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第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
学习目标：1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数；
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为
直角三角形.
重点：掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.
难点：能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三
角形.
自主学习
一、知识回顾
1.勾股定理的内容是什么？
2. 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
课堂探究
一、要点探究
探究点1：勾股定理的逆定理
下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c：
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
问题3 据此你有什么猜想呢?
猜测：如果三角形的三边长a,b,c满足___________,那么这个三角形是_________三角形.证一证 已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
则A′B′2=_______+________ 。
∵a2+b2=c2，∴A′B′ =_______.
在△ABC和△A′B′C′中，
A′C′=AC，
B′C′=BC， ∴△ABC____△A′B′C′(________) .
______=_______,
∴∠C____∠C′_____90° ， 即△ABC是__________三角形.
要点归纳：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三
角形是直角三角形.
特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边
长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最
长边所对应的角为直角.
典例精析
例1 下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(1) a = 15，b = 8，c = 17； (2) a = 13，b = 14，c = 15.
方法总结:根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边
长的平方和是否等于最大边长的平方.
变式题1 若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，试判断△ABC的形状.
方法总结:已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，
再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的
数，那么该三角形还是等腰三角形.
变式题2 (1)若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c= ，试说明△ABC是直角三角形.
(2) 若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.例2如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝ CB，试判断
AF与EF的位置关系，并说明理由.
针对训练
1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则该三角形最长边上的高是 ( ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
3.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.
探究点2：勾股数
要点归纳：勾股数：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三
角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，
40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，
这组数同样是勾股数.
练一练
下列各组数是勾股数的是 ( )
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
方法总结:根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是
否等于其他两边的平方和即可.
探究点3：互逆命题与互逆定理
前面我们学习了两个命题，分别为：
命题1，如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2；
命题2，如果三角形的三边长a ，b ，c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.两个
命题的条件和结论分别是什么？
问题1 两个命题的条件和结论分别是什么？
问题2 两个命题的条件和结论有何联系？要点归纳：题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一
个叫做原命题的逆命题.
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经
过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定
理的逆定理为互逆定理.
针对训练
1说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等；
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
二、课堂小结
内 容
勾股定理 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三
的逆定理 角形是直角三角形.
勾股定理
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形.
的逆定理的作用
1. 最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
注 意
2. 勾股数一定是正整数.
当堂检测
1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.3，4，7 B.5，12，13
C.1.5，2，2.5 D.1，3，5
2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
3.在△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边分别为a,b,c.
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形.
以上命题中的假命题有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 ，则△ABC
的形状是________________．
5.(1)一个三角形的三边长分别为15cm,20cm,25cm，则该三角形最长边上的高是
______cm;
(2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为_______________________________________．
6.已知△ABC,AB=n2-1,BC=2n,AC=n2+1(n为大于1的正整数).问△ABC是直角三角形吗？
若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
7.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD= ,求四边形ABCD 的面积.参考答案
自主学习
一、知识回顾
1. 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2.
2. 5 6.5 8.5
课堂探究
一、要点探究
探究点1：勾股定理的逆定理
问题1 是
问题2 ① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252，
③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172.
则a2 + b2 = c2
问题3 a2 + b2 = c2 直角三角形
证一证 B′C′2 A′C′2 c A′B′ AB = SSS = = 直角
典例精析
例1 解：(1)∵ 152 + 82 = 289，172 = 289，∴ 152 + 82 = 172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C 是直角.
(2) ∵ 132 + 142 = 365，152 = 225，∴ 132 + 142 ≠ 152，不符合勾股定理的逆定理，
∴ 这个三角形不是直角三角形.
变式题1 解：设 a = 3k，b = 4k，c = 5k (k＞0)，
∵ (3k)2 + (4k)2 = 25k2，(5k)2 = 25k2，∴ (3k)2 + (4k)2 = (5k)2，
∴△ABC 是直角三角形，且∠C 是直角.
变式题2 (1) 解：∵ a + b = 4，ab = 1，
∴ a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = 16 - 2 = 14.
又∵ c2 = 14，∴ a2 + b2 = c2，∴△ABC 是直角三角形.
(2) 解：∵ a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c，
∴ a2－6a + 9 + b2－8b + 16 + c2－10c + 25 = 0.
即 (a－3)² + (b－4)² + (c－5)² = 0.
∴ a = 3，b = 4，c = 5，即 a2 + b2 = c2.
∴△ABC 是直角三角形.
例2 解：AF⊥EF.理由如下：
设正方形的边长为4a, 则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．
∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
练一练1. C 2. D 3. 等腰三角形或直角三角形
探究点2：勾股数
练一练： A
探究点3：互逆命题与互逆定理
问题1 命题1 题设：直角三角形 结论：a2 + b2 = c2
命题2 题设：a2 + b2 = c2 结论：直角三角形
问题2 它们是题设和结论正好相反的两个命题.
练一练：
(1) 内错角相等，两条直线平行. 成立
(2) 如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等. 不成立
(3) 对应角相等的三角形全等 . 不成立
(4) 在角平分线上的点到角两边的距离相等. . 成立
当堂检测
1. B 2. A 3. A 4. 等腰直角三角形
5. (1) 12 (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形
6.解：∵ AB² + BC² = (n² - 1)² + (2n)²= n4 - 2n² + 1 + 4n²= n4 + 2n² + 1= (n² + 1)²= AC²，
∴△ABC 是直角三角形，边 AC 所对的角是直角.
7. 解：∵ AB² + BC² = 6² +8²= 100, AC² = 100,
∴AB² + BC² = AC². ∴△ABC 是直角三角形，且∠B 是直角.
∴ △ADC 是直角三角形，且∠D 是直角.
∴ S =
四边形 ABCD
