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20.2 勾股定理的逆定理及其应用（第 1 课时）
知识点1：直角三角形的判定
1．（广西桂林）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形
判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【详解】解：A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确，符合题
意；
B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误，不符合题意；
C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误，不符合题意；
D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误，不符合题意；
故选A．
2．（贵州毕节）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( )
A．√3,√4,√5 B．1,√2,√3 C．6,7,8 D．2,3,4
【答案】B
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可.
【详解】解：A．（√3）2+（√4）2≠（√5）2，故该选项错误，不符合题意；
B．12+（√2）2=（√3）2,故该选项正确，符合题意；
C．62+72≠82，故该选项错误，不符合题意；
D．22+32≠42，故该选项错误，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，会判断是否为直角三角形是解答关键.
3．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2+b2=c2 B．∠A=∠B+∠C C．∠A:∠B:∠C=3:4:5 D．a=5，b=12，c=13
【答案】C
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识．勾股定理的逆定理：如果三角形的
三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理及三角形内角
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学科网（北京）股份有限公司和定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵a2+b2=c2，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B+∠C，
∴∠A=90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，
∴∠A=3×15°=45°，∠B=4×15°=60°，∠C=5×15°=75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵a=5，b=12，c=13，
∴a2+b2=169=c2，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．若 的三边长 ， ， 满足 ，则 是（ ）
△ABC a b c (b−c)2+(c2+b2 −a2) 2 =0 △ABC
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】根据平方和为零的性质，每一项必须为零，从而得出边的关系和角的关系．
本题考查等腰三角形的判定以及勾股定理的逆定理，正确根据题目已知条件找到a、b、c之间的关系即可
判断三角形的形状，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质．
【详解】解：∵ (b−c)2+(c2+b2 −a2)2=0，
∴ (b−c)2=0 且 (c2+b2 −a2)2=0，
∴ b−c=0 即 b=c，
且 c2+b2 −a2=0 即 a2=b2+c2，
∴ △ABC 是等腰三角形（b=c）且直角三角形（a2=b2+c2），
故为等腰直角三角形．
故选：D．
5．如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=√5，AB=√10．若点A的坐标为(1,2)，则点B的坐标为
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．(−1,2) B．(− √5,1) C．(−2,1) D．(−2,2)
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，作BN⊥x轴，AM⊥x轴，根据题意证
得△BNO≌△OMA(AAS)，再根据全等三角形的性质可得NB=OM，NO=AM，又已知A点的坐标，即可得B
点的坐标，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，作BN⊥x轴，AM⊥x轴，则∠BNO=∠AMO=90°，
∵OA=OB=√5，AB=√10，
∴AO2+OB2=AB2，
∴∠BOA=90°，
∴∠BON+∠AOM=90°，
∵∠BON+∠NBO=90°，
∴∠AOM=∠NBO，
∵∠BNO=∠AMO，BO=OA，
∴△BNO≌△OMA(AAS)，
∴NB=OM，NO=AM，
∵点A的坐标为(1,2)，
∴点B的坐标为(−2,1)，
故选：C．
6．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D．若AD=1，CD=2，BC= 2√5，判断△ABC的形状，并说明
理由．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：△ABC是直角三角形．
理由：
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AC=√AD2+CD2=√12+22=√5，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
，
BD=√BC2 −CD2=√(2√5) 2 −22=√16=4
∴AB=AD+BD=5，
在△ABC中，
AC2+BC2=(√5) 2+(2√5) 2=25，
AB2=52=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
7．已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC．求四边形ABCD的面积．
【详解】解：连接AC．
∵AB⊥BC．AB=1，BC=2，
∴AC=√AB2+BC2=√12+22=√5，
在△ACD中，AC2+CD2＝5+4=9=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
1 1 1 1
∴S = AB·BC + AC·CD = ×1×2 + ×√5×2 =1+√5．
四边形ABCD 2 2 2 2
故四边形ABCD的面积为1+√5．
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学科网（北京）股份有限公司知识点2：勾股数
8．把能够围成直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数．下列不是勾股数的是（ ）
A．6，8，10 B．8，15，17 C．5，12，13 D．13，14，15
【答案】D
【分析】本题考查了勾股数．对于三个正整数，先找出最大的数，若较小的两个数的平方和等于最大的数
的平方，则这组数为“勾股数”，计算即可．
【详解】解：∵62+82=102，∴6，8，10是“勾股数”，∴选项A不符合题意；
∵82+52=172，∴8，15，17是“勾股数”，∴选项B不符合题意；
∵52+122=132，∴5，12，13是“勾股数”，∴选项C不符合题意；
∵132+142≠152，∴13，14，15不是“勾股数”，∴选项D符合题意；
故选：D．
9．《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾
股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它
平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再
平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数．由上述方法
得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（ ）
A．16 B．17 C．25 D．64
【答案】B
【分析】直接根据题意分别得出由8生成的勾股数”的“弦数”进而得出答案．
【详解】解：∵由8生成的勾股数”的“弦数”记为A，
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∴（ ）2＝16，16﹣1＝15，16+1＝17，
2
故A＝17，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股数问题．能理解题中的计算方式，并能依此计算是解决此题的关键．需注意在计算
“由 m 生成的勾股数”时，m分奇偶计算方式不同．
10．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，
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学科网（北京）股份有限公司20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 ,
, .
【答案】5，12，13；8，15，17；9，40，41（此题答案不唯一）
【详解】本题考查的是勾股数
根据勾股定理的逆定理只要写出的数据符合 ，且为正整数即可．
符合 ，且为正整数即可，例如5，12，13；8，15，17；9，40，41．（答案不唯一）
知识点3：网格背景下的直角三角形
11．如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC= ．
【答案】45°
【分析】连接AC，利用勾股定理求出△ABC各边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进
而求出∠ABC的度数．
【详解】解：连接AC，如图．
由题意得AC2=12+22=5，BC2=12+22=5，AB2=12+32=10，
∴AC2+BC2=AB2，BC=AC．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
【点睛】本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的判定，解题关键是通过勾股定理求出三角形三边长度，
结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，进而得出角的度数．
12．数学小组开展了“在正方形网格中画三角形”的探究活动．具体要求如下：已知△ABC，
∠ACB=90°，AC≠BC，点A、B、C都在网格的格点上，AC，BC，AB都不在网格线上．
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学科网（北京）股份有限公司(1)在图1、图2的正方形网格中分别画出符合题意的△ABC（所画的两个三角形不全等）；
(2)说明图1所画△ABC为什么是直角三角形？
【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求．
（2）解：设小正方形的边长为a，
如图1中，AC2=a2+a2=2a2，BC2=(3a)2+(3a)2=18a2，AB2=(2a)2+(4a)2=20a2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形；
如图2中，AC2=a2+(2a)2=5a2，BC2=(2a)2+(4a)2=20a2，AB2=(3a)2+(4a)2=25a2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
13．（内蒙古包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针
旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．
【答案】135
【详解】试题分析：如图，连接EE′，
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学科网（北京）股份有限公司∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3，
∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1．
∴EE′=2√2，∠BE′E=45°．
∵E′E2+E′C2=8+1=9，EC2=9．∴E′E2+E′C2=EC2．
∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=90°．∴∠BE′C=135°．
14．（浙江杭州）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为： ．
【详解】解：（1）由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为C；
（2）错误的原因为：等式两边同时除以一个整式时，没有考虑除数不为0，即没有考虑a=b的情况，
故答案为没有考虑a=b的情况；
（3）由（2）可知，本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，
故答案为△ABC是等腰三角形或直角三角形．
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