文档内容
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第1课时 勾股定理的逆定理
1.理解并掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判定一
个三角形是直角三角形.
2.探究勾股定理的逆定理的证明方法，感悟数形结合思想的应用.
3.会认识并判断勾股数，由特殊到一般寻找勾股数规律.
重点：勾股定理的逆定理的理解及其应用.
难点：探究勾股定理的逆定理.
知识链接：上节课我们学习了利用勾股定理作图的方法，回顾一下
相关知识.
创设情境——见配套课件
探究点：勾股定理的逆定理
问题1：（教材P34观察）画一画，如果三角形的三边长分别为
2.5cm，6cm，6.5cm和4cm，7.5cm，8.5cm，量量看是不是直角
三角形.
是直角三角形.
问题2：结合上面的操作，想想学过的勾股定理，猜想一个三角形
的三边满足什么关系时，这个三角形就是直角三角形？用命题形式
表述.
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直
角三角形.
问题3：这个猜想就是勾股定理的逆命题，如何证明它呢？如图①，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2＋b2＝c2.
求证：△ABC是直角三角形.
提示：回想上节课中用勾股定理证明“HL”，借助全等三角形的知
识.
如图②，作一个Rt△A'B'C'，使B'C'＝a，A'C'＝b，∠C'＝90°.根据
勾股定理，A'B'2＝B'C'2＋A'C'2＝a2＋b2.因为a2＋b2＝c2，∴A'B'＝c.
在△ABC和△A'B'C'中，BC＝a＝B'C'，AC＝b＝A'C'，AB＝c＝A'B'，
所以△ABC≌△A'B'C'（SSS）.因此∠C＝∠C'＝90°，即△ABC是直角
三角形.
问题4：我们知道两个内角互余的三角形是直角三角形，现在还可
以依据什么判断一个三角形是直角三角形？
还可以依据上面证明的命题.
归纳总结：我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定
理.这个定理叫作勾股定理的逆定理.它是判定直角三角形的一个依
据.
（教材P35例1）判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角
三角形：
（1）a＝8，b＝15，c＝17；（2）a＝14，b＝13，c＝15.
分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，
只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方.
解：（1）因为82＋152＝64＋225＝289，172＝289，所以82＋152＝
172.
根据勾股定理的逆定理，由线段a，b，c组成的三角形是直角三角
形.（2）因为142＋132＝196＋169＝365，152＝225，所以142＋
132≠152.
根据勾股定理的逆定理，由线段a，b，c组成的三角形不是直角三
角形.
归纳总结：勾股数的概念：像8，15，17这样，能够成为直角三角
形三条边长的三个正整数，称为勾股数.常见的勾股数：3，4，5；
5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，
24，26等等.
【对应训练】教材P36练习.
1.下列各组数是勾股数的是（ A ）
A.6，8，10 B.0.3，0.4，0.5 C.9，41，47 D.52，122，132
2.在△ABC中，AB＝1，AC＝√3，BC＝2，则这个三角形是（ B ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
3.已知△ABC的三边长为a，b，c，且a＋b＝7，ab＝1，c2＝47，试
判断△ABC的形状，并说明理由.
解：△ABC是直角三角形.理由：∵a＋b＝7，ab＝1，∴a2＋b2＝（a
＋b）2－2ab＝49－2＝47.
又∵c2＝47，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是以c为斜边的直角三角形.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
