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20.2 勾股定理的逆定理及其应用（第 2 课时）
知识点1：勾股定理的逆定理与面积问题
1．我国古代著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问沙田一段，有三斜，其
中小斜3里，中斜4里，大斜5里，欲知为田几何？”题目大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为3
里，4里，5里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500m，则该沙田的面积
为（ ）
A．1.5km2 B．3km2 C．6km2 D．30km2
【答案】A
【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．
直接利用勾股定理的逆定理结合直角三角形面积求法得出答案．
【详解】解：∵32+42=25=52，
∴三条边长分别为3里，4里，5里，构成了直角三角形，
1
∴该沙田的面积为 ×3×4=6（平方里）=6×0.52=1.5(km2)．
2
故选A．
2．为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，学校分给各班级一块地，让学生学习种菜．
八年级三班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为2.5m，6m，6.5m，则三角形菜地的面
积是（ ）
A．7.5m2 B．8.125m2 C．15m2 D．19.5m2
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c
满足a2+b2=c2，那么这个三角形为直角三角形．先根据勾股定理的逆定理证明三角形菜地为直角三角形，
然后根据三角形面积公式进行求解即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵2.52+62=42.25=6.52，
∴三角形菜地为直角三角形，
1
∴三角形菜地的面积为 ×6×2.5=7.5(m2)．
2
故选：A．
3．如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积S.
【详解】解：如图，连接AC，
∵∠ADC=90°，AD=4m，CD=3m，
∴AC=√AD2+CD2=5m，
∵AB=13m，BC=12m，
∴AC2+BC2=52+122=169=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴这块地的面积S=S −S
Rt△ABC Rt△ACD
1 1
= AC⋅BC− AD⋅CD
2 2
1 1
= ×5×12− ×4×3
2 2
=24(m2)，
知识点2：勾股定理的逆定理与方位角问题
4．如图，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北偏西50°方向航行，乙船同时从港口O出发，沿
OA方向以12海里/时的速度航行，航行1小时后，两船相距20海里．则乙船航行的方向是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．南偏西40°方向 B．西偏南50°方向 C．西偏南40°方向 D．西南方向
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，方向角，连接AB，根据题意可得：AO=16（海里），BO=12（海
里），AB=20（海里），∠AOM=50°，然后利用勾股定理逆定理得AB2=OA2+BO2，从而得
∠AOB=90°，再利用平角的定义计算∠BON，最后根据方向角的概念可得答案．
【详解】解：如图：连接AB，
由题意得：AO=16×1=16（海里），BO=1×12=12（海里），AB=20（海里），∠AOM=50°，
∵202=162+122，即AB2=OA2+BO2，
∴∠AOB=90°，
∴∠BON=180°− ， 90°−50°=40°
∴乙船航行的方向是南偏西40°方向，
故选：A．
5．甲、乙两艘客轮沿不同方向同时离开港口P，航行的速度都是40m/min，甲客轮30min到达点A．乙客
轮用40min到达B点，若A、B两点的直线距离为2000m，甲客轮沿北偏西60°的方向航行，则乙客轮的
航行方向可能是（ ）
A．南偏西30° B．北偏东60° C．南偏东30° D．南偏西60°
【答案】A
【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义，平角以及勾股定理的逆定理是正确解答的前提．
根据方向角的定义画出相应的图形，根据勾股定理的逆定理可以得到△APB是直角三角形，再利用平角的
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学科网（北京）股份有限公司定义即可求出PB的方向角即可．
【详解】解：如图，
由题意得，PA=40×30=1200m,PB=40×40=1600,∠APN=60°，
∵PA=1200,PB=1600,AB=2000,12002+16002=20002，
∴PA2+PB2=AB2，
∴∠APB=90°，
∴∠BPS=180°− ， 90°−60°=30°
即PB的方向为南偏西30°，
同理可得，PB的方向也可为北偏东30°，
故选：A．
知识点3：勾股定理及其逆定理的综合应用
6．如图，CD为某种帐篷支架的立柱，BC和AC分别为两侧坡柱．安装时要求A，D，B三点固定在地面上，
CD⊥AB于点D，且∠ACB≤90°．如果按AC=20m，BC=15m，CD=12m进行设置，请判断此支架是否合
格．
【详解】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴在Rt△ACD中，AD=√AC2 −CD2=√202 −122=16(m)，
在Rt△BCD中，BD=√BC2 −CD2=√152 −122=9(m)，
∴AB=AD+BD=25m．
∵AC2+BC2=202+152=625，AB2=252=625，
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学科网（北京）股份有限公司∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴此支架合格．
7．在泰州溱潼古镇附近的湿地公园中，规划修建一条观鸟栈道．该栈道计划沿三角形区域ABC的岸边布置．
由于BC段穿越一处重点保护的古建筑，无法直接测量．勘测人员在BC上取一点D，测得AD=120米，
BD=50米，AB=130米，AC=150米．
(1)求证：∠ADB=90°：
(2)求BC的长．
【详解】（1）证明：∵AD=120米，BD=50米，AB=130米，
则AB2=16900,AD2+BD2=14400+2500=16900
∴AB2=AD2+BD2，
∴∠ADB=90°；
（2）解：由（1）得∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD=√AC2 −AD2=√1502 −1202=90（米），
∴BC=BD+CD=50+90=140（米）．
8．如图△ABC中，∠A为钝角，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E．若BD2+CE2=DE2，则
∠A= 度．
【答案】135
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，掌握
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接AD、AE，根据线段垂直平分
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学科网（北京）股份有限公司线的性质得到AD=BD，AE=CE， 得到∠DAB=∠B，∠EAC=∠C， ，根据勾股定理的逆定理得到
∠DAE=90°，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：如图所示，连接AD、AE，
∵边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，
∴AD=BD，AE=CE，
∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，
∵BD2+CE2=DE2，
∴AD2+AE2=DE2，
∴∠DAE=90°，
∴2∠B+2∠C+90°=180°，
∴∠B+∠C=45°，
∴∠BAC=180°−45°=135°．
故答案为：135．
9．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破
坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点之间的
距离CA，CB分别为300km，400km，AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内（包括250km）为受
影响区域．
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若海港C受台风影响，且台风中心移动的速度为20km/h，台风影响海港C持续的时间有多长？（若海港
C不受台风影响，则忽略此问）
【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB于点D，
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学科网（北京）股份有限公司∵ AC=300km，BC=400km，AB=500km，AC2+BC2=AB2，
∴ △ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
1 1
由三角形面积相等可得： ⋅AC⋅BC= ⋅CD⋅AB，
2 2
即300×400=500×CD，
300×400
∴ CD= =240(km)，
500
∵以台风中心为圆心周围250km以内（包括250km）为受影响区域，
∴海港C受台风影响．
（2）解：如图，设台风中心移动到点E，F处时刚好影响海港C，连接CE，CF，则EC=FC=250km，
根据勾股定理，ED=√EC2 −CD2=√2502 −2402=70km，
∵ CE=CF，CD⊥EF，
∴ ED=FD，
∴ EF=2ED=140km，
∵台风中心移动的速度为20km/h，
∴ 140÷20=7(h)，
∴台风影响海港C持续的时间为7h．
答：7h．
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