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八下期末真题百题大通关（158 题 58 题型）（基础版）
题型一 二次根式的概念、求二次根式的值 题型三十 求矩形在坐标系中的坐标
题型二 求二次根式中的参数 题型三十一 矩形与折叠问题
题型三 二次根式有意义的条件 题型三十二 斜边的中线等于斜边的一半
题型四 利用二次根式的性质化简 题型三十三 矩形的判定
题型五 二次根式的乘除及混合运算 题型三十四 根据矩形的性质与判定求解
题型六 最简二次根式 题型三十五 利用菱形的性质求解与证明
题型七 同类二次根式 题型三十六 菱形的判定
题型八 二次根式的加减运算 题型三十七 根据菱形的性质与判定求解
题型九 二次根式的混合运算 题型三十八 利用正方形的性质求解与证明
题型十 分母有理化 题型三十九 正方形的判定
题型十一 二次根式的化简求值 题型四十 根据正方形的性质与判定求解
题型十二 比较二次根式的大小 题型四十一 中点四边形题型
题型十三 二次根式的应用 题型四十二 求阴影面积
题型十四 用勾股定理解三角形 题型四十三 （特殊）平行四边形的动点问题
题型十五 已知两点坐标求两点距离 题型四十四 四边形中的线段最值问题
题型十六 勾股树（数）问题 题型四十五 变量与函数题型
题型十七 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型四十六 函数的图象
题型十八 勾股定理与网格问题 题型四十七 正比例函数
题型十九 勾股定理与折叠问题 题型四十八 一次函数
题型二十 利用勾股定理求两条线段的平方和 题型四十九 一次函数图象与坐标轴的交点问题
（差）题型二十一 勾股定理的证明方法 题型五十 一次函数的规律探究问题
题型二十二 勾股定理与无理数 题型五十一 一次函数图象平移问题
题型二十三 勾股定理的应用 题型五十二 一次函数与方程、不等式
题型二十四 勾股定理的逆定理 题型五十三 求直线围成的图形面积
题型二十五 利用平行四边形的性质及其应用 题型五十四 一次函数的实际应用
题型二十六 平行四边形的判定 题型五十五 一次函数与几何综合
题型二十七 平行四边形的判定与性质综合 题型五十六 平均数、中位数、众数
题型二十八 三角形中位线 题型五十七 方差
题型二十九 利用矩形的性质求解与证明 题型五十八 数据分析中的决策问题
第十六章 二次根式
1．（23-24八年级下·广东惠州·期末）下列式子中，是二次根式的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求二次根式的值
【分析】本题考查了二次根式的定义．根据形如 的式子叫做二次根式，逐项分析即可求解．
【详解】解：A、 是二次根式，A符合题意；
B、 ，不是二次根式，B不符合题意；
C、 不是二次根式，C不符合题意；
D、 不是二次根式，D不符合题意．
故选：A．
2．（23-24八年级下·浙江温州·期末）当 时，二次根式 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】求二次根式的值
【分析】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．将 代入二次根式
中计算即可．
【详解】解：当 时，
原式 ，
故选：C
3．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知 那么 ．
【答案】81
【知识点】求二次根式中的参数
【分析】先求出x值，再求平方即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：81．
【点睛】本题考查了二次根式的意义，掌握二次根式的意义和运算方法是正确求解的基本方法．
4．（24-25八年级下·河南信阳·期末）使式子 有意义，则 的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数进行求解即可．【详解】解：要使式子 有意义，则 ，即 ．
故答案为：
5．（23-24八年级下·广西河池·期末）化简： ＝ ．
【答案】2024
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟记“ ”是解题关键．直接利用二次根式的性质求解即可．
【详解】解： ．
故答案为：2024．
6．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算： ．
【答案】
【知识点】二次根式的乘法
【分析】本题考查的知识点是二次根式的乘法，解题关键是熟练掌握二次根式的乘法运算法则．
【详解】解：根据二次根式的乘法可得： ．
故答案为： ．
7．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期末） ．
【答案】2
【知识点】二次根式的除法
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的除法法则： ，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
【详解】解：
故答案为：2.
8．（22-23八年级下·吉林·期末）计算： ．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【分析】根据二次根式的乘除法法则即可得．
【详解】原式
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除法法则是解题关键．
9．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式的判断
【分析】本题考查最简二次根式的判定，根据最简二次根式的要求：被开方数不含能开得尽方的因数；被开方数不含分母，由这两条逐项判定即可得到答案，熟记最简二次根式的要求是解决问题的关键．
【详解】解：A、 ，故 不是最简二次根式，不符合题意；
B、 是最简二次根式，符合题意；
C、 中被开方数含有分母，故 不是最简二次根式，不符合题意；
D、 ，被开方数含有分母，故 不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
10．（23-24八年级上·山东滨州·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】化为最简二次根式
【分析】本题考查了对最简二次根式的定义的理解，先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的
定义判断是解此题的关键．
【详解】解：A. ，化简不正确；
B. ，化简不正确；
C. ，化简不正确；
D. ，化简正确；
故选D．
11．（22-23八年级下·湖北咸宁·期末）当 时， 和 两个最简二次根式是同类
二次根式．
【答案】3
【知识点】已知最简二次根式求参数
【分析】根据同类二次根式的定义列一元一次方程求解即可．
【详解】解：∵ 和 两个最简二次根式是同类二次根式，
∴ ，解得： ．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义列出一元一次方程是解答本题的
关键．
12．（23-24八年级下·安徽黄山·期末） 与最简二次根式 是同类二次根式，则 ．【答案】
【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式
【分析】本题主要考查了同类二次根式和最简二次根式等知识点，根据同类二次根式的定义得出 ，
求出即可，能熟记同类二次根式的定义的内容是解此题的关键．
【详解】∵ ，
∵ 与最简二次根式 是同类二次根式，
∴ ，
解得： ，
故答案为：7．
13．（22-23八年级上·贵州铜仁·期末）计算： ．
【答案】
【知识点】二次根式的加减运算
【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，先化简二次根式，再合并即可．
【详解】解： ；
故答案为：
14．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）计算 的结果是 ．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先进行乘法运算并化为最简二次根式，再进行加减运算，即可
求解；掌握 （ ， ）和合并同类二次根式法是解题的关键.
【详解】解：原式 ；
故答案为： ．
15．（23-24八年级下·广东东莞·期末）计算： ．
【答案】 ．
【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法，再根据二次根式的性质进行化简，最
后计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：．
16．（23-24八年级下·甘肃平凉·期末）阅读与思考：
【阅读理解】
爱思考的小利在解决问题：已知 ，求 的值．他是这样分析与解答的：
，
，即 ，
，
．
【任务】
请你根据小利的分析过程，解决如下问题：
(1)计算： ___________；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)2
【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算、分母有理化
【分析】本题考查了二次根式混合运算，分母有理化，乘法公式等，熟练掌握分母有理化的方式是解题关
键．
（1）利用平方差公式分母有理化即可；
（2）利用分母有理化可得 ，进而得到 ， ，然后将代数式变形，代入计算即
可．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解： ，
，
，即 ，
，17．（22-23八年级下·山东烟台·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 ， 一样的式
子，其实我们还可以将其进一步化简： ．
．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请用分母有理化解答下列问题：
(1)化简： ；
(2)化简： ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分母有理化
【分析】（1）根据分母有理数化简即可；
（2）根据分母有理数化简即可．
【详解】（1）解：原式= ；
（2）解：原式=
= ．
【点睛】本题考查分母有理化，正确计算是解题的关键．
18．（22-23八年级下·四川广安·期末）已知 ， ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】已知字母的值，化简求值
【分析】由 、 的值直接代入 求解即可．
【详解】解：
．故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解答本题的关键在于对原式进行恰当的化简并代入求值．
19．（22-23八年级下·山东威海·期末）（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）18；（2）
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知条件式，化简求值、已知字母的值，化简求值
【分析】（1）根据二次根式的加法法则求出 ，根据二次根式的乘法法则求出 ，根据提公因式、完
全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据完全平方公式把原式变形，计算即可．
【详解】解：（1） ， ，
， ，
则
；
（2） ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、加法法则是解题的关键．
20．（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或
“＝”）
【答案】=
【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小
【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键．把 分母有理化即可得到答案．
【详解】解：
，
故答案为： ．
21．（23-24八年级下·甘肃平凉·期末）已知矩形的长 ，宽 ．
(1)求该矩形的周长；
(2)若另一个正方形的面积与该矩形的面积相等，试计算该正方形的边长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】二次根式的应用、二次根式的乘法、二次根式的混合运算
【分析】本题考查二次根式的应用：
（1）根据周长公式列式，利用二次根式的性质先化简再求和；
（2）先通过二次根式的乘法计算出矩形的面积，进而根据面积相等求出正方形的边长．
【详解】（1）解：长方形的周长 ．
（2）解：长方形的面积 ，
根据面积相等，则正方形的边长 ．
22．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）（1）设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b．已知 ，
，求S的值；
（2）已知长方体的体积 ，高 ，底面相邻两边 ，求a，b的值．
【答案】（1） ；（2） ，
【知识点】二次根式的应用
【分析】本题考查了二次根式的应用；
（1）根据长方形的面积公式列式计算即可；
（2）由已知得出 ，然后根据长方体的体积公式列式求出a，进而可得b的值．
【详解】解：（1）依题意， ；（2） ，
，
，即
∴ ，
，
，
．
第十七章 勾股定理
23．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在 中， ，若 ， ，则 的长是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．根据勾股定理求解即可．
【详解】解： ， ， ，
，
故选：D．
24．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，点 到原点的距离为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】已知两点坐标求两点距离
【详解】本题主要考查了两点间距离公式，根据两点间距离公式进行计算，即可得出答案．
【分析】解：由题意得，点P到坐标原点的距离为：
．
故选：D．
25．（23-24八年级下·云南红河·期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【知识点】求一个数的算术平方根、勾股树（数）问题
【分析】本题考查的是勾股数，满足 的三个正整数，根据勾股数的定义解答即可．
【详解】解：A、 不是正整数，故 不是勾股数，不符合题意；
B、0.3，0.4，0.5，不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、 ，是勾股数，符合题意；
D、 ，故不是勾股数，不符合题意．
故选：C．
26．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所
有的三角形都是直角三角形．若正方形 、 、 、 的面积分别为2、5、1、2．则最大的正方形 的面
积是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】此题考查勾股定理的利用，正确理解图中几个正方形与直角三角形的关系是解题的关键.根据直角
三角形勾股定理解答得到E的面积是A、B、C、D四个面积的和，由此得到答案.
【详解】解：如图，
由图知：正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积，
正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积，
正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积，
∴正方形E的面积=正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C的面积+正方形D的面积 ，
故选：B.
