文档内容
第二十章 勾股定理
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第1课时 勾股定理的逆定理
教学设计
课题 20.2第1课时 勾股定理的逆定理 授课人
1.会认识并判断勾股数，掌握勾股定理的逆定理，并能灵活应用逆定理判定
一个三角形是否为直角三角形.
2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法
教学目标
的应用.
3.在对勾股定理的逆定理的探索中,培养了学生的交流、合作的意识和严谨
的学习态度,同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.
教学重点 能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.
教学难点 灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 前面我们学习了勾股定理，即： 通过回顾
旧知为学
Rt△ABC三边长为a，b，c（c为斜边）→a2＋b2＝c2．
习新知做
反过来，若△ABC三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2， 好准备.
能否推出△ABC是直角三角形呢？
探究新知 1.勾股定理的逆定理 通过构造
法将代数
如图给了一种确定直角的方法：
条件转化
用13个等距的结，把一根绳子分成等长的 12段，然后以3段，4 为几何直
段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便 观，渗透
是直角． 数形结合
思想，突
破证明难
点；全等
推理过程
强化严谨
逻辑，培
养学生的
建 模 能
力.
上述方法意味着，如果围成三角形的三边长分别为 3，4，
5，它们满足关系“3²+4²=5²”，那么围成的三角形是直角三角
形.一般地，满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形是不是直角三角形呢？
实验操作：
（1）画一画：下列各组数都满足a²＋b²＝c²，分别以这些数为
边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？
① 3，4，5； ② 5，12，13； ③2.5，6，6.5．
32＋42＝52 52＋122＝132 2.52＋62＝6.52
（2）量一量：用量角器测量上述三角形的最大角的度数．
（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形
是直角三角形．
下面让我们证明前面的猜想.
如图，已知在△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，且 a2＋b2＝
c2．
求证△ABC是直角三角形．
分析：作一个直角∠MC N，
1
在C M上截取C B ＝a＝CB，
1 1 1
在C N上截取C A ＝b＝CA，
1 1 1
连接A B ．
1 1
证明：在Rt△A B C 中，
1 1 1
由勾股定理，得A B 2＝a2＋b2＝c2，
1 1
∴A B ＝AB．
1 1
在△ABC和△A B C 中，
1 1 1
AB＝A B ，AC＝ A C ，BC＝B C ，
1 1 1 1 1 1
∴△ABC≌△A B C （SSS）．
1 1 1
∴∠C＝∠C ．
1
∴△ABC是直角三角形．
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形
是直角三角形．
这样，我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个
定理，这个定理叫作勾股定理的逆定理，它是判定直角三角形的
一个依据.
直角三角形的判定有两法可依：
（1）由角的关系：证明两内角互余或一角为直角．（2）由边的关系：利用勾股定理的逆定理判定．
（链接例1）
2.勾股数
已知三角形的三边的长，判断三角形是否为直角三角形时，由于
直角三角形的最大边是斜边，所以只要检验较小的两条边的平方
和是否等于最大边的平方就可以．如果等式成立，该三角形是直
角三角形，否则就不是直角三角形．
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
熟练掌握一些勾股数组对解数学题很有帮助，接下来我们学习几
个求勾股数组的方法．
（1）如果a是一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且
有a2＝b＋c，则a，b，c为一组勾股数．
如3，4，5；5，12，13；7，24，25；11，60，61．
（2）如果a，b，c为一组勾股数，则na，nb，nc也是一组勾股
数，其中n（n＞1）为自然数．
如3，4，5；6，8，10；9，12，15．
（3）如果n是自然数（n＞1），那么n2−1，2n，n2＋1是一组勾
股数．
如8，15，17；16，63，65．
（链接例2）
典例精析 【例1（教材P35例题）】 判断由线段a，b，c组成的三角形是 通过正反
不是直角三角形： 例题辨析
定 理 条
（1）a=8，b=15，c=17；
件，强调
（2）a=14，b=13，c=15. “最长边
对角为直
【 解 】 （ 1 ） 因 为 8² +15² =64+225=289 ， 17² =289 ， 所 以
角”这一
8²+15²=17².
隐 含 结
论，强化
根据勾股定理的逆定理，由线段 a，b，c组成的三角形是直
计 算 规
角三角形.
范，运用
（2）因为14²+13²=196+169=365，15²=225，所以14²+13²≠15 逆定理解
². 决方位判
断、几何
根据勾股定理，由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形.
计算等实
【例2】如图，已知AB⊥AD，AB＝4，BC＝12，CD＝13，AD＝ 际问题，
3，能判断BC⊥BD吗？证明你的结论． 强化应用
意识.
【解】BC⊥BD．证明如下：
∵AB⊥AD，
∴△BAD是直角三角形，
∴BD2＝AB2＋AD2＝ 42＋32＝
25．在△BCD中，
∵BC2＋BD2＝ 122＋25＝169＝132＝CD2，
∴△BCD是直角三角形，且CD为斜边，∠CBD＝90°．
∴BC⊥BD．
随堂检测 1．下列各组数是勾股数的是（ B ） 通过设置
随 堂 检
A．3，4，7 B．5，12，13
测，及时
C．1.5，2，2.5 D．1，3，5 获知学生
对所学知
2．在△ABC中， ∠A ，∠B，∠C的对应边分别为a，b，c，且
识的掌握
(a＋b)(a－b)＝c2，则（ A ） 情况，明
确哪些学
A．∠A为直角 B．∠B为直角
生需要在
课后加强
C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形
辅导，达
3．若一个三角形的三边长分别为1，√2，√3，则该三角形的面 到全面提
积为（ B ） 高 的 目
的.
A． B． √2
√2
2
C．√3 D．√6
2 2
4.已知三角形三条边的长度分别是：
（1）1，√2，√3；（2）2，3，4；（3）3n，4n，5n（n＞0），
它们是否分别构成直角三角形？
【解】（1）在1，√2，√3中，√3是最大边长，
因为12＋(√2) 2 ＝ 1＋2＝3＝ (√3) 2，
所以边长为1，√2，√3的三角形是直角三角形．
（2）在2，3，4中，4是最大边长，
22＋32＝13≠42，
所以边长为2，3，4的三角形不是直角三角形．
（3）在3n，4n，5n（n＞0）中，5n是最大边长，
(3n) 2＋(4n) 2＝25n2＝(5n) 2，
所以边长为3n，4n，5n（n＞0）的三角形是直角三角形．
5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，交AB于点E
，且BE=13，AE=5，AC=12．求证：CA⊥AB．
【解】证明：连接CE，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴DE垂直平分BC，∴BE=CE，
∵BE=13，AE=5，AC=12．
∴AC2+EA2=144+25=169=BE2，
∴AC2+EA2=CE2，
∴△ACE是直角三角形，
∴∠A=90°．
即CA⊥AB．
课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 巩固所学
知识，加
小结：
深对本节
1．勾股定理的逆定理及勾股数 知识的理
解.
作业布置
板书设计 20.2第1课时 勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角
形．
2.勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
教学反思
