文档内容
20.2 勾股定理的逆定理及其应用(第 1 课时)教学设
计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课在学习勾股定理的基础上，从逆命题的角度研究直角三角形的判定方法——勾股定理的逆定
理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 内容分析
勾股定理的逆定理是对直角三角形判定体系的重要补充，与勾股定理构成“性质—判定”的互逆关系，
完善了直角三角形的知识框架。本节课以“逆命题探究”为核心线索，通过“观察—测量—猜想—论证”
的流程，既培养学生的推理能力，又渗透“互逆命题”的逻辑关系。定理的证明采用“构造法”，通过构
造全等直角三角形完成命题的证明，体现了转化与化归的数学思想。同时，勾股数的引入为后续应用逆定
理解决问题提供了便捷工具。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并证明勾股定理的逆定理。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）理解勾股定理的逆定理，经历“观察－测量－猜想－论证”的定理探究的过程，体会“构造
法”证明数学命题的基本思想，发展推理能力。
（2）了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题。
2. 目标解析
（1）学生能通过实例观察、测量验证，发现规律并提出猜想；在证明过程中，能理解“构造全等直
角三角形”的思路，清晰梳理证明逻辑，逐步提升逻辑推理和几何论证能力；学生能运用勾股定理的逆定
理判断三角形是否为直角三角形，能识别常见勾股数。
（2）学生能准确区分原命题与逆命题，通过勾股定理与其逆命题的对比，理解互逆命题的结构关系；
能举例说明原命题为真时逆命题可能为假，建立对命题互逆性的正确认知。
三、教学问题诊断分析
学生可能出现的问题：
（1）证明勾股定理的逆定理时，难以想到“构造法”，导致证明过程难以推进。
（2）运用逆定理判断三角形是否为直角三角形时，遗漏“先确定最大边”的关键步骤，误将非最大
边当作斜边进行平方关系验证。
1 / 7应对策略：
（1）证明环节中，通过追问“直接证明三角形是直角三角形有困难，能否借助已学的全等知识？”
“如何构造一个与原三角形相关的直角三角形？”，逐步引导学生想到“构造法”；分步演示证明过程，
帮助学生理清逻辑脉络。
（2）在例题和练习中，强调“先找最大边，再验证较小两边的平方和是否等于最大边的平方”的解
题步骤，通过错题辨析，强化学生对关键步骤的记忆。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：证明勾股定理的逆定理。
四、教学过程设计
（一）复习引入
1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
2.除了定义，直角三角形的判定方法还有哪些？
有两个角互余的三角形是直角三角形.
3.勾股定理的逆命题是什么？
如果三角形的三条边满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是直角三角形.
它是真命题吗？它是直角三角形的判定方法吗？
设计意图：通过复习勾股定理和已有的直角三角形判定方法，搭建知识衔接桥梁；以“逆命题”为切
入点，自然引出本节课的探究主题，激发学生的好奇心和探究欲。
（二）合作探究
思考 如果三角形的三条边满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是不是直
角三角形呢?
下图给出了确定直角的一种方法：
把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木
桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
上述方法意味着，如果围成三角形的三边长分别为3，4，5，它们满足关系“3²+4²=5²”，那么围成的
三角形是直角三角形.一般地，满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形是不是直角三角形
2 / 7呢?
观察 如果三角形的三边长分别为2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.52+62=6.52”，画出的三
角形是直角三角形吗？换成三边长分别为4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试.
信息技术验证
猜想 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
已知：如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2.
求证：△ABC是直角三角形.
分析 直接证明△ABC是直角三角形比较困难，回顾已经学过的知识，可以作一个两条直角边长分别
为a，b的直角三角形，如果能证明△ABC与所作的直角三角形全等，那么就能证明△ABC是直角三角形.
证明：如图，作一个Rt△A'B'C'，使B'C'=a，A'C'=b，∠C'=90°.
根据勾股定理，A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2.
3 / 7因为a2+b2=c2，所以A'B'=c.
在△ABC和△A'B'C'中，
BC=a=B'C'，AC=b=A'C'，AB=c=A'B'，
所以△ABC≌△A'B'C'（SSS）.
因此∠C=∠C'=90°，即△ABC是直角三角形.
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
它是判定直角三角形的一个依据
设计意图：从具体实例出发，结合画图测量、信息技术验证，让学生直观感受“三边满足平方关系→
直角三角形”的规律，为猜想提供充分依据；证明过程中，通过“构造全等”的思路，突破直接证明的难
点，让学生体会转化与化归的数学思想；完整呈现“观察—测量—猜想—论证”的探究流程，培养学生的
推理能力。
（三）典例分析
例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1)a=8，b=15，c=17； (2)a=14，b=13，c=15.