27．（23-24八年级下·河北张家口·期末）图中三角形是直角三角形，所有四边形都是正方形，最大正方形的边长为 ，则图中所有正方形的面积的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理的几何意义解答即可．熟悉勾股定理的几何意义是解题的关
键．
【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知：直角三角形两直角边所对应的两个正方形的面积之和等于
斜边所对应的正方形的面积，
则图中所有正方形的面积的和为 ，
故选：A．
28．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心， 为半
径画弧，交网格线于点D，则 的长为（ ）
A． B． C．3 D．无法确定
【答案】A
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】此题考查了勾股定理，连接 ，从而根据勾股定理计算是解题的关键．
【详解】解：连接 ，
则 ,
∴ ，
故选A．
29．（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，在 的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标
记格点A，B，C，D，则下列线段长度为 的是（ ）A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】B
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】根据勾股定理分别求解 ， ， ， ，从而可得答案．
【详解】解：由勾股定理可得：
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理的解本题的关键．
30．（22-23八年级下·广西南宁·期末）如图是课堂上同学们在探究勾股定理用到的图形，已知网格中小正
方形的边长为1，则线段 的长为（ ）
A． B．5 C．9 D．13
【答案】A
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】直接利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由勾股定理可得： ，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，牢记勾股定理是解决问题的关键．
31．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，三角形纸片 中， ， ， ，沿
和 将纸片折叠，使点 和点 都落在边 上的点 处，则 的长是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
根据题意可得 ， ， ，可得 ，继而设 ，
则 ，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵沿 纸片折叠，使点B落在边 上的点P处，
∴ ， ，
∵折叠纸片，使点C与点P重合，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， 由勾股定理得
∴ ，
解得 ，即 ，
∴ ，
故选：B．
32．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片 ， ， ．现折叠该
纸片使得 边与对角线 重合，折痕为 ，点 落在 处，求 ．【答案】3
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；
先利用勾股定理求出 ，然后根据折叠的性质得到 ， ， ，求出
，然后在 中，利用勾股定理构建方程，即可求出 ．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
由折叠得： ， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
33．（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，将长方形纸片 沿 折叠，使点 恰好落在 边上
点 处，若 ， ，求 的长．
【答案】 ．
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理．根据折叠的性质及勾股定理求解．
【详解】解：由翻折可得 ， ，
四边形 为长方形，
， ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
，
设 ，则 ，在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ，
即 ．
34．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图所示，在 中， ，点D为 边上一点，将
沿 翻折得到 ，若点 在 边上， ， ，求 的长．
【答案】
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】由勾股定理求出 ，由折叠的性质得出 ， ， ，得
出 ， ，设 ，则 ，在 中，由勾股定理得出方程，
可求 长，由勾股定理可求 的长．本题考查了翻折变换的性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换
的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
【详解】解：由折叠可知： ， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
， ，
，
35．（22-23八年级下·山西大同·期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，
， 的顶点A在 的斜边 上，则 的值为 ．【答案】
【知识点】全等三角形综合问题、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解．
【详解】解：连接 ，如图所示：
因为 和 都是等腰直角三角形， ，
即
故
故答案为：
【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．掌握相关几何知识是解题的关键．
36．（23-24八年级下·河北邢台·期末）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要
成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等
直角三角形拼成如图1所示的五边形 ，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给
出的相关证明：
如图，延长 交①于点G．
用两种不同的方法表示五边形 的面积S：
方法一：将五边形 看成是由正方形 与 ， 拼成，则 ②．
方法二：将五边形 看成是由③，正方形 ， ， 拼成，根据面
积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理．
则下列说法错误的是（ ）A．①代表
B．②代表
C．③代表正方形
D．④代表
【答案】C
【知识点】勾股定理的证明方法
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据题意用两种方法表示出S，然后根据两种表示方法表示的
S相等，即可得到结论．
【详解】解：如图所示，延长 交 于G，
方法一：将五边形 看成是由正方形 与 ， 拼成，则 ；
方法二：将五边形 看成是由正方形 ，正方形 ， ， 拼成，则
，
根据面积相等可以得到 ，即 ，故C选项错误，符合题意．
故选：C．
37．（23-24八年级下·青海西宁·期末）已知 ， ，将它们按照如图所示摆放在
直线 上，使点 与点 重合，连接 ，得到的四边形 是梯形．设 的三边分别为 ， ， ，
请用此图证明勾股定理．【答案】见解析
【知识点】勾股定理的证明方法
【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的证明，
首先求出 ，然后利用梯形的面积得到 ，进而
求解即可．
【详解】证明：
， ，
，
即 ．
38．（23-24八年级下·云南大理·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形 ，中间阴影
部分是一个小正方形 ，这样就组成一个“赵爽弦图”．若 ， ，则 的面积为
（ ）
A．20 B．24 C．36 D．48
【答案】B
【知识点】以弦图为背景的计算题
【分析】本题考查勾股定理的应用，利用中间小正方形的面积=大正方形的面积 个全等的直角三角形的
面积，求出即可．
【详解】解：有图形可得： 个全等的直角三角形的面积=大正方形的面积 中间小正方形的面积，∴ ，
∴ ，
故选：B．
39．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小
正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的
直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中
阴影部分的面积
【答案】21
【知识点】以弦图为背景的计算题
【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型．利用勾股定理，求出 ，从而得到
，再由阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白部分面积，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积为 ．
故答案为：21
40．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线裁剪成四个直角三角形，再将
裁得的四个直角三角形分别拼成图2和图3，图2中间正方形的面积是13，图3中间正方形的面积是1，则
图1中菱形的面积是 ．【答案】12
【知识点】以弦图为背景的计算题、用勾股定理解三角形、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了菱形，正方形的面积的计算，勾股定理的运用，完全平方公式的运用，掌握勾股定理
是解题的关键．
根据图1的菱形与图2中间正方形的面积可得菱形的边长，设 ，由此可得图3中正方形的
面积和菱形的面积，根据勾股定理，完全平方公式的运用即可求解．
【详解】解：根据题意，图1中的菱形 ，
∴ ，
剪开后是四个全等的直角三角形，拼成了图2的正方形，
∵图2中间正方形的面积为 ，
∴中间正方形的边长为 ，即菱形的边长为 ，
设 ，则 ，
∴图3中， ，图1中菱形的面积为 ，∴ ，
∴ ，
∴图1中菱形的面积为 ，
故答案为：12 ．
41．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图是“赵爽弦图”，其中 、 、 和 是四
个全等的直角三角形，四边形 和 都是正方形，如果 ， ，那么 等于
．
【答案】1
【知识点】以弦图为背景的计算题
【分析】此题考查勾股定理．根据勾股定理求得 ，进而求得 的值，即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 、 、 和 是四个全等的直角三角形，
∴ ，
∴ ．
故答案为：1．
42．（24-25八年级上·海南海口·期末）把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线
为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是（ ）
A．1 B． C． D．1.5
【答案】B
【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数
【分析】本题考查的是勾股定理的应用、实数与数轴，掌握勾股定理是解题的关键．
先运用勾股定理求出正方形的对角线长，从而得到 的长，即可解答．
【详解】解：根据题意可得，正方形的对角线长为 ，
∴ ，
∴点A对应的数是 ．故选：B
43．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图所示，数轴上的点 表示的实数为 ，以点 为圆心， 为
半径画弧交数轴于点 ，则点 表示的数是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理与无理数、实数与数轴
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理． 和 均为半径，根据勾股定理求出 的长，从而得到点
表示的数．
【详解】解：如图，
在 中， ，
，
点 表示的数为 ，
故答案为： ．
44．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，某隧道是一个双向通车的隧道，隧道的截面是一个半径为
米的半圆形，一辆高 米，宽 米的卡车能通过该隧道吗？为什么？
【答案】一辆高 米，宽 米的卡车不能通过该隧道，理由见解析．
【知识点】用勾股定理构造图形解决问题
【分析】本题考查了勾股定理．根据题意直接构造直角三角形，进而得出当 时， 的长，即可
得出答案．
【详解】解：不能，
如图所示：当 时，
，
，
一辆高 米，宽 米的卡车不能通过该隧道．
45．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾
到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长17米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口
距离地面多少米？
【答案】17米
【知识点】用勾股定理构造图形解决问题
【分析】本题考查利用勾股定理解实际问题，读懂题意，得到图形中的相关线段长，在 中，由勾
股定理求出 ，数形结合，由 代值求解即可得到答案，数形结合，熟练运用勾股定理是解
决问题的关键．
【详解】解：如图所示，结合题意， 米， 米， 米，
在 中， ，则由勾股定理可得 （米），
（米）．
46．（23-24八年级下·山西大同·期末）消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到
达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．如图，已知云梯最多能伸长到
，消防车高 ．某次任务中，消防车在A处将云梯伸长至最长，消防员从
高的 处救人后，消防车需到达B处使消防员从24m 高的 处救人，求消防车
从A处向着火的楼房靠近的距离 ．
【答案】【知识点】用勾股定理构造图形解决问题
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出 、 的长，
即可解决问题．
【详解】解：由题意，易得 ， ，A，B，D三点在同一直线上．
， ，
．
在 中，由勾股定理，得 ．
在 中，由勾股定理，得
．
答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离 为 ．
47．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图1，一个梯子 长为5米，顶端 靠在墙 上，这时梯子下
端 与墙角 之间的距离是4米，将梯子的底端 向 方向挪动1米 ，如图2，求梯子的顶端向上
移动了多少米（即求 的长）？
【答案】梯子的顶端向上移动了1米．
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理可得 米，在 中由勾股定理可得
的长，即而可得答案．
【详解】解：由题意可得， 米， 米，
米，
在 中， ，
，
∴
米，
答：梯子的顶端向上移动了1米．
48．（23-24八年级下·全国·期末）数学著作《九章算术》中有这样一个问题：有一个水池，水面是一个边
长为10尺的正方形，在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，
它的顶端恰好到达池边的水面．求水的深度和这根芦苇的长度．【答案】水的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺．
【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决
实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的
思想的应用．
设这根芦苇的长度为x尺，则水池的深度为 尺．根据勾股定理可得方程 ，再解即可．
【详解】解：如图，依题意得 ， ， ．
∵ G为 的中点，
设这根芦苇的长度为x尺，则水池的深度为 尺．
在 中，根据勾股定理可得，
即
解得 ，
．
答：水的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺．
49．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图，在与水平面成 角的斜坡上有两棵一样高的柳树，两棵树
