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专题 4-2 一次函数（考题猜想，二元一次方程（组）与一次函
数的四种常见应用）
应用1：利用两直线的交点坐标确定方程的解
【例题1】（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，一次函数 与 的图象相交于点
，则关于 ， 的二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程 组 ，先利用 确定 点坐标，然后根据方程组的
解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，解题的关键是正确理解方程组的解就是两个相应的
一次函数图象的交点坐标．
【详解】解：把 代入 得 ，解得 ，
所以 点坐标为 ，所以关于 ， 的二元一次方程组 的解是 ，
故选：
【变式1】（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）已知整数x满足 ， ， ，对
于任意一个x，m都取 、 中的最大值，则m的最大值是 ．
【答案】14
【分析】本题主要考查了一次函数的最值．熟练掌握一次函数的图象与性质，确定两个函数图象的交点，
函数的增减性，是解决问题的关键．
联立两个函数的解析式，得出两函数图象的交点坐标，接下来将自变量分成两段讨论m的值，最后比较
得出结论即可．
【详解】联立两函数的解析式，得， ，
解得， ，
∴两函数图象交点为 ，
∵当 时， ，且 的值随x的增大而减小，
∴当 时， ；
∵当 时， ，且 的值随x的增大而增大，
∴当 时， ；
∴在 的范围内，m的最大值为14．
故答案为：14．
【变式2】（22-23八年级下·四川广安·期末）已知直线 经过点 ， ．(1)求直线 的解析式；
(2)若直线 与直线 相交于点C，求点C的坐标；
(3)根据图象，写出关于x的不等式 的解集．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等
式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息．
（1）利用待定系数法把点A，点B代入 可得关于k、b得方程组，再解方程组即可；
（2）联立两个函数解析式，再解方程组即可；
（3）根据C点坐标可直接得到答案．
【详解】（1） 直线 经过点 ， ，
，
解得 ，
直线 的解析式为： ；
（2） 若直线 与直线 相交于点C，
．
解得 ，
点 ；
（3）由（2）得 ，
根据图象可得不等式 的解集为：
【变式3】（22-23八年级下·福建泉州·期中）已知一次函数 ．(1)无论k为何值，函数图象必过定点，求该定点的坐标；
(2)如图1，当 时，一次函数 的图象交x轴，y轴于A、B两点，点Q是直线 ：
上一点，若 ，求Q点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，直线 ： 交AB于点P，C点在x轴负半轴上，且 ，动点
M的坐标为 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（1）整理得 ，根据题意，得当 ，求解得函数图象必过定点
；
（2）确定解析式 为 ，点A坐标为 ，点B坐标为 ；设点Q坐标为
，分情况讨论：①当点Q位于AB右侧时，根据题意得 ，列方程解得
，点Q坐标为 ；②当点Q位于AB左侧时，过点Q作 轴，交 于点Ｎ，点Ｎ的纵坐标
为 ， ，于是 ，解得 ，Q
坐标为 ；
（3）联立得 ，得 ，设 ，由 ，求得C的坐标为 ，点M在直线
上，点C关于直线 对称的点F的坐标为 ，连接 ， ，则 ，，作 轴，垂足为G，在 中， ，所以 的最
小值为 ．
【详解】（1）解：整理得
∵不论k取何值时，上式都成立
∴当 ，即 时，
∴无论k为何值，函数图象必过定点 ；
（2）当 时，一次函数 为 ，
当 时， ；当 时， ， ；
∴点A坐标为 ；点B坐标为 ；
∵点Q在直线 ： 上，
∴设点Q坐标为 ；
①如图，当点Q位于AB右侧时，根据题意得 ．
∴ ．
解得 ．
点Q坐标为 ；
②如图，当点Q位于AB左侧时，此时 ，
过点Q作 轴，交 于点Ｎ，则点Ｎ的纵坐标为 ，
由 ，得 ， ，∴ ．
∴ ，
解得 ，
∴Q恰好位于x轴上，此时Q坐标为 ；
综上所述：若 ，Q点的坐标为 或 ；
（3）由（2）可得直线AB： ，联立得 ，
解得 ．
∴
∵点C在x轴的负半轴，设
则 ，
∵ ，
∴
解得
∴点C的坐标为
∵动点M的坐标为 ．
∴点M在直线 上．
∴点C关于直线 对称的点F的坐标为 ，连接 ， ，则 ，
则 为 的最小值；
作 轴，垂足为G，
在 中，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查一次函数，图象交点求解，轴对称；结合题设条件，作线段的等量转移，构造直角三角
形求解线段是解题的关键
应用2：利用方程组的解求两直线的交点坐标
【例题2】（21-22八年级上·陕西汉中·期末）已知二元一次方程组 的解为 ，则在同一
平面直角坐标系中，直线 ： 与直线 ： 的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解答即可．
