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专题 4-3 一次函数（考题猜想，利用一次函数解决方案设计问题）
类型1：合理决策的问题
【例题1】（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）某商场购进 、 两种商品共 件进行销售，其中
商品的件数不大于 商品的件数，且不小于 件， 、 两种商品的进价、售价如表：
进价 元 件
售价 元 件
请利用本章所学知识解决下列问题：
(1)设商场购进 商品的件数为 件，购进 、 两种商品全部售出后获得利润为 元，求 和 之间的函
数关系式，并写出 的取值范围；
(2)在（1）的条件下，要使商场获得最大利润，该公司应购进 多少件？最大利润是多少？
(3)在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件 ，就从一件 的利润中拿出 元 捐
给慈善基金，则该商场应购进 件，方可获得最大利润．
【变式1】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出
产的水果共160千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
进价（元/千克） 售价（元/千克）
5 8
甲种
乙
9 13
种
(1)若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？
(2)若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销
售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？
【变式2】（22-23八年级下·云南楚雄·期末）卷蹄是云南少数民族的传统美食，素以色鲜味美、食法多样、
易于贮存而深受人们的喜爱，其中尤以弥渡县一带所制最为有名，故又称“弥渡卷蹄” 某经销商准备从一
卷蹄加工厂购进甲、乙两种卷蹄进行销售，加工厂的厂长为了答谢经销商，对甲种卷蹄的出售价格根据购
买量给予优惠，对乙种卷蹄按 元 千克的价格出售，设经销商购进甲种卷蹄 千克，付款 元， 与 之
间的函数关系如图所示．
(1)求 与 之间的函数关系式．
(2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种卷蹄共 千克，其中甲种卷蹄不少于 千克且不超过 千克，
如何分配甲、乙两种卷蹄的购进量，才能使经销商付款总金额 最少？
【变式3】（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知购买甲种笔记本 个，乙种笔记本 个，共花费
元．购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费 元．
(1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
(2)她决定再次购买两种笔记本共 个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买
时减价 元，乙种笔记本按上一次购买时售价的八折出售，此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不得超过
上一次总费用的 .求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．类型2：选择方案的问题
【例题2】（22-23八年级下·河南漯河·期末）为响应习近平总书记的号召，鼓励学生多读书，某图书馆针
对学生推出两种新的借阅优惠方案．
甲方案：凭学生证办理借阅卡，充值超过20元时，超过多少送多少；
乙方案：凭学生证办理会员卡，充值每满40元再送20元．
设借阅时间为x天，甲、乙两种方案每本书的借阅租金分别表示 （元）， （元） 关于x的所数
图象如图所示．
(1)分别直接写出 与x之间的函数关系式；
(2)请求出图中线段 的长并说明它的实际意义；
(3)八年级小兰准备用40元钱在该图书馆借阅一本书，选择哪种方案办卡更划算？说明理由．
【变式1】（22-23八年级下·云南红河·期末）某水果销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
下图中的射线 分别表示该水果销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资 （单位：元）和
（单位：元）与其当月水果销售量 （单位：千克） 的函数关系．(1)分别求 与 的函数解析式（解析式也称表达式）．
(2)请根据函数图象帮助该公司销售人员小张选择哪个方案每月能得到更高的工资？
【变式2】（22-23八年级下·四川南充·期末）某电信公司提供了A，B两种通讯方案，其通讯费用y（元）
与通话时间x（分）之间的关系如图所示，观察图象，回答下列问题：
(1)某人若按A方案通话时间为100分钟时通讯费用为 元；若通讯费用为70元，则按B方案通话时间为
分钟；
(2)求B方案的通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的函数关系式；
(3)当B方案的通讯费用为50元，通话时间为170分钟时，若此时与A方案的通讯费用相比差10元，直接
写出两种方案通话时间相差多少分钟．
【变式3】（23-24八年级上·黑龙江大庆·期中）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引
顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按8折优惠；在乙超
市累计购买商品超出200元之后，超出部分按 折优惠．设顾客预计累计购物x元（ ），甲，乙
两家超市所付费用分别为 元和 元．
(1)请用含x的代数式分别表示 和 ；(2)顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．
类型3：购物优惠的问题
【例题3】（22-23八年级下·宁夏银川·期末）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022
年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕
种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地价格的 倍，用
300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的菜苗少3捆．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元，学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且购买A种
菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．请问
在菜苗基地购买A、B两种菜苗各多少捆能使本次购买费用最少，最少花费多少元？
【变式1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）初二年级组织师生到秦岭国家植物园研学，准备租用A、B
两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元．若5
辆A型和2辆B型车坐满后共载客300人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客320人．
(1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？
(2)若年级计划租用A型和B型两种客车共40辆，要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍，则采用哪
种租车方案租金最少？最少租金是多少元？【变式2】（22-23八年级下·安徽铜陵·期末）某校计划采购 、 两种规格的教学器材，已知 种器材的
价格为每个 元； 种器材采购数量不超过 个则按原价购买，采购数量超过 个时，超出部分可在原
价基础上每个优惠 元．学校经测算，若购买 个 种器材需要花费 元：若购买 个 种器材需要花
费 元．
(1)求 种器材的售价和 的值；
(2)学校要采购 、 两种规格的教学器材共 个，要求购买 种器材数量不少于 个且不超过 种器材数
量的 倍，请通过计算帮学校决策，如何分配购买数量可以使得总采购费用最少？最少总采购费用是多少
元？
【变式3】（22-23八年级下·河南新乡·期中）随着个人用户对打印机需求量的增加，某文具店用6000元购
进了若干台A型打印机，用10000元购进了相同数量的B型打印机．已知B型打印机比A型打印机的单价
贵200元．
(1)B型打印机的单价是多少元？
(2)为了促销，批发商针对B型打印机推出以下团购优惠方案：一次性购买不超过20台，则每台B型打印
机享九折优惠；若一次性购买超过20台，则前20台享九折优惠，超过的部分享八折优惠．设购买B型打
印机x台，所需费用为y元，请写出y关于x的函数关系式．
(3)在（2）的优惠方案下，若购买A型、B型打印机共35台，且购买A型打印机的数量不超过B型打印机
数量的 ，如何购买才能使花费最少？最少花费为多少元？