水平距离 ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）米．
A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C
【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)、含30度角的直角三角形
【分析】本题主要考查含 角的直角三角形的性质，勾股定理，根据 ， 即可
求解．
【详解】解：由题意得： ，
∴
∵ ， ，
∴ （负值舍去）
∴
∴小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了8米
故选：C．
50．（22-23八年级下·江西赣州·期末）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中
记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问
题：如图，在 中， ， ， ，则 的长为 ．
【答案】
【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．
由勾股定理得， ，即 ，计算求解即可．
【详解】解：由勾股定理得， ，即 ，
解得， ，
故答案为： ．
51．（23-24八年级下·吉林四平·期末）如图,一种圆柱形的饮料杯，测得内部底面圆半径为 ，杯高
，点 ，点 在内部底面圆上，线段 经过杯子的内部底面圆心．将吸管一端放在点 处，
并让吸管经过点 （按如图所示）放进杯里，要求杯门外面至少要露出 长的吸管，问至少需要制作
多长的吸管？【答案】至少需要制作 长的吸管
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】此题主要考查的是勾股定理的应用．在吸管(杯内部分)、杯底直径、杯高构成的直角三角形中，
由勾股定理可求出杯内吸管部分的长度，再加上外露部分的长度即可求出吸管的总长．
【详解】解：由题意可知 是直角三角形， ， ，线段 为内部底面圆直径，
内部底面圆半径为 ，
，
在 中，
，
解得： 或 （舍去，不符合题意）
答：至少需要制作 长的吸管．
52．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图、甲、乙两艘船同时从港口O出发．甲船以9海里/小时的速
度向北偏东 方向航行，乙船向南偏东 方向航行，两小时后，甲船到达A岛，乙船到B岛．已知A，
B两岛相距30海里，求乙船的速度．
【答案】12海里/小时
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，运用勾股定理是解题的关键．
先求得 ，在 中，由勾股定理求出 ，即可求出速度．
【详解】解：由题意得， ，∴ ，
由题意得， ， ，
∴在 中，由勾股定理得， ，
∴乙船的速度为： 海里/小时．
53．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学
变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“测量隧道长度”的项目式学习活动．
项目主题 测量隧道的长度
测量工具 测角仪、测距仪等
测量示意图
数据说明 ， 米， 米
特别说明 测量过程中注意保障人身安全！
请你根据以上测量结果，计算隧道的长度 ．
【答案】720米
【知识点】求河宽(勾股定理的应用)、三角形内角和定理的应用
【分析】该题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意．
根据题意证明 为直角三角形，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解： ，
，
为直角三角形．
米， 米，
（米）．
即隧道的长度 为720米．
54．（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是 ，每个台阶的
高度都是 ，连接 ，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．作出直角三角形后
分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边 的长．
【详解】解∶如图，
由题意，得 ， ， ，
∴ ，
故选：B．
55．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是
超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段 限速 ，为了检测车辆是否超速，在公路
旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了 ．若测得 ，
， ．此车超速了吗？请说明理由．
【答案】此车没有超速，详见解析
【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形
【分析】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含 角直角三角形的性质，
过点C作 于点H．求出 ，得到 ，勾股定理求出
，然后得到 ， ，然后求出小车
平均速度，然后比较求解即可．
【详解】解：过点C作 于点H．
∵
∴
∴ ，
∴
∵∴
∴ 是等腰直角三角形
∴
∴
∴小车平均速度
而
∴此车没有超速．
56．（23-24八年级下·云南曲靖·期末）如图，某沿海城市 接到台风警报，在该市正南方向 的 处
有一台风中心正以 的速度向 方向移动，已知城市 到 的距离 ，那么台风中心经
过多长时间从 点移到 点？
【答案】台风中心经过 小时从 点移到 点．
【知识点】用勾股定理解三角形、判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，首先根据勾股定理计算 的长，再根据时间 路程 速度进行计算，
解题的关键是掌握勾股定理的应用．
【详解】在直角三角形 中，根据勾股定理，得 ，
时，，
答：台风中心经过 小时从 点移到 点．
57．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距 ，C，D为两村庄，
于A， 于B．现要在 上建一个中转站E，使得C，D两村到E站
的距离相等，求 的长．【答案】 的长为
【知识点】用勾股定理解三角形、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
【分析】本题考查的是勾股定理，比较简单，需要熟练掌握勾股定理的基础知识．
先设 ，则 ，再根据勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：设 ，则 ，
由勾股定理得：
在 中， ，
在 中， ，
由题意可知： ，
所以 ，
解得：
即 的长为 ．
58．（24-25八年级下·全国·期末）如图，一个圆柱的高是 ，底面圆的周长是 ，一只蚂蚁想从下
底面的点A处沿圆柱侧面爬到上底面的点B处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是 ．
【答案】15
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、几何体展开图的认识
【分析】本题考查了圆柱的侧面展开，最短路径问题，勾股定理，先将圆柱侧面展开，再根据两点之间线
段最短可知 的长即蚂蚁爬行的最短路程，再利用勾股定理求解即可．
【详解】、
解：圆柱的展开图如图：
根据题意， ， ， ，∴ ，
即蚂蚁需要爬行的最短路程是 ，
故答案为：15．
59．（24-25八年级上·陕西西安·期末）在 中， ， ， ，求证： ．
【答案】见解析
【知识点】判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是判断三角形三边是否满足勾股定理逆定理的条件．
通过计算三角形三边的平方关系，依据勾股定理的逆定理来判断三角形是否为直角三角形，进而证明的度
数．
【详解】证明： 中， ， ， ，
，
为直角三角形，且 ．
60．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在 方格中作以 为一边的 ，要求点C也在格
点上，这样的 能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【答案】C
【知识点】图形上与已知两点构成直角三角形的点、在网格中判断直角三角形
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当
是斜边时有四个 ，当 是直角边时有2个 ．
【详解】解：当 是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；
当 是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当 是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．
因而共有6个满足条件的顶点．故选C．
61．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，网格中每个小正方形的边长都为1，
(1)求四边形 的面积；
(2)求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查的是利用网格求面积，勾股定理和勾股定理逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两
条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
（1）利用正方形的面积减去四个顶点上三角形及小正方形的面积即可；
（2）连接 ，根据勾股定理的逆定理判断出 的形状，进而可得出结论．
【详解】（1）
解： ；
（2）
解：连接 ，
， ， ，
∴ ，
．
62．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东
方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，
则岛B 在岛C的北偏西 方向上.【答案】 /52度
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用勾股定理的逆定理求解、与方向角有关的计算题
【分析】本题主要考查了方向角、勾股定理的逆定理，平行线的性质，关键是根据勾股定理的逆定理得
．
先根据勾股定理的逆定理得 ，再根据方向角的定义和平行线的性质计算即可．
【详解】解：如图，过点C作
海里， 海里， 海里，
，
，
， ，
，
，
∵ ，
，
岛 在岛 的北偏西 方向上．
故答案为： ．
63．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北偏西 方向
航行，乙船同时从港口O出发，沿 方向以12海里/时的速度航行，航行1小时后，两船相距20海里．
则乙船航行的方向是（ ）A．南偏西 方向 B．西偏南 方向 C．西偏南 方向 D．西南方向
【答案】A
【知识点】与方向角有关的计算题、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】本题考查了勾股定理的应用，方向角，连接 ，根据题意可得： （海里），
（海里）， （海里）， ，然后利用勾股定理逆定理得 ，从而得
，再利用平角的定义计算 ，最后根据方向角的概念可得答案．
【详解】解：如图：连接 ，
由题意得： （海里）， （海里）， （海里）， ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴乙船航行的方向是南偏西 方向，
故选：A．
第十八章 平行四边形
64．（22-23八年级下·河南新乡·期末）如图，在 中，对角线 相交于点O， ，
， ，则 的长为（ ）
A． B．6 C．7 D．
【答案】A【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查勾股定理和平行四边形的性质．先根据勾股定理求出 ，再根据平行四边形的性质求
出 ，再利用勾股定理求出 ．
【详解】解： ， ， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
故选：A．
65．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在 中，点E，F在对角线 上，且 ，求证：
．
【答案】见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形的性质证明
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质，证明
，即可得出结论．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
66．（23-24八年级下·广东东莞·期末）为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块 空地（如
图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求： 经过 边上一点 ； 分成面积相等
的两部分．则小路除了经过点 外，还经过（ ）A．点 B． 的中点
C． 的中点 D． 边上的 点，且
【答案】B
【知识点】平行四边形性质的其他应用
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性
质是解此题的关键．
【详解】解：由平行四边形的性质结合题意得：小路除了经过点 外，还经过 的中点，
故选：B．
67．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，已知四边形 ，下列条件能判定四边形 为平行四
边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【知识点】判断能否构成平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. ， ，不能判定四边形 为平行四边形，故该选项不符合题意；
B. ， ，不能判定四边形 为平行四边形，故该选项不符合题意；
C. ， ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ，能判定四边形 为平行
四边形，故该选项符合题意；
D. ， ，不能判定四边形 为平行四边形，故该选项不符合题意；
故选：C．
68．（23-24八年级下·北京顺义·期末）如图所示的 正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段
的两个端点都在格点上，若线段 为 的一边， 的四个顶点都在 正方形网格的格
点上，则这样的平行四边形的个数为（ ）A．3个 B．4个 C．8个 D．11个
【答案】D
【知识点】数图形中平行四边形的个数
【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键掌握平行四边形的判定定理，属于中考常考题型．
根据平行四边形的判定定理，即可解决问题．
【详解】解：如图，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画11个，
故选：D．
69．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是 ，点A
的坐标是 ，点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是
．
【答案】 或
【知识点】坐标与图形、求与已知三点组成平行四边形的点的个数、由平移方式确定点的坐标
【分析】此题考查了坐标与图形的性质以及平行四边形的性质，先建立平面直角坐标第，再分 和
两种情况求解即可．
【详解】解：①当 ， 时，如图：
∵点C的坐标是 ，点A的坐标是 ，
∴ ，
∵点B不在第一象限，
∴点B坐标为 ，即①当 ， 时，如图：
由坐标可知：点 向下平移3个单位，向左平移1个单位到点O，
∴由坐标可知：点 向下平移3个单位，向左平移1个单位到点B，
故点B坐标为： 即 ，
综上所述：点B的坐标是 或 ，
70．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在 中，点 为对角线 上一点，连接 并延长到
点 ， ，则 的长为（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】A
【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．过点F作 ，交
于点G，可证明 ，可得 ， ，再根据平行四边形的性质可得
， ，从而得到四边形 是平行四边形，即可求解．
【详解】解：如图，过点F作 ，交 于点G，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，∵ ，
∴ ．
∴ ．
故选：A