【详解】解：∵二元一次方程组 的解为 ，
∴直线l：y=x+5与直线l：y=− x-1的交点坐标为（-4，1）．
1 2
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交
点坐标
【变式1】（22-23八年级下·河南商丘·期末）已知方程组 的解为 ，则函数
与函数 的图象交点坐标为 ．
【答案】
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系进行解答即可．【详解】解： 方程组 的解为 ，
函数 与函数 的图象交点坐标相当于函数 与函数 的图象交点
向下平移2个单位长度，
函数 与函数 的图象交点坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交
点坐标
【变式2】（22-23八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，点A、B的坐标分别为 ，直线
与坐标轴交于C、D两点．
(1)求交点E的坐标；
(2)直接写出不等式 的解集；
(3)求四边形 的面积．
【答案】(1)点 的坐标是
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出直线 的解析式，利用二元一次方程组求出点 的坐标；
（2）根据函数图象写出不等式 的解集；
（3）根据坐标轴上点的特征求出 两点的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：由题意得 ，解得 ，
故直线 的解析式是 ,则 解得 ，
故点 的坐标是 ；
（2）解：由图象可知， 时，y=kx+b的图象在 的图象的上方，
故不等式 的解集是 ；
（3）解：当 时， ，当 时， ,
则点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式、利用二元一次方程组求两条直线的交点、利用函数
图象解不等式，掌握待定系数法的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键
【变式3】（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线 ： 经过
，动点 在直线 ： 上，直线 和 交于点 ，设点 的横坐标为 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)交点 的坐标为______；
(3)过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，当以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形时，求 的
值；
(4)过点 作 轴的垂线交 轴于点 ，以 为边向右作正方形 ，当正方形 的顶点 或
落在直线 上时，直接写出 的值．
【答案】(1)(2)
(3) 的值为 或
(4) 的值为 或0或
【分析】（1）运用待定系数法将 代入 ，解出即可解决；
（2）根据表达式联立组成方程组，解出即可得到点 的坐标；
（3）设 ，可得 ， ，解方程即可解决；
（4）由题意得： ， ，根据正方形性质可得 ， ，
分两种情况：当 时， ，则 ， ， 当 时 ，
则 ， ， 分别将点 、点 坐标代入 ，即可求得答案．
【详解】（1）解：将 代入 中，
，解得 ，
∴ ： ；
（2）解：由题意得： ，
解得： ，
点 ，
故答案为： ；
（3） 在 ： 上， ，
，
轴， 在 ： 上，
，
，
以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，
，即 ，
解得： ， ，的值为 或 ；
（4）解： 的值为 或0或 ．理由如下：
当 时，
， ， ， ，
当 在 上时， ，
解得： ，
当 在 上时， ，
解得： ；
当 时，
， ， ， ，
当 在 上时， ，
此方程无解，
当 在 上时， ，
解得： ；综上： 的值为 或0或 ．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查待定系数法、一次函数图象与性质、一次函数图象上点的坐标特征、
平行四边形性质、正方形性质等知识，解题关键是分类画出图形，数形结合解决问题
应用3：方程组的解与两个一次函数的关系
【例题3】直线 与 的图象没有交点，则方程组 的解的情况是（ ）
A．有无数组解 B．有一组解 C．有两组解 D．没有解
【答案】D
【分析】根据二元一次方程组的解与一次函数交点的关系解答即可．
【详解】直线 与 的图象没有交点，则方程组 没有解．
故选D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解与一次函数交点的关系．熟练掌握两者的关系是解答本题的关键
【变式1】方程组 没有解，因此直线y=﹣x+2和直线y=﹣x+ 在同一平面直角坐标系中的位置
关系是（ ）
A．重合 B．平行 C．相交 D．以上三种情况都有可能
【答案】B
【分析】方程组 可化为 ,若方程组没有解，说明直线y=﹣x+2和直线y=﹣x+ 在同
一平面直角坐标系中没有交点，可得两直线关系.
