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专题20.2 勾股定理的逆定理及其应用
（知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）
【原卷版】
知识荟萃
1
知识点梳理01：互逆命题与互逆定理...................................................1
知识点梳理02：勾股定理的逆定理.....................................................2
知识点梳理03：勾股数...............................................................3
题型讲练...............................................................................3
题型1：判断三边能否构成直角三角形..................................................3
题型2：图形上与已知两点构成直角三角形的点..........................................3
题型3：在网格中判断直角三角形......................................................4
题型4：利用勾股定理的逆定理求解....................................................6
题型5：勾股定理逆定理的实际应用....................................................7
题型6：勾股定理逆定理的拓展问题....................................................8
中考真题...............................................................................9
分层训练..............................................................................10
基础夯实..........................................................................10
培优拔高..........................................................................12
知识点梳理01：互逆命题与互逆定理
互逆命题：如果两个命题题设、结论正好相反.那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
互逆定理： 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，
称这两个定理互为逆定理.
1、对互逆命题的理解：
①“题设、结论正好相反”是指位置相反，即第一个命题的题设是第二个命题的结论，第二个命题的题设是第一个命题的结论，而不是指它们的意义相反；
②每个命题都有逆命题，只有将原命题的题设改写成结论，并将结论改成题设，就可以得到原命题的
逆命题，但原命题是否为真命题与逆命题是否为真命题没有关系.
③写某个命题的逆命题时要先认真分析命题结构，分清命题的条件和结论，再改写成“如果……那
么……”的形式.
1、每个命题都有逆命题，但并不是每个定理都有逆定理，只有当一个定理的逆命题为真命题时，它
才有逆定理，也就是说定理一定有逆命题，但不一定有逆定理.
知识点梳理02：勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.
1、用勾股定理判定直角三角形的步骤：
①找：找出三角形三边中的最长边；
②算：计算其他两边的平方和与最长边的平方；
③判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是.
【易错点拨】
（1）a2+b2=c2只是一种表达形式，只要有两边的平方和等于第三边的平方的三角形都
是直角三角形，其中最长边即为斜边.
（2）这种判定方法不是判定直角三角形的唯一方法，也可以用定义或其他方法来证
明.
勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系：
勾股定理 勾股定理的逆定理
条 件 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2 + b2 = c2
结 论 a2 + b2 = c2 ∠C=90°
勾股定理是一个直角三角形为条 勾股定理的逆定理的是以一个三
件进而得到三边满足的数量关系 角形的三边满足a2+b2=c2为条件
区 别 a2+b2=c2，是由“形”到“数”. 进而得到这个三角形是直角三角
形,即由“数”到“形”.
联 系 两者都与三角形的三边有关系.知识点梳理03：勾股数
勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够
勾股数．
2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤：
①确定是否为三个正整数 a，b，c;
②确定最大数c；
③计算较小两数的平方和是否等于c2;
④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数.
题型1：判断三边能否构成直角三角形
【典例精讲】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）在△ABC中，AC=❑√5，BC=2❑√3，AB=❑√17，求
∠ACB的度数．
【变式训练1】（24-25八年级下·云南红河·期末）下列各组线段中，不能构成直角三角形的一组是（
）
A．3，4，5 B．3，5，7 C．6，8，10 D．5，12，13
【变式训练2】（24-25八年级下·甘肃定西·期中）已知三角形边长为a，b，c，如果
，试判断三角形的形状．
(a−5) 2+|b−12)+❑√c−13=0
题型2：图形上与已知两点构成直角三角形的点
【典例精讲】（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要
求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（ ）A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【变式训练1】（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、
AC分别交于点D、E，且CB2=AE2−CE2
(1)求证：∠C=90°；
(2)若AC=15，BC=9，求CE的长．
【变式训练2】（22-23八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中
格点．点C也在格点上，满足△ABC为以AB为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型3：在网格中判断直角三角形
【典例精讲】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为
1，四边形ABCD的顶点都在格点（网格线的交点）上．(1)求线段BC和CD的长．
(2)∠BAD是直角吗？请说明理由．
【变式训练1】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在3×3正方形的网格中，每个小正方形
的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（ ）
A．AC=❑√10 B．∠B=90°
2
C．只有两条边长为无理数 D．AC边上的高为 ❑√10
5
【变式训练2】（23-24八年级下·北京密云·期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，A, B, C
三点都是格点（水平线和垂直线的交点）．
(1)判断△ABC的形状，并证明；
(2)若A, B, C是某个平行四边形的三个顶点，在网格中画出所有符合题意的平行四边形．题型4：利用勾股定理的逆定理求解
【典例精讲】（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图，一张三角形纸片ABC，已知，AB=10，
AC=8，BC=6，将该纸片折叠，若折叠后点A与点B重合，折痕DE与边AC交于点D，与边AB交于点
E．
(1)求△ABC的面积．
(2)求折痕DE的长．
【变式训练1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，AB=13，AC=15，D为边BC
上的一点，AD=12，BD=5．
(1)求证：AD⊥BC；
(2)求△ABC的面积．
【变式训练2】（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图，∠ABD中，
AB=8,AD=17,BC=9,CD=12，求△BCD的面积．题型5：勾股定理逆定理的实际应用
【典例精讲】（23-24八年级下·河南洛阳·月考）2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某
小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知AB=3m，BC=4m，
CD=13m，AD=12m，∠ABC=90°．
(1)求AC的长度；
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【变式训练1】（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地
（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，
∠B=90°．
(1)△ACD是直角三角形吗？为什么？