71．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图， 中，点E、F在对角线 上，且 ．
求证：四边形 是平行四边形．
【答案】见详解
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定．连接 交 于 ，则可知 ， ，又
，所以 ，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
【详解】证明：连接 交 于 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
即 ．
∴四边形 为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
72．（24-25八年级下·全国·期末）如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示
意图，篮板边侧 垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板 高度的实践活
动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿 垂直固
定在地面 上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线 与竹竿 的夹角
的度数为 ，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线
与竹竿 的夹角 的度数恰好等于 的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量 的长度为
．活动分享时，小明说：“ 的长度就是篮板 的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理
由．【答案】我认为小明的说法正确，见解析
【知识点】平行四边形性质和判定的应用
【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，证明四边形 是平行四边形是解题的关键．
根据题意可得 ，再由 ，得到 ，继而得到四边形 是平行四边形，即
可解答．
【详解】解：我认为小明的说法正确．理由如下：
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴四边形 是平行四边形．
∴ ．
∴ 的长度就是篮板 的高度．
73．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，在 中，对角线 交于点 ，点 是 的中点．
若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用平行四边形的性质证明、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，由平行四边形的性质可得 ，进而
由点 是 的中点可得 为 的中位线，根据三角形中位线的性质即可求解，掌握三角形中位线
的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 为平行四边形，
∴ ，∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
故选B．
74．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，在 中， ， 分别是边 ， 的中点，过点 作
，且 ，连接 ．求证： ．
【答案】见解析
【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】本题考查了中位线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，先由 ， 分别是边 ， 的
中点，得出 ，且 ，结合 ，且 ，得出 ，且 ，证明
四边形 是平行四边形，即可作答．
【详解】证明：∵ ， 分别是边 ， 的中点，
∴ ，且 ，
∵ ，且 ，
∴ ，且 ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
75．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）如图，A、B两地是一座山的两端，为修建高速公路需沿 方向修
一条隧道，工程测量队在地面上确定点O，分别取 的中点C、D，量得 ，则A、B之间
的距离是 m．
【答案】1200【知识点】三角形中位线的实际应用
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解
题的关键．根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解： 点 ， 分别是 ， 的中点，
，
故答案为：1200
76．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，四边形 为矩形，过点 作 交 的延长线于
点 ．求证： ．
【答案】见解析
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、矩形性质理解
【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质．由矩形的性质得出 ， ，由
，证出四边形 是平行四边形，得出对边相等，即可得出结论 ．
【详解】证明： 四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
四边形 是平行四边形，
，
．
77．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作 ， ，
等大小的角，可以采用下面的方法：
（1）对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平．
（2）再一次折叠纸片，使点 落在 上，并使折痕经过点 ，得到折痕 的同时，得到了线段 ．
观察所得的 ， 和 ，这三个角之间的关系是 ．
【答案】
【知识点】折叠问题、利用矩形的性质求角度、等边三角形的判定和性质
【分析】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握轴对
称的性质是解题的关键．
由矩形的性质可得 ，由轴对称的性质可得 ， ， ，进而可得
，于是可证得 是等边三角形，因而可得 ，然后根据角的和差关系即可得出结论
【详解】解： ，理由如下：
如图 ，连接 ，
四边形 是矩形，
，
将矩形纸片 对折，使 与 重合，得到折痕 ，
，
再一次折叠纸片，使点 落在 上的点 处，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，同时得到线段 ，
， ，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为： ．
78．（23-24八年级下·全国·期末）如图， 为矩形 的边 的中点， 于点 ．若 ，
，求 的长．
【答案】 ．
【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】此题主要考查了矩形的性质，勾股定理．连接 ，求得 的面积为 ，再利用勾股定理求
得 的长，再利用三角形的面积公式得出答案．
【详解】解：连接 ，∵四边形 是矩形， ， ，
∴矩形 的面积为 ，
∵ 为矩形 的边 的中点，
∴ 的面积为 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
79．（23-24八年级下·河南许昌·期末）如图，矩形 的边 上有一动点 ，连接 ， ，以 ，
为边作平行四边形 ．在点 从点 移动到点 的过程中，平行四边形 的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变
【答案】D
【知识点】根据矩形的性质求面积、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．由矩形的性质可得
，由平行四边形的性质可得 ，即 ．
【详解】解： 四边形 是矩形，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
故选：D．80．（23-24八年级下·四川自贡·期末）如图，在矩形 中， 是 的中点，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、利用矩形的性质证明
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定；
（1）结合矩形的性质，证明 ，即可得证；
（2）根据题意得出 ， 是等腰直角三角形，根据 ， ，得出 ，即可
求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 为矩形，
， ．
，
．
．
（2） ，
，
又 ，
是等腰直角三角形，
．
在矩形 中 ，
，
是等腰直角三角形．
．
同理， ．
在矩形 中 ， ，
．
81．（22-23八年级下·河南南阳·期末）如图，矩形纸片 中， ， ，将纸片沿 折叠，
使点C与点A重合， 的长为 ．【答案】3
【知识点】矩形与折叠问题、勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理．设 根据折叠性质与矩形性质，用
表示 ，在 中，由勾股定理列出 的方程便可求得答案．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ， ，
由折叠知， ， ，∠G=∠D=90°，
设 则
在 中，由勾股定理得， ，
解得， ，
，
故答案为：3．
82．（23-24八年级下·北京丰台·期末）如图，在矩形 中， ， ，将矩形 沿 折
叠，点D恰好落在 边上的点F处，则 的长为 ．
【答案】 /
【知识点】利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题
【分析】本题主要考查了矩形和图形的折叠问题，勾股定理．根据矩形和折叠的性质可得 ，
在 中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
由折叠的性质得： ，
在 中， ，
∴ ．
故答案为：83．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，在直角三角形 中， ， ， ，
为 的中线，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边中线的
性质是解题的关键．先利用勾股定理算出 ，再利用直角三角形斜边中线的性质求出 ．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 为 的中线，
∴ ，
故选：C．
84．（23-24八年级下·云南德宏·期末）如图，在 中， 于点D，
，E是 的中点，则 等于 ．
【答案】 / 度
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、等边对等角、三角形的外角的定义及性质、直角三角形的两个锐
角互余
【分析】先由 得出 ，再根据直角三角形两锐角互余求出 的度数，
根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得 ，算出 ，最后结合三角形的外角性质作答即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形外角性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握直角
三角形斜边中线的性质．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
，在 中， ，
∵E是 的中点，
∴
∴
故答案为：
85．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图， 的对角线 相交于点O，请你添加一个条件
使 成为矩形，这个条件可以是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】添一条件使四边形是矩形
【分析】本题主要考查矩形的判定，熟悉掌握矩形判定条件是关键．依据矩形的判定定理进行判断即可．
【详解】解∶∵四边形 是平行四边形，
∴当 时， 是为矩形，
故答案为∶ （答案不唯一）．
86．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在 中， ， ， ， ， 分别
是 ， ， 的中点，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是矩形．
(2)小明连接 ， 交于点 ，作射线 ，他说“ 就是 的平分线”，你能说明理由吗？
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】含30度角的直角三角形、根据三线合一证明、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、中位线定理以及等腰三角形的性质等知识点，
掌握相关结论是解题关键．
（1）根据题意可得 ，证四边形 是平行四边形；结合 即可求证；
（2）根据题意可得 是等腰三角形，结合 即可求证；
【详解】（1）证明： ， ， 分别是 ， ， 的中点，∴
∴四边形 是平行四边形．
又 ，
四边形 是矩形．
（2）解：理由： ， ，
．
又 是 的中点，
．
∴ 是等腰三角形
四边形 是矩形，
平分 ．
87．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在平行四边形 中，对角线 相交于点 ，点
为直线 上的两个动点， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)10
【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、利用平行四边形性质和判定证明、判断三边能否构成直角三角
形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理．
（1）先证明 得 ，再结合 即可得出结论；
（2）先用勾股定理的逆定理证明 ，得出四边形 是矩形即可．
【详解】（1）解： 四边形 是平行四边形
在 和 中又
四边形 是平行四边形；
（2）
，
四边形 是平行四边形
四边形 是矩形
．
88．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在 中， ， ， ， 为边 上一动
点， 于 ， 于 ， 为 的中点，则 的最小值为 ．
【答案】1.2
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、斜边的中线等于斜边的一半、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，矩形的性质和判定，直角三角形的性质，先说明 是直
角三角形，进而得出四边形 是矩形，可知当 时， 最小，然后根据面积相等得出答案．
【详解】解：连接 ，如图．
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ．∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ．
∵M是 的中点，
∴ ．
根据直线外一点到直线上任意一点的距离，垂线段最短，即 时， 最短，同样 最短．
，
即 ，
∴ ．
故答案为：1.2．
89．（22-23八年级下·贵州黔南·期末）如图，在平行四边形 中，对角线 相交于点O，
(1)求证： ；
(2)若点E、F分别为线段 的中点，连接 ， ， ，求 的长及四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)6，48
【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形
【分析】（1）证明四边形 是矩形，即可；
（2）根据三角形中位线定理可得 ，从而得到 ，再由勾股定理可得 的
长，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵点E、F分别为线段 的中点， ，
∴ ，又∵四边形 是矩形，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴四边形 的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定
和性质，三角形中位线定理，勾股定理是解题的关键．
90．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，在菱形 中， ，对角线 交于点 ，
为 的中点，连接 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求角度
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理．由菱形的性质求得 ， ，根