【详解】方程组 可化为 ,若方程组没有解，说明直线y=﹣x+2和直线y=﹣x+ 在同
一平面直角坐标系中没有交点，所以，两条直线平行.故选B
【点睛】本题考核知识点：一次函数与方程组.解题关键点：理解一次函数与方程组的关系
【变式2】（23-24八年级上·广西梧州·期中）直线 与 平行,则方程组 的解的
情况是 ．
【答案】无解
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组解的关系．熟知两个一次函数平行无交点即可得到本题答案．
【详解】解:∵直线 与 平行,
∴两直线无交点,
∴方程组 无解．
故答案为:无解．
【变式3】（2022八年级下·上海·专题练习）已知两个一次函数 和 ；
(1) 、 为何值时，两函数的图像重合?
(2) 、 满足什么关系时，两函数的图像相互平行?
(3) 、 取何值时，两函数图像交于 轴上同一点，并求这一点的坐标．
【答案】(1)
(2) 且
(3) ， ，坐标为（ 2，0）
【分析】（1）因为两函数的图象重合，也就是两个函数的比例系数与常数项相等，由此建立关于a、b的
方程组，求得a、b的数值；
（2）根据“两个一次函数的图像平行，则比例系数相等，常数不相等”列式求解即可；
（3）分别根据两函数与x轴相交于同一点，求出交点坐标即可得到结论．
【详解】（1）∵两函数的图像重合
∴两个一次函数的比例系数和常数项都相等，
∴
解得： ；
（2）∵两个一次函数的图像平行，
∴比例系数相等，常数不相等，
∴ ，且 ，即 ，且 ；
（3）∵两个一次函数的图像交于 轴上一点，即两个一次函数与 轴的交点重合，
∴两个一次函数与 轴的交点重合；
对于 ，令 ，得 ，
对于 ，令 ，得 ，
∴ ，
即 ，
∴当 ， 时，两函数图像交于 轴上同一点，交点坐标为（-2，0）．
【点睛】本题考查了两条直线相交和平行问题，利用两个一次函数的交点坐标为两函数解析式所组成的方
程组的解解决问题
应用4：利用二元一次方程组求一次函数的解析式
【例题4】（22-23八年级下·广东江门·期末）直线 与 轴、 轴交于A、 两点， 的平
分线所在的直线 的解析式是（ ）
（提示：在 轴上取一点 ，使 ，连接 ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对于已知直线，分别令 与 为0求出对应 与 的值，确定出A与 的坐标，在 轴上取一点 ，
使 ，连接 ，由 为 的平分线，得到 ，
利用 得出两三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到 ，设 ，可得出
，在 中，利用勾股定理列出关于 的方程，求出方程的解得到 的值，确定出 坐标，
设直线 解析式为 ，将A与 坐标代入求出 与 的值，即可确定出直线 解析式．
【详解】解：对于直线 ，令 ，求出 ；令 求出 ，
， ，
即 ， ，
根据勾股定理得： ，
在 轴上取一点 ，使 ，连接 ，如图所示：为 的平分线，
，
在 和 中 ，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
根据勾股定理得： ，
解得： ，
，
即 ，
设直线 解析式为 ，将A与 坐标代入得： ，
解得： ，
则直线 解析式为 ．
故选：B．
【点睛】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴
的交点，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关
键
【变式1】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知一次函数 过点 ，且它的图象与 轴
的交点和直线 与 轴的交点关于 轴对称，那么这个一次函数的解析式为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式．首先求出直线 与 轴的交点 ，再根据轴对称的特点进一步求出所求的一次函数图象与 轴的交点 ，然后设所求的一次函数解析式为
，再利用待定系数法将点 和 代入可得出方程组，解出即可得出 和 的值，即得出了
