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专题 4-2 一次函数（考题猜想，二元一次方程（组）与一次函
数的四种常见应用）
应用1：利用两直线的交点坐标确定方程的解
【例题1】（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，一次函数 与 的图象相交于点
，则关于 ， 的二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）已知整数x满足 ， ， ，对
于任意一个x，m都取 、 中的最大值，则m的最大值是 ．
【变式2】（22-23八年级下·四川广安·期末）已知直线 经过点 ， ．(1)求直线 的解析式；
(2)若直线 与直线 相交于点C，求点C的坐标；
(3)根据图象，写出关于x的不等式 的解集．
【变式3】（22-23八年级下·福建泉州·期中）已知一次函数 ．
(1)无论k为何值，函数图象必过定点，求该定点的坐标；
(2)如图1，当 时，一次函数 的图象交x轴，y轴于A、B两点，点Q是直线 ：
上一点，若 ，求Q点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，直线 ： 交AB于点P，C点在x轴负半轴上，且 ，动点
M的坐标为 ，求 的最小值．
应用2：利用方程组的解求两直线的交点坐标
【例题2】（21-22八年级上·陕西汉中·期末）已知二元一次方程组 的解为 ，则在同一
平面直角坐标系中，直线 ： 与直线 ： 的交点坐标为（ ）A． B． C． D．
【变式1】（22-23八年级下·河南商丘·期末）已知方程组 的解为 ，则函数
与函数 的图象交点坐标为 ．
【变式2】（22-23八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，点A、B的坐标分别为 ，直线
与坐标轴交于C、D两点．
(1)求交点E的坐标；
(2)直接写出不等式 的解集；
(3)求四边形 的面积．
【变式3】（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线 ： 经过
，动点 在直线 ： 上，直线 和 交于点 ，设点 的横坐标为 ．(1)求直线 的解析式；
(2)交点 的坐标为______；
(3)过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，当以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形时，求 的
值；
(4)过点 作 轴的垂线交 轴于点 ，以 为边向右作正方形 ，当正方形 的顶点 或
落在直线 上时，直接写出 的值．
应用3：方程组的解与两个一次函数的关系
【例题3】直线 与 的图象没有交点，则方程组 的解的情况是（ ）
A．有无数组解 B．有一组解 C．有两组解 D．没有解
【变式1】方程组 没有解，因此直线y=﹣x+2和直线y=﹣x+ 在同一平面直角坐标系中的位置关系是（ ）
A．重合 B．平行 C．相交 D．以上三种情况都有可能
【变式2】（23-24八年级上·广西梧州·期中）直线 与 平行,则方程组 的解的
情况是 ．
【变式3】（2022八年级下·上海·专题练习）已知两个一次函数 和 ；
(1) 、 为何值时，两函数的图像重合?
(2) 、 满足什么关系时，两函数的图像相互平行?
(3) 、 取何值时，两函数图像交于 轴上同一点，并求这一点的坐标．
应用4：利用二元一次方程组求一次函数的解析式
【例题4】（22-23八年级下·广东江门·期末）直线 与 轴、 轴交于A、 两点， 的平
分线所在的直线 的解析式是（ ）
（提示：在 轴上取一点 ，使 ，连接 ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知一次函数 过点 ，且它的图象与 轴
的交点和直线 与 轴的交点关于 轴对称，那么这个一次函数的解析式为 ．
【变式2】（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线 ： 与 轴
交于点 ，与 轴交于点 ．直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，两直线交于点 ，若点 为 的
中点， ．(1)求直线 的解析式；
(2)如图2，连接 ，点 为直线 上一动点且位于直线 下方，若有 ，请求出点 坐标；
(3)如图3，将直线 平移得到直线 ，使得直线 经过点 ，并交 轴于点 ，点 为直线 上一动点，是
否存在以点 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出所有符合条件的点 的坐标，并
写出求解点 坐标其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由．
【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，正比例函数 的图像与一次函数 的图像
交于点 ，一次函数的图像经过点 ，与y轴交点为C，与x轴交点为D．
(1)求一次函数的解析式；
(2)点P是x轴上一点，且 的面积是 的2倍，求点P的坐标．