据三角形中位线定理得到 ，求得 ，据此求解即可．
【详解】解：∵在菱形 中， ，
∴ ， ，O为 的中点，
∵E为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
91．（22-23八年级下·江西赣州·期末）如图，菱形 的对角线 、 相交于点O，过点D作
于点H，连接 ， ，若菱形 的面积为 ，则 的长为 ．【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长
【分析】由菱形的性质得 ， ， ，再求出 ，然后由菱形面积求出
，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的
关键．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵菱形 的面积 ，
∴ ，
故答案为： ．
92．（23-24八年级下·云南德宏·期末）如果菱形的两条对角线的长分别为a和b，且a，b满足
，那么菱形的面积等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．
【答案】D
【知识点】利用菱形的性质求面积、利用算术平方根的非负性解题
【分析】本题考查了菱形的性质求面积以及利用算术平方根的非负性解题，先由 得出
，因为菱形的两条对角线的长分别为a和b，所以菱形的面积等于 ，即可作答．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∵菱形的两条对角线的长分别为1和5
∴
故选：D93．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图，若O是菱形 对角线的交点，作
交于点E，试判断四边形 的形状？请说明理由．
【答案】矩形，理由见解析
【知识点】证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明
【分析】根据矩形的判定定理，首先可证四边形 是平行四边形，再由菱形的对角线互相垂直平分可
得 ，即可证明平行四边形 是矩形．
此题主要考查了菱形的性质和矩形的判定的综合运用．
【详解】解：四边形 是矩形．
理由： ， ，
四边形 是平行四边形，
又 四边形 是菱形，
，
，
平行四边形 是矩形．
94．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中，E、F、D分别是 边上的点，且
，在不改变图形的前提下，请你添加一个条件 ，使四边形 是菱形，并写出证
明过程．
【答案】添加的条件为： （答案不唯一 ），证明见解析
【知识点】添一个条件使四边形是菱形
【分析】本题考查了平行四边形和菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．先根据平行四边形
的判定可得四边形 是平行四边形，再根据菱形的判定即可得．
【详解】解∶添加的条件为∶ （答案不唯一）
证明∶∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴平行四边形 是菱形．
95．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，在矩形 中 ， 相交于点O ，E 为 的中点，连接 并延长至点F， 使 ， 连接 ．
求证：四边形 是菱形．
【答案】见解析
【知识点】证明四边形是菱形、利用矩形的性质证明
【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形先证明四
边形 是平行四边形，再由矩形对角线相等且互相平分得到 ，由此即可证明四边形 是
菱形．
【详解】证明：∵E 为 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
96．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在 中， 与 交于点 ，点 为 中点，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据菱形的性质与判定求角度、根据等角对等边证明边相等
【分析】此题考查了菱形的性质和判定，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
根据等角对等边和中点的概念得到 ，然后求出 ，证明出 是菱形，然后利用菱
形的性质求解即可．
【详解】∵
∴
∵点 为 中点
∴∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴ 是菱形，
∴
故选：D．
97．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图，矩形 的对角线 、 相交于点O， ，
．若 ，则四边形 的周长为 ．
【答案】8
【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．由矩形
的性质可得 ，通过证明四边形 是菱形，可求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形， ，
，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是菱形，
∴四边形 的周长 ，
故答案为：8．
98．（23-24八年级下·广西百色·期末）如图，在四边形 中，对角线 交于点O，
．
(1)求证： ；(2)若 ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或
者AAS）、利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质：
（1）证明 ，即可求证；
（2）先证明四边形 是菱形，再根据勾股定理可得 ，然后根据菱形的面积公式计算，即可
求解．
【详解】（1）证明：在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积为 ．
99．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，四边形 是正方形，直线l是正方形 的一条对称
轴，E是边 的中点，F是边 的中点，点G在边 上，且 ，则点E关于直线l的对称点可
能是（ ）
A．点C B．点D C．点F D．点G【答案】C
【知识点】画对称轴、正方形性质理解
【分析】本题主要考查了正方形的对称性，利用数形结合思想解答是解题的关键．画出正方形的对称轴，
根据图象即可判断求解．
【详解】如图，正方形 有4条对称轴，
由图可知，E关于直线l的对称点可能是点 ，
故选：C．
100．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，在正方形 外侧作等边 ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质、根据正方形的性质求角度
【分析】此题主要考查了正方形和等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的
关键；
由四边形 是正方形， 是正三角形，得到 ， ，得
是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】解： 四边形 是正方形，
， ，
又 是正三角形，
， ，
是等腰三角形， ，
．故选：C．
101．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，正方形 的边长为6，点 为 上一点，连接 ，
过点 作 的垂线交 于点 ，连接 ．若 ，则 的长为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．由 可证 ，
可得 ，由勾股定理可求解．
【详解】解： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
102．（23-24八年级下·全国·期末）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生
变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形 的内角，正方形 变为菱形 ．若
，则菱形 的面积与正方形 的面积之比是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30度角的直角三角形、根据正方形的性质求面积【分析】该题主要考查了 角直角三角形的性质，菱形和正方形的面积，解题的关键是得出菱形
的高等于 的一半．
根据 角所对的直角边等于斜边的一半可知菱形 的高等于 的一半，再根据正方形的面积公式
和平行四边形的面积公式即可得解．
【详解】解：如图，过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴菱形 的面积为 ，正方形 的面积为 ．
∴菱形 的面积与正方形 的面积之比是 ．
故选：B．
103．（22-23八年级下·山东烟台·期末）如图，将正方形纸片 折叠， 为折痕，点 落在对角线
上的点 处，则 的度数为 ．
【答案】
【知识点】正方形折叠问题、直角三角形的两个锐角互余
【分析】先由正方形的性质得到 ，再由折叠的性质可得
，则可得 ．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
104．（24-25八年级下·全国·期末）如图，四边形 是正方形，点 在 的延长线上，且 ，是 上一点，连接 ，作 交射线 于点 ．
(1)如图①，连接 ，当 时，判断 的形状，并说明理由；
(2)如图②，当 时，写出线段 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)等腰直角三角形，见解析
(2) ，见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性
质证明
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握
相关知识点是解题的关键．
（1）连接 ，根据题意得到 ，可证明 ，即可得到结论；
（2） ，过点 作 ，交 于点 ，得到 ，
可证明 ，得到 ，即可得到 ．
【详解】（1）解：（1） 是等腰直角三角形．理由如下：
如图，连接 ．
四边形 是正方形，
，
，
， ，
， ， ，
， ，
，
，
，，即 ，
在 和 中，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（2）解： ，
如图，过点 作 ，交 于点 ，则 ，
由（1）得 ，
，
， ，
在 中， ．
由（1）得 ，
，
同（1）得 ，
在 和 中，
，
，
，
．
105．（21-22八年级下·海南省直辖县级单位·期末）在矩形 中， ， ，对角线 与
相交于点 ，要使得矩形 是正方形，则还需要增加的一个条件是 （填一个即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】添一个条件使四边形是正方形【分析】本题考查了添一个条件使四边形是正方形，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．
根据正方形的判定方法即可直接作答．
【详解】解：由正方形的判定方法可知：
要使得矩形 是正方形，则还需要增加的一个条件是： （答案不唯一），
故答案为： （答案不唯一）．
106．（23-24八年级下·山东淄博·期末）小刚在学习了正方形之后，给同桌小宇提出了一个问题.
如图，在 中，连接对角线 ， ，请从下列四个条件：① ；② ；③
；④ 中选两个作为补充条件，使 为正方形，并给予证明
请你完成小刚给小宇提出的这个问题
(1)你选择的两个补充条件是______（只填写一种所选两个补充条件的序号）；
(2)请用（1）中你所选的两个补充条件作为已知条件，证明 为正方形
【答案】(1)①②（答案不唯一）
(2)见详解
【知识点】证明四边形是正方形、添一个条件使四边形是菱形、利用平行四边形的性质求解
【分析】此题主要考查了正方形的判定以及平行四边形的性质、菱形的判定方法，正确掌握正方形的判定
方法是解题关键．
（1）依题意：选择的两个补充条件是①②；
（2）先证明平行四边形 是菱形，结合 ，即可作答．
【详解】（1）解：依题意：选择的两个补充条件是①②；（答案不唯一）
（2）解： 四边形 是平行四边形，
∵
∴平行四边形 是菱形，
∵
∴菱形 是正方形，
107．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，
他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示
的四边形 ，并测得 ，对角线 ，再将学具成为图2所示四边形 ，并测得
，则图2中对角线 的长为（ ）A．20cm B．40cm C． D．
【答案】C
【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、根据菱形的性质与判定求角度、用勾股定理解三角形、等
边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌
握特殊四边形的性质是关键．连接 、 ，由题意可知，图1中四边形 是菱形，图2中四边形
是正方形，进而证明 是等边三角形，得出 ，再根据勾股定
理求出 的长即可．
【详解】解：如图，连接 、 ，
由题意可知，图1中四边形 是菱形，图2中四边形 是正方形，
，
，
是等边三角形，
，
，
在 中， ，
故选：C．
108．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，正方形 的周长为 ，顺次连接正方形各边中点 、
、 、 ，得到四边形 的面积等于 ．
【答案】
【知识点】根据正方形的性质与判定求面积、与三角形中位线有关的证明、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时利用
三角形的中位线的性质求解是关键．连接 ， ，根据三角形的中位线的性质，可以得出四边形
为正方形，勾股定理求得 ，进而即可求解．【详解】解：连接 ， ，
∵点 、 、 、 是正方形各边的中点，
∴ 是 的中位线， 是 的中位线， 是 的中位线， 是 的中位线，
∴ ， ， ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
又∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是正方形
∵正方形 的周长为 ，，
∴ ，
在 中，由勾股定理，得 ，，
∴
∴四边形 的面积 ．
故答案为： ．
109．（21-22八年级下·河北保定·期末）如图，在 中，点D，E，F分别是 的中点，连接
．
(1)试猜想四边形 的形状，并说明理由．
(2)若 ，试判断线段 与 的关系，并说明理由．【答案】(1)平行四边形，见解析
(2) ， ，见解析
【知识点】根据正方形的性质与判定证明、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是平行四边形
【分析】（1）根据中位线定理，可以得出 ， ，即可证明猜想；
（2）证明四边形 为正方形，即可得出结论．
【详解】（1）解：猜想四边形 是平行四边形，理由如下，
∵点D，E，F分别是 的中点
∴ 是 的中位线
∴ ，
∴四边形 是平行四边形
（2）解： ，理由如下，
∵ ，点E，F分别是 的中点，
∴
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 为菱形，
又∵
∴ 为正方形
∴ ，
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，正方形的判定和性质，熟练掌握性质是本
题的关键．
110．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，点E，F，G，H分别是四边形 的边 的
中点，则下列说法中正确的个数是（ ）
①若四边形 是平行四边形，则四边形 为矩形；
②四边形 为平行四边形；
③若四边形 是菱形，则四边形 是菱形；
④若四边形中 与 互相垂直且相等，则四边形 是正方形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】中点四边形、证明四边形是正方形、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是平行四边形【分析】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的
中点四边形是平行四边形，当对角线 时，中点四边形是菱形，当对角线 时，中点四边形
是矩形，当对角线 ，且 时，中点四边形是正方形．
先证明一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线 时，中点四边形是菱形，当对角线
时，中点四边形是矩形，当对角线 ，且 时，中点四边形是正方形，再逐一分
析各选项即可．
【详解】解：∵点E，F，G，H分别是四边形 的边 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，故②正确，但是证明不出四边形 是矩形，故①错误，