分析 根据勾股定理逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是
否等于最大边长的平方.
解：(1)因为82+152=64+225=289，172=289，
所以82+152=172.
根据勾股定理的逆定理，由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形.
勾股数 像8，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
(2)因为142+132=196+169=365，152=225，
所以142+132≠152.
根据勾股定理的逆定理，由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形.
分析 如果这个三角形是直角三角形，那么根据勾股定理应有a2+b2=c2.事实上，上式不成立.因此，
这个三角形不是直角三角形.
设计意图：例题选取两组典型数据，一组是勾股数，一组非勾股数，既展示了逆定理的应用方法，又
自然引出勾股数的概念；解题过程中强调“找最大边→验证平方关系”的步骤，为学生提供清晰的解题范
例；通过勾股数的定义，帮助学生识别常见的直角三角形边长组合，为后续解题提供便捷工具。
（四）巩固练习
1. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
4 / 7(1)a=4，b=5，c=6； (2)a=2.5，b=0.7，c=2.4；
1 1 1
(3)a= ，b= ，c= ； (4)a=1，b= √2，c= √3.
5 4 3
解：(1)因为42+52=16+25=41，62=36，
所以42+52≠62.
根据勾股定理的逆定理，由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形.
(2)因为0.72+2.42=0.49+5.76=6.25，2.52=6.25，
所以0.72+2.42=2.52.
根据勾股定理的逆定理，由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形.
1 1 1 1 41 1 1
(3)因为( )2+( )2= + = ，( )2= ，
5 4 25 16 400 3 9
1 1 1
所以( )2+( )2≠( )2.
5 4 3
根据勾股定理的逆定理，由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形.
(4)因为12+(√2)2=1+2=3，(√3)2=3，
所以12+(√2)2=(√3)2.
根据勾股定理的逆定理，由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形.
2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ D ）
A．AC2+BC2=AB2 B．AC:BC:AB=3:4:5
C．∠C=∠A+∠B D．∠A:∠B:∠C=9:12:15
3．勾股数又名毕氏三元数，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，我们称之为勾股数．
下列各组数据为勾股数的是（ A ）
1 1 1
A．9，40，41 B．9，16，20 C．1，2， √3 D． ， ，
3 4 5
4．若一个三角形的三条边长之比为5:12:13，周长为60cm，则它的面积为（ D ）
A．60cm2 B．80cm2 C．100cm2 D．120cm2
5．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足(a−15)2+|b−17|+(c−8)2=0，则△ABC是（ B
）
A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形 D．非直角三角形
6. 如图，以△ABC的三边为直径，分别作三个半圆，三个半圆的面积分别为S，S，S.若S+S=S，
1 2 3 1 2 3
判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由.
5 / 7解：△ABC是直角三角形，理由如下：
1 AB 1 BC 1 AC
∵S= π( )2，S= π( )2，S= π( )2，
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 AB 1 BC 1 AC
∴ π( )2+ π( )2= π( )2，
2 2 2 2 2 2
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形.
设计意图：巩固练习覆盖多种题型，梯度分明：第 1-2 题聚焦逆定理的直接应用，强化“找最大边
— 验证平方关系”的步骤；第 3-4 题结合勾股数、边长比例，提升知识综合应用能力；第 5-6 题融入
非负数性质、圆的面积公式，拓展解题场景，培养学生的转化能力。通过多样化练习，及时反馈学习效果，
帮助学生查漏补缺，强化对逆定理和勾股数的理解。
（五）归纳总结
（六）感受中考
1．（江苏南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( A )
A．3， 4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12
2．（2023年山东菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足(a−b)2+√2a−b−3+|c−3√2|=0，则
△ABC是（ D ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
3．（2025年江苏扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士
琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此
法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规
律，写出第⑤组勾股数为 1 1 ， 6 0 ， 6 1 ．
6 / 74．（2021年浙江杭州）如图，在直角坐标系中，以点A(3,1)为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分
别过点B(1,1)，点C(1,3)，点D(4,4)，点E(5,2)，则∠BAC = ∠DAE（填“>”“=”“<”中的一
个）．
设计意图：引入中考真题，让学生感受勾股定理逆定理在中考中的考查形式，明确学习重点；真题涵
盖不同考查角度，既能检验学生的学习成果，又能提升学生的应考能力和解题信心，激发学习动力。
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题20.2 第1，2题.
2.探究性作业：习题20.1 第6题.
五、教学反思
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