函数解析式．
【详解】解： 直线 与 轴的交点为 ，
所求直线与 轴的交点为 ，
设所求直线的解析式为 ，
所求直线经过点 和 ，
，
解得： ，
所求的一次函数解析式为： ．
故答案为：
【变式2】（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线 ： 与 轴
交于点 ，与 轴交于点 ．直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，两直线交于点 ，若点 为 的
中点， ．
(1)求直线 的解析式；
(2)如图2，连接 ，点 为直线 上一动点且位于直线 下方，若有 ，请求出点 坐标；
(3)如图3，将直线 平移得到直线 ，使得直线 经过点 ，并交 轴于点 ，点 为直线 上一动点，是
否存在以点 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出所有符合条件的点 的坐标，并
写出求解点 坐标其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或 或
【分析】（1）分别令 求得点 ， ，根据题意得出 ， ，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）先求得 ，进而根据三角形的面积公式求得 ，根据 建立方程，即
可求解；
（3）根据平移可得 的解析式为 ，得出 ，设 ，又 ，根据勾股定理表
示出 ，进而分三种情况讨论，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：对于直线 ： ，当 ，则 ，当 ，则 ，
∴ ，
∴
∵ ，点 在 轴负半轴，则 ，
∵ 是 的中点，
∴
设直线 的解析式为 ，代入 ， ，
解得：
∴直线 的解析式为 ；
（2）∵ ，
∴
联立 ，
解得：
∴
∵ 在直线 上，设 ，
∴∵
∴
解得：
∴ 坐标为
（3）解：将直线 平移得到直线 ，使得直线 经过点 ，并交 轴于点 ，
∴ 的解析式为
当 时， ，则 ，
∵点 为直线 上一动点，
设 ，又 ，
∴ ， ，
①当 时， ，解得：
∴
②当 时， ，解得：
∴ 或
③当 时， ，解得： 或
∴
综上所述， 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，解一元二次方程，三角形的面积问题，待定
系数法求一次函数解析式，一次函数的平移；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键
【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，正比例函数 的图像与一次函数 的图像
交于点 ，一次函数的图像经过点 ，与y轴交点为C，与x轴交点为D．
(1)求一次函数的解析式；(2)点P是x轴上一点，且 的面积是 的2倍，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为 或
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积，根据点
的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
（1）由点 在正比例函数图象上可得出关于 的一元一次方程，解方程即可得出点 的坐标，再根据点
、 的坐标利用待定系数法求出函数解析式；
（2）根据直线 的解析式求出点 的坐标，再根据三角形的面积公式结合 的面积是 面积
的2倍，即可得出关于 的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出 的值，由此即可得出点 的
坐标．
【详解】（1）
解： 点 在正比例函数 的图象上，
，
．
点 坐标为 ．
又 点 、 在一次函数 的图象上
，解得： ， 一次函数解析式为 ．
（2）解：令 中 ，则 ，
，
．
设点P的坐标为 ，
的面积是 的2倍，
，
解得 或 ，
点P的坐标为 或
