文档内容
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
学习目标：1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题；
2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.
重点：灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
难点：将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.
自主学习
一、知识回顾
1.你能说出勾股定理及其逆定理的内容吗？
2. 快速填一填：(1)已知△ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为_______三角形，
_________是最大角;
(2)等腰△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上的高是__________cm.
课堂探究
一、要点探究
探究点1：勾股定理的逆定理的应用
典例精析
例1如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港
口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.
它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东
北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
分析：题目已知“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离，实质是要求
出两艘船航向所成角，由此容易联想到勾股定理的逆定理.
方法总结:解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和
所求；应用数学知识求解.变式题 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷
渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通
知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，
若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？
分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角
三角形的面积公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.
例2一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得
这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗？
练一练
1.A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？
2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，
发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合
格？探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用
典例精析
例3 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形
ABCD的面积.
分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理
的逆定理判断△ACD是直角三角形.
方法总结:四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在
使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.
变式题 1 如图，四边形 ABCD 中，AB⊥AD，已知 AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，
BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.
2如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC＝12 cm，AB
变式题
＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.
例4 如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC＝ ，BD=2．
（1）求证：△BCD是直角三角形；
（2）求△ABC的面积．二、课堂小结
航海问题
应用
与勾股定理结合解决不规则图形等问题
勾股定理的逆
定理的应用
认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用
方法
勾股定理及其逆定理来解决问题
当堂检测
1.医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东
25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公
园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东______的方向.
2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个
直角三角形，其中摆放方法正确的是 （ ）
A B C D
3. 如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地
O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距
30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.
4. 如图，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC边上的中线AD=15，试说明：AB=AC.5. 在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．
于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A
的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5
小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航
行方向是北偏西多少度？
6. 如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边
向
点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时
出发，则过3秒时，求PQ的长．参考答案
自主学习
一、知识回顾
1. 勾股定理：Rt△ABC，∠C 是直角， a2 + b2 = c2 (a，b 为直角边，c 为斜边).
勾股定理的逆定理： a2 + b2 = c2 (a，b 为直角边，c 为斜边)，Rt△ABC，∠C 是直角.
2. (1) 直角 ∠A (2) 8
课堂探究
一、要点探究
探究点1：勾股定理的逆定理的应用
典例精析
例1 解：根据题意得 PQ = 16×1.5 = 24(海里)，PR = 12×1.5 = 18 (海里)，QR = 30 海
里.
∵ 242 + 182 = 302，即 PQ2 + PR2 = QR2，∴∠QPR = 90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知 ∠1 = 45°.
∴∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行.
变式题1
解：∵ AC = 10，AB = 6，BC = 8，∴ AC2 = AB2 + BC2，即△ABC是直角三角形.
设 PQ 与 AC 相交于点 D，根据三角形面积公式有 BC·AB = AC · BD，
即 6×8 = 10BD，解得 BD = 在Rt△BCD 中，
又∵ 该船只的速度为 12.8 海里/时，6.4÷12.8 = 0.5(小时)= 30(分钟)，
∴ 需要 30 分钟进入我领海，即最早晚上 10 时 58 分进入我领海.
例2 解：解：在△ABD 中， AB2＋AD2＝ 32 + 42 = 25= 52 ＝BD2
∴△ABD 是直角三角形，∠A 是直角.
在△BCD 中， BD2＋BC2＝ 52 + 122 = 169= 132 ＝CD2∴△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角. 因此，这个零件符合要求.
练一练：
1.解：∵ BC2 + AB2 = 52 + 122 = 169，AC2 = 132 = 169，
∴ BC2 + AB2 = AC2.即△ABC 是直角三角形，∠B = 90°.
答：C 在 B地的正北方向．
2.解：∵ AB＝DC＝8 m，AD＝BC＝6 m，∴ AB2+ BC2＝82＋62＝64＋36＝100.
又∵ AC2＝92＝81，∴ AB2＋BC2 ≠ AC2，∴ ∠ABC ≠ 90°，
∴ 该农民挖的不合格．
探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用
典例精析
例3 解：连接 AC. 在 Rt△ABC 中，
在△ACD 中，AC2 + CD2 = 52+ 122 = 169 = AD2，∴△ACD 是直角三角形，且
∠ACD=90°.
∴S = S +S = 6+30=36.
四边形ABCD Rt△ABC Rt△ACD
变式题1 解：连接 BD. 在Rt△ABD 中，由勾股定理得 BD2 = AB2 + AD2，
∴ BD = 5 m.又∵ CD = 12 cm，BC = 13 cm，∴ BC2 = CD2 + BD2.
∴△BDC 是直角三角形.
∴S = S －S = BD•CD－ AB•AD = ×(5×12－3×4) = 24 (cm2)．
四边形ABCD Rt△BCD Rt△ABD
变式题2 解：∵ S =30 cm2，DC＝12 cm, S = CD•AC = ×12×AC = 30 (cm2),
△ACD △ACD
∴ AC = 5 cm. 又∵AB2＋BC2＝ 32 + 42 = 25= 52 ＝AC2 ,
∴△ABC 是直角三角形， ∠B 是直角. ∴S = AB•BC = ×3×4 = 6 (cm2).
△ABC
例4 解：(1) 证明：∵ CD = 1，BC＝ ，BD = 2，
∴ CD2 + BD2 = BC2，∴△BDC 是直角三角形.
(2) 解：设腰长 AB = AC = x，在 Rt△ADB 中，∵ AB2 = AD2 + BD2，
∴ x2 = (x - 1)2 + 22，解得
当堂检测
1. 65° 2. D3. 解：∵ 出发 2 小时，A 组行了 12×2 = 24 (km)，B 组行了 9×2 = 18 (km)，
又∵ A，B 两组相距 30 km，且有 242 + 182 = 302，
∴ A，B 两组行进的方向成直角．
4. 解：∵BC = 16，AD 是 BC 边上的中线，∴ BD = CD = BC = 8.
∵在△ABD 中，AD2 + BD2 = 152 + 82 = 172 = AB2，
∴△ABD 是直角三角形，即∠ADB = 90°．∴△ADC 是直角三角形.
在Rt△ADC 中， ∴ AB = AC.
5.解：根据题意得 OA = 16×1.5 = 24 (海里)，OB = 12×1.5 = 18 (海里)，
∵ OB2 + OA2 = 242 + 182 = 900， AB2 = 302 = 900，
∴ OB2 + OA2 = AB2. ∴∠AOB = 90°.
∵第一艘搜救艇以 16 海里/时的速度离开港口O (如图)沿北偏东 40°的方向向目标 A 的
前进，∴ ∠BOD = 50°，
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西 50 度．
6.解：设 AB 为 3x cm，BC 为 4x cm，AC 为 5x cm，
∵ 周长为 36 cm，即 AB + BC + AC = 36 cm，∴ 3x + 4x + 5x = 36，解得 x = 3.
∴ AB = 9 cm，BC = 12 cm，AC = 15 cm.∵ AB2 + BC2 = AC2，
∴ △ABC 是直角三角形，过 3 秒时，BP = 9 - 3×2 = 3 (cm)，
BQ = 12-1×3 = 9 (cm)，在 Rt△PBQ 中，由勾股定理得