(2)小区为美化环境，想要在空地上铺草坪，已知草坪每平方米50元，试问铺满这块空地共需花费多少元？【变式训练2】（23-24八年级下·贵州遵义·月考）为了绿化环境，我区某中学有一块空地四边形
ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC=90°，CD=3米，AD=4米，
AB=13米，BC=12米．
(1)求出空地ABCD的面积；
(2)若每种植1平方米草皮需要400元，问总共需投入多少元？
题型6：勾股定理逆定理的拓展问题
1 1 2
【典例精讲】（24-25八年级下·湖南湘西·月考）在△ABC中， + = ，则∠C（ ）
a b c
A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能
【变式训练1】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若c2=a2+b2，则称c为
“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如132=52+122，则13是“完美勾股数”，5，12是13
的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2−6a−8b−10c+50=0． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m，n>0且m>n，c=2m2+2mn+2n2，a=m2+4mn+n2，b=❑√3(m+n)，c为“完美勾股数”，
a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式x3−3x2+p有一个因式x−m+n，求该多项式的另一个因式．
【变式训练2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板
不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两
个问题：
（1）试说明△ADC≌△CEB；
（2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件
做了如下整理：如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述
问题．1．（2024·河北沧州·中考真题）在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，D为AC中点，则BD的长为
（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．❑√13
2．（2024·江西鹰潭·中考真题）若 的三条边 ， ， 满足 ，则 的
△ABC a b c (a−b)(a2−b2−c2)=0 △ABC
形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形
3．（2024·上海·中考真题）如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（不
与端点重合），PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F，M为EF的中点，设AM的长为x，则x的取值
范围是 ．
4．（2024·全国·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对
角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF
是菱形；③S =4S ；④若AB=6，AD=4，那么FG=❑√55．其中所有正确结论的序号是
平行四边形ABCD △BFC
．5．（2024·云南丽江·中考真题）如图，在直角三角形ABC，
∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13．
(1)求AC的长．
(2)试判断△ACD的形状．
(3)求出四边形ABCD的面积．
基础夯实
1．（24-25八年级下·云南红河·期末）据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的13个结，然后以3个结
间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是
（ ）A．30° B．45° C．60° D．90°
2．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1,❑√2,❑√3 B．3,4,5 C．5,12,13 D．13,14,15
3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）已知四组数据：①2,2,3；②0.3,0.4,0.5；③4,5,9；④5,12,13．
以每组数据分别作为三角形的三边长，能构成直角三角形的组数有（ ）
A．0组 B．1组 C．2组 D．3组
4．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知△ABC的三边长分别为❑√3，❑√3，❑√6，则△ABC的面积为
．
5．（2024·湖南·模拟预测）如图，在5×5的正方形网格中，点A，B，C都在正方形网格的格点上，则
∠BAC= ．
6．（24-25八年级下·广东清远·月考）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若三边
关系为a2+c2=b2，则 是直角．
7．（24-25八年级下·全国·月考）若三角形的三边长 、 、 满足 ，则这个三角形是
a b c (a+b) 2=c2+2ab
三角形．
8．（24-25八年级下·山东青岛·月考）如图，在△ABC中，D为边BC上的一点，
AB=13，AD=12，AC=15，BD=5．
(1)请说明AD⊥BC．
(2)求△ABC的面积．9．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取
水点A,B，由于某种原因，由C到A、由C到B的路现在均不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一
个取水点D（A,D,B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得BD=50米，CD=120米，BC=130米．
问CD是否为从村庄C到河边AB最近的路？请通过计算加以说明．
10．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，两条公路AC，BC相交于点C，从A点沿直线再修建一
条公路到B点．若AC=60km，CB=80km，AB=100km．求证：∠C=90°．
培优拔高
11．（24-25八年级下·山东青岛·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两
个直角三角形，摆放正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（24-25八年级下·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2025·北京石景山·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的
是（）
A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形
C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形
14．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，每个小正方形的边长都相等，点A，B，C均在小正方形
的顶点上，则∠ABC的度数为 ．
15．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，有一块铁皮（图中阴影部分），测得AB=3，BC=4，
CD=12，AD=13，∠B=90°，则阴影部分的面积为 ．
1
16．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，以大于 AB的长为
2
半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线FG分别交AB，BC于点M，D；再分别以A，C为圆心，以大于
1 4
AC的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线HI分别交AC，BC于点N，E；若BD=1，DE= ，
2 3
5
EC= ，则AC的长为 ．
317．（2024八年级下·广东揭阳·竞赛）已知△ABC三边长分别为a，b，c，且满足
，则 的形状为 ．
❑√a−b+(a2+b2−c2) 2 =0 △ABC
18．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，网格图中每个小正方形的边长都是1．△ABC的三个顶
点都在网格线的交点上．求证：AB⊥AC．
19．（24-25八年级下·云南红河·期末）在军事和航海上经常要确定方向和位置．从而经常需要使用一
些数学知识和方法．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“龙腾”号，“海天”号轮船同时离开港
口，各自沿一固定方向航行，“龙腾”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开
港口1.5小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“龙腾”号沿东北方向航行，能知道“海天”
号沿哪个方向航行吗？
20．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AC⊥CD，E是边BC上的点，连接AE．2
已知AD=6，CD=4，CE= BC=2，AE=4．现要在边AB上找一点H，使得△BEH是以BH为腰的
5
等腰三角形，则BH的长为（ ）
5 9
A．3 B．5 C．3或 D．3或
2 5
