图形，运用勾股定理、矩形、正方形的性质及判定求解即可．
【详解】（1）解：令 ，
，则 ，
令 ，即 ，
，则 ， ，
，
，
，
设直线 的函数表达式为 ，
将 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
直线 的函数表达式为 ；
（2）解：①点D在线段 上时，如下图所示，
设 ，则 ，
，
，，
，
的坐标为 ；
②点D在线段 延长线上时，如下图所示：
设 ，则 ，
，
，
，
，
的坐标为 ；
综上所述，若 ，D的坐标为 或 ；
（3）解： ， ，
，
设 ，则 ，
将 沿直线 进行翻折得到 ，
， ， ，
①当 时，如图所示：，此时点A、E、B三点在一条直线上，点E在直线 上，
， ，
在 中， ，
即 ，
解得 ；
②当 时，如图所示：
作 于点F，
，
四边形 是矩形，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
即 ，
解得 ；③当 时，如图所示：
，
四边形 是正方形，
即 ，
；
综上所述，当 为直角三角形， 的长度为 或 或8．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及矩形、正方形性质及判定、勾股定理、折叠等知识，解题的关
键是用含参数的代数式变式相关点坐标和相关线段的长度，运用分类讨论、数形结合灵活解题
类型3：忽视自变量的取值范围而致错
【例题3】（23-24八年级下·四川遂宁·阶段练习）已知等腰三角形的周长为 ，则底边长 与腰长
的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象一次函数关系式的知识，要求同学们熟练掌握等腰三角形的性质及三
角形三边关系．
根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定义域即可．
【详解】解：
，
，
即 ，
，
又 两边之和大于第三边，即 ，
解得： ，
故底边长 与腰长 的函数关系式是： ．
故选：A．【变式1】（22-23八年级下·湖南长沙·期末）一次函数 的函数值y随自变量x的值增大而
减小，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据一次函数一次函数 的函数值y随自变量x的值增大而减小得到 ，解
不等式即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数 的函数值y随自变量x的值增大而减小，
∴ ，
解得 ，
故答案为：
【点睛】此题考查了一次函数的性质，对于一次函数 来说，当 时， 随 的增大而增
大，当 时， 随 的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键
【变式2】（22-23八年级下·吉林长春·期中）某鞋店销售A、B两种型号的球鞋，销售一双A型球鞋可获
利80元，销售一双B型球鞋可获利110元．该鞋店计划一次购进两种型号的球鞋共60双（可以单独购进
一种球鞋），将其销售完可获总利润为y元，设其中A型球鞋x双．
(1)求y与x的函数关系式．
(2)若本次购进B型球鞋的数量不超过A型球鞋的2倍，直接写出自变量x的取值范围．
(3)在（2）的条件下，该鞋店如何安排购进方案可获得最大利润，并求出最大利润．
【答案】(1)
(2) 且x为正整数
(3)鞋店购进A型球鞋20双，购进B型球鞋40双，才能使销售利润最大，最大利润是6000元
【分析】（1）根据A，B两种型号的球鞋获利单价列式整理即可；
（2）根据题意，列出不等式，即可；
（3）由函数关系式可得到随值的增加而减小，故根据A，B两种型号的球鞋的数量关系，解不等式求得最
小值即可．
【详解】（1）解：根据题意得 ，
∴y与x的函数关系式为 ；
（2）解：∵购进B型球鞋的数量不超过A型球鞋的2倍，
∴ ，
解得： ，
∴自变量x的取值范围为 且x为正整数；
（3）解：在 中，
∵ ，
∴y随x的增大而减小，∵ ，
∴ 时，y取最大值，
最大值是 （元），此时 ，
答：鞋店购进A型球鞋20双，购进B型球鞋40双，才能使销售利润最大，最大利润是6000元
【点睛】本题考查一次函数的增减性、一元一次不等式的应用等，明确题意，熟练掌握一次函数的性质及
不等式的解法是解决本题的关键
【变式3】（22-23八年级下·吉林长春·期中）已知一根蜡烛的长为30厘米，点燃后蜡烛每小时燃烧4厘米，
设蜡烛燃烧的时间为x（小时），蜡烛燃烧时剩下的长度为y（厘米）．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)求当 时，x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据燃烧速度与总长度即可直接写出关系式，当总长烧完时对应的时间即为时间上限；
（2）将 代入求出的解析式即可求解．
【详解】（1）
∵ ，
∴ ，
∴自变量 的取值范围是
（2）当 时， ，
解得
【点睛】本题考查一次函数与实际问题的应用，根据题意找出函数关系式是关键．
类型4：忽视一次函数的性质而致错
【例题4】（22-23八年级下·山东菏泽·期末）已知 ， ， 为直线 上的三个
点， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵直线 ，
∴y随x的增大而减小，当 时， ，
∵ ， ， 为直线 上的三个点，且 ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ， 同时为正， 时， 为正， 时， 为负，
∴ ， 或 ，故选项A符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答
【变式1】（21-22八年级下·福建福州·期中）一次函数y＝（3m﹣4）x+2的值随x值的增大而减小，则常
数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据一次函数的性质可知：3m﹣4＜0，据此求解即可．
【详解】解：∵一次函数y＝（3m﹣4）x+2的函数值随x值的增大而减小，
∴3m﹣4＜0
∴m＜ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，理解当 时，y随x值的增大而减小是解题的关键
【变式2】（23-24八年级上·广西崇左·期中）已知y关于x的一次函数 ．
(1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围；
(2)若y是x的正比例函数，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数的增减性以及正比例函数的定义，熟记相关结论即可．
（1）对于一次函数 ，当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小．
据此即可求解；
（2）对于一次函数 ，当 时，此时为正比例函数，据此即可求解．
【详解】（1）解：∵y随x的增大而减小，
∴ ，
解得： ，
∴m的取值范围是 ；
（2）解：∵y是x的正比例函数
∴
解得
∴【变式3】（22-23八年级下·辽宁大连·期末）已知一次函数 的图象经过点 与 ．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当 时，求y的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把点 与 代入 ，再建立方程组可得答案；
（2）计算 ， ，结合 随 的增大而增大可得答案．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象经过点 与 ，
∴ ，
解得： ，
∴这个一次函数的解析式为： ；
（2）当 时， ，
∵ ， 随 的增大而增大，
∴ ；
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的性质，掌握待定系数法与一次
函数的增减性是解本题的关键
