17.2勾股定理的逆定理（1）原卷_初中数学人教版_八年级数学下册_保存转存之后查看(1)_8下-初中数学人教版（2026春新版持续更新）_旧版-可参考_05学案_导学案（第1套）

第十七章 勾股定理 第1课时17.2勾股定理的逆定理 一、温故知新（导） 1.直角三角形有哪些性质? (1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余；(3)两直角边的平方和等于斜边的平方；(4)在含30°角的 直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半. 2.一个三角形，满足什么条件是直角三角形? (1)有一个角是直角；(2)有两个角的和是90°. 上面的方法是从角的角度考虑，能用三角形三边的关系来判断是否为直角三角形吗?这是今天我们要 学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点. 学习目标 1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数. 2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形. 学习重难点 重点：探究并证明勾股定理的逆定理及定理的应用. 难点：用同一法证明勾股定理的逆定理. 二、自我挑战（思） 1、据说，古埃及人曾用这样的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距， 4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角． （1）上述三角形的三边满足什么数量关系？ （2）你认为这个结论正确吗？ 2、以下面各组数为边长的三角形，是直角三角形吗？(单位：cm) ① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10． （1）画一画：分别以这些数为三边长画出三角形；（2）算一算：每组中较小两个数的平方和与较大数的平方之间有什么关系？ （3）量一量：用量角器分别测量三角形中最大角的度数； （4）想一想：试着判断这些三角形的形状，并提出猜想. 猜想：命题2如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. （5）这个命题是真命题吗？ 【证明猜想】 已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2. 求证：△ABC是直角三角形. 分析：在△ABC中，由边的关系a2+b2=c2，推导出为直角很难做到，若作一个与△ABC全等的直角 三角形，则可借助全等三角形的性质来说明∠C是直角. 证明：如图，作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b. 由勾股定理可得A'B'2=a2+b2. ∵a2+b2=c2，∴A'B'2=c2. 在△ABC和△A'B'C'中， ∵AB=A'B'=c，BC=B'C'=a，AC=A'C'=b. ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS). ∴∠C'=∠C=90°(全等三角形的对应角相等). 即△ABC是直角三角形. （6）互逆命题命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 命题2 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 命题1与命题2的题设、结论正好相反. 我们把像这样的两个命题叫做 . 如果我们把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 如：把命题1叫做原命题，那么命题2就是命题1的逆命题. （7）互逆定理 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定 理. 总结归纳： 勾股定理的逆命题：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 这个命题是真命题，也是一个定理，可以利用这个定理判定一个三角形是否为直角三角形. 3、下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？ (1) a5，b12，c13；(2) a6，b7，c8；(3) a1，b2，c . 4、勾股数：像5，12，13这样能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为 勾股数 . 三、互动质疑（议、展） 1、原命题成立时，它的逆命题一定成立吗？ 原命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.（ ） 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（ ） 原命题：如果两直线平行，那么同位角相等.（ ） 逆命题：如果同位角相等，那么两直线平行.（ ） 结论：原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 2、命题1与命题2的关系 3、实例： 例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形： (1) a15，b8，c17；(2) a13，b14，c15. 分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否 等于最大边的平方.四、清点战果（评） 今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？ 五、一战成名（检） 1、下列各组数中，是勾股数的是（ ） 3 5 A． ，2， B．√2，√3，√5 C．1，1，2 D．9，12，15 2 2 2、下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（ ） A．2，3，4 B．√3，√5，√4 C．4，6，9 D．3，4，5 3、下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（ ） A．三角形中有两个角互为余角 B．三角形中三个内角之比为3：4：5 C．三角形中的三边之比为5：12：13 D．三角形中有两个内角的差等于第三个内角 4、观察以下几组勾股数，并寻找规律：① 3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9， 40，41；⋯请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ． 5、测得一块三角形麦田的三边长分别为 5m,12m,13m,则这块麦田的面积为 m2． 6、如图，每个小正方形的边长都是 1，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判 断△ABC的形状，并说明理由． 六、用 （一）必做题 1、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a,b,c,下列条件不能判定△ABC为直角三角形的 是（ ） A．∠C=∠A-∠B B．a：b：c=5：12：13 C．（c-a）（c+a）=b2 D．∠A：∠B：∠C=3：4：5 2、以下选项不能判定△ABC为直角三角形的是（ ） A．∠A：∠B：∠C=3：4：5 B．∠A：∠B：∠C=2：3：5 C．AB：BC：AC=3：4：5 D．AB=13，BC=5，AC=12 3、下列各组数中，是勾股数的是（ ） A．2，3，4 B．4，5，61 1 1 C．5，12，13 D． ， ， 3 4 5 4、在△ABC中，AC=2，BC=3，当AB= 时，△ABC是直角三角形． 5、下列各组数：①1、2、3；②6、8、10；③0.3、0.4、0.5；④9、40、41；其中是勾股数 的有 （填序号）． （二）选做题 6、像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．古希腊的 哲学家柏拉图曾指出，如果 m表示大于1的整数，a=2m,b=m2-1，c=m2+1，那么a,b,c为勾股 数．你认为对吗？请说明理由． 9 7、如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AC=4，BC=3，DB＝ ． 5 （1）求CD的长； （2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．