若四边形 是菱形，则 ，
同理可得 ，而
∴ ，证明不出四边形 是菱形，故③错误，
当 与 互相垂直且相等，如图：
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形，
∵ ，
∴ ，
同上可知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，故④正确，
故选：B．
111．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点， ，点 ，
的坐标分别为 ， ，动点 从点A沿 以每秒 个单位的速度运动；动点 从点 沿
以每秒 个单位的速度运动 ， 同时出发，当一个点到达终点后另一个点继续运动，直至到达终点，设运动时间为 秒．
(1)在 时， 点坐标______， 点坐标______．
(2)当 为何值时，四边形 是矩形？
【答案】(1) ；
(2)
【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、根据矩形的性质求线段长、坐标与图形
【分析】本题考查了矩形的判定、坐标与图形性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
（1）根据点 、 的坐标求出 、 、 ，再根据路程 速度 时间求出 、 ，然后求出 ，
即可得出结论；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，当 时，四边形 是矩形，然后列出方程求
解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
， ， ，
当 时， ， ，
，
点 ， ；
故答案为： ； ；
（2）解：根据题意： ， ，
则 ，
当四边形 是矩形时， ，
，
解得： ，
时，四边形 是矩形．
112．（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，正方形 的边长为2，E是 的中点，点P是 边
上的一个动点，连接 ， ，则 的最小值为 ．【答案】
【知识点】根据正方形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题
【分析】根据正方形沿对角线的对称性，可得无论P在什么位置，都有 ；故均有
成立；所以原题可以转化为求 的最小值问题，分析易得连接 与 ，求得
交点就是要求的点的位置；进而可得 ，可得答案．
【详解】解：连接 ，
正方形的对角线互相垂直平分，
无论P在什么位置，都有 ；
故均有 成立；
连接 与 ，所得的交点，即为 的最小值时的位置，
如图所示：
此时 ，
正方形 的边长为 ，
，
E是 的中点，
，
在 中，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形中的最小值问题．解决此类问题关键是利用图形的轴对称性把所求的两条
线段和转化为一条线段的长度，通常是以动点所在的直线作为对称轴作所求线段中一条线段的对称图形来
转化关系．
第十九章 一次函数
113．（22-23八年级下·甘肃庆阳·期末）下列图象中，不能表示 是 的函数的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的概念
【分析】此题考查了函数概念．根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，
判断即可．
【详解】解：根据函数的定义可得，
选项A，B，D中，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数，
选项C对于自变量x的每一个值，y有两个值与之对应，所以不能表示y是x的函数，
选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
114．（23-24八年级下·河北邢台·期末）托运行李p千克（p为整数）的费用为c元，已知托运第一个1千
克需付2元，以后每增加1千克（不足1千克按1千克计）需增加费用5角，则计算托运行李费用c的公式
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数解析式
【分析】本题考查函数关系式，根据题目已知可写出：托运1千克费用为2元；托运2千克行李的时候，2
千克行李的费用为 元；托运p千克行李的时候，p千克的运费为 元．
【详解】解：根据题意，知：托运p千克行李的时候，p千克的运费为 元．
故选：C．
115．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）若函数 的解析式在实数范围内有意义，则自变量x的取值
范围是 ．
【答案】 /x不等于1【知识点】分式有意义的条件、求自变量的取值范围
【分析】本题考查了反比例函数自变量 的取值范围，掌握分母不为0是解题的关键．根据反比例函数分
母不为0求解即可．
【详解】解： 的解析式在实数范围内有意义，
，
，
故答案为： ．
116．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）常值函数并不是没有自变量，而是可以看作一次函数中自变量的
系数为0，比如常值数 即是 ，那么在这个函数中，当 时， （ ）
A．10 B．0 C．2 D．任意数
【答案】C
【知识点】求自变量的值或函数值
【分析】本题考查求函数值，把 代入函数解析式，计算即可解题．
【详解】解：当 时， ，
故选C．
117．（23-24八年级下·河北承德·期末）刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则
其中的变量是（ ）
A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量
【答案】D
【知识点】用表格表示变量间的关系
【分析】本题考查了常量和变量．根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变
的量称为常量即可求解．
【详解】解：在金额、数量和单价中，金额和数量是变量，单价是常量．
故选：D．
118．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）圆的半径为r，面积S与r的关系式为 ，下列判断正确的是
（ ）
A．r是因变量 B．π是常量 C．S是自变量 D．S，π，r都是变量
【答案】B
【知识点】函数的概念、用关系式表示变量间的关系
【分析】本题主要考查函数中常量与变量的概念，掌握其概念是解题的关键．根据常量（不会发生变化的
量）与变量（会发生变化的量）的定义即可求解．【详解】解：A、 是自变量，故A选项错误，不符合题意；
B、 是常量，故B选项正确，符合题意；
C、 是因变量，故C选项错误，不符合题意；
D、 是常量，故D选项错误，不符合题意；
故选：B．
119．（23-24八年级下·云南玉溪·期末）清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风
放纸鸢．”在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间
关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】用图象表示变量间的关系
【分析】本题考查函数图象表示实际问题，根据题中描述，结合选项即可得到答案，读懂题意是解决问题
的关键．
【详解】解：根据题意，儿童从学校放学回到家的过程中，离家的距离越来越小；儿童从家再到田野的过
程中，离家的距离逐渐增大，则能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是
故选：C．
120．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）在升旗仪式上，国旗冉冉上升，下列函数图象能近似的刻画上升
的国旗离旗杆顶端的距离与时间的关系的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【知识点】函数图象识别
【分析】本题考查实际问题的函数图象，根据题意描述，结合选项图象即可得到答案，读懂题意是解决问
题的关键．
【详解】解：在升旗仪式上，国旗冉冉上升，上升的国旗离旗杆顶端的距离随着时间的增加逐渐减小，图
象是下降的，最后距离为 ，则符合题意的是：
故选：A．
121．（23-24八年级下·吉林白城·期末）龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场． 如图所示
的函数图像表示了龟兔再次赛跑的过程， （分钟）表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间， （米），
（米）分别表示兔子与乌龟所走的路程现有下列说法：
兔子和乌龟的比赛路程是 米；
中途，兔子比乌龟多休息了 分钟；
兔子比乌龟多走了 米；
比赛结果，兔子比乌龟早 分钟到达终点．
其中正确的有 ．
【答案】
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了图象信息，能够读懂函数图象，获取所需信息是解题的关键．需要注意的是，解答图
象信息题首先是读懂题目，分析图象，弄清楚每一个点所表示的实际意义，图象上的特殊点最为重要，是帮助理解题意，确定运动状态的重要信息．
根据函数图象进行正确解读，即可得出答案．
【详解】解：由图象可知，比赛路程 ， 均为 米，故说法 正确；
图中兔子休息的时间为 （分钟），乌龟休息的时间为 （分钟）， （分钟），
故说法 正确；
由于总路程都是 米，故说法 错误；
兔子一共花费 分钟，乌龟一共花费 分钟， （分钟），且它们同时出发，故说法 正确；
故答案为： ．
122．（22-23八年级下·河北秦皇岛·期末）如图（1）在矩形 中，动点P从点C出发，沿路线
C→D→A作匀速运动，图（2）是此运动过程中， 的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象的
一部分，则 的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．12
【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息
【分析】由图（2）可知，当 时，点P由点C到达点D，此时 的面积S取最大值，根据面积公
式即可求出 的长．
【详解】解：由图（2）可知，当 时，点P由点C到达点D， 的面积S取最大值6，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C
【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是利用函数图象得到当 时， 的面积
S取最大值6．
123．（22-23八年级下·河北保定·期末）小明从 地到 地（两地相距40千米）的骑车速度为10千米/小
时，则小明离 地的距离 （千米）与骑车时间 （小时）之间的函数解析式（不写自变量的取值范围）
为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【知识点】函数的三种表示方法
【分析】根据题意，结合路程=速度 时间列方程即可得到答案．
【详解】解：由题意可得 ，
故选：C．
【点睛】本题考查利用函数的表示解实际问题，读懂题意，准确利用表达式表示函数关系是解决问题的关
键．
124．（23-24八年级下·广西河池·期末）若y关于x的函数 是正比例函数，则 ．
【答案】0
【知识点】正比例函数的定义
【分析】根据正比例函数的定义即可得解．一般地，对于两个变量x、y，若x、y之间的关系式可以表示成
（其中k、b为常数，且 ）的形式，那么称y是 x的一次函数，特别的，当 时，称y是
x的正比例函数.题中告诉我们是正比例函数，所以 ，即 ．
熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵y关于x的函数 是正比例函数，
∴ ,
故答案为：0．
125．（23-24八年级下·云南昭通·期末）已知 的图像经过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象
【分析】本题考查正比例函数的图像，把点 代入解析式，求解即可．
【详解】解：把点 代入 ，得： ，
∴ ；
故选A．
126．（23-24八年级下·河南安阳·期末）已知函数 ( )的图象经过点 ， 则 的值为（ ）
A．4 B． C．36 D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的性质
【分析】此题考查了待定系数法求正比例的解析式．因为正比例函数 的图象经过点 ，代入解
析式，解之即可求得k．
【详解】解：∵正比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，解得： ．
故选：A．
127．（23-24八年级下·河南周口·期末）下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】识别一次函数
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如 ， 、 是常数）的函数，叫做一
次函数．根据一次函数解析式的结构特征： ；自变量的次数为1；常数项 可以为任意实数即可求解．
【详解】解： 是 的一次函数的有： ，
故选：B．
128．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）已知 是 关于 的一次函数，则一次函数解
析式是 ．
【答案】
【知识点】根据一次函数的定义求参数
【分析】本题考查了一次函数的定义，形如 （ ， 为常数）的函数为一次函数．
根据定义得： 且 ，求出 的值即可．
【详解】解：由已知可得 且
解得 且
∴ ．
故一次函数解析为：
故答案为： ．
129．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列各点中，在一次函数 图象上的点是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，即点在函数图象上，点的坐标满足函数解析式，否则
不满足；把四个选项中点的横坐标代入函数式中，求得函数值，并与纵坐标比较即可．
【详解】解：当 时， ，故点 不在一次函数 图象上；
当 时， ，故点 不在一次函数 图象上；
当 时， ，故点 不在一次函数 图象上；
当 时， ，故点 不在一次函数 图象上；故选：C．
130．（21-22八年级下·海南省直辖县级单位·期末）函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】判断一次函数的图象
【分析】本题主要考查一次函数的图象，掌握一次函数的图象性质是解题的关键．根据函数 的图象
过原点，且 即可判断出函数形状．
【详解】解： 中，当 时， ，
函数图象过原点，
∵ ，
随 的增大而增大，从左到右呈上升趋势，
综上所述，只有A选项符合，
故选：A．
131．（22-23八年级下·河南洛阳·期末）已知直线 ，不论 取什么值，该直线必定经
过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，把一次函数解析式变形为 ，则可得到当
时， ，则直线 过定点 ，据此可得答案．
【详解】解：∵直线解析式为 ，
∴当 ，即 时， ，∴直线 过定点 ，
∴不论 取什么值，该直线必定经过第四象限，
故选：D．
132．（23-24八年级下·全国·期末）若直线 与坐标轴所围成的三角形的面积为12，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
先判断出 ，再求出直线与两条坐标轴的交点坐标，然后利用直角三角形的面积公式即可得．
【详解】解：由题意得： ，
当 时， ，解得 ，
即直线 与 轴的交点坐标为 ，
当 时， ，即直线 与 轴的交点坐标为 ，
∵直线 与坐标轴所围成的三角形的面积为12，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是所列方程的解．
故答案为： ．
133．（23-24八年级下·全国·期末）分别画出函数 和 的图象，再根据图象，回答下列问
题：
（1）两个图象各经过哪些象限？
（2）判断点 、 是否在所画的图象上，并且在哪一个图象上？为什
么？
【答案】画图见解析；（1）函数 的图象过第一、二、三象限，函数 的图象过第二、三、
四象限；（2） 、 在函数 的图象上， 在函数 的图象上
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、画一次函数图象、求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了一次函数的图象，解题的关键是画出函数的图象．本题属于基础题，难度不大，解决
该题型题目时，分别令 、 找出函数与坐标轴的交点坐标，根据交点坐标画出图象是关键．利用画直线的方法画出两个函数的图象．
（1）结合函数图象，即可得出两个图象各经过哪些象限；
（2）分别将各点的横坐标代入这两个函数关系中，求解并判断即可．
【详解】解：在 中，令 ，则 ，得 ，令 ，得 ，
