17.2勾股定理的逆定理（1）解析卷_初中数学人教版_八年级数学下册_保存转存之后查看(1)_8下-初中数学人教版（2026春新版持续更新）_旧版-可参考_05学案_导学案（第1套）

第十七章 勾股定理 第1课时17.2勾股定理的逆定理 一、温故知新（导） 1.直角三角形有哪些性质? (1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余；(3)两直角边的平方和等于斜边的平方；(4)在含30°角的 直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半. 2.一个三角形，满足什么条件是直角三角形? (1)有一个角是直角；(2)有两个角的和是90°. 上面的方法是从角的角度考虑，能用三角形三边的关系来判断是否为直角三角形吗?这是今天我们要 学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点. 学习目标 1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数. 2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形. 学习重难点 重点：探究并证明勾股定理的逆定理及定理的应用. 难点：用同一法证明勾股定理的逆定理. 二、自我挑战（思） 1、据说，古埃及人曾用这样的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距， 4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角． （1）上述三角形的三边满足什么数量关系？ 324252 （2）你认为这个结论正确吗？ 正确 2、以下面各组数为边长的三角形，是直角三角形吗？(单位：cm) ① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10． （1）画一画：分别以这些数为三边长画出三角形；（2）算一算：每组中较小两个数的平方和与较大数的平方之间有什么关系？ 2.52626.52， 6282102. （3）量一量：用量角器分别测量三角形中最大角的度数； 900. （4）想一想：试着判断这些三角形的形状，并提出猜想. 猜想：命题2如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. （5）这个命题是真命题吗？ 【证明猜想】 已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2. 求证：△ABC是直角三角形. 分析：在△ABC中，由边的关系a2+b2=c2，推导出为直角很难做到，若作一个与△ABC全等的直角 三角形，则可借助全等三角形的性质来说明∠C是直角. 证明：如图，作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b. 由勾股定理可得A'B'2=a2+b2. ∵a2+b2=c2，∴A'B'2=c2. 在△ABC和△A'B'C'中，∵AB=A'B'=c，BC=B'C'=a，AC=A'C'=b. ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS). ∴∠C'=∠C=90°(全等三角形的对应角相等). 即△ABC是直角三角形. （6）互逆命题 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 命题2 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 命题1与命题2的题设、结论正好相反. 我们把像这样的两个命题叫做 互逆命题 . 如果我们把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 如：把命题1叫做原命题，那么命题2就是命题1的逆命题. （7）互逆定理 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定 理. 总结归纳： 勾股定理的逆命题：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 这个命题是真命题，也是一个定理，可以利用这个定理判定一个三角形是否为直角三角形. 3、下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？ (1) a5，b12，c13；(2) a6，b7，c8；(3) a1，b2，c . 答：(1) 52+122132，是直角三角形. (2) 62+7282，不是直角三角形. (3) 12+( )222，是直角三角形. 4、勾股数：像5，12，13这样能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为 勾股数 . 三、互动质疑（议、展） 1、原命题成立时，它的逆命题一定成立吗？ 原命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.（ 真命题 ） 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（ 假命题 ） 原命题：如果两直线平行，那么同位角相等.（ 真命题 ） 逆命题：如果同位角相等，那么两直线平行.（ 真命题 ） 结论：原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 2、命题1与命题2的关系 3、实例：例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形： (1) a15，b8，c17；(2) a13，b14，c15. 分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否 等于最大边的平方. 解：(1)∵1528222564289 172289 ∴15282172 ∴根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形. (2)∵132142169196365 152225 ∴132142152 ∴根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形. 四、清点战果（评） 今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？ 五、一战成名（检） 1、下列各组数中，是勾股数的是（ ） 3 5 A． ，2， B．√2，√3，√5 C．1，1，2 D．9，12，15 2 2 3 5 3 5 1、解：A、 ，2， 中， ， 不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； 2 2 2 2 B、√2，√3，√5 不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； C、∵12+12≠22，∴不能构成勾股数，不符合题意； D、∵92+122=152，∴能构成勾股数，符合题意． 故选：D． 2、下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（ ） A．2，3，4 B．√3，√5，√4 C．4，6，9 D．