函数 的图象过点 和 ，
在 中，令 ，则 ，得 ，令 ，得 ，
函数 的图象过点 和 ，
在坐标轴上画出两函数图象，如图所示．
（1）观察两函数的图象发现：函数 的图象过第一、二、三象限，函数 的图象过第二、
三、四象限；
（2）当 时， ， ，
在函数 的图象上；
当 时， ， ，
在函数 的图象上；
当 时， ， ，
不在这两个图象上；
当 时， ， ，
在函数 的图象上；
134．（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 的图象与一次函数
的图象的交点为 ．(1)求m和k的值；
(2)直接写出使函数 的值小于函数 的值的自变量x的取值范围；
(3)设一次函数 的图象与x轴交于点C，将一次函数 的图象向右平移2个单位长度，交
的图象于点E，交x轴于点D，求四边形 的面积．
【答案】(1) ，
(2)
(3)8
【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式、判断一次函数的图象
【分析】本题主要考查正比例函数，一次函数的解析式、图象、性质等知识；
（1）先将点A坐标代入正比例函数解析式求出m，再将所得点的坐标代入一次函数解析式求出k即可．
（2）利用数形结合的数学思想即可解决问题．
（3）可将四边形的面积转化为 与 的面积之差．
【详解】（1）解：将点A坐标代入正比例函数解析式得，
，
所以点A的坐标为 ．
将点A的坐标代入一次函数解析式得，
，
解得 ，
（2）由所给函数图象可知，
当 时，函数 的图象在函数 图象的下方，即函数 的值小于函数 的值，
所以使函数 的值小于函数 的值的自变量 的取值范围为：
．
（3）由（1）知，
一次函数的解析式为 ，所以将此函数向右平移2个单位长度所得函数解析式为
．
由 得，
，
所以点E的坐标为 ．
将 代入 得，
，
所以点D的坐标为 ．
将 代入 得，
，
所以点C的坐标为 ．
所以 ，
所以 ．
135．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）已知点 和 都在直线 上，则 与 的大
小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【知识点】判断一次函数的增减性
【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，
根据一次函数关系式中的 ，可知一次函数值y随着x的增大而增大，再根据 ，即可得出答
案．
【详解】∵一次函数 中， ，
∴一次函数值y随着x的增大而增大．
∵ ，
∴ ．
故选：C．
136．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）若函数 中， ，则y的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
【分析】本题考查了一次函数的性质，首先得到 随 的增大而增大，然后求出 时， ，
时，则 ，进而求解即可．
【详解】解：∵ ，∴ 随 的增大而减小
∵
当 时，
当 时，则
∴y的取值范围为 ．
故答案为： ．
137．（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知点 ， ， 都在直线 上，则 ，
， 大小关系是（ ）
A． B．
C． D．不能确定
【答案】A
【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小
【分析】本题考查一次函数的增减性与 的正负有关，进而判断即可．根据比例系数， ，根据一
次函数的性质 随 的增大而减小即可判断．
【详解】解：根据 ，
， 随 的增大而减小，
由于 ， ， 都在直线 上，
，
，
故选：A．
138．（21-22八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 在直线 上，过点
作 ，交 轴于点 ；过点 作 轴，交直线于 ；过点 作 ，交 轴于点
；过点 作 轴，交直线 于点 ； ，按此作法进行下去，则点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】一次函数的规律探究问题【分析】此题主要考查了直线与坐标轴之间的关系．根据题目所给的解析式，求出对应的 坐标，然
后根据规律求出 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可．
【详解】解：如图，过点 作 轴于 ，
将 代入直线解析式 中得 ，
， ，
，
，
，
，
的坐标为 ，
同理可以求出 的坐标为 ，
同理可以求出 的坐标为 ，
同理可以求出 的坐标为 ，
的坐标为 ，
故答案为： ．
139．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求一次函数解析式
【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，先设函数解析式为 ，然后将 代入求出k的值，即可得出函数解析式．
【详解】解：设函数解析式为 ，将 代入得：
，
解得： ，
这个函数的表达式为 ，
∴
故选：D．
140．（23-24八年级下·全国·期末）如图，若一次函数 的图象经过 、 两点．则方程
的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确数形结合分析是解题关键．直接利用图象得出答
案即可．
【详解】解：如图所示：
不等式 的解为： ．
故选：A．
141．（22-23八年级下·湖南株洲·期末）已知一次函数 与x轴的交点为A，与y轴的交点为B．
(1)求出点A和点B的坐标？
(2)求出 的面积？
【答案】(1)
(2)4
【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、求直线围成的图形面积
【分析】（1）根据一次函数与方程的联系求解；
（2）根据三角形面积公式求解．
【详解】（1）由 ， ，则 ，得 ， ；
时， ， ；（2） ；
【点睛】本题考查一次函数与方程的联系，理解函数与方程的联系是解题的关键．
142．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 经过点 ，
和 ，则关于x的方程 的解为 ．
【答案】4
【知识点】利用图象法解一元一次方程
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程．根据题意，可知当 时， ，即可关于x的
方程 的解为 ．
【详解】解：∵直线 经过点 ，
∴当 时， ，
∴关于x的方程 的解为 ．
故答案为：4．
143．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数 的图象如图所示，当 时， 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据一次函数的图象，进行求解即可．
【详解】解：由图象可知， 随 的增大而减小，当 时， ，
∴当 时， 的取值范围是 ；
故选D．
144．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，经过点 的一次函数 与正比例函数 交于
点 ．(1)求 的值；
(2)请直接写出不等式组 的解集．
【答案】(1) ； ；
(2)
【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数自变量或函数值、由直
线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式的问题，解题的关键是能够确定有关
待定系数的值，难度不大．
（1）将点 和点P的坐标代入一次函数的解析式求得m、b的值，然后将点P的坐标代入正比例函数
解析式即可求得a的值即可；
（2）直接根据函数的图象结合点P的坐标确定不等式的解集即可．
【详解】（1）解：∵正比例函数 与过点 的一次函数 交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：根据函数的图象，可得不等式 的解集为： ．
145．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）在同一平面直角坐标系中，直线 与 相交于点
，则关于x、y的方程组 的解是 ．
【答案】
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，解题关键是掌握函数图象交点的坐标是对应方程组的解．将点 代入直线 上，求出 的值，再根据交点坐标得到对应二元一次方程组的解即可．
【详解】解：将点 代入直线 上，
得 ，
即直线 与 相交于点 ，
则关于x、y的方程组 的解是 ，
故答案为： ．
146．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，一次函数 的图象与 的图象相交于点A，
则方程组 的解是 ．
【答案】
【知识点】图象法解二元一次方程组
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程 组 ，掌握方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点
坐标是解决问题的关键．先求点A的横坐标，然后根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解．
【详解】解：将 代入 得 ，解得： ，
所以A点坐标为 ，
所以方程组 的解是 ，
故答案为： ．
147．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，直线 与坐标轴交于 ， 两点，与直
线 交于点 ，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ．(1)求 ， 值；
(2)求 的面积.
【答案】(1) ；
(2)10
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、求直线
围成的图形面积
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法的应用，坐标与图形性质等知识，熟知函
数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键．
（1）将点P坐标代入 可求出n的值，得到 ，然后利用待定系数法求出 ，再把
代入 即可求出m的值；
（2）求出点C坐标，可得 ，然后根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：把点 代入 得： ，
∴ ，
把 ， 代入 得， ，
解得： ，
∴ ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴ ， ；
（2）解：当 时，
解得： ，
∴ ，
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ．
148．（23-24八年级下·云南大理·期末）为健全高考考务工作制度，规范考试管理，保障高考的正常实施，
维护高考的公平性、严肃性、权威性，按照教育部高考考务工作规定：高考只能在县级及以上设立考区．
因而我县高考全部安排在祥云一中进行，执行统的考试操作流程和规则，确保考试公平和公正．据悉，今
年祥云四中参加高考的学生及带队教师约 人，经过研究，学校决定租用A、B两种型号共 辆客车作
为交通工具将师生载至目的地．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：（注：
载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）
型号 载客量 租金单价
A 人/辆 元/辆
B 人/辆 元/辆
(1)设租用 型号客车 辆，租车总费用为 元，求 与 的函数解析式及自变量x的取值范围；
(2)请你帮忙设计出一种最省钱的租车方案，并求出最低费用．
【答案】(1) （ ，且x为整数）
(2)当租用 型号客车 辆， 型号客车 辆时，租车费用最低，最低费用为 元
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分配方案问题(一次函数的实际应用)、其他问题(一次函数的
实际应用)
【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次一不等式组，根据题意列出函数关系式以及熟练掌握一
次函数增减性是解题的关键，
（1）根据题意，可得函数关系式，根据 ，即可求自变量取值范围；
（2）在自变量取值范围内根据一次函数增减性即可求出最低费用及其方案．
【详解】（1）解：设租用 型号客车 辆，则租用 型号客车 辆，
由题意得： ，
即 与 的函数解析式为： ，
由题意得： ，解得： ，
即自变量 的取值范围为 ，且x为整数；
（2）解：由（1）得：费用为 （ ，且x为整数）∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时，费用 最小，
最低为 （元），
答：当租用 型号客车 辆， 型号客车 辆时，租车费用最低，最低费用 元．
149．（22-23八年级下·甘肃庆阳·期末）为创建“绿色校园”，某校计划分两次购进A，B两种花草，第一
次分别购进A，B两种花草30株和15株，共花费675元；第二次分别购进A，B两种花草12株和5株．共
花费265元．两次购进花草的单价不变．
(1)A，B两种花草每株的价格分别是多少元？
(2)若该校计划再购买A，B两种花草共30株，其中购买A种花草 （ ，且 为整数）株，购买
花草的总费用为 元，求出 关于 的函数解析式；并求出当 为何值时，购买花草的总费用最少，最
少费用为多少元？
【答案】(1) 种花草每株的价格是20元， 种花草每株的价格是5元；
(2)当 为8时，购买花草的总费用最少，最少费用为270元．
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出二元一次方程组；（2）根据题意，正确列出一次函数表达式．
（1）设 种花草每株的价格 元， 种花草每株的价格 元，根据第一次分别购进 ， 两种花草30株
和15株，共花费675元；第二次分别购进 ， 两种花草12株和5株，共花费265元；两次购进花草的
单价不变，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买 种花草的数量为 株，则购买 种花草的数量为 株，结合（1）结论，列出一次函
数表达式，再根据 的取值范围，即可得出答案．
【详解】（1）解：设 种花草每株的价格 元， 种花草每株的价格 元，
由题意得： ，
解得： ，
答： 种花草每株的价格是20元， 种花草每株的价格是5元；
（2）解：设购买 种花草的数量为 株，则购买 种花草的数量为 株，
由题意得： ，
，且 为整数，
随 的增加而增加，
当 时， 取得最小值，此时 ，
当 为8时，购买花草的总费用最少，最少费用为270元．
150．（24-25八年级上·全国·期末）如图是小明放学骑车回家行驶的路程y(千米)与行驶时间x(分钟)的函数图象，已知前10分钟的速度是 千米/分钟，行驶10分钟时车子发生故障，维修车子用了5分钟．
(1)刚发生故障时，小明离家有多远？
(2)维修后车子每分钟行驶的路程比原来增加了多少？
【答案】(1) 千米
(2)维修后车子每分钟行驶的路程比原来增加了 千米
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查函数图象获取信息，理解图示，掌握行程问题的数量关系是解题的关键．
（1）由图可得总行程为 千米，先算出前10分钟所行驶的距离，总路程减去行驶的路程即可求解；
（2）总的时间减去前10分钟和修车的5分钟，则可得后面的时间，由行程的数量关系可得行驶速度，由
此即可求解．
【详解】（1）解：前10分钟所行驶的距离为 (千米)， (千米)．
故刚发生故障时小明离家有 千米．
（2）解：后5分钟的速度为 (千米/分钟)， (千米/分钟)．
故维修后车子每分钟行驶的路程比原来增加了 千米．
151．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交
于点 ， ，点 为直线 与 轴交点．
(1)直接写出点 的坐标；
(2)设点 为直线 ， 在第一象限的交点，其横坐标为 ．当 的面积与 的面积相等时：
①求点 的坐标；
②直接写出此时 的值．
【答案】(1)(2)①点 坐标为 ；②
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，平面直角坐标系内点的坐标特征，平面直角坐标系内两点
之间的距离，坐标与图形，掌握一次函数与坐标轴的交点是解题的关键．
（1）令 ，得到 ，即可得到答案；
（2）①根据题意得出 ，求出 的值，即可得到点 的坐标；
②将 代入 计算即可得到答案．
【详解】（1）解： 点 为直线 与 轴交点
令 ，
，
，
（2）解：①点 横坐标为 ，点 在直线 上，
，
直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，
令 ，则 ，
，
令 ，则 ，
解得 ，
，
，
，
，
，
，
解得 ，
；
②把 代入 得，
解得： .
第二十章 数据的分析152．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）某校规定学生期末数学总评成绩由三部分构成：卷面成绩、课外
论文成绩、平日表现成绩（三部分所占比例如图），若方方的三部分得分依次是95、80、85，则她这学期
期末数学总评成绩是
【答案】91
【知识点】求加权平均数
【分析】本题主要考查了求加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键．根据加权平均数的算
法计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：她这学期的期末数学总评成绩是 ．
故答案为：91．
153．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）在某校“人工智能与人类未来”的演讲比赛中，前6名同学的成
绩（分）依次为：98、96、96、96、95、93，这组数据的众数、中位数依次为（ ）
A．98、93 B．96、96 C．96、95 D．95，96
【答案】B
【知识点】求中位数、求众数
【分析】本题考查中位数，众数的定义，掌握相关定义是解题的关键．根据众数，中位数的定义求解．
【详解】解：将各数从大到小排列后得：98、96、96、96、95、93，其中96出现次数最多，众数为96，
处于中间的两个数为96、96，中位数为 ．
故选：B．
154．（24-25八年级上·山东烟台·期末）射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其
成绩的方差分别记为 和 ，则 和 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】求方差、根据方差判断稳定性
【分析】本题主要考查比较方差的大小，根据折线图，得到乙选手的成绩波动较小，即可得出结果．【详解】解：∵方差表示数据的离散程度，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，由折线
图可知乙选手的成绩波动较小，
∴ ；
故选：B．
155．（24-25八年级上·江西宜春·期末）甲、乙两名同学参加少年科技创新选拔赛，六次比赛的成绩如下：
甲：87 93 88 93 89 90
乙：85 90 90 96 89 a
(1)若甲、乙的平均成绩相同，求a的值；
(2)已知乙的方差是 ，如果要选派一名发挥稳定的同学参加比赛，应该选谁？说明理由．
【答案】(1) ；
(2)选甲，理由见解析．
【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数、运用方差做决策
【分析】此题考查根据平均数求一组数据中的未知数据，求数据的方差并依据方差做决定，熟练求解方差
是解题的关键．
（1）求出甲的成绩总和得到乙的成绩总和，减去其他成绩即可得到a；
（2）求出甲的平均数，计算出方差，根据甲、乙的方差大小即可做出选择．
【详解】（1）解：∵甲、乙的平均成绩相同，
∴甲、乙的总成绩相同，
∴ ；
（2）解：选甲，理由如下：
甲的平均数 ，
甲的方差 ，
∵ ，
∴甲发挥稳定，应该选甲．
156．（22-23八年级下·河南周口·期末）某学校年终要从学习成绩、体育成绩、其他三个方面综合评价学
生，并选出成绩较好的评为本年度学习标兵，现要从李强、王飞两位同学中选出一位评为本年度学习标兵，
他们的成绩（单位：分）如下：
学生 学习成绩 体育成绩 其他
李强 95 80 90
王飞 90 90 90
如果按学习成绩占 ，体育成绩占 ，其他占 计算，谁会被选为本年度学习标兵？【答案】李强会被选为本年度学习标兵，理由见解析
【知识点】运用加权平均数做决策、求加权平均数
【分析】根据学习成绩占 ，体育成绩占 ，其他占 计算李强和王飞的总分，比较二者大小即可．
【详解】解：由题意得，李强的成绩是： ，
王飞的成绩是： ，
∵ ，故李强会被选为本年度学习标兵．
【点睛】本题考查了加权平均数的有关知识，解题的关键是有效提取题干的数学信息，计算出加权平均数
并进行决策．
157．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）中华传统文化以儒家、佛家、道家三家之学为支柱，包括思想、
文字、语言，之后是六艺，也就是：礼、乐、射、御、书、数，再后是生活富足之后衍生出来的书法、音
乐、武术、曲艺、棋类、节日、民俗等．传统文化与我们的生活息息相关．某校为了解七、八年级学生对
中国传统文化知识的掌握情况，从两个年级中各随机抽取10名学生进行测试，并对测试成绩（百分制）进
行收集、整理和分析．
数据收集：
七年级：59，90，92，85，80，67，88，85，97，79；
八年级：57，95，80，96，83，69，92，78，66，83．
数据整理：
成绩 （分）
年
级
七
年 1 1 2 4 2
级
八
年 1 2 2 2 3
级
数据分析：
平均数 中位数 众数
七年级 85 a
八年级 b 83
请根据如表信息，回答下列问题：
(1)补全表中数据： ______， ______；
(2)萌萌同学参加了测试，他说：“这次测试我得了82分，在我们年级属于中游略偏上！”，你推测萌萌同学可能是______（填“七”或“八”）年级的学生．
(3)假如该校七年级1000名学生均参加了本次测试，请你估计该校七年级学生本次测试成绩在80分以上
（不包括80分）的人数．
(4)为了丰富同学们的中国传统文化，请你提出一条合理化建议．
【答案】(1)85， ；
(2)八；
(3)估计该校七年级学生本次测试成绩在80（分）以上的人数约为600人；
(4)多阅读中国传统文化知识相关书籍（答案不唯一）．
【知识点】用样本的频数估计总体的频数、运用中位数做决策、求中位数、求众数
【分析】本题考查统计表、中位数、众数，用样本估计总体，熟练掌握中位数、众数的定义，用样本估计
总体的方法是解题的关键．
（1）根据中位数与众数的含义可得答案；
（2）根据中位数的意义可得答案；
（3）先求出七年级学生本次测试成绩在80分以上的人数，再用1000乘以七年级学生本次测试成绩在80
分以上的人数所占的比例即可；
（4）提出合理建议即可．
【详解】（1）解：将八年级对中国传统文化知识的掌握情况成绩从小到大排列得：57，66，69，78，
80，83，83，92，95，96，．
中间的数是80，83，所以中位数 ，
七年级数据中，数据85出现两次，出现次数最多，所以这组数据的众数是85，即a的值为85，
故答案为：85， ；
（2）解：∵七年级的中位数为 分，八年级的中位数为 分，
而“这次测试萌萌得了83分，在我们年级属于中游略偏上！”，
∴萌萌同学可能是八年级的学生；
故答案为：八；
（3）解： （人），
答：估计该校七年级学生本次测试成绩在80分以上的人数约为600人．
（4）解：建议是：多阅读中国传统文化知识相关书籍．
158．（23-24八年级下·广西玉林·期末）某校对八年级甲、乙两班各60名学生进行知识测试，测试完成后
分别抽取了12份成绩，整理分析过程如下．
【收集数据】
甲班12名学生测试成绩（单位：分）统计如下：45，59，60，38，57，53，52，58，60，50，43，49；
乙班12名学生测试成绩（单位；分）统计如下：35，55，46，39，54，47，43，57，42，59，60，47．
【整理数据】按如下分数段整理，描述这两组样本数据：
组别/频数
甲 1 1 2 3 5
乙 2 2 3 1 4
两组样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：
班级 平均数 众数 中位数
甲 52 a 52.5
乙 48.7 47 b
根据以上信息回答下列问题：
(1) ________， ________；
(2)若规定成绩在45分及以上为合格，请估计乙班60名学生中知识测试成绩合格的学生有多少人；
(3)你认为哪个班的学生知识测试成绩的整体水平较好，请说出一条理由．
【答案】(1)60，47；
(2)40人；
(3)甲班的成绩较好，理由见解析．
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求众数、求中位数、运用众数做决策
【分析】本题考查了求众数和中位数，用样本估计总体以及用平均数和众数，中位数做决策，熟练掌握常
见统计量的求法和意义是解题的关键．
（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）用乙班学生人数乘以样本中成绩在45分及以上的所占的比例即可；
（3）根据平均数和众数，以及中位数作出判断即可．
【详解】（1）解：甲班中成绩出现次数最多的是60．
故 60，
乙班成绩从小到大排序如下：
35，39，42，43，46，47，47，54，55，57，59，60，
∴
（2） （人），
答：乙班60名学生中知识测试成绩合格的学生有40人
（3）甲班的成绩较好，理由：甲班的平均数、中位数、众数均比乙班的高，所以甲班的成绩较好．