3，4，5 2、解A、∵22+32=13，42=16， ∴22+32≠42， ∴不能组成直角三角形， 故A不符合题意； B、∵（√3）2+（√4）2=7，（√5）2=5， ∴（√3）2+（√4）2≠（√5）2， ∴不能组成直角三角形， 故B不符合题意； C、∵42+62=52，92=81， ∴42+62≠92， ∴不能组成直角三角形， 故C不符合题意； D、∵42+32=25，52=25， ∴42+32=52， ∴能组成直角三角形，故D符合题意； 故选：D． 3、下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（ ） A．三角形中有两个角互为余角 B．三角形中三个内角之比为3：4：5 C．三角形中的三边之比为5：12：13 D．三角形中有两个内角的差等于第三个内角 3、解：A、三角形中有两个角互为余角，则另一个为 90°， 此三角形是直角三角形，不符合题意； B、∵三角形中三个内角之比为 3：4：5， 5 ∴最大内角为180°× ＝75°， 3+4+5 ∴此三角形不是直角三角形，符合题意； C、∵52+122=132， ∴此三角形是直角三角形，不符合题意； D、设三角形3个内角分别是∠A，∠B，∠C， ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A-∠B=∠C， ∴∠A=90°， ∴此三角形是直角三角形，不符合题意． 故选：B． 4、观察以下几组勾股数，并寻找规律：① 3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9， 40，41；⋯请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ． 4、解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数 3，第②勾股数的第一个数是 5，…，故第⑤组勾股数的第一个数是 11，第6组勾股数的第一个数是13， 又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差 1，故设第二个数为x,第三个数为x+1， 根据勾股定理的逆定理，得：112+x2=（x+1）2， 解得x=60． 则得第5组数是：11，60，61． 故答案为：11，60，61． 5、测得一块三角形麦田的三边长分别为 5m,12m,13m,则这块麦田的面积为 m2． 5、解：∵52+122=132， ∴三边长分别为5m、12m、13m的三角形构成直角三角形，其中的直角边是 5m、12m, 1 ∴此三角形的面积为 ×5×12=30m2． 2 故答案为：30． 6、如图，每个小正方形的边长都是 1，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判 断△ABC的形状，并说明理由． 6、解：∵每个小正方形的边长都是 1， ∴AB2=32+22=13，BC2=62+42=52，AC2=12+82=65， ∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形． 六、用 （一）必做题 1、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a,b,c,下列条件不能判定△ABC为直角三角形的 是（ ） A．∠C=∠A-∠B B．a：b：c=5：12：13 C．（c-a）（c+a）=b2 D．∠A：∠B：∠C=3：4：5 1、解：A、∵∠C=∠A-∠B，∴∠A=90°，能判定△ABC为直角三角形，不符合题意； B、（5x）2+（12x）2=（13x）2，能判定△ABC为直角三角形，不符合题意； C、∵（c-a）（c+a）=b2，∴a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意； D、∠A：∠B：∠C=3：4：5，那么∠A=45°、∠B=60°、∠C=75°，△ABC不是直角三角形，符 合题意； 故选：D． 2、以下选项不能判定△ABC为直角三角形的是（ ） A．∠A：∠B：∠C=3：4：5 B．∠A：∠B：∠C=2：3：5 C．AB：BC：AC=3：4：5 D．AB=13，BC=5，AC=12 2、解：A、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5， ∴设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°， 3x+4x+5x=180， 解得：x=15， 则5x°=75°， ∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意； B、∵∠A：∠B：∠C=2：3：5， ∴设∠A=2x°，∠B=3x°，∠C=5x°， 2x+3x+5x=180， 解得：x=18， 则5x°=90°， ∴△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵32+42=52， ∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵52+122=132， ∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 3、下列各组数中，是勾股数的是（ ） A．2，3，4 B．4，5，6 1 1 1 C．5，12，13 D． ， ， 3 4 5 3、解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，不合题意； B、52+42≠62，不能构成直角三角形，不合题意； C、52+122=132，能构成直角三角形，符合题意； 1 1 1 D、三边长 ， ， 都不是正整数，不是勾股数，不合题意； 3 4 5 故选：C． 4、在△ABC中，AC=2，BC=3，当AB= 时，△ABC是直角三角形．4、解：在△ABC中，AC=2，BC=3， 当BC为直角三角形的直角边时， AB= = ； √22+32 √13 当BC为直角三角形的斜边时， AB= = ． √32−22 √5 故答案为：√13或√5． 5、下列各组数：①1、2、3；②6、8、10；③0.3、0.4、0.5；④9、40、41；其中是勾股数 的有 （填序号）． 5、解：①1、2、3不属于勾股数； ②6、8、10属于勾股数； ③0.3、0.4、0.5不属于勾股数； ④9、40、41属于勾股数； ∴勾股数只有2组． 故答案为：②④. （二）选做题 6、像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．古希腊的 哲学家柏拉图曾指出，如果 m表示大于1的整数，a=2m,b=m2-1，c=m2+1，那么a,b,c为勾股 数．你认为对吗？请说明理由． 6、解：a,b,c为勾股数，理由如下： ∵a2+b2 =（2m）2+（m2-1）2 =m4+2m2+1． 又c2=（m2+1）2=m4+2m2+1， ∴a2+b2=c2． 即：a,b,c能够成为直角三角形三条边长的三个正整数． ∴a,b,c为勾股数． 9 7、如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AC=4，BC=3，DB＝ ． 5 （1）求CD的长； （2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由． 7、解：（1）∵CD是边AB上的高， ∴∠CDB=∠CDA=90°， 9 ∵BC=3，DB= ， 5 ∴CD= =√ 9 2=12， √CB2−DB2 32+（ ） 5 5（2）△ABC是直角三角形， 理由：∵AC=4， 16 9 ∴AD=√AC2−CD2= ；∵BD= ，∴AB=5， 5 5 ∵AC2+BC2=42+32=25=52=AB2， ∴△ABC是直角三角形．